Afixul mijlocului, al centrului de greutate și raportul dat

Un mobil de tavan trebuie agățat exact în punctul în care se echilibrează. Dacă are trei brațe identice, cu greutăți egale la capete, punctul de echilibru nu este niciunul dintre cele trei — este un al patrulea punct, aflat „la mijlocul mijlocurilor". Tâmplarii îl găsesc prin încercări; un elev de clasa a X-a îl poate calcula din trei numere, cu o singură împărțire la trei.

Această lecție arată cum se traduc în limbajul afixelor cele mai frecvente construcții de pe un segment sau într-un triunghi: mijlocul, punctul care taie segmentul într-un raport dat și centrul de greutate. Toate cele trei se obțin din aceeași idee — o medie ponderată de afixe — iar formulele care rezultă sunt atât de simple încât probleme care în geometria sintetică cer construcții auxiliare devin, aici, două rânduri de calcul. Rezultatul cel mai spectaculos al lecției este că cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente, demonstrat în patru rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să folosești formula afixului mijlocului unui segment, $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$.
• Vei ști să scrii parametrizarea unui segment, $z=(1-t)z_A+t{z}_B$, și să înțelegi ce reprezintă $t$.
• Vei ști ce înseamnă că un punct împarte un segment într-un raport dat și vei ști formula afixului său.
• Vei ști să demonstrezi formula centrului de greutate, $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$, și, odată cu ea, concurența medianelor.
• Vei ști să determini al patrulea vârf al unui paralelogram și simetricul unui punct față de alt punct.
• Vei ști să rezolvi probleme inverse: să afli un vârf când cunoști centrul de greutate și celelalte două.

Hai să descoperim împreună

1. Mijlocul unui segment

Începem cu construcția cea mai simplă. Fie $A$ și $B$ două puncte distincte, de afixe $z_A$ și $z_B$, și fie $M$ mijlocul segmentului $[AB]$.

Teoremă. Afixul mijlocului segmentului $[AB]$ este

$$z_M=\frac{z_A+z_B}{2}.$$

Demonstrație. Punctul $M$ este mijlocul lui $[AB]$ exact atunci când deplasarea de la $A$ la $M$ este aceeași cu deplasarea de la $M$ la $B$ — aceeași lungime și aceeași direcție. Este chiar citirea diferenței de afixe ca deplasare, din lecția Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului. În limbajul afixelor, aceasta înseamnă

$$z_M-z_A=z_B-z_M.$$

De aici $2z_M=z_A+z_B$, adică formula din enunț. $■$

Merită reținută formularea în cuvinte: afixul mijlocului este media aritmetică a afixelor capetelor.

Exemplu. Pentru $A(2+3i)$ și $B(8+i)$:

$$z_M=\frac{(2+3i)+(8+i)}{2}=\frac{10+4i}{2}=5+2i.$$

Două verificări, ambele utile ca reflex. Prima: $M$ trebuie să fie egal depărtat de capete. Calculăm pătratele distanțelor, $M{A}^2=|-3-i{|}^2=10$ și $M{B}^2=|3-i{|}^2=10✓$ A doua: distanța de la $M$ la un capăt trebuie să fie jumătate din $AB$. Avem $A{B}^2=|6-2i{|}^2=40=4\cdot 10✓$ — pătratele se raportează ca $4$ la $1$, deci lungimile ca $2$ la $1$.

2. Toate punctele unui segment: parametrizarea

Mijlocul este doar un caz particular. Ca să descriem orice punct al segmentului, pornim din $A$ și parcurgem o fracțiune din drumul până la $B$.

Propoziție. Punctele segmentului $[AB]$ sunt exact punctele de afix

$$z=z_A+t(z_B-z_A)=(1-t)z_A+t{z}_B,t\in [0,1].$$

Interpretarea lui $t$ este limpede: el spune ce fracțiune din drum ai parcurs. Pentru $t=0$ ești în $A$, pentru $t=1$ ești în $B$, pentru $t=\frac{1}{2}$ ești la mijloc — și, într-adevăr, formula dă atunci $\frac{z_A+z_B}{2}$.

Mai mult, distanțele se citesc direct:

$$AM=|z-z_A|=|t|\cdot AB,MB=|z_B-z|=|1-t|\cdot AB.$$

Dacă lăsăm pe $t$ să ia orice valoare reală, nu doar din $[0,1]$, obținem toate punctele dreptei $AB$: valorile $t<0$ dau puncte dincolo de $A$, iar $t>1$ dau puncte dincolo de $B$. Această observație este chiar sămânța criteriului de coliniaritate din lecția Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe.

3. Punctul care împarte un segment într-un raport dat

Acum putem defini precis construcția cerută de programă. Atenție la convenție — ea trebuie fixată o dată pentru totdeauna, pentru că un raport se poate citi în două feluri.

Definiție. Fie $k>0$ un număr real. Spunem că punctul $M$ împarte segmentul $[AB]$ în raportul $k$ dacă $M$ se află pe segmentul $[AB]$ și

$$\frac{AM}{MB}=k.$$

Cu alte cuvinte, $k$ este raportul dintre bucata dinspre $A$ și bucata dinspre $B$, în această ordine. Un raport $k=2$ înseamnă că $M$ este de două ori mai departe de $A$ decât de $B$, deci se află mai aproape de $B$.

Teoremă. Afixul punctului $M$ care împarte segmentul $[AB]$ în raportul $k$ este

$$z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}.$$

Demonstrație. Scriem $M$ prin parametrizarea de mai sus, $z_M=z_A+t(z_B-z_A)$, cu $t\in [0,1]$. Atunci $AM=t\cdot AB$ și $MB=(1-t)\cdot AB$, deci

$$k=\frac{AM}{MB}=\frac{t}{1-t}.$$

Rezolvăm în raport cu $t$: $k-kt=t$, deci $t=\frac{k}{1+k}$. Înlocuim:

$$z_M=z_A+\frac{k}{1+k}(z_B-z_A)=\frac{(1+k)z_A+k{z}_B-k{z}_A}{1+k}=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}.■$$

Formula se ține minte ușor observând un lucru: coeficientul lui $z_B$ este $k$, adică raportul „poartă" punctul spre celălalt capăt, iar numitorul este suma coeficienților, $1+k$. Este o medie ponderată: capătul mai depărtat primește ponderea mai mare.

Exemplu. Pentru $A(2+3i)$, $B(8+i)$ și $k=2$:

$$z_M=\frac{(2+3i)+2(8+i)}{3}=\frac{18+5i}{3}=6+\frac{5}{3}i.$$

Verificare, prin pătratele distanțelor. $z_M-z_A=4-\frac{4}{3}i$, deci $A{M}^2=16+\frac{16}{9}=\frac{160}{9}$. Apoi $z_B-z_M=2-\frac{2}{3}i$, deci $M{B}^2=4+\frac{4}{9}=\frac{40}{9}$. Raportul pătratelor este $\frac{160}{40}=4=2^2$, deci $\frac{AM}{MB}=2✓$

Cazuri particulare de reținut:

• $k=1$ dă $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$ — regăsim mijlocul, ca verificare a formulei;
• $k=2$ dă $z_M=\frac{z_A+2z_B}{3}$ — exact raportul care apare la centrul de greutate;
• $k$ foarte mic apropie $M$ de $A$, iar $k$ foarte mare îl apropie de $B$.

4. Diviziunea exterioară

Ce se întâmplă dacă cerem raportul $\frac{NA}{NB}=k$ pentru un punct $N$ situat pe dreapta $AB$, dar în afara segmentului? Formula se adaptează schimbând semnul: pentru $k\ne 1$,

$$z_N=\frac{z_A-k{z}_B}{1-k}.$$

Exemplu. Pentru $A(2+3i)$, $B(8+i)$ și $k=2$:

$$z_N=\frac{(2+3i)-2(8+i)}{1-2}=\frac{-14+i}{-1}=14-i.$$

Verificare: $z_N-z_A=12-4i$, deci $N{A}^2=144+16=160$; $z_N-z_B=6-2i$, deci $N{B}^2=36+4=40$. Raportul este $4=2^2✓$ Punctul $N$ se află dincolo de $B$, ceea ce se vede și din parametru: $z_N=z_A+2(z_B-z_A)$, adică $t=2>1$.

Reține deosebirea: la diviziunea interioară semnele sunt plus, la cea exterioară sunt minus. Dacă enunțul nu spune altfel, se subînțelege diviziunea interioară.

5. Centrul de greutate al unui triunghi

Aici lecția își atinge punctul culminant. Reamintim că mediana dintr-un vârf este segmentul care unește vârful cu mijlocul laturii opuse, iar centrul de greutate este punctul în care se întâlnesc medianele — punctul în care o placă triunghiulară omogenă se echilibrează pe vârful unui creion.

Teoremă. Fie triunghiul $ABC$ cu vârfurile de afixe $z_A$, $z_B$, $z_C$. Cele trei mediane sunt concurente, iar punctul lor comun $G$ are afixul

$$z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}.$$

Demonstrație. Notăm cu $M_a$ mijlocul laturii $[BC]$, deci $z_{M_a}=\frac{z_B+z_C}{2}$. Folosim proprietatea, cunoscută din gimnaziu, că centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2$, socotit dinspre vârf: $\frac{AG}{G{M}_a}=2$. Aplicăm formula raportului dat pe segmentul $[A{M}_a]$, cu $k=2$:

$$z_G=\frac{z_A+2z_{M_a}}{1+2}=\frac{z_A+2\cdot \frac{z_B+z_C}{2}}{3}=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}.$$

Rezultatul obținut este simetric în $z_A$, $z_B$, $z_C$: dacă am fi pornit de la mediana din $B$ sau de la cea din $C$, am fi ajuns la exact același număr. Prin urmare punctul aflat pe fiecare mediană, la două treimi de vârf, este unul și același — cele trei mediane sunt concurente în el. $■$

Este una dintre cele mai frumoase demonstrații pe care le poți da cu numere complexe: concurența medianelor, o teoremă care în geometria sintetică cere o construcție ingenioasă, iese aici din simpla observație că o expresie este simetrică.

Formularea de reținut: afixul centrului de greutate este media aritmetică a afixelor celor trei vârfuri.

Exemplu complet. Fie $A(2+2i)$, $B(8+4i)$, $C(2+6i)$. Atunci

$$z_G=\frac{(2+2i)+(8+4i)+(2+6i)}{3}=\frac{12+12i}{3}=4+4i.$$

Verificare pe una dintre mediane. Mijlocul laturii $[BC]$ este $z_{M_a}=\frac{(8+4i)+(2+6i)}{2}=\frac{10+10i}{2}=5+5i$. Verificăm raportul: $z_G-z_A=2+2i$, deci $A{G}^2=8$; $z_{M_a}-z_G=1+i$, deci $G{M}_a^2=2$. Raportul pătratelor este $4$, deci $\frac{AG}{G{M}_a}=2✓$

Verificare pe a doua mediană. Mijlocul lui $[CA]$ este $z_{M_b}=\frac{(2+6i)+(2+2i)}{2}=2+4i$. Atunci $z_G-z_B=-4$, deci $B{G}^2=16$, iar $z_{M_b}-z_G=-2$, deci $G{M}_b^2=4$; raportul este tot $4✓$

6. Trei aplicații imediate

Formulele de mai sus rezolvă instantaneu trei tipuri de probleme care apar des.

a) Simetricul unui punct față de un punct. Punctul $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $M$ exact când $M$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$, deci $z_M=\frac{z_A+z_{A^{\prime }}}{2}$, de unde

$$z_{A^{\prime }}=2z_M-z_A.$$

Exemplu. Simetricul lui $A(2+3i)$ față de $M(5+2i)$ este $2(5+2i)-(2+3i)=(10+4i)-(2+3i)=8+i$ — chiar punctul $B$ din exemplele anterioare, ceea ce era de așteptat, pentru că $M$ era mijlocul lui $[AB]$.

b) Al patrulea vârf al unui paralelogram. Într-un paralelogram $ABCD$, diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc. Egalând afixele mijloacelor, $\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{z_B+z_D}{2}$, obținem

$$z_D=z_A+z_C-z_B.$$

Exemplu. Pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$:

$$z_D=(1+i)+(4+6i)-(5+2i)=5i.$$

Verificare: mijlocul lui $[AC]$ este $\frac{5+7i}{2}$, iar mijlocul lui $[BD]$ este $\frac{(5+2i)+5i}{2}=\frac{5+7i}{2}$ — același punct $✓$ În plus, laturile opuse sunt egale: $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=4+i$, ambele de modul $\sqrt{17}$.

Atenție la ordinea literelor. Formula este valabilă pentru paralelogramul $ABCD$, adică pentru cel în care $[AC]$ și $[BD]$ sunt diagonalele. Dacă enunțul numerotează vârfurile altfel, formula se schimbă — verifică întotdeauna care perechi de vârfuri sunt opuse.

c) Problema inversă: un vârf, din centrul de greutate. Din $z_A+z_B+z_C=3z_G$ se scoate imediat oricare dintre vârfuri:

$$z_C=3z_G-z_A-z_B.$$

Exemplu. Dacă $G(4+4i)$, $A(2+2i)$ și $B(8+4i)$, atunci

$$z_C=3(4+4i)-(2+2i)-(8+4i)=(12+12i)-(10+6i)=2+6i✓$$

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mijlocul unui segment

Determinați afixul mijlocului segmentului $[AB]$, unde $A(2+3i)$ și $B(8+i)$, și verificați rezultatul prin distanțe.

Rezolvare. $z_M=\frac{(2+3i)+(8+i)}{2}=\frac{10+4i}{2}=5+2i$.

Verificare: $M{A}^2=|(2+3i)-(5+2i){|}^2=|-3+i{|}^2=10$ și $M{B}^2=|(8+i)-(5+2i){|}^2=|3-i{|}^2=10$: distanțe egale $✓$ În plus $A{B}^2=|6-2i{|}^2=40=4\cdot 10$, deci $AB=2\cdot MA✓$

Exemplul 2 — Punct într-un raport dat

Determinați afixul punctului $M$ care împarte segmentul $[AB]$ în raportul $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{2}$, unde $A(2+3i)$ și $B(8+i)$.

Rezolvare. Aplicăm formula cu $k=\frac{3}{2}$:

$$z_M=\frac{z_A+\frac{3}{2}{z}_B}{1+\frac{3}{2}}=\frac{2z_A+3z_B}{5}=\frac{2(2+3i)+3(8+i)}{5}=\frac{4+6i+24+3i}{5}=\frac{28+9i}{5}.$$

Deci $z_M=\frac{28}{5}+\frac{9}{5}i$.

Verificare: $z_M-z_A=\frac{18}{5}-\frac{6}{5}i$, deci $A{M}^2=\frac{324+36}{25}=\frac{360}{25}$; $z_B-z_M=\frac{12}{5}-\frac{4}{5}i$, deci $M{B}^2=\frac{144+16}{25}=\frac{160}{25}$. Raportul pătratelor este $\frac{360}{160}=\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2✓$

Observație de tehnică: amplificarea cu $2$ a fracției din formulă, făcută încă de la început, elimină fracțiile etajate și scurtează calculul.

Exemplul 3 — Centrul de greutate

Determinați afixul centrului de greutate al triunghiului $ABC$, cu $A(2+2i)$, $B(8+4i)$, $C(2+6i)$, și verificați pe mediana din $A$.

Rezolvare. $z_G=\frac{(2+2i)+(8+4i)+(2+6i)}{3}=\frac{12+12i}{3}=4+4i$.

Verificare. Mijlocul lui $[BC]$ are afixul $\frac{(8+4i)+(2+6i)}{2}=5+5i$. Verificăm mai întâi că $G$ se află pe mediană: $z_G-z_A=2+2i$ și $z_{M_a}-z_A=3+3i$, iar raportul lor este $\frac{2+2i}{3+3i}=\frac{2}{3}$, număr real — deci cele trei puncte sunt coliniare. Apoi verificăm raportul: $A{G}^2=|2+2i{|}^2=8$ și $G{M}_a^2=|1+i{|}^2=2$, deci $\frac{A{G}^2}{G{M}_a^2}=4$ și $\frac{AG}{G{M}_a}=2✓$

Exemplul 4 — Al patrulea vârf al unui paralelogram

Determinați afixul vârfului $D$ al paralelogramului $ABCD$, știind că $A(1+i)$, $B(5+2i)$ și $C(4+6i)$.

Rezolvare. În paralelogramul $ABCD$ diagonalele sunt $[AC]$ și $[BD]$, iar ele au același mijloc, deci $z_A+z_C=z_B+z_D$:

$$z_D=z_A+z_C-z_B=(1+i)+(4+6i)-(5+2i)=5i.$$

Verificare: mijlocul comun este $\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{5+7i}{2}$, iar $\frac{z_B+z_D}{2}=\frac{5+7i}{2}✓$ Laturile opuse: $z_B-z_A=4+i$ și $z_C-z_D=4+i$ — egale, deci și paralele, și de aceeași lungime $\sqrt{17}$.

Exemplul 5 — Problema inversă

Centrul de greutate al triunghiului $ABC$ are afixul $4+4i$, iar $A(2+2i)$ și $B(8+4i)$. Determinați afixul lui $C$ și aria triunghiului.

Rezolvare. Din $z_A+z_B+z_C=3z_G$:

$$z_C=3(4+4i)-(2+2i)-(8+4i)=(12+12i)-(10+6i)=2+6i.$$

Pentru arie, observăm că $z_C-z_A=4i$: latura $AC$ este verticală, de lungime $4$. Vârfurile $A$ și $C$ au aceeași parte reală, $2$, iar $B$ are partea reală $8$, deci $B$ se află la $8-2=6$ unități pe orizontală față de latura $AC$ — aceasta este înălțimea din $B$. Așadar

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.$$

Verificare: $z_B-z_A=6+2i$, iar raportul $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{4i}{6+2i}=\frac{4i(6-2i)}{40}=\frac{8+24i}{40}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$ nu este nici real, nici pur imaginar, deci — după criteriile din lecția Distanțe și unghiuri în planul complex — triunghiul este nedegenerat și nu are unghi drept în $A✓$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În planul complex se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $z_A=2+2i$, $z_B=8+4i$, $z_C=2+6i$.

a) Determinați afixul mijlocului $M$ al laturii $[BC]$.

b) Determinați afixul centrului de greutate $G$ al triunghiului $ABC$.

c) Arătați că punctele $A$, $G$, $M$ sunt coliniare și că $AG=2\cdot GM$.

Rezolvare. a) $z_M=\frac{z_B+z_C}{2}=\frac{(8+4i)+(2+6i)}{2}=\frac{10+10i}{2}=5+5i$.

b) $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{12+12i}{3}=4+4i$.

c) Calculăm cele două diferențe: $z_G-z_A=2+2i$ și $z_M-z_A=3+3i$. Raportul lor este

$$\frac{z_G-z_A}{z_M-z_A}=\frac{2+2i}{3+3i}=\frac{2(1+i)}{3(1+i)}=\frac{2}{3},$$

număr real, deci punctele $A$, $G$, $M$ sunt coliniare. Mai mult, din $z_G-z_A=\frac{2}{3}(z_M-z_A)$ rezultă $AG=\frac{2}{3}\cdot AM$, deci $GM=\frac{1}{3}\cdot AM$ și prin urmare $AG=2\cdot GM$.

Control prin pătrate: $A{G}^2=|2+2i{|}^2=8$, $G{M}^2=|1+i{|}^2=2$, iar $8=4\cdot 2✓$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare rezultat, fă verificarea prin pătratele distanțelor — este cel mai rapid mod de a prinde o greșeală de semn.

1. Determină afixul mijlocului segmentului $[AB]$, pentru $A(2+3i)$ și $B(8+i)$.

2. Determină afixul mijlocului segmentului $[AB]$, pentru $A(-3+4i)$ și $B(7-2i)$.

3. Verifică, prin pătratele distanțelor, că punctul găsit la exercițiul 1 este egal depărtat de $A$ și de $B$.

4. Determină afixul punctului $M$ care împarte segmentul $[AB]$ în raportul $\frac{AM}{MB}=2$, pentru $A(2+3i)$ și $B(8+i)$.

5. Determină afixul punctului $M$ care împarte segmentul $[AB]$ în raportul $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{2}$, pentru aceleași puncte.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul care împarte segmentul $[AB]$ în raportul $k=3$ se află mai aproape de $A$ decât de $B$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Afixul centrului de greutate al unui triunghi este media aritmetică a afixelor vârfurilor."

8. Determină afixul centrului de greutate al triunghiului cu vârfurile $A(2+2i)$, $B(8+4i)$, $C(2+6i)$.

9. Pentru triunghiul de la exercițiul precedent, determină afixele mijloacelor celor trei laturi.

10. Verifică, pentru același triunghi, că $G$ se află pe mediana din $B$ și că o împarte în raportul $2$.

11. Determină afixul simetricului punctului $A(2+3i)$ față de punctul $M(5+2i)$.

12. Determină afixul vârfului $D$ al paralelogramului $ABCD$, pentru $A(1+i)$, $B(5+2i)$, $C(4+6i)$, și verifică prin mijlocul comun al diagonalelor.

13. Centrul de greutate al triunghiului $ABC$ are afixul $4+4i$, iar $A(2+2i)$ și $B(8+4i)$. Determină afixul lui $C$.

14. (Problemă aplicată.) Trei senzori sunt amplasați în punctele de afixe $2+2i$, $8+4i$ și $2+6i$ (coordonatele în sute de metri). Unitatea centrală trebuie așezată în centrul de greutate al triunghiului format de ei. a) Determină afixul locului ei. b) Calculează distanța de la unitatea centrală la primul senzor.

15. Determină afixul punctului $N$ de pe dreapta $AB$, exterior segmentului, pentru care $\frac{NA}{NB}=2$, cu $A(2+3i)$ și $B(8+i)$.

16. Se dau $A(1+i)$ și $B(9+5i)$. Determină afixele punctelor care împart segmentul $[AB]$ în patru părți egale.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ de afixe $2+2i$, $8+4i$, $2+6i$. a) Determinați afixul mijlocului $M$ al laturii $[BC]$. b) Determinați afixul centrului de greutate $G$. c) Arătați că $A$, $G$, $M$ sunt coliniare și că $AG=2\cdot GM$.

18. (Provocare.) Fie $ABCD$ un patrulater oarecare și fie $P$, $Q$, $R$, $S$ mijloacele laturilor $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Arată, folosind afixele, că $PQRS$ este paralelogram.

Răspunsuri și explicații

1. $z_M=\frac{(2+3i)+(8+i)}{2}=\frac{10+4i}{2}=5+2i$.

2. $z_M=\frac{(-3+4i)+(7-2i)}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$. Verificare: $M{A}^2=|-5+3i{|}^2=34$ și $M{B}^2=|5-3i{|}^2=34✓$

3. $M{A}^2=|(2+3i)-(5+2i){|}^2=|-3+i{|}^2=9+1=10$; $M{B}^2=|(8+i)-(5+2i){|}^2=|3-i{|}^2=10$. Egale, deci $MA=MB$.

4. $z_M=\frac{z_A+2z_B}{3}=\frac{(2+3i)+(16+2i)}{3}=\frac{18+5i}{3}=6+\frac{5}{3}i$. Verificare: $A{M}^2={\left|4-\frac{4}{3}i\right|}^2=\frac{160}{9}$, $M{B}^2={\left|2-\frac{2}{3}i\right|}^2=\frac{40}{9}$, iar raportul este $4=2^2✓$

5. $z_M=\frac{2z_A+3z_B}{5}=\frac{(4+6i)+(24+3i)}{5}=\frac{28+9i}{5}=\frac{28}{5}+\frac{9}{5}i$. Verificare: raportul pătratelor distanțelor este $\frac{360/25}{160/25}=\frac{9}{4}✓$

6. Fals. Raportul $k=\frac{AM}{MB}=3$ înseamnă $AM=3\cdot MB$, deci bucata dinspre $A$ este mai lungă: punctul este mai aproape de $B$. Confirmă și formula, $z_M=\frac{z_A+3z_B}{4}$, în care $z_B$ are ponderea mai mare.

7. Adevărat. $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$, ceea ce este exact media aritmetică a celor trei afixe. Rezultatul se obține aplicând formula raportului $k=2$ pe o mediană și observând că expresia finală este simetrică în cele trei afixe.

8. $z_G=\frac{(2+2i)+(8+4i)+(2+6i)}{3}=\frac{12+12i}{3}=4+4i$.

9. Mijlocul lui $[BC]$: $\frac{(8+4i)+(2+6i)}{2}=5+5i$. Mijlocul lui $[CA]$: $\frac{(2+6i)+(2+2i)}{2}=2+4i$. Mijlocul lui $[AB]$: $\frac{(2+2i)+(8+4i)}{2}=5+3i$.

10. Mediana din $B$ unește $B(8+4i)$ cu $M_b(2+4i)$. Coliniaritate: $z_G-z_B=-4$ și $z_{M_b}-z_B=-6$, iar raportul este $\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$, real $✓$ Raport: $B{G}^2=16$ și $G{M}_b^2=|-2{|}^2=4$, deci $\frac{BG}{G{M}_b}=2✓$

11. $z_{A^{\prime }}=2z_M-z_A=2(5+2i)-(2+3i)=(10+4i)-(2+3i)=8+i$. Verificare: mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$ este $\frac{(2+3i)+(8+i)}{2}=5+2i=z_M✓$

12. $z_D=z_A+z_C-z_B=(1+i)+(4+6i)-(5+2i)=5i$. Verificare: $\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{5+7i}{2}$ și $\frac{z_B+z_D}{2}=\frac{5+7i}{2}$ — același punct $✓$

13. $z_C=3z_G-z_A-z_B=(12+12i)-(2+2i)-(8+4i)=2+6i$.

14. a) $z_G=\frac{(2+2i)+(8+4i)+(2+6i)}{3}=4+4i$, adică punctul de coordonate $(400,400)$ metri. b) $z_G-z_A=2+2i$, deci distanța este $|2+2i|=2\sqrt{2}$ sute de metri, adică $200\sqrt{2}$ metri.

15. $z_N=\frac{z_A-2z_B}{1-2}=\frac{(2+3i)-(16+2i)}{-1}=\frac{-14+i}{-1}=14-i$. Verificare: $N{A}^2=|12-4i{|}^2=160$ și $N{B}^2=|6-2i{|}^2=40$, cu raportul $4=2^2✓$ Punctul se află dincolo de $B$.

16. Folosim parametrizarea $z=z_A+t(z_B-z_A)$, cu $z_B-z_A=8+4i$, pentru $t\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}$: $$t=\frac{1}{4}:(1+i)+(2+i)=3+2i;t=\frac{1}{2}:5+3i;t=\frac{3}{4}:(1+i)+(6+3i)=7+4i.$$ Verificare: punctele sunt egal distanțate, pentru că diferențele consecutive sunt toate egale cu $2+i$.

17. a) $z_M=5+5i$. b) $z_G=4+4i$. c) $z_G-z_A=2+2i$ și $z_M-z_A=3+3i$, iar raportul lor este $\frac{2}{3}$, număr real, deci punctele sunt coliniare. Din $z_G-z_A=\frac{2}{3}(z_M-z_A)$ rezultă $AG=\frac{2}{3}AM$ și $GM=\frac{1}{3}AM$, deci $AG=2\cdot GM$. Control: $A{G}^2=8=4\cdot 2=4\cdot G{M}^2✓$

18. Afixele mijloacelor sunt $z_P=\frac{z_A+z_B}{2}$, $z_Q=\frac{z_B+z_C}{2}$, $z_R=\frac{z_C+z_D}{2}$, $z_S=\frac{z_D+z_A}{2}$. Calculăm două laturi opuse ale patrulaterului $PQRS$: $$z_Q-z_P=\frac{z_C-z_A}{2},z_R-z_S=\frac{z_C-z_A}{2}.$$ Cele două diferențe sunt egale, deci laturile $[PQ]$ și $[SR]$ sunt paralele și de aceeași lungime — prin urmare $PQRS$ este paralelogram. (Rezultatul, cunoscut ca teorema lui Varignon, este valabil pentru orice patrulater, chiar și pentru unul neconvex.) Un al doilea argument, la fel de scurt: $z_P+z_R=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{2}=z_Q+z_S$, deci diagonalele lui $PQRS$ au același mijloc.

De reținut

• Mijlocul: $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$ — afixul mijlocului este media aritmetică a afixelor capetelor.
• Parametrizarea segmentului: $z=(1-t)z_A+t{z}_B$, cu $t\in [0,1]$; parametrul $t$ arată ce fracțiune din drumul de la $A$ la $B$ ai parcurs, iar $t$ real oarecare descrie toată dreapta $AB$.
• Raportul dat: dacă $M$ este pe segmentul $[AB]$ și $\frac{AM}{MB}=k$, atunci $z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}$ — o medie ponderată, în care capătul mai depărtat primește ponderea mai mare. Pentru $k=1$ se regăsește mijlocul.
• Centrul de greutate: $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$; simetria acestei expresii demonstrează totodată că cele trei mediane sunt concurente și că $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2$, socotit dinspre vârf.
• Trei consecințe utile: simetricul lui $A$ față de $M$ are afixul $2z_M-z_A$; al patrulea vârf al paralelogramului $ABCD$ are afixul $z_A+z_C-z_B$; iar dintr-un centru de greutate și două vârfuri se află al treilea, $z_C=3z_G-z_A-z_B$.

Greșeli frecvente

• Inversezi raportul. Convenția este $\frac{AM}{MB}=k$, cu bucata dinspre $A$ la numărător. Un $k$ mare înseamnă că $M$ este departe de $A$, deci aproape de $B$ — intuiția spune adesea invers.
• Pui ponderile pe dos în formulă. În $z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}$, factorul $k$ stă lângă $z_B$, nu lângă $z_A$. Un control rapid: pune $k=1$ și verifică dacă obții mijlocul.
• Împarți la $3$ doar o parte din sumă. La centrul de greutate se împarte întreaga sumă a celor trei afixe; scrierea $z_A+\frac{z_B+z_C}{3}$ este greșită, chiar dacă seamănă.
• Confunzi ordinea vârfurilor la paralelogram. Formula $z_D=z_A+z_C-z_B$ este valabilă pentru paralelogramul $ABCD$, în care $[AC]$ și $[BD]$ sunt diagonalele. Verifică întotdeauna care vârfuri sunt opuse înainte de a aplica formula.
• Nu verifici nimic la final. Cea mai rapidă verificare este cu pătratele distanțelor: raportul $\frac{A{M}^2}{M{B}^2}$ trebuie să fie exact $k^2$. Dacă iese altceva, ai greșit o pondere sau un semn.

Aplică acasă

1. Punctul de echilibru. Decupează din carton un triunghi oarecare și marchează mijlocul fiecărei laturi. Trasează cele trei mediane și verifică faptul că se întâlnesc într-un singur punct. Încearcă apoi să echilibrezi cartonul pe vârful unui creion exact în acel punct — acesta este sensul fizic al centrului de greutate.

2. Raportul măsurat. Desenează un segment de $10$ cm pe hârtie milimetrică, atribuie capetelor afixe la alegere și calculează afixul punctului care îl împarte în raportul $\frac{3}{2}$. Măsoară apoi cu rigla cele două bucăți și verifică dacă raportul lungimilor este într-adevăr $1,5$.

3. Paralelogramul din mijloace. Desenează un patrulater oarecare, chiar și unul „strâmb", marchează mijloacele laturilor și unește-le în ordine. Verifică cu rigla că laturile opuse ale figurii obținute sunt egale — este teorema lui Varignon, demonstrată la exercițiul 18.

Pentru părinți și profesori

Lecția arată de ce numerele complexe sunt un instrument atât de eficient în geometrie: o construcție care în limbaj sintetic cere o figură și un raționament devine aici o formulă de o linie. Miza pedagogică este ca elevul să nu memoreze trei formule separate, ci să vadă că toate sunt aceeași idee — o medie ponderată de afixe — și că mijlocul și centrul de greutate sunt cazuri particulare ale ei.

Ce verifică lecția: aplicarea corectă a formulei mijlocului, înțelegerea convenției pentru raportul dat (cu bucata dinspre $A$ la numărător), deducerea formulei centrului de greutate din formula raportului, folosirea ei în ambele sensuri și verificarea sistematică prin pătratele distanțelor. Întrebări bune de control: „Dacă $k=3$, punctul e mai aproape de care capăt?"; „De ce demonstrația centrului de greutate arată și că medianele sunt concurente?"; „Cum afli al patrulea vârf al unui paralelogram?". Un semn că a înțeles: verifică singur, fără să i se ceară, dacă $k=1$ readuce formula la mijloc.

La Bacalaureat M1, aceste formule apar rareori singure; de obicei ele sunt primul pas dintr-o problemă mai lungă, în care urmează un calcul de distanță, o coliniaritate sau o arie. Cerința tipică este în trei pași: mijlocul unei laturi, centrul de greutate, apoi o proprietate de demonstrat (coliniaritate și raport). Baremul cere justificarea coliniarității, nu doar afirmarea ei, iar justificarea așteptată este exact cea din lecție: raportul a două diferențe de afixe este un număr real.

Întrebări frecvente

Care este formula afixului mijlocului unui segment? $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$, adică media aritmetică a afixelor capetelor. Se demonstrează din faptul că deplasarea de la $A$ la $M$ este egală cu cea de la $M$ la $B$, ceea ce dă $z_M-z_A=z_B-z_M$.

Ce înseamnă că un punct împarte un segment într-un raport dat? Înseamnă că $M$ se află pe segmentul $[AB]$ și că raportul dintre bucata dinspre $A$ și bucata dinspre $B$ are o valoare dată: $\frac{AM}{MB}=k$. Ordinea este esențială, pentru că raportul $\frac{MB}{AM}$ ar fi $\frac{1}{k}$.

Care este formula pentru afixul acelui punct? $z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k}$. Este o medie ponderată: numitorul este suma ponderilor, iar ponderea $k$ însoțește capătul $B$. Pentru $k=1$ formula redă mijlocul segmentului.

Cum se calculează afixul centrului de greutate al unui triunghi? Ca media aritmetică a afixelor celor trei vârfuri: $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$. Formula se obține aplicând raportul $k=2$ pe o mediană, pentru că centrul de greutate se află la două treimi de vârf.

De ce demonstrația arată și că medianele sunt concurente? Pentru că expresia obținută, $\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$, este simetrică în cele trei afixe: pornind de la oricare dintre mediane se ajunge la același număr. Deci punctul situat pe fiecare mediană, la două treimi de vârf, este unul și același.

Cum aflu al patrulea vârf al unui paralelogram? Folosind faptul că diagonalele au același mijloc: în paralelogramul $ABCD$ avem $z_A+z_C=z_B+z_D$, de unde $z_D=z_A+z_C-z_B$. Verifică întâi care perechi de vârfuri sunt opuse, pentru că formula depinde de ordinea literelor.

Cum determin simetricul unui punct față de alt punct? Din condiția ca punctul-centru să fie mijlocul segmentului: dacă $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de $M$, atunci $z_{A^{\prime }}=2z_M-z_A$. Verificarea se face imediat, calculând mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$.

Pot folosi formulele și dacă punctul se află în afara segmentului? Da, dar cu semne schimbate: pentru un punct $N$ de pe dreapta $AB$, exterior segmentului, cu $\frac{NA}{NB}=k\ne 1$, afixul este $z_N=\frac{z_A-k{z}_B}{1-k}$. Când enunțul nu precizează nimic, se subînțelege diviziunea interioară.