Aria suprafețelor poligonale prin descompunere în triunghiuri

Deschide o hartă digitală și uită-te la parcelele dintr-un sat sau la curțile dintr-un cartier vechi. Aproape niciuna nu e dreptunghi. Sunt patrulatere strâmbe, terenuri cu cinci sau șase colțuri, forme care urmează un drum, un pârâu sau un gard vechi. Pentru niciuna dintre ele nu există o „formulă de manual" a ariei — și nici nu are rost să existe, pentru că formele posibile sunt infinite.

Există, în schimb, o singură idee care le rezolvă pe toate: taie figura în triunghiuri. Triunghiul e singura formă pe care o știm calcula în orice situație — cu formula sinusului dacă avem două laturi și unghiul dintre ele, cu formula lui Heron dacă avem cele trei laturi. Iar aria unei suprafețe tăiate în bucăți care nu se suprapun este suma ariilor bucăților. Cu aceste două lucruri poți calcula suprafața oricărui teren din lume, oricât de ciudată i-ar fi forma.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria unui patrulater oarecare ducând o diagonală și însumând două arii.
• Vei ști să descompui un poligon convex cu $n$ laturi în $n-2$ triunghiuri și să organizezi calculul într-un tabel.
• Vei ști să aplici metoda măsurătorii „în stea", din topografie, și să folosești verificarea gratuită pe care ți-o oferă.
• Vei ști să calculezi aria unui poligon regulat descompunându-l în triunghiuri isoscele.
• Vei ști să afli diagonala de care ai nevoie, atunci când nu ți se dă, cu teorema lui Pitagora sau cu teorema cosinusului.
• Vei ști să transformi o problemă de teren într-un plan de calcul și să verifici dacă rezultatul e plauzibil.

Hai să descoperim împreună

1. Principiul: aria se adună

Totul pornește de la o proprietate simplă, pe care o folosim de la ciclul primar fără s-o numim: dacă o suprafață este împărțită în bucăți care nu se suprapun, aria întregului este suma ariilor bucăților.

Pentru poligoane, împărțirea cea mai comodă este în triunghiuri, din trei motive: triunghiul e cea mai simplă figură plană; știm să-i calculăm aria în toate situațiile; și orice poligon se poate tăia în triunghiuri.

Strategia are, așadar, trei pași, mereu aceiași:

1. taie poligonul în triunghiuri, ducând diagonale;
2. calculează aria fiecărui triunghi cu formula potrivită datelor lui;
3. adună.

Restul lecției este despre cum tai inteligent, ca să ai nevoie de cât mai puține măsurători suplimentare.

2. Patrulaterul: o singură diagonală

Un patrulater $ABCD$ se taie în două triunghiuri ducând o diagonală, de exemplu $AC$:

$${\mathcal{S}}_{ABCD}={\mathcal{S}}_{ABC}+{\mathcal{S}}_{ACD}.$$

Exemplu. Patrulaterul $ABCD$ are $AB=6$, $BC=8$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=17$ și $DA=21$.

Colțul drept din $B$ ne dă imediat diagonala, cu teorema lui Pitagora:

$$AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10.$$

Prima bucată, triunghiul dreptunghic $ABC$, are aria $\frac{6\cdot 8}{2}=24$. A doua bucată, triunghiul $ACD$, are toate cele trei laturi cunoscute — $10$, $17$, $21$ — deci folosim Heron: $p=24$ și

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84.$$

Aria patrulaterului este $24+84=108$.

Observă cum fiecare bucată și-a primit formula ei: la prima aveam catete, la a doua aveam trei laturi. Asta e regula: nu forța aceeași formulă peste tot, ci alege pentru fiecare triunghi ce i se potrivește.

3. Când diagonala nu e nevoie deloc

Există o situație în care poți sări complet peste calculul diagonalei: când cunoști toate cele patru laturi și cele două unghiuri opuse dintre ele. Atunci diagonala taie patrulaterul în două triunghiuri, iar fiecare are deja „două laturi și unghiul dintre ele".

Exemplu. Un teren $ABCD$ are $AB=30$ m, $BC=42$ m, $m(\angle B)=115^{\circ }$, $CD=25$ m, $DA=36$ m și $m(\angle D)=95^{\circ }$.

Diagonala $AC$ îl taie în triunghiurile $ABC$ (cu unghiul $B$ între laturile date) și $ACD$ (cu unghiul $D$ între laturile date). Cu $\sin 115^{\circ }\approx 0,9063$ și $\sin 95^{\circ }\approx 0,9962$:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 42\cdot 0,9063\approx 570,97{\text{m}}^2,$$

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 36\cdot 0,9962\approx 448,29{\text{m}}^2.$$

Total: aproximativ $1019,3$ m². Diagonala nici măcar nu a fost calculată — nu era nevoie de ea.

4. Când diagonala trebuie calculată

Dacă unghiul dintre laturi nu e drept și nici nu ți se dă diagonala, o obții cu teorema cosinusului. De exemplu, într-un patrulater cu $AB=7$, $BC=15$ și $m(\angle B)=60^{\circ }$:

$$A{C}^2=7^2+15^2-2\cdot 7\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ }=49+225-210\cdot \frac{1}{2}=274-105=169,$$

deci $AC=13$. Acum ai o latură comună celor două triunghiuri și poți continua cu Heron pe a doua bucată.

Ordinea de lucru, pe scurt: caută colțul despre care știi cel mai mult (unghi drept sau unghi cunoscut), calculează de acolo diagonala, apoi rezolvă a doua bucată.

5. Poligonul cu $n$ laturi: $n-2$ triunghiuri

Pentru un poligon convex cu $n$ vârfuri, alegi un vârf și duci toate diagonalele din el. Se formează exact

$$n-2\text{triunghiuri}.$$

Un patrulater dă $2$ triunghiuri, un pentagon $3$, un hexagon $4$. Verificarea rapidă: din vârful ales pleacă $n-3$ diagonale, care taie interiorul în $n-2$ felii.

Exemplu. Un teren $ABCDE$ cu cinci colțuri. Topograful a măsurat laturile și cele două diagonale din $A$: $AB=12$, $BC=16$, $AC=20$; $CD=15$, $AD=25$; $DE=26$, $EA=17$. Organizăm calculul într-un tabel:

Aria totală: $96+150+204=450$ m². Tabelul nu e o cochetărie: la trei sau patru bucăți, el te ferește de cea mai frecventă eroare, aceea de a folosi o latură într-un triunghi în care ea nu apare.

6. Metoda „în stea": vârful în mijlocul terenului

Topografii folosesc adesea o altă tăiere, mai comodă pe teren. Se așază cu aparatul într-un punct $O$ din interiorul terenului, de unde se văd toate colțurile, și măsoară:

• distanțele de la $O$ la fiecare colț: $OA$, $OB$, $OC$, …;
• unghiurile dintre direcțiile vecine: $\angle AOB$, $\angle BOC$, …

Terenul se împarte astfel în $n$ triunghiuri cu vârful comun $O$, fiecare având „două laturi și unghiul dintre ele" — exact ce cere formula cu sinus:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin (\angle AOB)+\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OC\cdot \sin (\angle BOC)+\dots$$

Marele avantaj al metodei este o verificare gratuită: unghiurile măsurate în jurul punctului $O$ trebuie să însumeze exact $360^{\circ }$. Dacă suma iese $364^{\circ }$, ai o eroare de măsurare de patru grade și trebuie să reiei citirile înainte de a calcula orice arie.

Exemplu. Un teren cu patru colțuri, măsurat din punctul interior $O$: $OA=20$ m, $OB=26$ m, $OC=24$ m, $OD=18$ m; $m(\angle AOB)=95^{\circ }$, $m(\angle BOC)=80^{\circ }$, $m(\angle COD)=110^{\circ }$, $m(\angle DOA)=75^{\circ }$.

Verificarea: $95^{\circ }+80^{\circ }+110^{\circ }+75^{\circ }=360^{\circ }$ ✓. Calculăm cele patru arii:

$$\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 26\cdot \sin 95^{\circ }\approx 259,01;\frac{1}{2}\cdot 26\cdot 24\cdot \sin 80^{\circ }\approx 307,26;$$

$$\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18\cdot \sin 110^{\circ }\approx 202,97;\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 20\cdot \sin 75^{\circ }\approx 173,87.$$

Aria terenului este aproximativ $943,1$ m².

7. Poligoanele regulate: $n$ triunghiuri isoscele identice

Un poligon regulat (toate laturile egale și toate unghiurile egale) are un centru $O$ aflat la aceeași distanță $R$ de toate vârfurile. Metoda „în stea" devine aici deosebit de simplă: cele $n$ triunghiuri sunt identice, isoscele, cu laturile $R$ și cu unghiul la centru

$$\frac{360^{\circ }}{n}.$$

Prin urmare

$$\mathcal{S}=n\cdot \frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}.$$

Hexagonul regulat cu latura $6$. La hexagon, unghiul la centru are $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$, deci fiecare triunghi este chiar echilateral, iar $R$ este egal cu latura. Aria:

$$\mathcal{S}=6\cdot \frac{1}{2}\cdot 36\cdot \sin 60^{\circ }=108\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3}\approx 93,53.$$

Octogonul regulat cu $R=10$. Unghiul la centru are $45^{\circ }$, deci

$$\mathcal{S}=8\cdot \frac{1}{2}\cdot 100\cdot \sin 45^{\circ }=400\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=200\sqrt{2}\approx 282,84.$$

Un joc care merită făcut: mărește pe $n$ și vezi ce se întâmplă. Pentru $R=10$, obții $259,81$ la $n=6$, apoi $300$ la $n=12$ și $312,57$ la $n=36$ — valori care se apropie de aria discului de rază $10$, adică $100\pi \approx 314,16$. Poligonul regulat cu multe laturi „devine" cerc.

8. Figuri compuse și figuri din care se scade

Uneori e mai rapid să scazi decât să aduni. Un teren dreptunghiular de $30$ m pe $20$ m, căruia i s-a tăiat un colț triunghiular cu catetele de $8$ m și $6$ m, are aria

$$30\cdot 20-\frac{8\cdot 6}{2}=600-24=576{\text{m}}^2.$$

Aceeași idee funcționează la o curte cu un bazin, la o grădină cu o alee sau la o hală cu un birou decupat în colț. Principiul rămâne cel de la început: aria se adună — deci și se scade, când o bucată e „scoasă" din întreg.

Și un caz special, foarte des în probleme: trapezul. Diagonala îl taie în două triunghiuri care au aceeași înălțime, egală cu înălțimea trapezului. Pentru bazele $20$ și $12$ și înălțimea $8$:

$$\mathcal{S}=\frac{20\cdot 8}{2}+\frac{12\cdot 8}{2}=80+48=128,$$

exact cât dă formula cunoscută $\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{32\cdot 8}{2}=128$ ✓. Descompunerea nu contrazice formulele vechi, ci le explică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Patrulater cu un colț drept

Patrulaterul $ABCD$ are $AB=8$, $BC=15$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=25$ și $DA=28$. Calculați aria.

Rezolvare. Ducem diagonala $AC$. În triunghiul dreptunghic $ABC$:

$$AC=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17,{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{8\cdot 15}{2}=60.$$

Triunghiul $ACD$ are laturile $17$, $25$, $28$. Verificăm că există: $17+25=42>28$ ✓. Cu Heron, $p=35$ și

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{35\cdot 18\cdot 10\cdot 7}=\sqrt{44100}=210.$$

Aria patrulaterului este $60+210=270$. $■$

Exemplul 2 — Fără diagonală, cu două unghiuri

Terenul $ABCD$ are $AB=30$ m, $BC=42$ m, $m(\angle B)=115^{\circ }$, $CD=25$ m, $DA=36$ m și $m(\angle D)=95^{\circ }$. Câți metri pătrați are?

Rezolvare. Diagonala $AC$ taie terenul în triunghiurile $ABC$ și $ACD$, iar în fiecare avem deja două laturi și unghiul dintre ele:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 42\cdot \sin 115^{\circ }\approx 630\cdot 0,9063\approx 570,97{\text{m}}^2,$$

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 36\cdot \sin 95^{\circ }\approx 450\cdot 0,9962\approx 448,29{\text{m}}^2.$$

Total: aproximativ $1019,3$ m², adică puțin peste $10$ ari. $■$

Exemplul 3 — Teren cu cinci colțuri

Un teren $ABCDE$ are $AB=12$ m, $BC=16$ m, $CD=15$ m, $DE=26$ m, $EA=17$ m, iar diagonalele din $A$ măsoară $AC=20$ m și $AD=25$ m. Calculați suprafața.

Rezolvare. Cele două diagonale taie terenul în trei triunghiuri, fiecare cu toate laturile cunoscute, deci aplicăm Heron de trei ori:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{24\cdot 12\cdot 8\cdot 4}=96;{\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{30\cdot 10\cdot 15\cdot 5}=150;{\mathcal{S}}_{ADE}=\sqrt{34\cdot 9\cdot 8\cdot 17}=204.$$

Suprafața este $96+150+204=450$ m². Observație utilă: triunghiurile $ABC$ ($12,16,20$) și $ACD$ ($15,20,25$) sunt dreptunghice, deci ariile lor se pot verifica și cu semiprodusul catetelor: $\frac{12\cdot 16}{2}=96$ ✓ și $\frac{15\cdot 20}{2}=150$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Măsurătoare „în stea"

Un teren cu patru colțuri a fost măsurat dintr-un punct interior $O$: $OA=20$ m, $OB=26$ m, $OC=24$ m, $OD=18$ m, iar unghiurile sunt $m(\angle AOB)=95^{\circ }$, $m(\angle BOC)=80^{\circ }$, $m(\angle COD)=110^{\circ }$, $m(\angle DOA)=75^{\circ }$. Verificați măsurătoarea și calculați aria.

Rezolvare. Verificarea: $95^{\circ }+80^{\circ }+110^{\circ }+75^{\circ }=360^{\circ }$ ✓ — măsurătorile sunt coerente. Apoi:

$$\mathcal{S}\approx 259,01+307,26+202,97+173,87\approx 943,1{\text{m}}^2,$$

cele patru valori fiind $\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 26\cdot \sin 95^{\circ }$, $\frac{1}{2}\cdot 26\cdot 24\cdot \sin 80^{\circ }$, $\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18\cdot \sin 110^{\circ }$ și $\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 20\cdot \sin 75^{\circ }$. $■$

Exemplul 5 — Poligon regulat

O piațetă are forma unui octogon regulat, iar distanța de la centru la fiecare colț este de $10$ m. Câți metri pătrați de pavaj sunt necesari?

Rezolvare. Octogonul se împarte în $8$ triunghiuri isoscele identice, cu laturile de $10$ m și unghiul la centru de $\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$:

$$\mathcal{S}=8\cdot \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10\cdot \sin 45^{\circ }=400\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=200\sqrt{2}\approx 282,84{\text{m}}^2.$$

Control de plauzibilitate: octogonul e cuprins în discul de rază $10$, care are $100\pi \approx 314,16$ m², și îl umple în bună parte ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Patrulaterul $ABCD$ are $AB=7$, $BC=15$, $m(\angle B)=60^{\circ }$, $CD=5$ și $DA=12$. a) Arătați că $AC=13$. b) Calculați aria patrulaterului $ABCD$.

Rezolvare. a) Cu teorema cosinusului în triunghiul $ABC$:

$$A{C}^2=49+225-2\cdot 7\cdot 15\cdot \frac{1}{2}=274-105=169⟹AC=13.$$

b) Aria primei bucăți, cu formula sinusului:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 15\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{105}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{105\sqrt{3}}{4}\approx 45,47.$$

Triunghiul $ACD$ are laturile $13$, $5$, $12$ și, cum $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, este dreptunghic; aria lui este semiprodusul catetelor:

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{5\cdot 12}{2}=30.$$

Aria patrulaterului este $\frac{105\sqrt{3}}{4}+30\approx 75,47$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă, desenează întâi figura, marchează diagonala pe care o duci și scrie ce date are fiecare triunghi. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. Patrulaterul $ABCD$ are $AB=9$, $BC=40$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=28$ și $DA=15$. Calculează aria.

2. Patrulaterul $ABCD$ are diagonala $AC=20$, iar $AB=12$, $BC=16$, $CD=15$ și $DA=7$. Calculează aria.

3. Un trapez are bazele de $20$ și $12$ și înălțimea de $8$. Calculează aria prin descompunere cu o diagonală și compară cu formula trapezului.

4. Un teren cu patru colțuri a fost măsurat dintr-un punct interior $O$: $OA=15$ m, $OB=20$ m, $OC=18$ m, $OD=12$ m, cu unghiurile de $100^{\circ }$, $85^{\circ }$, $90^{\circ }$ și $85^{\circ }$, în această ordine. Verifică măsurătoarea și calculează aria.

5. Calculează aria unui hexagon regulat cu latura de $10$.

6. O masă are forma unui octogon regulat, cu distanța de la centru la colț de $8$ dm. Calculează aria blatului.

7. Calculează aria unui pentagon regulat înscris într-un cerc de rază $10$, folosind $\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ducând toate diagonalele dintr-un vârf al unui poligon convex cu $n$ laturi, obținem $n$ triunghiuri."

9. La o măsurătoare „în stea" pe un teren cu cinci colțuri, unghiurile citite au fost $70^{\circ }$, $85^{\circ }$, $60^{\circ }$, $80^{\circ }$ și $70^{\circ }$. Ce concluzie tragi înainte de a calcula vreo arie?

10. Un teren dreptunghiular de $30$ m pe $20$ m are un colț tăiat de un drum, colțul fiind un triunghi dreptunghic cu catetele de $8$ m și $6$ m. Calculează suprafața rămasă.

11. Un paralelogram are laturile de $14$ și $9$, iar unghiul dintre ele are $40^{\circ }$. Calculează aria, folosind $\sin 40^{\circ }\approx 0,6428$.

12. Terenul $ABCD$ are $AB=16$ m, $BC=22$ m, $m(\angle B)=105^{\circ }$, $CD=18$ m, $DA=14$ m și $m(\angle D)=80^{\circ }$. Calculează suprafața, cu $\sin 105^{\circ }\approx 0,9659$ și $\sin 80^{\circ }\approx 0,9848$.

13. (Problemă aplicată.) Un teren $ABCD$ are $AB=24$ m, $BC=32$ m, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=42$ m și $DA=26$ m. a) Calculează diagonala $AC$. b) Calculează suprafața terenului în metri pătrați și în ari.

14. (Problemă aplicată.) O grădină cu cinci colțuri a fost măsurată dintr-un punct interior $O$: $OA=9$ m, $OB=11$ m, $OC=13$ m, $OD=10$ m, $OE=8$ m, cu unghiurile $70^{\circ }$, $65^{\circ }$, $80^{\circ }$, $75^{\circ }$ și $70^{\circ }$, în ordine. Verifică măsurătoarea și calculează aria.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Patrulaterul $ABCD$ are $AB=5$, $BC=12$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=21$ și $DA=20$. a) Calculați $AC$. b) Calculați aria patrulaterului.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Patrulaterul $ABCD$ are $AB=20$, $BC=21$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=6$ și $DA=25$. Calculați aria patrulaterului $ABCD$.

17. Un poligon regulat cu $n$ laturi este înscris într-un cerc de rază $10$. Calculează aria pentru $n=6$, $n=12$ și $n=36$, apoi compară valorile cu aria discului, $100\pi \approx 314,16$. Ce observi?

18. (Provocare.) Terenul $ABCD$ din exercițiul 13 (cu $AB=24$ m, $BC=32$ m, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=42$ m, $DA=26$ m și aria $888$ m²) trebuie împărțit în două parcele de suprafețe egale printr-un gard care pleacă din $A$ și ajunge într-un punct $M$ de pe latura $CD$. a) Calculează $\sin (\angle ACD)$, folosind aria triunghiului $ACD$. b) Determină lungimea $CM$.

Răspunsuri și explicații

1. $AC=\sqrt{81+1600}=41$, iar ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{9\cdot 40}{2}=180$. Triunghiul $ACD$ are laturile $41$, $28$, $15$ (există: $28+15=43>41$), cu $p=42$ și ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{42\cdot 1\cdot 14\cdot 27}=\sqrt{15876}=126$. Total: $180+126=306$.

2. Triunghiul $ABC$ are laturile $12$, $16$, $20$ și e dreptunghic ($144+256=400$), deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{12\cdot 16}{2}=96$. Triunghiul $ACD$ are laturile $20$, $15$, $7$, cu $p=21$ și ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{21\cdot 1\cdot 6\cdot 14}=\sqrt{1764}=42$. Total: $96+42=138$.

3. Diagonala taie trapezul în două triunghiuri cu aceeași înălțime, $8$: ariile sunt $\frac{20\cdot 8}{2}=80$ și $\frac{12\cdot 8}{2}=48$, total $128$. Formula trapezului dă $\frac{(20+12)\cdot 8}{2}=128$ ✓.

4. Verificare: $100^{\circ }+85^{\circ }+90^{\circ }+85^{\circ }=360^{\circ }$ ✓. Ariile: $\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20\cdot \sin 100^{\circ }\approx 147,72$; $\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 18\cdot \sin 85^{\circ }\approx 179,32$; $\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 12\cdot \sin 90^{\circ }=108$; $\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 15\cdot \sin 85^{\circ }\approx 89,66$. Total: aproximativ $524,7$ m².

5. Hexagonul se împarte în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $10$: $\mathcal{S}=6\cdot \frac{100\sqrt{3}}{4}=150\sqrt{3}\approx 259,81$.

6. $\mathcal{S}=8\cdot \frac{1}{2}\cdot 64\cdot \sin 45^{\circ }=256\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=128\sqrt{2}\approx 181,02$ dm².

7. Unghiul la centru are $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$, deci $\mathcal{S}=5\cdot \frac{1}{2}\cdot 100\cdot 0,9511\approx 237,78$.

8. Fals. Se obțin $n-2$ triunghiuri, nu $n$: din vârful ales pleacă doar $n-3$ diagonale (nu se duc diagonale către el însuși și către cei doi vecini), iar acestea taie interiorul în $n-2$ felii. La patrulater ies $2$, la pentagon $3$, la hexagon $4$.

9. Suma unghiurilor este $70^{\circ }+85^{\circ }+60^{\circ }+80^{\circ }+70^{\circ }=365^{\circ }$, cu $5^{\circ }$ mai mult decât $360^{\circ }$. Măsurătoarea conține o eroare și trebuie reluată; orice arie calculată din aceste date ar fi greșită.

10. $30\cdot 20-\frac{8\cdot 6}{2}=600-24=576$ m².

11. Aria paralelogramului este $xy\sin \theta =14\cdot 9\cdot 0,6428\approx 80,99$. (Echivalent: două triunghiuri de câte $\approx 40,50$.)

12. ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 22\cdot 0,9659\approx 170,00$ m² și ${\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 14\cdot 0,9848\approx 124,08$ m². Total: aproximativ $294,1$ m².

13. a) $AC=\sqrt{576+1024}=\sqrt{1600}=40$ m. b) ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{24\cdot 32}{2}=384$ m². Triunghiul $ACD$ are laturile $40$, $42$, $26$, cu $p=54$ și ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{54\cdot 14\cdot 12\cdot 28}=\sqrt{254016}=504$ m². Total: $888$ m², adică $8,88$ ari.

14. Verificare: $70^{\circ }+65^{\circ }+80^{\circ }+75^{\circ }+70^{\circ }=360^{\circ }$ ✓. Ariile: $\approx 46,51$; $\approx 64,80$; $\approx 64,01$; $\approx 38,64$; $\approx 33,83$. Total: aproximativ $247,8$ m².

15. a) $AC=\sqrt{25+144}=13$. b) ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{5\cdot 12}{2}=30$; triunghiul $ACD$ are laturile $13$, $21$, $20$, cu $p=27$ și aria $\sqrt{27\cdot 14\cdot 6\cdot 7}=\sqrt{15876}=126$. Total: $30+126=156$.

16. $AC=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$ și ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{20\cdot 21}{2}=210$. Triunghiul $ACD$ are laturile $29$, $6$, $25$, cu $p=30$ și aria $\sqrt{30\cdot 1\cdot 24\cdot 5}=\sqrt{3600}=60$. Total: $210+60=270$.

17. Formula este $\mathcal{S}=n\cdot \frac{1}{2}\cdot 100\cdot \sin \frac{360^{\circ }}{n}$. Pentru $n=6$: $600\sin 60^{\circ }\approx 259,81$. Pentru $n=12$: $600\sin 30^{\circ }=300$. Pentru $n=36$: $1800\sin 10^{\circ }\approx 312,57$. Valorile cresc și se apropie tot mai mult, dinspre valori mai mici, de aria discului, $\approx 314,16$: cu cât poligonul regulat are mai multe laturi, cu atât seamănă mai bine cu cercul circumscris lui.

18. a) Triunghiul $ACD$ are aria $504$ m², iar unghiul $\angle ACD$ este cuprins între laturile $CA=40$ și $CD=42$. Din formula ariei cu sinus:

$$\sin (\angle ACD)=\frac{2\cdot 504}{40\cdot 42}=\frac{1008}{1680}=0,6.$$

b) Parcela $ABCM$ trebuie să aibă $\frac{888}{2}=444$ m². Cum ${\mathcal{S}}_{ABC}=384$ m², rămâne ${\mathcal{S}}_{ACM}=444-384=60$ m². În triunghiul $ACM$, laturile $CA=40$ și $CM$ formează același unghi $\angle ACD$, deci

$$60=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot CM\cdot 0,6=12\cdot CM⟹CM=5\text{m}.$$

Gardul pleacă din $A$ și ajunge pe latura $CD$, la $5$ m de colțul $C$. Verificare: $5<42$, deci punctul $M$ chiar se află pe latura $CD$ ✓.

De reținut

• Orice suprafață poligonală se calculează tăind-o în triunghiuri care nu se suprapun și adunând ariile lor.
• Un patrulater se taie cu o diagonală; un poligon convex cu $n$ laturi se taie cu diagonalele dintr-un vârf în $n-2$ triunghiuri.
• Fiecare bucată își primește formula ei: catete, $\frac{1}{2}ab\sin C$ sau Heron, după datele pe care le are.
• La metoda „în stea", cu vârful într-un punct interior, unghiurile măsurate trebuie să însumeze exact $360^{\circ }$ — este verificarea gratuită a măsurătorii.
• Un poligon regulat cu $n$ laturi și raza $R$ are aria $n\cdot \frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}$; cu $n$ mare, valoarea se apropie de aria discului.

Greșeli frecvente

• $n$ triunghiuri în loc de $n-2$. Din vârful ales nu pleacă diagonale către vecini, deci feliile sunt $n-2$. La pentagon sunt $3$, nu $5$.
• Diagonala folosită greșit. După ce ai calculat diagonala $AC$, ea este latură în ambele triunghiuri. Cea mai frecventă eroare e să folosești în al doilea triunghi o latură care aparține primului.
• Suma unghiurilor ignorată. La metoda „în stea", dacă unghiurile nu dau $360^{\circ }$, calculezi degeaba. Verifică întâi, calculează după.
• Rotunjirea la fiecare bucată. Dacă rotunjești fiecare arie parțială la un întreg, erorile se acumulează. Păstrează două zecimale până la total.
• Aplicarea formulei $\frac{(B+b)h}{2}$ la un patrulater oarecare. Formula trapezului cere două laturi paralele. Dacă enunțul nu spune asta, nu ai voie s-o presupui din desen; taie în triunghiuri.

Aplică acasă

1. Camera ta, în triunghiuri. Alege o cameră, un balcon sau o curte care nu e dreptunghiulară. Măsoară cu ruleta laturile și diagonalele necesare, desenează planul la scară pe hârtie și calculează suprafața prin descompunere. Compară cu suprafața din actele locuinței și exprimă diferența în procente.

2. Măsurătoare „în stea" în curte. Alege un teren cu patru sau cinci colțuri și un punct din interiorul lui. Măsoară cu pasul distanțele până la colțuri și unghiurile dintre direcții, cu busola de pe telefon. Verifică întâi dacă unghiurile dau $360^{\circ }$; dacă nu, repetă citirile și abia apoi calculează aria.

3. Parcela de pe hartă. Pe o hartă digitală, alege un teren cu cel puțin patru colțuri din localitatea ta. Măsoară laturile și diagonalele dintr-un colț cu instrumentul hărții, apoi calculează suprafața cu Heron pe fiecare bucată. Dacă aplicația are opțiune de măsurare a suprafeței, compară rezultatele.

Pentru părinți și profesori

Lecția este „aplicația practică" a întregului capitol de trigonometrie în geometrie și răspunde direct cerinței din programă: ariile unor suprafețe poligonale — probleme practice. Elevul nu învață o formulă nouă, ci o metodă: descompunerea în triunghiuri și alegerea, pentru fiecare bucată, a formulei potrivite datelor ei. Metoda „în stea" merită insistență, pentru că este cea folosită efectiv în topografie și pentru că oferă o autoverificare rară în matematica de liceu — suma unghiurilor din jurul punctului interior trebuie să fie exact $360^{\circ }$.

Întrebări bune de control: „În câte triunghiuri se taie un pentagon convex din diagonalele unui vârf?" ($3$); „Ce faci dacă nu cunoști diagonala?" (o calculezi cu Pitagora sau cu teorema cosinusului); „Ce verifici înainte de a calcula o măsurătoare în stea?" (suma unghiurilor); „De ce nu poți aplica formula trapezului la orice patrulater?" (cere două laturi paralele). Semne că a înțeles: desenează figura și marchează diagonala înainte de a calcula, folosește formule diferite pentru bucăți diferite și verifică plauzibilitatea totalului.

La Bacalaureat, cerința apare de obicei sub forma „patrulaterul $ABCD$ are… calculați aria", cu un colț drept sau cu un unghi cunoscut, care permite aflarea diagonalei; exercițiile 15 și 16 reproduc acest tipar. Recomandarea practică pentru pregătire: la fiecare problemă de acest tip, elevul să scrie explicit tabelul cu cele două triunghiuri și datele lor înainte de orice calcul. Următoarea lecție, Măsurători indirecte: triangulație, teren și navigație, duce metoda mai departe, către situațiile în care nici măcar laturile nu pot fi măsurate direct.

Întrebări frecvente

Cum calculez aria unui teren cu formă neregulată? Îl împarți în triunghiuri, ducând diagonale dintr-un colț sau măsurând dintr-un punct interior, calculezi aria fiecărui triunghi cu formula potrivită (Heron, dacă ai cele trei laturi; $\frac{1}{2}ab\sin C$, dacă ai două laturi și unghiul dintre ele) și aduni rezultatele.

În câte triunghiuri se împarte un poligon cu $n$ laturi? În $n-2$ triunghiuri, dacă duci toate diagonalele dintr-un singur vârf. Dacă alegi un punct interior și îl unești cu toate vârfurile, obții $n$ triunghiuri.

Cum aflu aria unui patrulater dacă știu doar cele patru laturi? Nu se poate: patru laturi nu determină forma unui patrulater, care se poate „îndoi" păstrând laturile. Ai nevoie în plus fie de o diagonală, fie de un unghi. Verifică ce îți dă enunțul.

Ce este metoda măsurătorii „în stea"? Este metoda topografică în care stai într-un punct din interiorul terenului, măsori distanțele până la fiecare colț și unghiurile dintre direcțiile vecine, apoi însumezi ariile triunghiurilor obținute. Suma unghiurilor măsurate trebuie să dea exact $360^{\circ }$.

Cum calculez aria unui poligon regulat? Îl împarți în $n$ triunghiuri isoscele identice, cu vârful în centru. Dacă $R$ este distanța de la centru la un vârf, aria este $n\cdot \frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}$.

Pot folosi formula trapezului la un patrulater oarecare? Nu. Formula $\frac{(B+b)h}{2}$ cere ca două laturi să fie paralele. Dacă enunțul nu precizează asta, descompune patrulaterul în două triunghiuri cu o diagonală.

Cum verific dacă rezultatul e corect? Trei controale rapide: suma unghiurilor la măsurătoarea „în stea" ($360^{\circ }$), inegalitatea triunghiului la fiecare bucată și plauzibilitatea totalului — aria nu poate depăși aria dreptunghiului în care încape figura.

Ce fac dacă terenul are o parte decupată? Calculezi aria întregului și scazi aria bucății lipsă: un dreptunghi de $30\times 20$ cu un colț triunghiular tăiat de catete $8$ și $6$ are $600-24=576$ m².