Volumele sferei, cilindrului și conului (M2, științe ale naturii)

Suntem la clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), iar lecția pornește de la o cântărire. O bilă de oțel pusă pe balanță arată $110$ grame. Ca să afli din ce aliaj e făcută, îți trebuie densitatea, iar densitatea cere volumul — pe care nu-l poți măsura direct, fiindcă bila e plină. În laborator îl afli scufundând-o în apă; pe hârtie îl afli dintr-o formulă pe care ai primit-o în clasa a VIII-a și ai învățat-o pe de rost, fără să ți se spună de unde vine. La fel s-a întâmplat cu volumul cilindrului și cu cel al conului: trei formule folosite de ani buni, niciuna justificată, fiindcă justificarea cerea o unealtă pe care încă nu o aveai. La bacalaureatul M2, cerințele care le folosesc stau la Subiectul al III-lea.

Unealta aceea o ai acum. La clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), integrala definită plătește această datorie veche: din aceeași formulă a volumului unui corp de rotație ies, în câteva rânduri fiecare, toate trei formulele. Sunt chiar corpurile numite de programa nouă, care cere la acest capitol „volumul și aria unor corpuri obținute prin rotații în jurul axei $Ox$, de exemplu: sfera, cilindrul circular, conul"; iar la bacalaureatul M2 cerințele cu volume de rotație se dau la Subiectul al III-lea.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii, pentru fiecare dintre cele trei corpuri, profilul și intervalul din care se naște el prin învârtire.
• Vei ști să deduci formulele $\pi r^{2}h$, $\frac{\pi r^{2}h}{3}$ și $\frac{4\pi r^3}{3}$, nu doar să le reproduci din memorie.
• Vei ști să explici de unde vine treimea de la con și de ce radicalul de la sferă dispare înainte de integrare.
• Vei ști să așezi corpul în reper înainte de a scrie ceva și să spui ce se schimbă dacă îl așezi altfel.
• Vei ști să calculezi volumul unei jumătăți de bilă sau al unei felii de bilă, fără să înveți o formulă nouă.
• Vei ști să deosebești ce am admis de ce am demonstrat, ca să nu confunzi o verificare cu o demonstrație.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin formulele primite în gimnaziu?

Corpurile rotunde sunt cele obținute prin învârtirea unei figuri plane în jurul unei drepte fixe, numită axa lor: cilindrul dintr-un dreptunghi, conul dintr-un triunghi dreptunghic, bila dintr-un semidisc. Toate trei intră, prin urmare, sub aceeași formulă pe care ai dedus-o la lecția despre volumul unui corp de rotație: pentru $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă și cu $f(x)\ge 0$, $$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx.$$

Rămâne de făcut un singur lucru pentru fiecare corp: găsești profilul, adică funcția al cărei subgrafic, învârtit, dă chiar corpul acela, și intervalul pe care ea lucrează. Restul e o integrală de câteva rânduri.

Înainte de primul calcul, o lămurire de logică, altfel raționamentul ar părea închis într-un cerc. Ca să obținem formula de mai sus, am folosit volumul cilindrului, primit ca fapt în gimnaziu. Cilindrul va reapărea peste câteva rânduri, de data asta ca rezultat; acela nu dovedește formula lui, ci doar arată că drumul e bun. Pentru con și pentru sferă, în schimb, obținem demonstrații adevărate: formulele lor, din lecțiile despre conul circular drept și despre sferă, nu intră nicăieri în raționament.

2. Ce iese dintr-un profil constant?

Punem cilindrul culcat, cu axa lui suprapusă peste $Ox$ și cu un capăt în planul vertical dus prin origine. Orice punct de pe suprafața lui laterală stă la aceeași depărtare $r$ de axă, indiferent cât de departe ai înaintat pe axă, deci profilul este funcția constantă $f:[0,h]\to \mathbb{R}$, $f(x)=r$. Subgraficul ei este un dreptunghi cu laturile $h$ și $r$; învârtit, el mătură tocmai cilindrul cu care am pornit, cel de rază $r$ și de înălțime $h$.

Funcția constantă este continuă și pozitivă, deci formula se aplică: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^h{r}^{2}dx=\pi r^{2}x{|}_0^h=\pi r^{2}h.$$

Am regăsit exact formula de la care am pornit — semn că nicăieri pe drum nu s-a strecurat o greșeală. Tiparul acestor patru rânduri (așezarea în reper, profilul, pătratul, integrala) se repetă identic la celelalte două corpuri; se schimbă doar funcția.

3. De unde vine treimea din formula conului?

Punem conul cu vârful chiar în origine și cu axa pe $Ox$, astfel încât baza să cadă în planul vertical dus prin punctul de abscisă $h$. Profilul este acum segmentul care urcă din vârf până la marginea bazei, adică din $(0,0)$ până în punctul de coordonate $(h,r)$. Dreapta pe care stă acest segment pornește din origine, iar panta ei se citește din cele două capete: $\frac{r}{h}$. Așadar $$f:[0,h]\to \mathbb{R},f(x)=\frac{r}{h}x.$$ Funcția e continuă, iar valorile ei nu coboară sub zero; singurul loc unde ating zero e vârful, adică exact locul în care corpul se strânge într-un punct. Formula îngăduie asta, de vreme ce cere $f\ge 0$, nu $f>0$. Pătratul este $\frac{r^2}{h^2}{x}^2$, deci $$\mathcal{V}=\frac{\pi r^2}{h^2}{\int }_0^h{x}^{2}dx=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^h=\frac{\pi r^{2}h}{3}.$$

Treimea nu e un capriciu: ea vine din primitiva lui $x^2$, care poartă un $3$ la numitor. Merită așezată alături de o altă treime, cunoscută din gimnaziu de la volumul piramidei: și acolo corpul ascuțit are o treime din prisma cu aceeași bază și aceeași înălțime. Motivul e același în amândouă cazurile — tăietura se micșorează proporțional cu pătratul distanței față de vârf.

4. Cum se naște formula volumului sferei?

Pentru bilă, așezarea firească e cu centrul în origine. Tăiem bila cu planul dus prin punctul de abscisă $x$ și ne uităm la tăietură: e un disc a cărui rază $\rho$ închide, împreună cu $x$ și cu raza bilei, un triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora dă ${\rho }^2+x^2=r^2$, deci $\rho =\sqrt{r^2-x^2}$. Prin urmare profilul este $$f:[-r,r]\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{r^2-x^2},$$ adică jumătatea de sus a cercului de rază $r$ centrat în origine, iar învârtirea semidiscului de sub ea dă bila întreagă. Observă că intervalul merge de la $-r$ la $r$: bila se întinde de amândouă părțile centrului.

Aici se petrece lucrul care face calculul ușor: sub integrală funcția intră la puterea a doua, iar radicalul dispare de la sine. Rămâne un polinom: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi \left(r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-r}^r.$$ În capătul din dreapta paranteza valorează $r^3-\frac{r^3}{3}=\frac{2r^3}{3}$, iar în cel din stânga exact opusul, $-\frac{2r^3}{3}$. Scăzând, obținem $\frac{4r^3}{3}$, deci $$\mathcal{V}=\frac{4\pi r^3}{3}.$$ Formula pe care o spuneai pe de rost tocmai a fost dedusă, în patru rânduri, dintr-un triunghi dreptunghic și o integrală de polinom.

5. Cum recunoști corpul citind profilul?

Drumul se poate parcurge și invers: ți se dă funcția, iar tu trebuie să spui ce corp iese. Tabelul de mai jos strânge cele trei situații.

Un singur avertisment, care face cât jumătate din exerciții: așezarea în reper e alegerea ta, dar odată făcută trebuie respectată până la capăt. Dacă pui vârful conului în origine, profilul urcă; dacă pui baza acolo, profilul coboară, iar funcția devine $f(x)=r-\frac{r}{h}x$. Amândouă sunt corecte și dau același număr — corpul e același, doar întors. Greșeala apare când scrii profilul după o așezare și intervalul după cealaltă.

6. Ce se schimbă dacă schimbi intervalul?

Nimic în metodă, totul în rezultat — și aici se vede cât de economică e formula. Cu același profil al bilei, $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$, dar integrând de la $0$ la $r$ obții jumătate de bilă: $$\pi {\int }_0^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{2\pi r^3}{3},$$ adică fix jumătate din rezultatul de la subsecțiunea 4, cum era de așteptat. Luând un interval oarecare din interiorul lui $[-r,r]$, obții felia de bilă cuprinsă între două plane paralele, iar calculul e același, cu alte capete.

Reține ideea, nu o formulă nouă: pentru bucăți de bilă nu se învață nimic în plus, se schimbă doar limitele de integrare. La acest profil nu se cere nicio formulă separată pentru asemenea bucăți, iar a memora una ar fi risipă — integrala lui $r^2-x^2$ se face în două rânduri.

7. Ce am demonstrat și ce am admis?

Merită limpezit, pentru că e o deprindere de gândire, nu doar un amănunt. Am admis un singur lucru: că volumul cilindrului este $\pi r^{2}h$, așa cum l-am primit în gimnaziu. Pe el s-a sprijinit deducerea formulei generale a volumului de rotație. Din acea formulă am demonstrat apoi volumul conului și pe cel al bilei — două rezultate pe care înainte le foloseai fără justificare. Regăsirea cilindrului la subsecțiunea 2 nu adaugă nimic la zestrea de adevăruri: e o probă de coerență, utilă tocmai fiindcă ar fi semnalat o greșeală dacă nu ieșea.

Programa de examen pune, la capitolul acesta, o notă care spune același lucru cu alte cuvinte: unele rezultate se folosesc în aplicații, deși „demonstrația este în afara programei". Când poți totuși demonstra ceva, ca aici, faci lecția mai ușoară, nu mai grea: trei formule memorate se înlocuiesc cu o singură idee și trei integrale scurte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cilindrul, cu toate rândurile scrise

Deduce, cu integrala definită, volumul cilindrului de rază $6$ și înălțime $5$.

Rezolvare. Îl așezăm cu axa pe $Ox$ și cu un capăt în planul dus prin origine; profilul este $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=6$, funcție continuă și pozitivă. Atunci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{5}36dx=36\pi x{|}_0^5=180\pi .$$ Formula din gimnaziu dă $\pi \cdot 6^2\cdot 5=180\pi$: aceeași valoare, cum trebuia să iasă din verificarea de la subsecțiunea 2.

Exemplul 2 — Conul

Un con circular drept are raza bazei $4$ și înălțimea $6$. Calculează-i volumul cu integrala și spune ce parte din cilindrul cu aceeași bază și aceeași înălțime ocupă.

Rezolvare. Cu vârful în origine, panta profilului este $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, deci $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x}{3}$. Rezultă $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^6\frac{4x^2}{9}dx=\frac{4\pi }{9}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^6=\frac{4\pi }{9}\cdot 72=32\pi .$$ Cilindrul de rază $4$ și înălțime $6$ are volumul $\pi \cdot 16\cdot 6=96\pi$, iar $32\pi$ este a treia parte din el — raportul dedus la subsecțiunea 3, regăsit pe numere.

Exemplul 3 — Sfera

Calculează, cu integrala, volumul bilei de rază $7$.

Rezolvare. Cu centrul în origine, profilul este $f:[-7,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{49-x^2}$, funcție continuă pe tot intervalul și cu valori pozitive. Pătratul ei este polinomul $49-x^2$, deci $$\mathcal{V}=\pi {\int }_{-7}^7\left(49-x^2\right)dx=\pi \left(49x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-7}^7=\pi \left(\frac{686}{3}+\frac{686}{3}\right)=\frac{1372\pi }{3}.$$ Formula dedusă confirmă: $\frac{4\pi \cdot 343}{3}=\frac{1372\pi }{3}$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează volumul conului de rază $7$ și înălțime $3$ și scrie: „profilul este $f(x)=7$ pe $[0,3]$, fiindcă raza conului este $7$; atunci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{3}49dx=147\pi$." Găsește greșeala și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Elevul a luat raza bazei drept depărtare de axă pentru toate punctele profilului. Or, la con, tăietura se îngustează pe măsură ce te apropii de vârf: depărtarea de axă crește de la $0$ la $7$, deci profilul nu e constant, ci liniar, $f(x)=\frac{7x}{3}$ pe $[0,3]$. Corect: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^3\frac{49x^2}{9}dx=\frac{49\pi }{9}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^3=49\pi .$$ Valoarea greșită, $147\pi$, este chiar volumul cilindrului de aceeași bază și înălțime — de trei ori cea corectă, ceea ce arată exact ce corp a calculat elevul în locul celui cerut.

Exemplul 5 — Un model din științe

O bilă de oțel are raza de $1,5$ centimetri, iar oțelul din care e făcută are densitatea $7,8$ grame pe centimetru cub. Ce masă are bila?

Rezolvare. Volumul se obține din formula dedusă la subsecțiunea 4: $$\mathcal{V}=\frac{4\pi \cdot 1,5^3}{3}=\frac{4\pi \cdot 3,375}{3}=4,5\pi \approx 14,14{\text{cm}}^3.$$ Masa este produsul dintre densitate și volum: $m=7,8\cdot 14,14\approx 110,3$ grame, adică aproximativ $110$ de grame. Merită observat că răspunsul are sens fizic: o bilă cât o nucă mică, dintr-un metal greu, cântărește cât o ciocolată mică, nu cât un pumn de alice.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x}{9}$.

a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă pe $[0,9]$ și precizează ce corp se obține prin rotirea subgraficului ei în jurul axei $Ox$.

b) Calculează volumul acestui corp.

c) Află înălțimea cilindrului de rază $5$ care are același volum.

Rezolvare. a) $f$ este funcție de gradul întâi, deci continuă, iar pe $[0,9]$ ia valori de la $0$ la $5$, toate nenegative. Profilul este un segment care pornește din origine, deci corpul este conul de rază $5$ și înălțime $9$.

b) Aplicăm formula: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^9\frac{25x^2}{81}dx=\frac{25\pi }{81}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^9=\frac{25\pi }{81}\cdot 243=75\pi .$$ Formula conului confirmă: $\frac{\pi \cdot 25\cdot 9}{3}=75\pi$.

c) Cilindrul de rază $5$ și înălțime $t$ are volumul $25\pi t$. Din $25\pi t=75\pi$ rezultă $t=3$, adică exact o treime din înălțimea conului — ceea ce era de așteptat, de vreme ce conul are o treime din cilindrul de aceeași înălțime.

Să exersăm

1. Deduce cu integrala volumul cilindrului de rază $9$ și înălțime $2$, apoi spune dacă acest calcul demonstrează formula cilindrului sau doar o verifică.

2. Calculează cu integrala volumul conului de rază $6$ și înălțime $7$.

3. Deduce cu integrala volumul bilei de rază $12$.

4. Scrie profilul și intervalul pentru cilindrul de rază $2$ și înălțime $11$, apoi calculează-i volumul.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Conul de rază $9$ și înălțime $9$ are același volum ca jumătatea unei bile de rază $9$.

6. Calculează volumul jumătății de bilă de rază $3$, integrând pe intervalul potrivit.

7. Ce corp obții rotind în jurul axei $Ox$ subgraficul funcției $f:[0,10]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{5}$? Precizează-i dimensiunile.

8. Determină înălțimea unui con de rază $4$ al cărui volum este $80\pi$.

9. Determină raza unei bile al cărei volum este $\frac{256\pi }{3}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:[0,12]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{2}$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează volumul corpului de rotație determinat de $f$. c) Precizează corpul și verifică rezultatul cu formula din gimnaziu.

11. Calculează volumul feliei de bilă cuprinse între planele $x=1$ și $x=3$, decupate dintr-o bilă de rază $4$ așezată cu centrul în origine.

12. (Problemă aplicată.) Un bazin conic cu vârful în jos are raza gurii de $9$ metri și adâncimea de $4$ metri. Câți metri cubi de apă încape în el și câți litri înseamnă asta?

13. Un con și un cilindru au aceeași rază, $5$, iar conul are înălțimea $12$. Ce înălțime trebuie să aibă cilindrul ca volumele să fie egale?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că bila de rază $6$ are volumul de opt ori mai mare decât bila de rază $3$, și explică de unde vine factorul $8$.

15. Scrie profilul și intervalul care dau prin rotație o jumătate de bilă de rază $5$, apoi calculează volumul.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. a) Arată că $f$ este continuă și pozitivă. b) Calculează $\mathcal{V}(C_f)$. c) Precizează corpul obținut.

17. Un con are volumul $147\pi$ și înălțimea $9$. Află raza bazei.

18. (Provocare.) O bilă de rază $8$ este așezată într-o cutie cubică de muchie $16$, pe care o atinge cu toate cele șase fețe. Ce fracțiune din volumul cutiei ocupă bila?

Răspunsuri și explicații

1. Profilul este $f(x)=9$ pe $[0,2]$, deci $\pi {\int }_0^{2}81dx=162\pi$, adică $\pi \cdot 81\cdot 2$. Calculul verifică formula, nu o demonstrează: ea a fost punctul de plecare al formulei generale a volumului de rotație, deci reapariția ei era obligatorie.

2. Panta este $\frac{6}{7}$, deci $f(x)=\frac{6x}{7}$ pe $[0,7]$ și $\frac{36\pi }{49}\cdot \frac{343}{3}=84\pi$. Formula conului dă $\frac{\pi \cdot 36\cdot 7}{3}=84\pi$.

3. $f(x)=\sqrt{144-x^2}$ pe $[-12,12]$, deci $\pi \left(144x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-12}^{12}=\pi \left(1152+1152\right)=2304\pi$, adică $\frac{4\pi \cdot 1728}{3}$.

4. $f(x)=2$ pe un interval de lungime $11$, de pildă $[0,11]$; volumul este $\pi \cdot 4\cdot 11=44\pi$.

5. Fals. Conul cu $r=h=9$ are profilul $f(x)=x$ pe $[0,9]$, deci $\pi {\int }_0^9{x}^{2}dx=243\pi$, iar jumătatea de bilă are profilul $\sqrt{81-x^2}$ pe același interval, deci $\pi {\int }_0^9\left(81-x^2\right)dx=\pi \left(729-243\right)=486\pi$. Al doilea volum este de două ori primul, deși cele două corpuri au aceeași rază, aceeași înălțime și același disc de bază.

6. $\pi {\int }_0^3\left(9-x^2\right)dx=\pi \left(27-9\right)=18\pi$, adică jumătate din $36\pi$, volumul bilei de rază $3$.

7. Profilul pornește din origine și ajunge la $6$, deci corpul este conul de rază $6$ și înălțime $10$, cu volumul $\pi \cdot \frac{36\cdot 10}{3}=120\pi$.

8. $\frac{\pi \cdot 16\cdot h}{3}=80\pi$ dă $16h=240$, deci $h=15$.

9. $\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{256\pi }{3}$ conduce la $r^3=64$, deci $r=4$.

10. a) Funcție de gradul întâi, continuă, cu valori între $0$ și $6$ pe $[0,12]$. b) $\pi {\int }_0^{12}\frac{x^2}{4}dx=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{1728}{3}=144\pi$. c) Con de rază $6$ și înălțime $12$, iar $\frac{\pi \cdot 36\cdot 12}{3}=144\pi$.

11. Profilul bilei este $f(x)=\sqrt{16-x^2}$, iar felia cerută corespunde intervalului $[1,3]$: $\pi {\int }_1^3\left(16-x^2\right)dx=\pi \left(48-9-16+\frac{1}{3}\right)=\frac{70\pi }{3}$.

12. Așezat cu vârful în origine, profilul este $f(x)=\frac{9x}{4}$ pe $[0,4]$, iar volumul este $\frac{\pi \cdot 81\cdot 4}{3}=108\pi \approx 339,3{\text{m}}^3$. Cum un metru cub înseamnă $1000$ de litri, bazinul ține aproximativ $339300$ de litri.

13. Volumul conului este $\frac{\pi \cdot 25\cdot 12}{3}=100\pi$, iar cilindrul de rază $5$ și înălțime $t$ are $25\pi t$; din $25\pi t=100\pi$ rezultă $t=4$, adică o treime din înălțimea conului.

14. Volumele sunt $\frac{4\pi \cdot 216}{3}=288\pi$ și $\frac{4\pi \cdot 27}{3}=36\pi$, iar $288=8\cdot 36$. Factorul vine din raza care apare la puterea a treia: dublând raza, se dublează fiecare dintre cele trei dimensiuni ale corpului, iar $2^3=8$.

15. $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ pe $[0,5]$ — sau, la fel de bine, pe $[-5,0]$. Volumul: $\pi \left(125-\frac{125}{3}\right)=\frac{250\pi }{3}$, adică jumătate din $\frac{500\pi }{3}$.

16. a) Expresia de sub radical este pozitivă pe $[-2,2]$, iar $f$ este continuă, fiind compunere de funcții continue. b) $\pi {\int }_{-2}^2\left(4-x^2\right)dx=\pi \left(\frac{16}{3}+\frac{16}{3}\right)=\frac{32\pi }{3}$. c) Bila de rază $2$, al cărei volum este $\frac{4\pi \cdot 8}{3}=\frac{32\pi }{3}$.

17. $\frac{\pi r^2\cdot 9}{3}=147\pi$ dă $3r^2=147$, deci $r^2=49$ și $r=7$, singura valoare pozitivă.

18. Bila are volumul $\frac{4\pi \cdot 512}{3}=\frac{2048\pi }{3}$, iar cutia $16^3=4096$. Raportul este $\frac{2048\pi }{3\cdot 4096}=\frac{\pi }{6}\approx 0,52$, adică puțin peste $52\%$. Observă că raportul nu depinde de muchie: orice bilă atinge fețele cutiei ei în același fel, deci risipa de spațiu la ambalare este mereu aceeași, cam $48\%$.

De reținut

• Cele trei corpuri rotunde se obțin din profiluri foarte simple: o constantă dă cilindrul, un segment pornit din origine dă conul, jumătatea de sus a unui cerc centrat în origine dă bila.
• Cilindrul, regăsit prin integrală, nu e o formulă demonstrată, ci o probă de coerență: de la el am pornit când am dedus formula volumului de rotație.
• Treimea din formula conului vine din primitiva lui $x^2$ și e aceeași treime pe care piramida o are față de prismă.
• La bilă, pătratul desființează radicalul și lasă sub integrală polinomul $r^2-x^2$; de aceea calculul nu cere nicio metodă specială.
• Jumătatea de bilă și felia de bilă folosesc același profil, pe alt interval: nu au nevoie de formule noi, ci doar de alte limite de integrare.

Greșeli frecvente

• Se așază corpul cu axa în altă parte decât $Ox$. Elevul desenează conul „în picioare", cu axa verticală, și scrie apoi un profil care nu se potrivește cu intervalul. Corect: întâi culci corpul cu axa peste $Ox$, apoi citești din desen valorile funcției la capete.
• Se crede că formula cilindrului a fost demonstrată aici. Ea a fost punctul de plecare, iar reapariția ei e doar o probă. Corect: demonstrații adevărate sunt cele pentru con și pentru bilă, singurele care nu s-au folosit de rezultatul lor din gimnaziu.
• Se confundă bila cu suprafața sferei. Volumul măsoară materia dinăuntru, nu învelișul. Corect: $\frac{4\pi r^3}{3}$ este volumul corpului plin; învelișul are o arie proprie, care se calculează altfel și are alte unități de măsură.
• Se înmulțește cu $\pi$ de două ori. Elevul scrie sub integrală aria discului, $\pi f^2(x)$, și mai adaugă un $\pi$ în fața integralei. Corect: factorul apare o singură dată, fie în formulă, fie sub ea, niciodată în amândouă locurile.
• Se uită radicalul la profilul bilei. Se scrie $f(x)=r^2-x^2$, iar la pătrat iese ${\left(r^2-x^2\right)}^2$, adică un polinom de gradul al patrulea și un rezultat fără legătură cu bila. Corect: profilul este $\sqrt{r^2-x^2}$, pentru că el este distanța de la axă la contur.

Aplică acasă

1. Ia o conservă cilindrică nedesfăcută și măsoară-i cu rigla diametrul și înălțimea. Calculează volumul cu integrala, pornind de la profilul constant, apoi compară rezultatul cu numărul de mililitri scris pe etichetă. Notează abaterea în procente și încearcă să spui de unde vine: din grosimea tablei, din spațiul gol de sub capac sau din măsurătoare.

2. Ia un bulgăre de plastilină și modelează-l cât poți de rotund. Măsoară-i diametrul prinzându-l între două cărți ținute paralel și calculează-i volumul cu formula bilei. Frământă apoi același bulgăre într-un cilindru cât mai drept, măsoară-i raza și înălțimea și calculează volumul cilindrului. Cele două numere trebuie să iasă apropiate, fiindcă materialul nu s-a schimbat; notează abaterea în procente și spune care măsurătoare crezi că a adus-o.

3. Alege trei obiecte sferice din aceeași materie și de mărimi diferite — bile de sticlă, de plastic sau de oțel. Măsoară-le razele cu ajutorul unui fir de ață și cântărește-le. Verifică regula puterii a treia: dacă raza unui obiect este de două ori mai mare, masa lui ar trebui să fie de aproximativ opt ori mai mare.

Pentru părinți și profesori

Aici se închide un arc început cu patru ani în urmă. Cele trei formule de volum au ajuns la elev, în gimnaziu, ca simple enunțuri de memorat — nu din neglijență, ci pentru că a le justifica cerea integrala. Lecția de față le obține pe toate din aceeași idee, într-o jumătate de oră, iar câștigul nu e o formulă în plus, ci una în minus de ținut minte.

Ce verifică lecția: găsirea profilului și a intervalului pentru fiecare corp; efectuarea corectă a celor trei integrale; deosebirea dintre un rezultat demonstrat și unul admis; calculul unei bucăți de bilă fără formulă nouă.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce funcție dă, prin rotire, un con?"; „De unde vine treimea?"; „De ce dispare radicalul la bilă?"; „Am demonstrat aici formula cilindrului?". Semne că a înțeles: întâi culcă figura pe axă și abia apoi scrie funcția; controlează ce valoare ia profilul la fiecare capăt; spune, nefiind întrebat, care formulă a fost primită de-a gata și care a ieșit din calcul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, iar nota programei numește chiar aceste corpuri: „Se vor studia volumul și aria unor corpuri obținute prin rotații în jurul axei Ox, de exemplu: sfera, cilindrul circular, conul". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține rândul „Volumul unui corp de rotație", iar cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Tema este, deci, materie pentru amândouă generațiile. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce funcție trebuie rotită ca să obții o bilă?

Jumătatea de sus a unui cerc cu centrul în origine, adică $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ pe intervalul de la $-r$ la $r$. Expresia ei vine din teorema lui Pitagora aplicată în tăietura corpului. Învârtind semidiscul de sub această curbă în jurul axei $Ox$ se obține bila plină de rază $r$, nu doar învelișul ei.

De unde vine treimea din formula conului?

Din primitiva lui $x^2$, care aduce un $3$ la numitor. Profilul conului este un segment pornit din vârf, deci sub integrală ajunge o expresie proporțională cu $x^2$, în timp ce la cilindru ajunge o constantă. De aici iese raportul de unu la trei dintre cele două corpuri, oricare ar fi raza și înălțimea lor.

De ce nu e nevoie de nicio metodă specială la bilă?

Pentru că funcția intră sub integrală ridicată la a doua, iar radicalul se pierde chiar în acel pas: din $\sqrt{r^2-x^2}$ rămâne polinomul $r^2-x^2$, care se integrează cu tabelul. Calculul ariei unui disc, unde radicalul rămâne, este mult mai greu — acolo chiar ar fi nevoie de o substituție.

Am demonstrat sau am verificat formula cilindrului?

Am verificat-o. Deducerea formulei generale a volumului de rotație a pornit chiar de la ea, primită în gimnaziu, deci regăsirea ei nu adaugă nimic nou; ne spune doar că nu am greșit pe drum. Conul și bila sunt, în schimb, demonstrate cu adevărat: formulele lor din gimnaziu nu au fost folosite nicăieri în raționament.

Cum calculez volumul unei jumătăți de bilă?

Cu același profil, $\sqrt{r^2-x^2}$, dar integrând numai de la $0$ la $r$, adică pe jumătatea de interval. Iese $\frac{2\pi r^3}{3}$, exact jumătate din volumul bilei întregi. Nu e nevoie de nicio formulă nouă, și tot așa se rezolvă orice bucată tăiată din bilă de un plan perpendicular pe axă.

Contează cum așez corpul în reper?

Nu contează care așezare o alegi, dar contează să o păstrezi. Conul cu vârful în origine are profilul urcător, cel cu baza în origine îl are coborâtor; amândouă dau același volum, fiindcă e același corp, doar întors. Greșelile apar când profilul e scris după o așezare, iar intervalul după cealaltă.

La ce subiect apar corpurile rotunde la bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, în problema de integrale. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, ultimul subpunct dă volumul corpului de rotație al unei funcții pe $[0,2]$ sub forma $\frac{a\pi }{3}$ și cere numărul real $a$. Funcția de acolo e mai grea decât profilurile de aici: pătratul ei nu e un polinom, iar calculul cere schimbarea de variabilă. Structura probei MAT_P2 din 2030 nu e încă publicată.

Se face la mate-info (M1) aceeași lecție?

Da, tema e comună, dar la mate-info lista corpurilor e mai lungă: acolo se deduc și volumul trunchiului de con și formula calotei sferice, iar demonstrația formulei de pornire folosește sume Riemann, care nu intră în programa de la științe ale naturii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: volumele corpurilor rotunde le tratează pe toate.