Aria dintre două curbe (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Doi puieți plantați în aceeași zi cresc cu ritmuri diferite. Două probe de sol absorb apa altfel. Doi senzori așezați la capetele unei sere înregistrează, oră de oră, valori care se apropie și se depărtează. De fiecare dată, pe același grafic apar două curbe, iar întrebarea care contează nu este cât valorează fiecare, ci cât se strâng ele în fâșia dintre ele. La clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), fâșia aceea are o arie, iar aria ei se calculează cu o singură integrală. La Bacalaureatul M2 cerințele de acest fel se dau la Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică.

Tema este în programa de examen valabilă pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029 — cea din 2014 —, la capitolul „Aplicații ale integralei definite", rândul „Aria unei suprafețe plane", iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală cerințele de analiză de clasa a XII-a se află în problema a doua a Subiectului al III-lea. Pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030 ea apare scrisă chiar cu numele acesta, în domeniul Analiză matematică: „aria suprafeței delimitate de două curbe". Este, deci, materie pentru amândouă generațiile.

Ce vei învăța

Vei ști să descrii regiunea cuprinsă între două grafice și să scrii formula ariei ei.
Vei ști să afli capetele de integrare rezolvând ecuația $f (x) = g (x)$ , atunci când enunțul nu dă intervalul.
Vei ști să hotărăști în ce ordine se scad cele două funcții, citind semnul diferenței lor.
Vei ști să scrii aria ca sumă de integrale când ordinea celor două grafice se schimbă în interiorul intervalului.
Vei ști să verifici rezultatul pe o figură din gimnaziu, atunci când marginile sunt drepte.
Vei ști să citești aria dintre două curbe într-un model din științe și să-i dai unitatea potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este regiunea cuprinsă între două grafice?

La aria subgraficului, cu schimbare de semn marginea de jos a regiunii era mereu aceeași: axa $O x$ . Acum ea este înlocuită de un al doilea grafic.

Fie $f$ și $g$ două funcții continue pe intervalul $[a, b]$ , cu $g (x) \leq f (x)$ pentru orice $x$ din interval. Regiunea cuprinsă între graficele lor este mulțimea punctelor situate deasupra graficului lui $g$ și sub graficul lui $f$ , pe fâșia tăiată de dreptele verticale $x = a$ și $x = b$ :

$D = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, g (x) \leq y \leq f (x)},$

iar aria ei este $S (D) = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ .

Condiția $g \leq f$ nu este un amănunt: ea hotărăște ce se scade din ce. Dacă graficele se încrucișează undeva înăuntrul intervalului, formula nu se pierde — se aplică separat pe fiecare bucată, scăzând pe fiecare dintre ele funcția mai mică din cea mai mare.

2. De ce se scade „de jos" din „de sus"?

Fixează un $x$ oarecare din interval și taie regiunea cu verticala care trece prin el. Segmentul tăiat are capetele pe cele două grafice, deci lungimea lui este $f (x) - g (x)$ — diferența ordonatelor, în ordinea care dă un număr pozitiv. Aria se adună din contribuțiile acestor segmente, exact cum aria de sub un grafic se aduna din înălțimile $f (x)$ . Numai marginea de jos s-a schimbat: nu mai este zero, ci $g (x)$ .

Verifică pe o figură al cărei răspuns îl știi din gimnaziu. Fie $f (x) = 4 x + 1$ și $g (x) = x + 4$ pe intervalul $[2, 6]$ . Diferența este $f (x) - g (x) = 3 x - 3$ , pozitivă pe tot intervalul, fiindcă singurul ei zerou este $1$ , aflat în stânga lui $2$ . Atunci

$S = \int_{2}^{6} (3 x - 3) d x = (\frac{3 x ^{2}}{2} - 3 x)_{2}^{6} = (54 - 18) - (6 - 6) = 36.$

Regiunea este un trapez: are două laturi pe verticalele $x = 2$ și $x = 6$ , iar celelalte două pe drepte. Bazele lui sunt segmentele verticale din capete, de lungimi $f (2) - g (2) = 3$ și $f (6) - g (6) = 15$ , iar înălțimea este $6 - 2 = 4$ . Formula din gimnaziu dă $\frac{( 3 + 15 ) \cdot 4}{2} = 36$ . Coincide — și tocmai coincidența aceasta este argumentul că integrala diferenței măsoară într-adevăr ce numim arie.

3. De unde iau capetele când enunțul nu dă intervalul?

Multe enunțuri spun doar „aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$ ", fără nicio dreaptă verticală. Atunci marginile laterale ale regiunii sunt chiar punctele în care cele două grafice se întâlnesc, iar abscisele lor se află rezolvând ecuația

$f (x) = g (x) .$

Ia $f (x) = 4 x - 1$ și $g (x) = x^{2} - 3 x + 5$ . Ecuația $4 x - 1 = x^{2} - 3 x + 5$ se aduce la $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $6$ . Verificarea se face prin înlocuire, în amândouă funcțiile: $f (1) = 3$ și $g (1) = 1 - 3 + 5 = 3$ ; $f (6) = 23$ și $g (6) = 36 - 18 + 5 = 23$ . Pe intervalul dintre ele, diferența $f (x) - g (x) = - x^{2} + 7 x - 6$ este pozitivă: coeficientul dominant fiind negativ, semnul dintre rădăcini este contrar lui, adică plus. Deci

$S = \int_{1}^{6} (- x^{2} + 7 x - 6) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{7 x ^{2}}{2} - 6 x)_{1}^{6} = 18 - (- \frac{17}{6}) = \frac{125}{6} .$

Două atenționări de citire a enunțului. Prima: în integrală intră numai abscisele punctelor de intersecție; ordonatele lor servesc la desen și la verificare, nu la calcul. A doua: dacă ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluții reale, graficele nu se ating nicăieri și nu mărginesc nicio suprafață — atunci enunțul trebuie să dea el dreptele verticale.

4. Cine este deasupra? Tabelul de semn al diferenței

Când intervalul este dat în enunț, graficele se pot întâlni în interiorul lui, iar acolo ordinea se răstoarnă. Instrumentul care arată asta este același ca la lecția anterioară, doar că expresia căreia i se studiază semnul nu mai este $f$ , ci diferența $f - g$ ; formatul rămâne cel fixat la semnul unei funcții continue.

Fie $f (x) = x^{2} - 5 x + 10$ și $g (x) = 2 x + 4$ pe intervalul $[0, 4]$ . Diferența este $f (x) - g (x) = x^{2} - 7 x + 6$ , cu rădăcinile $1$ și $6$ ; dintre ele, numai $1$ se află în interiorul lui $[0, 4]$ :

$x$	$0$		$1$		$4$
$x^{2} - 7 x + 6$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$

Se citește: pe $[0, 1]$ este deasupra graficul lui $f$ , pe $[1, 4]$ este deasupra graficul lui $g$ . Aria se scrie atunci din două bucăți, fiecare cu ordinea ei:

$S = \int_{0}^{1} (x^{2} - 7 x + 6) d x + \int_{1}^{4} (- x^{2} + 7 x - 6) d x = \frac{17}{6} + \frac{27}{2} = \frac{49}{3} .$

Dacă ai scrie o singură integrală, pe tot $[0, 4]$ , ai obține $- \frac{32}{3}$ : un număr negativ, deci sigur nu o arie. Bucățile s-ar fi scăzut între ele, exact cum se scad bucățile de deasupra și de dedesubtul axei la lecția anterioară.

5. Aceleași patru întrebări, cu $f - g$ în locul lui $f$

Aici nu se învață o rețetă nouă. Cele patru întrebări de pe foaie, fixate la lecția precedentă, se aplică neschimbate diferenței celor două funcții:

Pe ce interval lucrez? Dacă enunțul dă drepte verticale, capetele sunt ale lor; dacă nu, sunt cea mai mică și cea mai mare soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ . Ambele funcții trebuie să fie continue acolo.
Unde se anulează diferența? Rezolvi $f (x) - g (x) = 0$ și reții numai soluțiile din interiorul intervalului. O intersecție aflată în afara lui nu rupe nimic; una care cade chiar într-un capăt, la fel.
Ce semn are diferența pe fiecare bucată? Alcătuiești tabelul de semn al lui $f - g$ .
Ce integrală scriu pe fiecare bucată? Iei $f - g$ acolo unde tabelul arată $+$ și $g - f$ acolo unde arată $-$ , apoi aduni.

Controlul rămâne același: fiecare termen al sumei trebuie să iasă pozitiv, iar rezultatul final nu poate fi negativ. Un control în plus, care nu costă nimic: alege un număr din mijlocul unei bucăți și compară acolo cele două valori ale funcțiilor; trebuie să fie mai mare chiar cea pe care tabelul o arată deasupra.

6. Ce înseamnă aria dintre două curbe într-un model?

Când pe verticală stau două rate de variație ale aceleiași mărimi, aria dintre curbe este diferența acumulată dintre cele două procese.

Într-o pepinieră se măsoară ritmul de creștere în înălțime a doi puieți, în centimetri pe lună. Primul crește cu $f (t) = 2 t + 5$ , al doilea cu $g (t) = t^{2} - 4 t + 10$ , unde $t$ este numărul de luni de la plantare, $t \in [1, 5]$ . Amândouă ritmurile sunt pozitive pe tot intervalul — al doilea are valoarea cea mai mică în $t = 2$ , unde ajunge la $6$ centimetri pe lună —, deci amândoi puieții cresc tot timpul.

Cele două ritmuri sunt egale la $t = 1$ și la $t = 5$ , fiindcă ecuația $2 t + 5 = t^{2} - 4 t + 10$ se aduce la $t^{2} - 6 t + 5 = 0$ . Între aceste momente, primul puiet crește mai repede:

$S = \int_{1}^{5} (- t^{2} + 6 t - 5) d t = (- \frac{t ^{3}}{3} + 3 t^{2} - 5 t)_{1}^{5} = \frac{25}{3} - (- \frac{7}{3}) = \frac{32}{3} .$

Unitatea este produsul unităților de pe cele două axe: centimetri pe lună ori luni, adică centimetri. În cele patru luni, primul puiet a câștigat $\frac{32}{3} \approx 10, 7$ centimetri de înălțime față de al doilea. Modelul are sens numai pe intervalul dat; în afara lui, ritmul $g$ crește nemărginit, ceea ce niciun puiet nu face.

7. Ce nu intră aici

Curbele care nu sunt grafice de funcții. Amândouă marginile regiunii se scriu aici sub forma $y = f (x)$ și $y = g (x)$ . Cercul și celelalte curbe din capitolul de conice al profilului matematică-informatică nu sunt grafice de funcții și nu apar în programa de la științe ale naturii, nici la clasă, nici la examen.

Funcțiile în afara gradului al doilea. La științe ale naturii, perechile pe care le vei întâlni sunt formate din funcții de gradul I și al doilea, pentru că ecuația lor de intersecție trebuie să se poată rezolva cu mijloacele clasei.

Corpurile de rotație. Ce se întâmplă când regiunea se rotește în jurul axei $O x$ este subiectul lecției despre volumul unui corp de rotație. Liniaritatea integralei, pe care am folosit-o de fiecare dată când am integrat o diferență, este demonstrată la proprietățile integralei definite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Capetele se află din ecuația de intersecție

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 9 x - 1$ și $g (x) = x^{2} + 5 x + 2$ .

Rezolvare. Intervalul nu este dat, deci îl aflăm din ecuația de intersecție: $9 x - 1 = x^{2} + 5 x + 2$ devine $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $3$ . Verificare: $f (1) = 8$ și $g (1) = 1 + 5 + 2 = 8$ ; $f (3) = 26$ și $g (3) = 9 + 15 + 2 = 26$ . Diferența este $f (x) - g (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ , pozitivă între rădăcini, deci dreapta este deasupra:

$S = \int_{1}^{3} (- x^{2} + 4 x - 3) d x = (- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 x)_{1}^{3} = 0 - (- \frac{4}{3}) = \frac{4}{3} .$

Exemplul 2 — Rădăcina pierdută prin împărțire

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = - x^{2} + 5 x + 6$ și $g (x) = x^{2} - x + 6$ .

Rezolvare. Din $- x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} - x + 6$ obținem $2 x^{2} - 6 x = 0$ , adică $2 x (x - 3) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $3$ . Atenție la pasul acesta: dacă împarți ecuația prin $x$ , pierzi soluția $x = 0$ și calculezi aria altei regiuni. Verificare: $f (0) = g (0) = 6$ și $f (3) = - 9 + 15 + 6 = 12$ , $g (3) = 9 - 3 + 6 = 12$ . Diferența este $f (x) - g (x) = - 2 x^{2} + 6 x$ , pozitivă pe $(0, 3)$ :

$S = \int_{0}^{3} (- 2 x^{2} + 6 x) d x = (- \frac{2 x ^{3}}{3} + 3 x^{2})_{0}^{3} = - 18 + 27 = 9.$

Exemplul 3 — Ordinea se schimbă în interiorul intervalului

Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 7 x + 30$ și $g (x) = 5 x + 3$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 5$ .

Rezolvare. Aici intervalul este dat, deci nu îl înlocuim cu intersecțiile. Diferența este $f (x) - g (x) = x^{2} - 12 x + 27$ , cu rădăcinile $3$ și $9$ ; numai $3$ este în interiorul lui $[1, 5]$ .

$x$	$1$		$3$		$5$
$x^{2} - 12 x + 27$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$

$S = \int_{1}^{3} (x^{2} - 12 x + 27) d x + \int_{3}^{5} (- x^{2} + 12 x - 27) d x = \frac{44}{3} + \frac{28}{3} = 24.$

Amândoi termenii au ieșit pozitivi. Control rapid: în $x = 2$ avem $f (2) = 20$ și $g (2) = 13$ , deci parabola este într-adevăr deasupra pe prima bucată.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 2 x^{2} - 18 x + 65$ și $g (x) = 4 x + 9$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 5$ . El scrie $S = \int_{2}^{5} (f (x) - g (x)) d x = 15$ și se oprește. Unde a greșit și cât este aria?

Rezolvare. Rezultatul lui este pozitiv, deci greșeala nu se vede din semn. Diferența este $2 x^{2} - 22 x + 56$ , cu rădăcinile $4$ și $7$ ; rădăcina $4$ este în interiorul intervalului, deci acolo ordinea se schimbă și aria cere două integrale:

$S = \int_{2}^{4} (2 x^{2} - 22 x + 56) d x + \int_{4}^{5} (- 2 x^{2} + 22 x - 56) d x = \frac{52}{3} + \frac{7}{3} = \frac{59}{3} .$

Elevul a calculat corect, dar altceva: $15$ este $\frac{52}{3} - \frac{7}{3}$ , adică bilanțul cu semn al celor două bucăți. Aria este $\frac{59}{3}$ . Ce a sărit este tabelul de semn al diferenței.

Exemplul 5 — Când funcțiile nu sunt date

Despre două funcții continue $f$ și $g$ se știe că $g (x) \leq f (x)$ pentru orice $x \in [a, b]$ , că $\int_{a}^{b} f (x) d x = 30$ și că $\int_{a}^{b} g (x) d x = 11$ . Calculează aria suprafeței cuprinse între graficele lor.

Rezolvare. Ordinea celor două funcții nu se schimbă pe interval, deci aria este integrala diferenței, iar liniaritatea o desface în două: $S = \int_{a}^{b} f - \int_{a}^{b} g = 30 - 11 = 19$ . Nu a fost nevoie nici de formulele funcțiilor, nici de capetele intervalului. Observă și că, fără ipoteza $g \leq f$ , scăderea $30 - 11$ nu ar fi însemnat o arie: ar fi fost doar un bilanț.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 7 x + 9$ și $g (x) = 2 x^{2} + 3 x - 7$ .

a) Arată că punctul $A (4, 37)$ aparține amândurora graficelor.

b) Determină abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice.

c) Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f$ și $g$ .

Rezolvare. a) $f (4) = 28 + 9 = 37$ și $g (4) = 32 + 12 - 7 = 37$ , deci $A$ se află pe amândouă graficele; el este chiar unul dintre punctele lor de intersecție.

b) Din $7 x + 9 = 2 x^{2} + 3 x - 7$ obținem $2 x^{2} - 4 x - 16 = 0$ , adică $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ , cu $Δ = 4 + 32 = 36$ , deci $x_{1} = - 2$ și $x_{2} = 4$ . A doua soluție confirmă punctul de la a).

c) Pe $(- 2, 4)$ diferența $f (x) - g (x) = - 2 x^{2} + 4 x + 16$ este pozitivă, fiindcă are coeficientul dominant negativ și rădăcinile $- 2$ și $4$ :

$S = \int_{- 2}^{4} (- 2 x^{2} + 4 x + 16) d x = (- \frac{2 x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + 16 x)_{- 2}^{4} = \frac{160}{3} - (- \frac{56}{3}) = 72.$

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Parcurge, de fiecare dată, cele patru întrebări de pe foaie, cu $f - g$ în locul lui $f$ , și verifică la final că fiecare termen al sumei a ieșit pozitiv.

1. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 9 x + 5$ și $g (x) = 2 x^{2} - 7 x + 35$ .

2. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 9 x - 2$ și $g (x) = 2 x^{2} - 3 x + 8$ .

3. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 4 x + 6$ și $g (x) = x^{2} - 5 x + 14$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Suprafața mărginită de graficele funcțiilor $f (x) = 7 x + 12$ și $g (x) = 5 x^{2} - 3 x + 12$ are aceeași arie ca suprafața mărginită de graficele funcțiilor $u (x) = - 3 x^{2} + 11 x + 9$ și $v (x) = 2 x^{2} + x + 9$ .

5. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 8 x + 25$ și $g (x) = 3 x + 7$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 5$ .

6. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 9 x + 7$ și $g (x) = 5 x^{2} + 19 x - 8$ .

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 9 x + 34$ și $g (x) = 4 x - 8$ și de dreptele $x = 2$ și $x = 7$ .

8. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 4 x + 13$ și $g (x) = 3 x^{2} + 16 x - 2$ .

9. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 5 x + 30$ și $g (x) = 5 x + 9$ și de dreptele $x = 1$ și $x = 5$ .

10. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 6 x + 22$ și $g (x) = 6 x + 2$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 4$ .

11. (Problemă aplicată.) În două bazine se cultivă alge. Biomasa din primul crește cu ritmul $f (t) = 7 t + 11$ , iar cea din al doilea cu ritmul $g (t) = t^{2} - 3 t + 20$ , amândouă în grame pe zi, unde $t$ este numărul de zile de la însămânțare, $t \in [1, 9]$ . Arată că ritmurile sunt egale la capetele intervalului și calculează diferența de biomasă acumulată între cele două bazine, cu unitatea de măsură.

12. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} + 2 x + 9$ și $g (x) = 6 x + 5$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 3$ , apoi spune în câte bucăți s-a rupt intervalul.

13. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 10 x - 30$ și $g (x) = x^{2} - 3 x - 8$ .

14. Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 4 x + 15$ și $g (x) = 5 x + 7$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 4$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f (x) = 5 x + 8$ și $g (x) = 3 x^{2} + 8 x - 10$ . a) Determină abscisele punctelor de intersecție a graficelor. b) Calculează aria suprafeței mărginite de cele două grafice.

16. Despre două funcții continue $f$ și $g$ se știe că $g (x) \leq f (x)$ pentru orice $x \in [2, 6]$ , că $\int_{2}^{6} f (x) d x = 41$ și că aria suprafeței cuprinse între graficele lor este $15$ . Calculează $\int_{2}^{6} g (x) d x$ și spune de ce același raționament nu s-ar putea face dacă una dintre margini ar fi un cerc.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = - 2 x^{2} + 10 x + 3$ și $g (x) = 3$ .

18. (Provocare.) Graficele funcțiilor $f (x) = 4 x + n$ și $g (x) = x^{2} + 2 x + 12$ mărginesc o suprafață de arie $\frac{500}{3}$ . Determină numărul real $n$ .

Răspunsuri și explicații

1. Din $9 x + 5 = 2 x^{2} - 7 x + 35$ rezultă $2 x^{2} - 16 x + 30 = 0$ , adică $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ , cu soluțiile $3$ și $5$ ; dreapta este deasupra. $\int_{3}^{5} (- 2 x^{2} + 16 x - 30) d x = \frac{8}{3}$ .

2. Din $9 x - 2 = 2 x^{2} - 3 x + 8$ rezultă $2 x^{2} - 12 x + 10 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $5$ ; dreapta este deasupra. Aria este $\frac{64}{3}$ .

3. Din $4 x + 6 = x^{2} - 5 x + 14$ rezultă $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $8$ ; dreapta este deasupra. Aria este $\frac{343}{6}$ .

4. Adevărat. Nu ariile se compară una câte una, ci diferențele: $f (x) - g (x) = - 5 x^{2} + 10 x$ și $u (x) - v (x) = - 5 x^{2} + 10 x$ . Fiind aceeași funcție, ea are aceleași zerouri, $0$ și $2$ , deci și aceleași capete de integrare, iar integrala ei este aceeași. Perechile sunt însă diferite: în a doua, amândouă graficele sunt parabole.

5. Diferența $x^{2} - 11 x + 18$ are rădăcinile $2$ și $9$ ; numai $2$ este în $[0, 5]$ . $\frac{50}{3} + \frac{45}{2} = \frac{235}{6}$ .

6. Din $9 x + 7 = 5 x^{2} + 19 x - 8$ rezultă $5 x^{2} + 10 x - 15 = 0$ , adică $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ , cu soluțiile $- 3$ și $1$ . Aria este $\frac{160}{3}$ .

7. Diferența $x^{2} - 13 x + 42$ are rădăcinile $6$ și $7$ . Numai $6$ este în interiorul lui $[2, 7]$ ; rădăcina $7$ cade chiar în capătul din dreapta și nu rupe nimic. $\frac{88}{3} + \frac{1}{6} = \frac{59}{2}$ .

8. Din $4 x + 13 = 3 x^{2} + 16 x - 2$ rezultă $3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$ , adică $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ , cu soluțiile $- 5$ și $1$ . Aria este $108$ .

9. Diferența $x^{2} - 10 x + 21$ are rădăcinile $3$ și $7$ ; numai $3$ este în $[1, 5]$ . $\frac{32}{3} + \frac{16}{3} = 16$ .

10. Diferența $x^{2} - 12 x + 20$ are rădăcinile $2$ și $10$ ; numai $2$ este în $[0, 4]$ . $\frac{56}{3} + \frac{40}{3} = 32$ .

11. Din $7 t + 11 = t^{2} - 3 t + 20$ rezultă $t^{2} - 10 t + 9 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $9$ — chiar capetele intervalului. Diferența $- t^{2} + 10 t - 9$ este pozitivă între ele, deci primul bazin acumulează mai mult: $\int_{1}^{9} (- t^{2} + 10 t - 9) d t = \frac{256}{3}$ grame, adică aproximativ $85, 33$ de grame. Unitatea este produsul unităților de pe axe, grame pe zi ori zile, deci grame.

12. Diferența este $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ , care se anulează în $2$ , dar nu își schimbă semnul acolo: parabola este tangentă dreptei. Ordinea rămâne aceeași pe tot $[0, 3]$ , deci intervalul nu se rupe și ajunge o singură integrală: $\int_{0}^{3} (x - 2)^{2} d x = \frac{( x - 2 ) ^{3}}{3}_{0}^{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3$ .

13. Din $10 x - 30 = x^{2} - 3 x - 8$ rezultă $x^{2} - 13 x + 22 = 0$ , cu soluțiile $2$ și $11$ . Aria este $\frac{243}{2}$ .

14. Diferența $x^{2} - 9 x + 8$ are rădăcinile $1$ și $8$ ; numai $1$ este în $[0, 4]$ . $\frac{23}{6} + \frac{45}{2} = \frac{79}{3}$ .

15. a) Din $5 x + 8 = 3 x^{2} + 8 x - 10$ rezultă $3 x^{2} + 3 x - 18 = 0$ , adică $x^{2} + x - 6 = 0$ , cu soluțiile $- 3$ și $2$ . b) Pe $(- 3, 2)$ dreapta este deasupra, iar aria este $\frac{125}{2}$ .

16. Aria este $\int_{2}^{6} f - \int_{2}^{6} g$ , fiindcă ordinea nu se schimbă. Din $41 - \int_{2}^{6} g = 15$ rezultă $\int_{2}^{6} g (x) d x = 26$ . Un cerc nu este graficul unei funcții — deasupra unei abscise din interiorul lui stau două puncte ale curbei, nu unul —, deci nu se poate scrie $y = g (x)$ și nici nu se poate forma diferența $f - g$ .

17. Din $- 2 x^{2} + 10 x + 3 = 3$ rezultă $- 2 x^{2} + 10 x = 0$ , adică $- 2 x (x - 5) = 0$ , cu soluțiile $0$ și $5$ . Dacă împarți prin $x$ , pierzi soluția $0$ . Aria este $\int_{0}^{5} (- 2 x^{2} + 10 x) d x = \frac{125}{3}$ .

18. Diferența este $- x^{2} + 2 x + n - 12$ , iar rădăcinile ei sunt $1 \pm n - 11$ , deci distanța dintre ele este $2 n - 11$ . Pentru o diferență de forma $- (x - p) (x - q)$ , aria iese $\frac{( q - p ) ^{3}}{6}$ , adică $\frac{8 ( n - 11 ) n - 11}{6}$ . Ecuația $\frac{4 ( n - 11 ) n - 11}{3} = \frac{500}{3}$ dă $(n - 11) n - 11 = 125$ , deci $n - 11 = 25$ și $n = 36$ . Verificare: pentru $n = 36$ diferența este $- x^{2} + 2 x + 24$ , cu rădăcinile $- 4$ și $6$ , iar aria iese $\frac{1000}{6} = \frac{500}{3}$ .

De reținut

Pentru $f$ și $g$ continue pe $[a, b]$ , cu $g \leq f$ , aria regiunii dintre grafice este $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ : se integrează diferența, luată în ordinea „de sus minus de jos".
Capetele de integrare vin din enunț când acesta dă dreptele verticale și din ecuația $f (x) = g (x)$ când nu le dă; în integrală intră numai abscisele punctelor de intersecție.
Ordinea „cine e deasupra" se citește din tabelul de semn al diferenței $f - g$ , nu din felul în care arată formulele.
Când diferența se anulează într-un punct interior și își schimbă semnul, aria devine o sumă de integrale; la tangență, semnul nu se schimbă și ajunge o singură integrală.
Lecția anterioară este cazul particular $g \equiv 0$ : axa $O x$ este graficul funcției nule.

Greșeli frecvente

Împarți ecuația de intersecție printr-un factor și pierzi o rădăcină. Din $2 x^{2} = 6 x$ se ajunge, prin împărțire la $2 x$ , doar la $x = 3$ — soluția $x = 0$ dispare, iar regiunea calculată este alta. Ecuația se aduce la forma cu zero în membrul drept și se descompune în factori, niciodată nu se simplifică printr-o expresie care se poate anula.
Pui $f (x) = 0$ în loc de $f (x) = g (x)$ . Este confuzia dintre intersecția graficului cu axa și intersecția celor două grafice între ele. Prima se folosea la lecția anterioară, unde marginea de jos era chiar axa; aici marginea de jos este $g$ , deci ecuația se scrie între cele două funcții.
Scrii $\int f - \int g$ cu limite diferite la cele două integrale. Se întâmplă când capetele au fost aflate separat pentru fiecare grafic. Diferența are sens numai pe același interval, iar scăderea integralelor este permisă exact atunci, prin liniaritate.
Citești punctele de intersecție de pe desen. Un desen făcut cu mâna dă $1, 9$ acolo unde ecuația dă $2$ , iar limitele de integrare greșite strică tot calculul. Desenul spune care grafic e deasupra; ecuația spune unde se taie.
Crezi că ordinea se schimbă la orice punct interior comun. Dacă diferența are acolo o rădăcină dublă, graficele se ating fără să se încrucișeze, semnul rămâne același și intervalul nu se rupe. Verifică semnul de o parte și de alta, nu presupune.

Aplică acasă

Perechea care nu se taie. Construiește trei perechi de funcții de gradul I și al doilea ale căror grafice nu se intersectează și arată, pentru fiecare, ce spune ecuația $f (x) = g (x)$ despre asta. Apoi schimbă termenul liber al uneia dintre funcții, pas cu pas, până când apar două puncte de intersecție, și notează de la ce valoare încep ele să existe.
Două ritmuri de pe un grafic real. Caută în manualul de biologie sau de chimie un grafic cu două curbe desenate în același reper — două experimente, două specii, două probe. Citește câteva valori, aproximează aria dintre curbe cu trei trapeze și spune ce mărime ai obținut și în ce unitate se măsură ea.
Proba trapezului. Alege două funcții de gradul I ale căror grafice nu se taie și trei intervale diferite. Calculează de fiecare dată aria în două feluri — cu integrala diferenței și cu formula ariei trapezului — și notează rezultatele într-un tabel cu două coloane.

Pentru părinți și profesori

Lecția face un singur pas peste cea precedentă: marginea de jos a regiunii nu mai este axa, ci al doilea grafic. Partea grea nu este integrala, care rămâne polinomială, ci disciplina de dinaintea ei — o ecuație de rezolvat și un semn de citit, amândouă înainte de a se atinge de primitive.

Deprinderile măsurabile, în ordinea în care se formează: aflarea capetelor din ecuația dintre cele două funcții, cu proba prin înlocuire; citirea ordinii celor două grafice din semnul diferenței; ruperea intervalului acolo unde ordinea se răstoarnă; deosebirea dintre o rădăcină simplă a diferenței, care rupe, și una dublă, care nu rupe; în fine, citirea numărului obținut ca mărime fizică, cu unitatea lui.

Întrebări bune de pus acasă: „Ce ecuație scrii ca să afli unde se taie cele două grafice?", „Când capetele vin din enunț și când din calcul?", „Ce faci dacă o bucată îți iese cu minus?". Semnele că a înțeles sunt două: nu atinge primitiva până nu are semnul diferenței scris pe hârtie și, la final, se uită dacă fiecare bucată a ieșit pozitivă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „aria suprafeței delimitate de două curbe". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare: programa de examen, cea din 2014, are capitolul „Aplicații ale integralei definite" cu rândul „Aria unei suprafețe plane", care acoperă și suprafețele mărginite de două grafice. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză de clasa a XII-a se află în problema a doua a Subiectului al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluții reale?

Înseamnă că graficele nu se ating nicăieri, deci ele singure nu mărginesc nicio suprafață. Dacă enunțul nu dă drepte verticale, problema nu are răspuns. Dacă le dă, regiunea există și se calculează normal: diferența păstrează același semn pe tot intervalul, iar aria se scrie dintr-o singură integrală.

Cum se leagă lecția aceasta de aria față de axa $O x$ ?

Este aceeași formulă, cu $g$ funcția nulă: axa $O x$ este graficul lui $g (x) = 0$ , iar diferența $f - g$ devine chiar $f$ . De aceea tabelul de semn se face acolo pentru $f$ și aici pentru $f - g$ , iar cele patru întrebări de pe foaie rămân neschimbate. Lecția precedentă este cazul particular, aceasta este forma generală.

De ce la științe ale naturii ambele margini sunt grafice de funcții?

Pentru că programa de la acest profil cere „aria suprafeței delimitate de două curbe" cu marginile scrise sub forma $y = f (x)$ , iar capitolul de conice, unde apar curbe care nu sunt grafice de funcții, nu face parte din materia de la științe ale naturii. Acolo ar fi nevoie de un pas în plus, descompunerea curbei în ramuri.

Poate fi zero aria dintre două grafice?

Da, în două situații. Dacă cele două funcții sunt egale pe tot intervalul, graficele coincid și regiunea se strânge la o curbă. Și dacă ele se ating într-un singur punct, fără drepte verticale în enunț: capetele coincid, iar integrala pe un interval redus la un punct este zero.

Ce scriu dacă enunțul dă și drepte verticale, și puncte de intersecție?

Capetele de integrare sunt cele date de drepte, întotdeauna. Punctele de intersecție aflate strict între ele devin puncte de rupere, iar cele din afara intervalului se ignoră. Confuzia cea mai costisitoare este să înlocuiești capetele din enunț cu abscisele intersecțiilor: atunci calculezi aria altei regiuni.

Cum verific rezultatul când amândouă graficele sunt drepte?

Regiunea este atunci un trapez sau un triunghi, deci răspunsul se poate obține și cu formulele din gimnaziu. Bazele trapezului sunt segmentele verticale din capetele intervalului, de lungimi $f (a) - g (a)$ și $f (b) - g (b)$ , iar înălțimea este $b - a$ . Dacă cele două numere nu coincid, greșeala este în calcul, nu în formulă.

Prin ce se deosebește lecția de la științe ale naturii (M2) de cea de la mate-info (M1)?

La M2 amândouă marginile sunt grafice de funcții de gradul I sau al doilea, iar formula se verifică pe o figură din gimnaziu. La mate-info se adaugă demonstrația formulei prin translație verticală și, mai ales, un capitol întreg de arii mărginite de conice, care nu intră la științe ale naturii. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1).

La ce subiect apare aria dintre două curbe la Bacalaureatul M2?

Pentru sesiunile 2027–2029, programa de examen o așază la „Aplicații ale integralei definite", iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală cerințele de analiză de clasa a XII-a se află în problema a doua a Subiectului al III-lea, unde cele trei subpuncte ale unei probleme sunt legate între ele. Din 2030, tema rămâne în domeniul Analiză matematică al probei MAT_P2.