Care este aria dintre graficele y=x² și y=2x?

Intersecțiile sunt în 0 și 2, iar între ele 2x≥ x², de exemplu în 1: 2>1. Aria este ∫₀²(2x-x²) dx=4- 8/3= 4/3. Rezultatul pozitiv confirmă ordinea aleasă: diferența 2x-x² este nenegativă pe tot intervalul, deci o singură integrală ajunge.

Ce arată aria dintre două grafice de viteză?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria dintre curbe

Arată cu cât a parcurs un mobil mai mult decât altul: dacă $v_{1} (t) \geq v_{2} (t)$ pe $[t_{1}, t_{2}]$ , aria dintre grafice este $\int_{t_{1}}^{t_{2}} (v_{1} - v_{2}) d t$ , adică diferența distanțelor. Exemplu: un biciclist merge constant cu $6$ m/s, iar altul pornește din repaus cu viteza $2 t$ m/s. Vitezele se egalează la $t = 3$ s, iar până atunci primul câștigă $\int_{0}^{3} (6 - 2 t) d t = 18 - 9 = 9$ m. Unitatea ariei este m/s ori s, adică metri.

Înlocuind axa cu un al doilea grafic, formula face un singur pas: pentru $f$ și $g$ continue pe $[a, b]$ , cu $g \leq f$ , suprafața dintre ele măsoară $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ . Explicația apare tăind figura cu o verticală: bucata decupată se sprijină pe amândouă curbele, deci măsoară scăderea ordonatelor, așezată în ordinea care dă un număr pozitiv.

De unde vin limitele. Existând drepte verticale în cerință, ele rămân limitele, oricât de îmbietoare ar fi intersecțiile. Lipsind, marginile din stânga și din dreapta sunt chiar locurile unde curbele se ating, iar abscisele lor ies din $f (x) = g (x)$ ; în integrală merg numai abscisele. Ecuația se mută cu totul într-un singur membru și se descompune; o simplificare printr-un factor care se poate anula pierde o soluție, iar suprafața măsurată devine alta.

Cine stă deasupra se află din tabelul de semne al scăderii $f - g$ , nu din înfățișarea formulelor. Unde scăderea își schimbă semnul, intervalul se taie și măsura devine o adunare; unde însă ea are rădăcină dublă, curbele se ating fără să treacă una peste alta, semnul se păstrează și rămâne o singură integrală.

Lecția dinainte e situația $g \equiv 0$ . Verificarea se repetă: fiecare termen adunat iese pozitiv.

De reținut

aria: $\int_{a}^{b} (f - g) d x$ , cu $f$ deasupra lui $g$
între două grafice de viteză, aria este diferența distanțelor parcurse
limitele sunt abscisele punctelor de intersecție, dacă enunțul nu dă drepte verticale
dacă ordinea se schimbă în interior, se taie intervalul

Greșeala tipică

Se integrează $2 t - 6$ , adică viteza mai mică minus cea mai mare, și iese $- 9$ ; aria se scrie cu graficul de deasupra minus cel de dedesubt, deci avansul este $9$ m.

Exerciții din această mini-lecție

Care sunt abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $f (x) = 9 x + 4$ și $g (x) = x^{2} + x + 16$ ?
- a) $2$ și $6$
- b) $- 2$ și $- 6$
- c) $22$ și $58$
- d) $2$ și $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$ și $6$

Din $9 x + 4 = x^{2} + x + 16$ rezultă $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ , cu $Δ = 64 - 48 = 16$ , deci $x_{1} = 2$ și $x_{2} = 6$ . Verificare: $f (2) = 22$ și $g (2) = 4 + 2 + 16 = 22$ ; $f (6) = 58$ și $g (6) = 36 + 6 + 16 = 58$ . Varianta c) dă chiar ordonatele punctelor de intersecție, care nu intră în limitele de integrare; b) schimbă semnele, iar d) ia drept a doua rădăcină coeficientul lui $x$ din ecuația redusă.
Care este aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = 20 x + 6$ și $g (x) = 2 x^{2} + 2 x + 22$ ?
- a) $\frac{343}{6}$
- b) $\frac{343}{3}$
- c) $- \frac{343}{3}$
- d) $\frac{686}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{343}{3}$

Din $20 x + 6 = 2 x^{2} + 2 x + 22$ rezultă $2 x^{2} - 18 x + 16 = 0$ , adică $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $8$ . Diferența $f (x) - g (x) = - 2 x^{2} + 18 x - 16$ are coeficientul dominant negativ, deci este pozitivă între rădăcini: dreapta este deasupra. Atunci $S = \int_{1}^{8} (- 2 x^{2} + 18 x - 16) d x = \frac{343}{3}$ . Varianta a) uită coeficientul $2$ , c) scade în ordine inversă, iar d) dublează rezultatul.
Care este aria suprafeței mărginite de graficele funcțiilor $f (x) = x^{2} - 4 x + 22$ și $g (x) = 5 x + 8$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 5$ ?
- a) $- \frac{5}{6}$
- b) $\frac{38}{3}$
- c) $\frac{157}{6}$
- d) $\frac{27}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{157}{6}$

Diferența este $f (x) - g (x) = x^{2} - 9 x + 14$ , cu rădăcinile $2$ și $7$ ; numai $2$ se află în interiorul lui $[0, 5]$ , deci acolo ordinea se răstoarnă. Bucățile sunt $\int_{0}^{2} (x^{2} - 9 x + 14) d x = \frac{38}{3}$ și $\int_{2}^{5} (- x^{2} + 9 x - 14) d x = \frac{27}{2}$ , amândouă pozitive, cu suma $\frac{157}{6}$ . Varianta a) este o singură integrală pe tot intervalul, adică bilanțul cu semn; b) și d) rețin câte o bucată.

Întrebări conexe

Cum știu care dintre cele două grafice este deasupra?

Calculezi diferența $f (x) - g (x)$ într-un punct din interiorul intervalului sau faci tabelul ei de semn. Dacă diferența e pozitivă, $f$ este deasupra. Aspectul formulelor înșală: o parabolă poate sta sub o dreaptă pe o porțiune și deasupra ei pe alta.

Care este aria dintre graficele $y = x^{2}$ și $y = 2 x$ ?

Intersecțiile sunt în $0$ și $2$ , iar între ele $2 x \geq x^{2}$ , de exemplu în $1$ : $2 > 1$ . Aria este $\int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ . Rezultatul pozitiv confirmă ordinea aleasă: diferența $2 x - x^{2}$ este nenegativă pe tot intervalul, deci o singură integrală ajunge.

Ce arată aria dintre graficele a două debite?

Volumul acumulat în plus. Dacă într-un rezervor intră $5$ L/min, iar ieșirea crește după legea $t$ L/min, cele două debite se egalează la $t = 5$ min. Până atunci rezervorul câștigă $\int_{0}^{5} (5 - t) d t = 25 - 12, 5 = 12, 5$ L, adică exact aria triunghiului dintre cele două grafice.

Ce fac dacă graficele se intersectează și în interiorul intervalului?

Tai intervalul în acel punct, fiindcă ordinea se schimbă. Pentru $y = x^{3}$ și $y = x$ pe $[- 1, 1]$ , pe $[0, 1]$ este deasupra $x$ , iar pe $[- 1, 0]$ este deasupra $x^{3}$ . Fiecare bucată are aria $\frac{1}{4}$ , deci aria totală este $\frac{1}{2}$ , deși integrala diferenței este $0$ .

Cum aflu aria dintre două parabole?

La fel ca la o dreaptă: $y = 8 - x^{2}$ și $y = x^{2}$ se intersectează unde $2 x^{2} = 8$ , adică în $- 2$ și $2$ . Aria este $\int_{- 2}^{2} (8 - 2 x^{2}) d x = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$ , cu parabola $y = 8 - x^{2}$ deasupra, fiindcă în $0$ dă $8 > 0$ .

Oamenii mai întreabă și: aria dintre graficele a două viteze · diferența de distanță din graficul vitezei · interpretarea fizică a ariei dintre două curbe · cu cât l-a depășit un mobil pe altul pe grafic