Mijloc, centru de greutate, raport: pe scurt

Afixul mijlocului segmentului $[AB]$ este media aritmetică a capetelor: $z_M=\frac{z_A+z_B}{2}$. Mai general, un punct $M$ care împarte $[AB]$ în raportul $k$ (adică $\frac{AM}{MB}=k$) are afixul

$$z_M=\frac{z_A+k{z}_B}{1+k},$$

o medie ponderată în care capătul mai depărtat, $B$, primește ponderea $k$. Pentru $k=1$ se regăsește mijlocul. La diviziunea exterioară (punctul e pe dreaptă, dar în afara segmentului), semnele devin minus: $z_N=\frac{z_A-k{z}_B}{1-k}$.

Afixul centrului de greutate al unui triunghi este media aritmetică a celor trei vârfuri, $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$ — obținută aplicând formula raportului cu $k=2$ pe o mediană; simetria expresiei finale în $z_A,z_B,z_C$ demonstrează, ca produs secundar, că cele trei mediane sunt concurente.

Trei consecințe rapide: simetricul lui $A$ față de $M$ are afixul $2z_M-z_A$; al patrulea vârf al paralelogramului $ABCD$ (cu diagonalele $[AC]$ și $[BD]$) are afixul $z_D=z_A+z_C-z_B$; iar dintr-un centru de greutate și două vârfuri se află al treilea, $z_C=3z_G-z_A-z_B$.

Parametrizarea generală a unui segment, $z=(1-t)z_A+t{z}_B$ cu $t\in [0,1]$, arată ce fracțiune din drumul $A\to B$ ai parcurs: $t=0$ dă $A$, $t=1$ dă $B$, iar orice $t$ real, nu doar din $[0,1]$, descrie toată dreapta $AB$ — sămânța criteriului de coliniaritate din lecția următoare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați afixul mijlocului segmentului $[AB]$, pentru $A(3+2i)$ și $B(9+8i)$.

   • a) $6+5i$
   • b) $12+10i$
   • c) $3+3i$
   • d) $6+4i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $6+5i$

   $z_M=\frac{(3+2i)+(9+8i)}{2}=\frac{12+10i}{2}=6+5i$.

2. Punctul $M$ împarte segmentul $[AB]$ în raportul $\frac{AM}{MB}=3$, cu $A(0)$ și $B(8+4i)$. Calculați afixul lui $M$.

   • a) $2+i$
   • b) $6+3i$
   • c) $24+12i$
   • d) $8+4i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $6+3i$

   $z_M=\frac{z_A+3z_B}{4}=\frac{0+3(8+4i)}{4}=\frac{24+12i}{4}=6+3i$.

3. Care este afixul centrului de greutate al triunghiului cu vârfurile $A(3+i)$, $B(9+4i)$, $C(3+10i)$?

   • a) $3+5i$
   • b) $15+15i$
   • c) $5+5i$
   • d) $5+3i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5+5i$

   $z_G=\frac{(3+i)+(9+4i)+(3+10i)}{3}=\frac{15+15i}{3}=5+5i$.