Lungimea unei curbe și aria laterală (M2, științe ale naturii)

Un cablu întins între doi stâlpi are o lungime pe care nu o poți citi de pe hartă: distanța dintre stâlpi e una, iar firul, care se lasă în jos, e mai lung. La fel, tabla care acoperă un turn conic nu se măsoară cu raza acoperișului, ci cu învelișul lui desfășurat. Amândouă întrebările — cât de lungă e o curbă și cât de mare e pânza care o mătură prin rotire — au același răspuns la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2): o integrală definită, iar integrandul lor poartă același radical. Programa nouă le cere pe amândouă, iar la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 ele nu se cer: intră abia la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică.

Merită spus de la început, cinstit, cui i se adresează lecția. Cele două formule sunt aduse de programa aprobată prin OMEC 6930/2025 și ajung la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte: la bacalaureatul M2 din acele sesiuni, programa de examen cere de la acest capitol numai aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație. Dacă însă ești în prima promoție care învață după programa nouă, cele două formule de mai jos sunt materie de examen.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii și să folosești formula lungimii graficului unei funcții, cu toate condițiile ei.
• Vei ști să explici de unde vine radicalul $\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}$ și de ce el nu poate lipsi.
• Vei ști să calculezi aria învelișului unui corp de rotație și să deosebești această mărime de volum.
• Vei ști să regăsești, prin calcul, generatoarea conului, aria laterală a cilindrului și aria sferei, formule primite în gimnaziu.
• Vei ști să recunoști funcțiile la care radicalul iese exact și să le deosebești de cele la care integrala nu se poate scrie cu formule elementare.

Hai să descoperim împreună

1. Cum măsori o curbă care nu e dreaptă?

O sfoară întinsă peste grafic și apoi întinsă pe riglă ar da răspunsul, dar nu e o metodă de calcul. Ideea matematică e alta: înlocuiești curba cu o linie frântă ale cărei vârfuri stau pe ea, aduni lungimile segmentelor și îndesești vârfurile până când frântura se lipește de curbă.

Lungimea graficului lui $f$ este numărul $$L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx,$$ calculat pentru o funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ derivabilă pe $[a,b]$ și cu derivata continuă acolo. Cele două condiții cerute funcției nu sunt decor. Derivabilitatea face ca panta să existe în fiecare punct, iar continuitatea derivatei face ca funcția de sub integrală să fie continuă, deci integrabilă. Notăm lungimea cu $L$ și o păstrăm așa în toată lecția, ca să nu se încurce cu aria, care poartă simbolul $\mathcal{S}$.

Observă, înainte de orice calcul, un lucru care se vede din formulă: radicalul este cel puțin $1$, oricare ar fi funcția, deci $L\ge b-a$. O curbă nu poate fi mai scurtă decât proiecția ei pe axă — exact ce spune și bunul-simț despre cablul dintre stâlpi.

2. De unde vine radicalul?

Ia o bucată scurtă de grafic, de la abscisa $x$ până la $x+h$. Capetele ei sunt punctele de coordonate $(x,f(x))$ și $(x+h,f(x+h))$, iar segmentul care le unește este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $h$, pe orizontală, și $f(x+h)-f(x)$, pe verticală. Teorema lui Pitagora dă lungimea acelui segment: $$\sqrt{h^2+(f(x+h)-f(x){)}^2}=h\sqrt{1+{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)}^2}.$$ Sub radical a apărut raportul de variație al funcției, adică tocmai expresia care, când $h$ scade spre zero, se apropie de $f^{\prime }(x)$. Bucata de curbă are, așadar, lungimea aproximativ $h\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}$, iar adunarea tuturor acestor bucăți, cu $h$ din ce în ce mai mic, este exact ce face integrala.

Merită observat și de ce nu se poate mai simplu. Dacă am aduna numai creșterile funcției, am măsura urcușul, nu drumul; dacă am aduna numai pașii orizontali, am măsura umbra curbei pe axă. Drumul adevărat e ipotenuza, iar ipotenuza nu se obține adunând catetele, ci cu Pitagora — de aici forma neobișnuită a integrandului, care nu se simplifică aproape niciodată. Reține sensul, nu demonstrația, pe care programa nici nu o cere: radicalul măsoară cu cât e mai lung drumul pe curbă decât drumul pe axă. Unde graficul e orizontal, $f^{\prime }=0$, radicalul e $1$ și nu se adaugă nimic în plus; unde graficul urcă abrupt, radicalul crește, iar lungimea se umflă.

3. Ce iese pe o dreaptă?

Prima probă a oricărei formule noi e cazul pe care îl știai dinainte. Pentru $f(x)=mx+n$ pe $[a,b]$, derivata este constanta $m$, deci radicalul e și el o constantă: $$L={\int }_a^b\sqrt{1+m^2}dx=\sqrt{1+m^2}(b-a).$$ Compară cu Pitagora: segmentul de grafic are proiecția orizontală $b-a$ și proiecția verticală $m(b-a)$, deci lungimea lui este $\sqrt{(b-a{)}^2+m^2(b-a{)}^2}$, adică același număr. Formula trece proba.

De aici iese și prima ei aplicație utilă. Rotind un segment oblic în jurul axei, obții suprafața laterală a unui con sau a unui trunchi de con, iar segmentul însuși este generatoarea corpului, cea din lecția de gimnaziu despre conul circular drept. Lungimea calculată cu integrala trebuie să fie chiar generatoarea — și este.

4. Cât de mare e învelișul unui corp de rotație?

Aici trecem de la curbă la suprafață. Când bucata scurtă de grafic de la subsecțiunea 2 se învârte în jurul axei, ea mătură o fâșie îngustă, ca o panglică. Fâșia seamănă foarte bine cu suprafața laterală a unui trunchi de con foarte turtit: raza ei e cam $f(x)$, iar generatoarea ei e cam lungimea bucății de curbă, adică $h\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}$. Cum suprafața laterală a unui trunchi cu razele aproape egale are aria aproximativ „circumferința ori generatoarea", fâșia are aria aproximativ $2\pi f(x)\cdot h\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}$.

Adunând fâșiile obținem formula pe care o vom folosi mai departe. Notăm aria învelișului cu ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}$, ca să nu se confunde cu aria unei suprafețe plane: $${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx,$$ unde $f$ îndeplinește condițiile de la subsecțiunea 1 și, în plus, $f(x)\ge 0$ — altfel nu am avea o rază.

Proba pe cazul cunoscut se face în două rânduri. Pentru $f(x)=r$ pe $[0,h]$, derivata e nulă, radicalul e $1$, iar integrala dă $2\pi rh$: exact aria laterală a cilindrului, din lecția de gimnaziu despre cilindrul circular drept.

5. De ce nu merge fără radical?

Este greșeala care costă cel mai mult la acest capitol, iar ea are o explicație simplă. Cine scrie $2\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$ în loc de formula de mai sus înmulțește circumferința cu lățimea măsurată pe axă, nu cu drumul parcurs pe curbă. Învelișul nu e însă lipit de axă, ci de curbă: el e mai mare tocmai în măsura în care curba e mai lungă decât proiecția ei.

Se vede pe con. Pentru conul de rază $r$ și înălțime $h$, formula fără radical ar da $\pi rh$, adică produsul dintre rază și înălțime, în timp ce formula corectă dă $\pi rG$, unde $G$ este generatoarea. Cum $G>h$ ori de câte ori conul are o bază, prima valoare este mereu prea mică. Dacă vrei un semn de control rapid: aria învelișului se calculează cu generatoarea, nu cu înălțimea — regula din gimnaziu, regăsită acum prin integrală.

6. Când iese radicalul exact?

Aceasta e întrebarea practică a lecției, fiindcă $\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}$ nu se simplifică aproape niciodată. La acest profil se folosesc trei familii de funcții, alese tocmai pentru că radicalul lor se desface frumos.

Dreapta. Derivata e constantă, radicalul e constant, iar integrala se reduce la o înmulțire. De aici ies conul și trunchiul de con.

Semicercul. Pentru $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$, deci $1+(f^{\prime }(x){)}^2=\frac{r^2}{r^2-x^2}$, iar radicalul devine $\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}$. Pus în formula ariei, el se simplifică de-a dreptul cu funcția: rămâne constanta $2\pi r$, deci pentru orice interval $[x_1,x_2]$ dinăuntrul lui $(-r,r)$ obținem $${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi r\left(x_2-x_1\right).$$ Rezultatul e surprinzător și merită reținut: aria unei felii de sferă nu depinde de locul unde tai, ci numai de grosimea feliei. Lăsând capetele să se apropie de $-r$ și de $r$, se obține aria întregii sfere, $4\pi r^2$ — formula din gimnaziu, de la sferă. În capetele $\pm r$ derivata nu există, așa că formula se aplică înăuntru, iar valoarea totală se citește ca o trecere la limită; la acest profil rezultatul se folosește, nu se demonstrează.

Funcția $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$, pe intervale din $[0,+\infty )$. Derivata ei se află cu regula produsului: din ${\left(x\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ rezultă $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}$. Atunci $1+(f^{\prime }(x){)}^2=1+x$, iar radicalul devine $\sqrt{1+x}$, a cărui primitivă, $\frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x}$, se obține cu schimbarea de variabilă de la lecția despre integrarea prin schimbare de variabilă. Este singura funcție din lecție care nu e nici dreaptă, nici arc de cerc, iar rolul ei e să arate că metoda merge și dincolo de corpurile rotunde.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lungimea unui segment oblic

Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{3}+1$, și spune ce corp obții rotind subgraficul ei.

Rezolvare. $f$ este derivabilă, cu $f^{\prime }(x)=\frac{4}{3}$, constantă și continuă. Radicalul este $\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$, deci $$L={\int }_0^6\frac{5}{3}dx=\frac{5}{3}\cdot 6=10.$$ Capetele dau $f(0)=1$ și $f(6)=9$, deci prin rotație obții un trunchi de con cu razele $1$ și $9$ și înălțimea $6$. Generatoarea lui, calculată cu Pitagora din diferența razelor și din înălțime, este $\sqrt{8^2+6^2}=10$: exact lungimea găsită.

Exemplul 2 — Aria laterală a unui con

Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{12x}{5}$, în jurul axei $Ox$.

Rezolvare. Avem $f^{\prime }(x)=\frac{12}{5}$, deci radicalul este $\sqrt{1+\frac{144}{25}}=\frac{13}{5}$. Atunci $${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^5\frac{12x}{5}\cdot \frac{13}{5}dx=\frac{312\pi }{25}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^5=156\pi .$$ Corpul este conul de rază $12$ și înălțime $5$, a cărui generatoare este $\sqrt{144+25}=13$; formula din gimnaziu dă $\pi \cdot 12\cdot 13=156\pi$, aceeași valoare.

Exemplul 3 — O felie de sferă

O sferă de rază $10$ este tăiată cu două plane perpendiculare pe axa $Ox$, duse prin punctele de abscise $3$ și $8$. Calculează aria feliei de suprafață cuprinse între ele.

Rezolvare. Profilul sferei este $f(x)=\sqrt{100-x^2}$, iar pe intervalul $[3,8]$ funcția e derivabilă, cu derivata continuă. Am văzut la subsecțiunea 6 că integrandul se reduce la constanta $2\pi r$, deci $${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot 10{\int }_3^{8}1dx=20\pi \cdot 5=100\pi .$$ Verificarea de mărime: toată sfera are aria $4\pi \cdot 100=400\pi$, iar felia noastră, groasă de $5$ unități dintr-un diametru de $20$, ocupă un sfert din ea — ceea ce se potrivește cu rezultatul găsit.

Exemplul 4 — Funcția cu radical exact

Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

Rezolvare. Derivata este $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}$, deci $1+(f^{\prime }(x){)}^2=1+x$ și $$L={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x}{|}_0^3=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.$$ Controlul de mărime: intervalul are lungimea $3$, iar graficul urcă de la $0$ la $2\sqrt{3}\approx 3,46$, deci lungimea curbei trebuie să fie între $3$ și $3+3,46=6,46$. Valoarea $\frac{14}{3}\approx 4,67$ se încadrează.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează aria învelișului conului generat de $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{15x}{8}$, și scrie: „${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^8\frac{15x}{8}dx=2\pi \cdot \frac{15}{8}\cdot 32=120\pi$." Găsește greșeala și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Elevul a uitat radicalul, adică a măsurat fâșiile cu lățimea lor pe axă, nu cu bucata de curbă pe care o mătură. Cum $f^{\prime }(x)=\frac{15}{8}$, radicalul este $\sqrt{1+\frac{225}{64}}=\frac{17}{8}$, deci $${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^8\frac{15x}{8}\cdot \frac{17}{8}dx=\frac{255\pi }{32}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^8=255\pi .$$ Valoarea greșită are și ea un înțeles, ceea ce o face periculoasă: $120\pi$ este produsul dintre rază, înălțime și $\pi$, adică ce ar ieși dacă generatoarea ar fi înlocuită cu înălțimea. Conul are raza $15$, înălțimea $8$ și generatoarea $17$, iar $\pi \cdot 15\cdot 17=255\pi$ confirmă rezultatul corect.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră funcția $f:[0,24]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{7x}{24}$.

a) Calculează lungimea graficului funcției $f$.

b) Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului lui $f$ în jurul axei $Ox$.

c) Arată că această arie este de $\frac{25}{7}$ ori mai mare decât aria discului de bază al corpului.

Rezolvare. a) $f^{\prime }(x)=\frac{7}{24}$, iar radicalul este $\sqrt{1+\frac{49}{576}}=\frac{25}{24}$, deci $L=\frac{25}{24}\cdot 24=25$.

b) ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^{24}\frac{7x}{24}\cdot \frac{25}{24}dx=\frac{350\pi }{576}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^{24}=175\pi$. Corpul este conul de rază $7$, înălțime $24$ și generatoare $25$, iar $\pi \cdot 7\cdot 25=175\pi$.

c) Discul de bază are raza $7$, deci aria $49\pi$. Raportul cerut este $\frac{175\pi }{49\pi }=\frac{25}{7}$, adică raportul dintre generatoare și rază — cum era de așteptat, de vreme ce aria învelișului este $\pi rG$, iar cea a bazei $\pi r^2$.

Să exersăm

1. Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,21]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{20x}{21}$.

2. Calculează lungimea graficului funcției $f:[2,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=5$, și explică rezultatul fără integrală.

3. Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{40x}{9}+2$.

4. Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=6$, în jurul axei $Ox$, și precizează ce corp mărginește.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă dublezi panta unei drepte, lungimea graficului ei pe același interval se dublează și ea.

6. Calculează aria învelișului conului generat de $f:[0,35]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{12x}{35}$.

7. Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

8. O sferă de rază $6$ este tăiată de planele duse prin punctele de abscise $-2$ și $2$. Calculează aria feliei de suprafață dintre ele.

9. Calculează aria sferei de rază $7$, folosind rezultatul de la subsecțiunea 6.

10. Aria învelișului unui con cu raza bazei $8$ este $96\pi$. Află generatoarea conului.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{4}$. a) Calculează lungimea graficului. b) Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului în jurul axei $Ox$. c) Precizează corpul obținut și dimensiunile lui.

12. Ce grosime trebuie să aibă o felie tăiată dintr-o sferă de rază $5$ pentru ca aria ei să fie $40\pi$?

13. (Problemă aplicată.) Acoperișul conic al unui foișor are raza de $6$ metri și înălțimea de $8$ metri. Câți metri pătrați de tablă sunt necesari pentru înveliș, fără a socoti pierderile la tăiere?

14. Calculează aria învelișului obținut prin rotirea graficului funcției $f:[0,12]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x}{12}+2$, și verifică rezultatul cu formula din gimnaziu pentru trunchiul de con, $\pi (R+r)G$.

15. Un cilindru are raza $4$, iar aria învelișului său este $72\pi$. Află înălțimea cilindrului.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $f:[0,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{64-x^2}$. a) Arată că prin rotirea graficului se obține învelișul unei jumătăți de sferă. b) Calculează aria învelișului măturat de porțiunea de grafic dintre $0$ și $t$, unde $0<t<8$. c) Arată că, apropiind $t$ de $8$, aria de la punctul b) se apropie de $128\pi$, și compară acest număr cu aria discului de rază $8$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Calculează lungimea graficului funcției $f:[0,15]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$.

18. (Provocare.) Un trunchi de con are razele $R$ și $r$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$. Pornind de la formula ariei învelișului, arată că aria lui laterală este $\pi (R+r)G$ — formula primită în gimnaziu.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=\frac{20}{21}$, radicalul este $\sqrt{1+\frac{400}{441}}=\frac{29}{21}$, deci $L=\frac{29}{21}\cdot 21=29$. Pitagora confirmă: segmentul are proiecțiile $21$ și $20$, iar $\sqrt{441+400}=29$.

2. $f^{\prime }(x)=0$, radicalul este $1$, deci $L={\int }_2^{9}1dx=7$. Fără integrală: graficul este un segment orizontal, iar lungimea lui este chiar lungimea intervalului.

3. $f^{\prime }(x)=\frac{40}{9}$, radicalul este $\sqrt{1+\frac{1600}{81}}=\frac{41}{9}$, deci $L=\frac{41}{9}\cdot 9=41$. Capetele fiind $2$ și $42$, segmentul are proiecțiile $9$ și $40$, iar $\sqrt{81+1600}=41$.

4. Derivata e nulă, radicalul este $1$, deci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^{3}6dx=36\pi$. Corpul este cilindrul de rază $6$ și înălțime $3$, iar $2\pi \cdot 6\cdot 3=36\pi$.

5. Fals. Pentru $f(x)=mx+n$ lungimea este $\sqrt{1+m^2}(b-a)$, iar pentru panta $2m$ ea devine $\sqrt{1+4m^2}(b-a)$. Dublul primei ar fi $\sqrt{4+4m^2}(b-a)$, iar $1+4m^2<4+4m^2$ pentru orice $m$, deci lungimea nouă este mereu mai mică decât dublul. Pe un interval de lungime $3$, panta $1$ dă $3\sqrt{2}\approx 4,24$, iar panta $2$ dă $3\sqrt{5}\approx 6,71$, nu $6\sqrt{2}\approx 8,49$.

6. $f^{\prime }(x)=\frac{12}{35}$, radicalul este $\frac{37}{35}$, iar ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot \frac{12}{35}\cdot \frac{37}{35}\cdot \frac{35^2}{2}=444\pi$. Conul are raza $12$ și generatoarea $37$, iar $\pi \cdot 12\cdot 37=444\pi$.

7. $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}$, deci $L={\int }_0^8\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x}{|}_0^8=\frac{2}{3}(27-1)=\frac{52}{3}$.

8. Felia are grosimea $4$, iar raza sferei este $6$, deci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot 6\cdot 4=48\pi$. Toată sfera are $4\pi \cdot 36=144\pi$, deci felia este o treime din ea.

9. Aria sferei este $4\pi r^2$, deci $4\pi \cdot 49=196\pi$. Se poate citi și ca felie de grosime maximă, $2\pi \cdot 7\cdot 14=196\pi$ — cu grija că în capetele $\pm 7$ derivata nu există, așa că grosimea $14$ se atinge abia prin trecere la limită.

10. Din $\pi \cdot 8\cdot G=96\pi$ rezultă $G=12$. Cum generatoarea este mai mare decât raza, valoarea găsită e plauzibilă.

11. a) $f^{\prime }(x)=\frac{3}{4}$, radicalul este $\frac{5}{4}$, deci $L=\frac{5}{4}\cdot 4=5$. b) ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_0^4\frac{3x}{4}\cdot \frac{5}{4}dx=\frac{15\pi }{8}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=15\pi$. c) Conul de rază $3$, înălțime $4$ și generatoare $5$; formula din gimnaziu dă $\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi$.

12. Aria unei felii de grosime $g$ este $2\pi \cdot 5\cdot g=10\pi g$. Din $10\pi g=40\pi$ rezultă $g=4$, valoare care are sens, fiind mai mică decât diametrul $10$.

13. Generatoarea este $\sqrt{36+64}=10$ metri, deci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi \approx 188,5$ metri pătrați de tablă. Dacă am fi socotit cu înălțimea în loc de generatoare, am fi obținut $48\pi \approx 150,8$, adică am fi comandat cu aproape $38$ de metri pătrați mai puțin decât trebuie.

14. $f^{\prime }(x)=\frac{5}{12}$, radicalul este $\frac{13}{12}$, iar ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot \frac{13}{12}{\int }_0^{12}\left(\frac{5x}{12}+2\right)dx=2\pi \cdot \frac{13}{12}\cdot 54=117\pi$. Razele sunt $2$ și $7$, generatoarea $\sqrt{25+144}=13$, iar $\pi (7+2)\cdot 13=117\pi$.

15. Profilul e o funcție constantă, deci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot 4\cdot h=72\pi$, de unde $h=9$.

16. a) Expresia de sub radical e pozitivă pe $[0,8]$, iar graficul este un sfert de cerc de rază $8$; rotit, el mătură învelișul unei jumătăți de sferă. b) Pe $[0,t]$, cu $t<8$, funcția este derivabilă și cu derivata continuă, iar integrandul se reduce la $2\pi \cdot 8$, deci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=16\pi t$. c) Apropiind $t$ de $8$, valoarea $16\pi t$ se apropie de $128\pi$; în $x=8$ derivata nu există, așa că aria întregii jumătăți de sferă se citește, ca la subsecțiunea 6, printr-o trecere la limită. Discul de rază $8$ are aria $64\pi$, deci învelișul este de două ori mai mare decât discul.

17. $L={\int }_0^{15}\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x)\sqrt{1+x}{|}_0^{15}=\frac{2}{3}(64-1)=42$.

18. Așezăm trunchiul cu axa pe $Ox$ și cu baza de rază $r$ în origine: profilul este $f(x)=r+\frac{R-r}{h}x$ pe $[0,h]$, funcție de gradul întâi, cu valori pozitive. Derivata este constanta $\frac{R-r}{h}$, deci radicalul devine $\sqrt{1+\frac{(R-r{)}^2}{h^2}}=\frac{\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}}{h}=\frac{G}{h}$, fiindcă generatoarea este ipotenuza triunghiului cu catetele $h$ și $R-r$. Atunci ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi \cdot \frac{G}{h}{\int }_0^h\left(r+\frac{R-r}{h}x\right)dx=2\pi \cdot \frac{G}{h}\cdot \frac{(R+r)h}{2}=\pi (R+r)G$. Pentru $r=R$ iese aria laterală a cilindrului, $2\pi Rh$, iar pentru $r=0$ cea a conului, $\pi RG$.

De reținut

• Lungimea graficului unei funcții derivabile, cu derivata continuă, este $L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$, iar radicalul arată cu cât e mai lung drumul pe curbă decât pe axă.
• Orice curbă e cel puțin cât proiecția ei: $L\ge b-a$, cu egalitate doar la funcțiile constante.
• Aria învelișului măturat prin rotație este ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$, cu $f\ge 0$; ea se măsoară în unități pătratice, spre deosebire de volum.
• La un con, aria învelișului se calculează cu generatoarea, nu cu înălțimea; înlocuirea lor dă mereu un rezultat prea mic.
• La sferă, integrandul ariei se reduce la o constantă, deci o felie de suprafață are aria $2\pi r$ ori grosimea ei, iar sfera întreagă are $4\pi r^2$.

Greșeli frecvente

• Se uită radicalul la aria învelișului. Se scrie $2\pi \int f$, ceea ce ar însemna că fâșia are lățimea măsurată pe axă. Corect: fâșia e lipită de curbă, deci lățimea ei este bucata de curbă, iar aceasta aduce radicalul.
• Se ridică derivata la pătrat după ce s-a adunat cu $1$. Se scrie $\sqrt{(1+f^{\prime }(x){)}^2}$, care se simplifică la $1+f^{\prime }(x)$ și dă alt rezultat. Corect: se ridică la pătrat numai derivata, iar $1$ se adaugă abia apoi.
• Se confundă lungimea cu aria sau cu volumul. Cele trei mărimi ale aceluiași corp se măsoară în unități diferite: lungimea în unități simple, aria în unități pătratice, volumul în unități cubice. Corect: citești în enunț ce se cere înainte de a alege formula.
• Se ia înălțimea drept generatoare. La con și la trunchi de con, generatoarea este ipotenuza, deci se obține din teorema lui Pitagora, nu din desen. Corect: o calculezi din rază (sau din diferența razelor) și din înălțime.
• Se aplică formula pe un interval unde derivata nu există. La semicerc, capetele $\pm r$ nu intră în intervalul de lucru, fiindcă acolo panta devine verticală. Corect: se lucrează pe un interval dinăuntru, iar rezultatul pentru sfera întreagă se citește ca trecere la limită.

Aplică acasă

1. Întinde o sfoară între două cuie bătute în același nivel, la o jumătate de metru distanță, și lasă-o să atârne puțin. Măsoară cu rigla distanța dintre cuie și, apoi, lungimea sforii desprinse și întinse. Notează raportul dintre cele două numere și repetă experimentul cu sfoara mai lăsată; verifică astfel, pe măsurători, că lungimea curbei e mereu mai mare decât distanța dintre capete.

2. Taie dintr-o hârtie un sfert de disc de rază $10$ centimetri și lipește-l ca pe un con, suprapunând cele două raze. Măsoară raza bazei conului obținut, apoi calculează aria învelișului lui în două feluri: cu formula $\pi rG$ și direct, ca arie a sfertului de disc decupat. Compară valorile și explică de ce trebuie să fie egale.

3. Ia o portocală și un pahar cilindric în care ea intră fix. Taie din coajă două inele de aceeași lățime, unul de la mijlocul fructului și unul de lângă capăt, și cântărește-le. Masa aproape egală a celor două inele este verificarea, în bucătărie, a rezultatului de la subsecțiunea 6.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul scrie radicalul înainte de a integra; dacă deosebește lungimea de arie și de volum; dacă folosește generatoarea, nu înălțimea, la învelișul conului; și dacă recunoaște cele trei familii de funcții la care calculul se poate duce până la capăt.

Un sfat de organizare a învățării: cele două formule se scriu una sub alta, pe aceeași pagină de caiet, cu radicalul încercuit în amândouă. Elevul vede atunci dintr-o privire că singura deosebire dintre ele este factorul $2\pi f(x)$, adică circumferința cercului pe care îl descrie punctul de pe grafic în timpul rotirii. Este cea mai încărcată lecție a capitolului, pentru că aduce două formule deodată. Ele se țin minte mai ușor împreună decât separat: a doua este prima înmulțită cu circumferința cercului descris de punctul de pe grafic. Dacă elevul reține acest lucru, nu mai are de memorat decât radicalul.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „De ce apare radicalul?"; „Poate fi o curbă mai scurtă decât proiecția ei?"; „Cu ce se înmulțește circumferința ca să iasă aria învelișului?"; „De ce la sferă iese un rezultat atât de simplu?". Semne că a înțeles: verifică mărimea rezultatului comparându-l cu lungimea intervalului; la con calculează întâi generatoarea; spune singur în ce unități se măsoară fiecare rezultat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținuturile „lungimea unei curbe" și „aria laterală a unui corp de rotație", iar o notă a programei precizează că se studiază corpurile obținute prin rotații în jurul axei $Ox$, de exemplu sfera, cilindrul circular și conul. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține de la acest capitol numai aria unei suprafețe plane și volumul unui corp de rotație; cele două formule de aici nu apar acolo la niciun capitol, deci nu se dau în acele sesiuni. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care este formula lungimii unei curbe?

Pentru o funcție $f$ derivabilă, cu derivata continuă pe $[a,b]$, lungimea graficului este $L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$. Radicalul măsoară cât de mult se abate curba de la orizontală: unde graficul e plat el valorează $1$, unde urcă abrupt crește. De aceea lungimea este întotdeauna cel puțin cât intervalul.

De unde vine radicalul din formulă?

Din teorema lui Pitagora. O bucată scurtă de grafic este aproape un segment, iar acel segment e ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu cateta orizontală egală cu pasul și cu cea verticală egală cu creșterea funcției. Scoțând pasul factor comun sub radical, rămâne $1$ plus pătratul raportului de variație, care se apropie de derivată.

Cum se calculează aria învelișului unui corp de rotație?

Cu formula ${\mathcal{S}}_{\text{lat}}=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$, valabilă pentru o funcție pozitivă, derivabilă și cu derivata continuă. Fiecare bucată de curbă mătură, prin rotire, o fâșie a cărei arie este aproximativ circumferința cercului descris, adică $2\pi f(x)$, înmulțită cu lungimea bucății de curbă; adunarea fâșiilor este chiar integrala.

De ce nu pot folosi înălțimea în locul generatoarei?

Pentru că fâșiile de înveliș sunt lipite de curbă, nu de axă. La un con, generatoarea este ipotenuza triunghiului format din rază și înălțime, deci este mai lungă decât înălțimea; folosind înălțimea ai obține $\pi rh$ în loc de $\pi rG$, adică un rezultat mai mic decât suprafața adevărată, ceea ce la o comandă de material se vede imediat.

De ce iese atât de simplu aria sferei?

Pentru că la semicerc radicalul devine $\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}$, iar sub integrală el se simplifică exact cu funcția, lăsând o constantă. Consecința este că o felie de suprafață are aria $2\pi r$ ori grosimea ei, indiferent de locul tăieturii, iar sfera întreagă, groasă cât diametrul, ajunge la $4\pi r^2$.

La ce funcții se poate duce calculul până la capăt?

La trei familii, și de aceea ele apar în toate exercițiile: dreapta, unde radicalul e o constantă; semicercul, unde radicalul se simplifică cu funcția; și $f(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$, unde sub radical rămâne $1+x$. La majoritatea celorlalte funcții, chiar simple, integrala există, dar nu se poate scrie cu formulele învățate.

La ce subiect se dau aceste formule la bacalaureatul M2?

Deocamdată la niciunul: programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 nu conține lungimea unei curbe și nici aria laterală, deci ele nu pot fi cerute acolo. Intră în probă din 2030, la MAT_P2, în domeniul Analiză matematică. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Se studiază lungimea unei curbe și la mate-info (M1)?

Nu. Programa de mate-info are, la aplicațiile integralei, ariile și volumele, plus centrul de greutate al unei plăci plane, dar nu cuprinde nici lungimea unei curbe, nici aria laterală: ele sunt aduse de programa nouă, numai la științe ale naturii. Pentru comparație, cel mai apropiat capitol de la mate-info (M1): Volume de rotație în probleme.