Aria suprafețelor poligonale prin descompunere (M2, științe ale naturii)

Carnetul unui topograf nu conține formule, ci coloane de numere: distanțe măsurate de-a lungul unei linii întinse pe teren și, din loc în loc, lungimi măsurate în unghi drept până la marginea parcelei. Din aceste numere iese suprafața oricărui teren, oricât de neregulat ar fi. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție arată cum tai o suprafață poligonală în triunghiuri și trapeze, cum alegi pentru fiecare bucată formula potrivită datelor măsurate și cum verifici rezultatul pe o a doua cale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre ariile unor suprafețe poligonale.

Lecția folosește două unelte din unitatea ta. Din formula lui Heron la M2 afli aria unui triunghi din trei laturi, iar din aria triunghiului cu formula sinusului la M2 o afli din două laturi și unghiul dintre ele. La acestea se adaugă aria trapezului din gimnaziu și coordonatele unui punct din plan la M2, care transformă un plan de situație într-un calcul.

Ce vei învăța

• Vei tăia o suprafață poligonală în triunghiuri și trapeze care nu se suprapun și vei aduna ariile lor.
• Vei alege pentru fiecare bucată formula care folosește exact datele măsurate: trei laturi, două laturi și un unghi sau baze și înălțime.
• Vei calcula aria unei parcele din carnetul de teren, prin metoda ordonatelor, cu trapeze dreptunghice.
• Vei afla aria unui poligon cu vârfurile date în reper, cu trapezele de sub laturi, și o vei verifica pe altă cale.
• Vei calcula aria unei fețe înclinate, ca la un acoperiș, împărțind aria proiecției la cosinusul pantei.
• Vei trece de la aria de pe un plan la scară la aria reală și vei judeca plauzibilitatea unui rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să descompui o suprafață poligonală?

Descompunerea unei suprafețe poligonale este împărțirea ei în poligoane mai simple, cel mai des triunghiuri, trapeze sau dreptunghiuri, care o acoperă în întregime și care nu se suprapun: două piese au în comun cel mult o latură sau un vârf. Proprietatea pe care se sprijină totul este aditivitatea ariei: aria întregii suprafețe este suma ariilor pieselor.

Aceeași proprietate funcționează și invers. Dacă suprafața se obține dintr-o figură mai mare din care lipsește o bucată, aria ei este diferența dintre cele două arii. Pentru o descompunere corectă contează două lucruri: piesele să nu se acopere una pe alta și să nu rămână goluri între ele.

2. Cum alegi tăietura?

Tăietura se alege după ce ai măsurat, nu invers. Un triunghi cu toate cele trei laturi cunoscute primește formula lui Heron. Un triunghi cu două laturi și unghiul dintre ele primește formula cu sinus. Un trapez dreptunghic cu cele două baze paralele și distanța dintre ele primește formula din gimnaziu, $\mathcal{S}=\frac{(B+b)h}{2}$.

La un patrulater, patru laturi nu ajung. Un cadru de patru șipci prinse în cuie la colțuri se poate strâmba păstrând aceleași laturi, pe când un cadru triunghiular rămâne rigid. De aceea topografii măsoară și o diagonală: ea împarte patrulaterul în două triunghiuri rigide, fiecare cu trei laturi cunoscute. Alegerea diagonalei nu schimbă aria totală, dar schimbă datele de care ai nevoie.

3. Ce notează topograful în carnetul de teren?

Metoda ordonatelor pornește de la o linie dreaptă întinsă pe teren, numită aliniament, de-a lungul parcelei. Topograful merge pe aliniament, se oprește în câteva puncte, numite stații, și măsoară din fiecare stație, perpendicular pe aliniament, distanța până la marginea parcelei. Aceste distanțe sunt ordonatele.

Între două stații consecutive, bucata de teren este un trapez dreptunghic: bazele sunt cele două ordonate, iar înălțimea este distanța dintre stații. La capete, unde ordonata e zero, trapezul devine triunghi dreptunghic. Pe un aliniament de $60$ m, cu stațiile la $0$, $15$, $35$ și $60$ m și ordonatele $0$, $18$, $24$ și $0$ m, piesele au ariile

$$\frac{0+18}{2}\cdot 15=135,\frac{18+24}{2}\cdot 20=420,\frac{24+0}{2}\cdot 25=300,$$

deci parcela are $135+420+300=855$ m². Nicio pantă și niciun unghi nu au fost măsurate, doar unghiuri drepte, puse pe teren cu un echer topografic.

4. Cum calculezi aria când vârfurile au coordonate?

Planurile de situație dau de multe ori vârfurile unei parcele prin coordonate, în metri, într-un reper local. Aici axa $Ox$ joacă rolul aliniamentului, iar ordonatele punctelor sunt chiar ordonatele topografului. Să luăm parcela cu vârfurile $A(0,10)$, $B(30,0)$, $C(50,30)$ și $D(10,40)$, parcursă în ordinea $A$, $B$, $C$, $D$.

Coborâm din fiecare vârf perpendiculara pe $Ox$. Sub marginea de sus, formată din laturile $AD$ și $DC$, se formează două trapeze, cu ariile $\frac{10+40}{2}\cdot 10=250$ și $\frac{40+30}{2}\cdot 40=1400$. Sub marginea de jos, formată din $AB$ și $BC$, se formează un trapez și un triunghi, cu ariile $\frac{10+0}{2}\cdot 30=150$ și $\frac{0+30}{2}\cdot 20=300$. Parcela este diferența dintre suprafața de sub marginea de sus și cea de sub marginea de jos:

$$\mathcal{S}=(250+1400)-(150+300)=1650-450=1200{\text{m}}^2.$$

Metoda cere doar ca vârfurile să fie ordonate după abscisă pe fiecare margine și ca parcela să fie deasupra axei $Ox$.

5. Cum treci de la aria de pe plan la aria reală?

Multe descompuneri se fac pe un plan la scară, nu pe teren. Pe un plan la scara $1:2000$, fiecare centimetru reprezintă $2000$ cm, adică $20$ m. Lungimile citite pe plan se înmulțesc cu $2000$, dar ariile nu: un pătrat de $1$ cm pe $1$ cm de pe plan reprezintă pe teren un pătrat de $20$ m pe $20$ m, adică $400$ m². Factorul ariilor este pătratul factorului lungimilor, $2000^2=4000000$.

O parcelă care pe plan are, după descompunere, $4,2$ cm² are deci pe teren $4,2\cdot 400=1680$ m². Poți lucra și altfel: transformi fiecare lungime de pe plan în metri înainte de calcul și aplici formulele direct pe lungimile reale. Cele două drumuri dau același rezultat; greșeala tipică este să înmulțești aria de pe plan doar cu $2000$, ca pe o lungime.

6. De ce un acoperiș are mai multă suprafață decât casa?

O față înclinată a unui acoperiș, văzută de sus, pare mai îngustă decât este. Dacă o fâșie a feței coboară pe o distanță orizontală $d$ cu panta $\alpha$ față de orizontală, lungimea ei reală este $\frac{d}{\cos \alpha }$, fiindcă $d$ este cateta alăturată unghiului $\alpha$ într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza pe acoperiș.

Lungimile paralele cu streașina rămân aceleași, iar cele pe direcția pantei se împart la $\cos \alpha$. Aria fiecărei fețe este deci aria proiecției ei, cea văzută de sus, împărțită la $\cos \alpha$. Când toate fețele au aceeași pantă, aria întregului acoperiș este aria amprentei casei împărțită la $\cos \alpha$. Cum $\cos \alpha <1$ pentru o pantă nenulă, acoperișul are întotdeauna mai multă suprafață decât podeaua de sub el.

7. Cum verifici o descompunere?

Cea mai bună verificare este o a doua descompunere, independentă de prima. Metoda dreptunghiului care încadrează, pe care ai folosit-o la un triunghi în lecția despre aria cu sinus, merge la orice poligon. Parcela din §4 încape în dreptunghiul cu laturile paralele cu axele, de la $x=0$ la $x=50$ și de la $y=0$ la $y=40$, care are aria $50\cdot 40=2000$. Între parcelă și dreptunghi rămân patru triunghiuri dreptunghice, câte unul în fiecare colț, cu ariile $\frac{10\cdot 30}{2}=150$, $\frac{40\cdot 10}{2}=200$, $\frac{20\cdot 30}{2}=300$ și $\frac{30\cdot 10}{2}=150$.

Suma lor este $800$, iar $2000-800=1200$, exact ce am obținut cu trapezele. Două drumuri care folosesc piese diferite și dau același număr sunt un control puternic. Un control mai rapid, bun pentru o primă judecată, este plauzibilitatea: aria nu poate depăși aria dreptunghiului care încadrează figura.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Livada măsurată cu ruleta

O livadă are forma patrulaterului convex $ABCD$, cu $AB=27$ m, $BC=29$ m, $CD=37$ m, $DA=39$ m și diagonala $AC=52$ m. Calculează suprafața livezii, în metri pătrați și în ari.

Rezolvare. Diagonala $AC$ împarte livada în triunghiurile $ABC$ și $ACD$, fiecare cu toate laturile cunoscute. Pentru $ABC$, cu laturile $27$, $29$ și $52$: $p=54$, diferențele sunt $27$, $25$ și $2$, deci

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{54\cdot 27\cdot 25\cdot 2}=\sqrt{72900}=270{\text{m}}^2.$$

Pentru $ACD$, cu laturile $37$, $39$ și $52$: semiperimetrul este $64$, diferențele sunt $27$, $25$ și $12$, iar ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{64\cdot 27\cdot 25\cdot 12}=\sqrt{518400}=720$ m². Livada are $270+720=990$ m², adică $9,9$ ari. Triunghiul $ABC$ este foarte alungit, cu o diferență de numai $2$, așa că o eroare la măsurarea diagonalei i-ar schimba vizibil aria.

Exemplul 2 — Carnetul de teren

Pe un aliniament de $80$ m, topograful a notat stațiile și ordonatele de mai jos, toate în metri, spre aceeași parte a aliniamentului. Calculează aria parcelei.

Rezolvare. Între stații se formează, pe rând, un triunghi dreptunghic, două trapeze dreptunghice și încă un triunghi dreptunghic. Ariile lor sunt $\frac{0+22}{2}\cdot 20=220$, $\frac{22+30}{2}\cdot 25=650$, $\frac{30+16}{2}\cdot 25=575$ și $\frac{16+0}{2}\cdot 10=80$, în metri pătrați.

Suma este $220+650+575+80=1525$ m². Controlul de plauzibilitate: parcela încape în dreptunghiul de $80$ m pe $30$ m, cu aria $2400$ m², iar rezultatul este mai mic, cum trebuie.

Exemplul 3 — Vârfurile unei parcele în reper

Pe un plan de situație, o parcelă are vârfurile $A(0,20)$, $B(25,0)$, $C(60,10)$, $D(55,45)$ și $E(15,50)$, coordonatele fiind în metri. Calculează aria parcelei.

Rezolvare. Parcurgem conturul de la vârful cu abscisa cea mai mică, $A$, până la cel cu abscisa cea mai mare, $C$, pe două drumuri. Marginea de sus trece prin $E$ și $D$, iar trapezele de sub ea au ariile $\frac{20+50}{2}\cdot 15=525$, $\frac{50+45}{2}\cdot 40=1900$ și $\frac{45+10}{2}\cdot 5=137,5$, cu suma $2562,5$.

Marginea de jos trece prin $B$, iar sub ea stau un triunghi și un trapez, cu ariile $\frac{20+0}{2}\cdot 25=250$ și $\frac{0+10}{2}\cdot 35=175$, cu suma $425$. Aria parcelei este $2562,5-425=2137,5$ m². Cu o singură regulă de lucru ai calculat aria unui pentagon neregulat fără să duci nicio diagonală și fără să calculezi vreo lungime.

Exemplul 4 — Acoperișul în patru ape

O casă are amprenta un dreptunghi de $12$ m pe $9$ m. Acoperișul ei are patru fețe, toate cu panta de $30^{\circ }$, și o coamă orizontală de $3$ m. Văzute de sus, fețele sunt două trapeze cu bazele de $12$ m și $3$ m și două triunghiuri cu baza de $9$ m, toate cu lățimea orizontală de $4,5$ m. Calculează aria acoperișului și numărul de țigle necesare, la $12$ țigle pe metru pătrat.

Rezolvare. Pe fiecare față, lățimea reală, măsurată pe pantă, este $\frac{4,5}{\cos 30^{\circ }}=\frac{4,5\cdot 2}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\approx 5,20$ m. Un trapez are aria $\frac{12+3}{2}\cdot 3\sqrt{3}=22,5\sqrt{3}$, iar un triunghi are $\frac{9\cdot 3\sqrt{3}}{2}=13,5\sqrt{3}$, în metri pătrați.

Aria acoperișului este $2\cdot 22,5\sqrt{3}+2\cdot 13,5\sqrt{3}=72\sqrt{3}\approx 124,71$ m². Controlul cu regula din §6: amprenta are $12\cdot 9=108$ m², iar $\frac{108}{\cos 30^{\circ }}=\frac{216}{\sqrt{3}}=72\sqrt{3}$, același rezultat. Sunt necesare $124,71\cdot 12\approx 1496,5$, deci cel puțin $1497$ țigle, fără rezerva pentru tăieturi.

Exemplul 5 — Rambleul unui drum

Un drum trece peste o vale pe un rambleu de pământ lung de $250$ m. Secțiunea transversală a rambleului este un trapez isoscel: partea de sus, pe care stă drumul, are $4$ m, înălțimea este de $3$ m, iar taluzurile laterale fac cu orizontala unghiuri de $30^{\circ }$. Calculează aria secțiunii și volumul de pământ.

Rezolvare. Descompunem secțiunea într-un dreptunghi de $4$ m pe $3$ m și două triunghiuri dreptunghice, câte unul sub fiecare taluz. Cateta orizontală a unui astfel de triunghi este $\frac{3}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=3\sqrt{3}\approx 5,20$ m, iar aria lui este $\frac{3\cdot 3\sqrt{3}}{2}=4,5\sqrt{3}$ m².

Secțiunea are aria $4\cdot 3+2\cdot 4,5\sqrt{3}=12+9\sqrt{3}\approx 27,59$ m², iar baza rambleului are $4+6\sqrt{3}\approx 14,39$ m. Un corp cu secțiunea constantă are volumul egal cu aria secțiunii înmulțită cu lungimea, deci $27,59\cdot 250\approx 6897$ m³. Modelul presupune o secțiune neschimbată pe toată lungimea și un teren de sub rambleu orizontal.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=14$, $CD=6$, $AD=8$ și $m(\angle DAB)=\frac{\pi }{3}$. Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $40\sqrt{3}$.

Rezolvare. Diagonala $BD$ împarte trapezul în triunghiurile $ABD$ și $BCD$. În triunghiul $ABD$ cunoaștem laturile $AB$ și $AD$ și unghiul dintre ele, deci ${\mathcal{S}}_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 8\cdot \sin \frac{\pi }{3}=56\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=28\sqrt{3}$.

Înălțimea trapezului este distanța de la $D$ la $AB$, adică $AD\sin \frac{\pi }{3}=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$, iar triunghiul $BCD$ are baza $CD=6$ și aceeași înălțime: ${\mathcal{S}}_{BCD}=\frac{6\cdot 4\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$. Aria trapezului este $28\sqrt{3}+12\sqrt{3}=40\sqrt{3}$. Cerința este construită în stilul Subiectului I și nu reproduce un subiect oficial.

Să exersăm

Desenează figura, marchează tăietura și scrie lângă fiecare piesă datele ei înainte de orice calcul. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, iar aproximările se rotunjesc la două zecimale.

1. Patrulaterul convex $ABCD$ are $AB=33$, $BC=41$, $CD=41$, $DA=51$ și diagonala $AC=58$. Calculează aria lui.

2. Patrulaterul convex $ABCD$ are $AB=26$, $BC=35$, $CD=40$, $DA=13$ și diagonala $AC=51$. Calculează aria lui și spune care dintre cele două triunghiuri e mai sensibil la o eroare de măsurare a diagonalei.

3. Pe un aliniament de $50$ m, stațiile sunt la $0$, $10$, $30$ și $50$ m, iar ordonatele, spre aceeași parte, sunt $0$, $14$, $20$ și $0$ m. Calculează aria parcelei.

4. Calculează aria patrulaterului cu vârfurile $A(0,5)$, $B(20,0)$, $C(35,25)$ și $D(10,30)$, cu trapezele de sub laturi.

5. Patrulaterul cu vârfurile $A(1,1)$, $B(8,3)$, $C(10,9)$ și $D(2,7)$ se taie cu diagonala $AC$. Calculează aria fiecărui triunghi cu forma cu pătratele laturilor din lecția despre formula lui Heron, apoi aria patrulaterului.

6. La un colț de teren, două laturi de $40$ m și $25$ m fac un unghi de $110^{\circ }$. Calculează aria triunghiului format, folosind $\sin 110^{\circ }\approx 0,9397$.

7. O magazie are amprenta de $6$ m pe $4$ m și acoperișul într-o singură apă, cu panta de $20^{\circ }$ pe direcția laturii de $4$ m. Calculează lungimea unui căprior și aria acoperișului, folosind $\cos 20^{\circ }\approx 0,9397$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-un carnet de teren toate ordonatele se dublează, iar stațiile rămân aceleași, aria parcelei se dublează.”

9. Frontonul unei case este format dintr-un dreptunghi de $8$ m pe $3$ m și, deasupra lui, un triunghi isoscel cu baza de $8$ m, ale cărui unghiuri de la bază au câte $35^{\circ }$. Calculează aria frontonului, cu $\mathrm{tg}35^{\circ }\approx 0,7002$, și cantitatea de vopsea pentru două straturi, la $0,25$ L pe metru pătrat pentru un strat.

10. Un șanț de scurgere are secțiunea un triunghi isoscel: lățimea la suprafață este de $1,2$ m, iar pereții sunt înclinați la $50^{\circ }$ față de orizontală. Calculează adâncimea șanțului, aria secțiunii și volumul de pământ scos pe o lungime de $80$ m, cu $\mathrm{tg}50^{\circ }\approx 1,1918$.

11. O frunză de tei, desenată pe hârtie milimetrică, este aproximată de hexagonul cu vârfurile $A(0,2)$, $B(3,0)$, $C(7,0)$, $D(10,2)$, $E(7,5)$ și $F(3,5)$, în centimetri. Calculează aria hexagonului.

12. Un teren este format dintr-un dreptunghi de $65$ m pe $20$ m și un triunghi lipit de latura de $65$ m, cu celelalte două laturi de $51$ m și $20$ m. Calculează aria terenului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,0)$, $B(9,0)$, $C(6,5)$ și $D(1,4)$. Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $32$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră pătratul $ABCD$ cu latura $10$ și punctul $M$, mijlocul laturii $CD$. Arătați că aria patrulaterului $ABMD$ este egală cu $75$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentagonul $ABCDE$ este format din pătratul $ABDE$ cu latura $6$ și triunghiul echilateral $BCD$, construit în exteriorul pătratului. Arătați că aria pentagonului este egală cu $36+9\sqrt{3}$.

16. (Problemă aplicată.) Pentru a afla debitul unui pârâu, un hidrolog măsoară adâncimea apei din $2$ în $2$ m, de la un mal la celălalt: $0$; $0,6$; $1,1$; $0,9$ și $0$ m. Calculează aria secțiunii udate și debitul, dacă viteza medie a apei este $0,4$ m/s.

17. Un iaz este măsurat pe un aliniament care îl traversează, cu stațiile la $0$, $12$, $28$ și $40$ m. Ordonatele spre stânga sunt $0$, $8$, $10$ și $0$ m, iar cele spre dreapta $0$, $6$, $9$ și $0$ m. Calculează aria iazului și numărul de puiet de crap pentru o densitate de $0,5$ pești pe metru pătrat.

18. (Provocare.) Diagonalele unui patrulater convex au lungimile $d_1$ și $d_2$ și fac între ele unghiul $\theta$. Arată că aria patrulaterului este $\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \theta$.

Răspunsuri și explicații

1. Triunghiul $ABC$ are laturile $33$, $41$ și $58$: $p=66$, diferențele sunt $33$, $25$ și $8$, deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{66\cdot 33\cdot 25\cdot 8}=\sqrt{435600}=660$. Triunghiul $ACD$ are laturile $41$, $51$ și $58$: semiperimetrul este $75$, diferențele sunt $34$, $24$ și $17$, deci ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{75\cdot 34\cdot 24\cdot 17}=\sqrt{1040400}=1020$. Aria este $660+1020=1680$.

2. $ABC$ are laturile $26$, $35$, $51$: $p=56$, diferențele $30$, $21$, $5$, deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{56\cdot 30\cdot 21\cdot 5}=\sqrt{176400}=420$. $ACD$ are laturile $40$, $13$, $51$: semiperimetrul este $52$, diferențele $12$, $39$, $1$, deci ${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{52\cdot 12\cdot 39\cdot 1}=\sqrt{24336}=156$. Aria este $420+156=576$. Triunghiul $ACD$ este mai sensibil: diferența lui cea mai mică este $1$.

3. Piesele au ariile $\frac{0+14}{2}\cdot 10=70$, $\frac{14+20}{2}\cdot 20=340$ și $\frac{20+0}{2}\cdot 20=200$, deci parcela are $70+340+200=610$ m².

4. Marginea de sus trece prin $D$: $\frac{5+30}{2}\cdot 10=175$ și $\frac{30+25}{2}\cdot 25=687,5$, cu suma $862,5$. Marginea de jos trece prin $B$: $\frac{5+0}{2}\cdot 20=50$ și $\frac{0+25}{2}\cdot 15=187,5$, cu suma $237,5$. Aria este $862,5-237,5=625$.

5. Pentru $ABC$: $A{B}^2=49+4=53$, $B{C}^2=4+36=40$, $A{C}^2=81+64=145$, iar $16{\mathcal{S}}_{ABC}^2=4\cdot 53\cdot 40-(53+40-145{)}^2=8480-2704=5776=76^2$, deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=19$. Pentru $ACD$: $C{D}^2=64+4=68$, $A{D}^2=1+36=37$, iar $16{\mathcal{S}}_{ACD}^2=4\cdot 145\cdot 37-(145+37-68{)}^2=21460-12996=8464=92^2$, deci ${\mathcal{S}}_{ACD}=23$. Patrulaterul are aria $19+23=42$; trapezele de sub laturi dau același rezultat.

6. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 25\cdot \sin 110^{\circ }\approx 500\cdot 0,9397=469,85$ m². Același rezultat îl dă și $\sin 70^{\circ }$, fiindcă $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$.

7. Căpriorul coboară pe o distanță orizontală de $4$ m, deci are lungimea $\frac{4}{\cos 20^{\circ }}\approx \frac{4}{0,9397}\approx 4,26$ m. Acoperișul este un dreptunghi de $6$ m pe lungimea căpriorului, deci are $\frac{6\cdot 4}{\cos 20^{\circ }}\approx \frac{24}{0,9397}\approx 25,54$ m²: aria amprentei împărțită la cosinusul pantei, ca în §6.

8. Adevărat. Fiecare piesă este un trapez sau un triunghi cu aria $\frac{y_1+y_2}{2}\cdot d$, unde $d$ este distanța dintre stații. Dacă ordonatele se dublează și $d$ rămâne același, aria fiecărei piese se dublează, deci și suma lor. Forma parcelei se întinde perpendicular pe aliniament, nu în lungul lui.

9. Înălțimea triunghiului este $4\mathrm{tg}35^{\circ }\approx 4\cdot 0,7002=2,8008$ m, deci aria lui este $\frac{8\cdot 2,8008}{2}\approx 11,20$ m². Frontonul are $24+11,20=35,20$ m², iar pentru două straturi trebuie $35,20\cdot 0,25\cdot 2=17,60$ L de vopsea.

10. Înălțimea din vârful de jos împarte secțiunea în două triunghiuri dreptunghice, fiecare cu cateta orizontală de $0,6$ m. Adâncimea este $0,6\mathrm{tg}50^{\circ }\approx 0,6\cdot 1,1918\approx 0,72$ m, iar aria secțiunii este $\frac{1,2\cdot 0,7151}{2}\approx 0,43$ m². Volumul de pământ scos pe $80$ m este $0,4290\cdot 80\approx 34,32$ m³.

11. Marginea de sus, $A$–$F$–$E$–$D$: $\frac{2+5}{2}\cdot 3=10,5$, $\frac{5+5}{2}\cdot 4=20$ și $\frac{5+2}{2}\cdot 3=10,5$, cu suma $41$. Marginea de jos, $A$–$B$–$C$–$D$: $\frac{2+0}{2}\cdot 3=3$, $0$ și $\frac{0+2}{2}\cdot 3=3$, cu suma $6$. Aria frunzei este aproximativ $41-6=35$ cm².

12. Dreptunghiul are $65\cdot 20=1300$ m². Triunghiul are laturile $65$, $51$ și $20$: $p=68$, diferențele sunt $3$, $17$ și $48$, deci aria lui este $\sqrt{68\cdot 3\cdot 17\cdot 48}=\sqrt{166464}=408$ m². Terenul are $1300+408=1708$ m².

13. Latura $AB$ stă pe axa $Ox$, deci marginea de jos nu adaugă nimic, iar aria este suprafața de sub marginea de sus, $A$–$D$–$C$–$B$: un triunghi și două trapeze, cu ariile $\frac{0+4}{2}\cdot 1=2$, $\frac{4+5}{2}\cdot 5=22,5$ și $\frac{5+0}{2}\cdot 3=7,5$. Suma este $2+22,5+7,5=32$.

14. Patrulaterul $ABMD$ este pătratul din care lipsește triunghiul dreptunghic $BCM$, cu catetele $BC=10$ și $CM=5$, deci cu aria $\frac{10\cdot 5}{2}=25$. Aria patrulaterului este $100-25=75$. Verificare prin altă descompunere: $ABMD$ este un trapez dreptunghic cu bazele $AB=10$ și $DM=5$ și înălțimea $10$, deci aria $\frac{(10+5)\cdot 10}{2}=75$.

15. Pătratul are aria $6\cdot 6=36$. Triunghiul echilateral $BCD$ are două laturi de $6$ și unghiul de $\frac{\pi }{3}$ între ele, deci aria lui este $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin \frac{\pi }{3}=9\sqrt{3}$. Pentagonul are aria $36+9\sqrt{3}\approx 51,59$.

16. Secțiunea udată se descompune în două triunghiuri și două trapeze, cu înălțimea de $2$ m: $\frac{0+0,6}{2}\cdot 2+\frac{0,6+1,1}{2}\cdot 2+\frac{1,1+0,9}{2}\cdot 2+\frac{0,9+0}{2}\cdot 2=0,6+1,7+2+0,9=5,2$ m². Debitul este aria secțiunii înmulțită cu viteza medie: $5,2\cdot 0,4=2,08$ m³/s. Modelul presupune un fund liniar între două măsurători.

17. Spre stânga: $\frac{0+8}{2}\cdot 12=48$, $\frac{8+10}{2}\cdot 16=144$, $\frac{10+0}{2}\cdot 12=60$, cu suma $252$ m². Spre dreapta: $\frac{0+6}{2}\cdot 12=36$, $\frac{6+9}{2}\cdot 16=120$, $\frac{9+0}{2}\cdot 12=54$, cu suma $210$ m². Iazul are $252+210=462$ m², deci $462\cdot 0,5=231$ de puieți.

18. Fie $O$ punctul în care se taie diagonalele; el împarte $d_1$ în $x$ și $d_1-x$, iar $d_2$ în $y$ și $d_2-y$. Cele patru triunghiuri cu vârful în $O$ au unghiurile din $O$ egale cu $\theta$ sau cu $\pi -\theta$, care au același sinus. Suma ariilor lor este $\frac{1}{2}\sin \theta \left[xy+x(d_2-y)+(d_1-x)y+(d_1-x)(d_2-y)\right]=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \theta$, fiindcă paranteza se restrânge la $(x+d_1-x)(y+d_2-y)$.

De reținut

• Aria unei suprafețe descompuse în piese care nu se suprapun este suma ariilor pieselor; o bucată lipsă se scade.
• Tăietura se alege după date: trei laturi dau formula lui Heron, două laturi și unghiul dintre ele dau formula cu sinus, bazele paralele și distanța dintre ele dau trapezul.
• Metoda ordonatelor: pe un aliniament, între stații consecutive se formează trapeze dreptunghice cu aria $\frac{y_1+y_2}{2}\cdot d$.
• Cu vârfurile în reper, aria este suprafața de sub marginea de sus minus suprafața de sub marginea de jos; o a doua descompunere, cu dreptunghiul care încadrează, verifică rezultatul.
• O față înclinată cu panta $\alpha$ are aria egală cu aria proiecției ei orizontale împărțită la $\cos \alpha$.

Greșeli frecvente

• Ordonatele adunate în locul trapezelor. Cine adună toate ordonatele și înmulțește cu lungimea aliniamentului obține aria unui dreptunghi care nu există. Fiecare piesă are propria lățime, distanța dintre două stații consecutive.
• Stațiile citite ca lățimi. În carnet, stația este distanța de la începutul aliniamentului, nu lungimea piesei. Lățimea piesei este diferența a două stații alăturate: între stațiile $20$ și $45$ lățimea este $25$, nu $45$.
• Ordonate de ambele părți adunate cu semne. Când aliniamentul traversează parcela, ordonatele spre stânga și cele spre dreapta dau suprafețe care se adună. Cine le trece cu semne opuse, ca pe o axă, scade o parte a parcelei din cealaltă.
• Proiecția luată drept aria reală. Aria unui acoperiș citită de pe planul casei este aria proiecției. Fără împărțirea la $\cos \alpha$, țiglele comandate nu ajung.
• Piese care se suprapun. Două diagonale duse în același patrulater se intersectează, iar triunghiurile formate cu ambele se suprapun. O descompunere folosește o singură diagonală sau piese alese astfel încât să aibă în comun cel mult laturi.

Aplică acasă

1. Un lac de pe hartă, în coordonate. Alege dintr-un atlas un lac cu un contur neregulat, pune peste hartă o foaie de calc cu un caroiaj și marchează $8$–$10$ puncte ale țărmului. Citește coordonatele lor, calculează aria poligonului cu trapezele de sub laturi și transform-o în kilometri pătrați cu scara hărții.
2. Un carnet de teren în parc. Întinde o sfoară lungă de-a lungul unei pajiști, marchează din $5$ în $5$ pași stațiile și măsoară din fiecare, în unghi drept, distanța până la marginea ierbii. Calculează aria cu metoda ordonatelor, apoi repetă cu stațiile de două ori mai dese și observă cât se schimbă rezultatul.
3. Panta acoperișului, măsurată de pe stradă. Fotografiază din față frontonul unei case și estimează pe fotografie unghiul pantei acoperișului. Măsoară sau estimează amprenta casei și calculează suprafața acoperișului cu regula proiecției. Discută cât de mult schimbă rezultatul o eroare de $5^{\circ }$ la pantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă un rând din programă, ariile unor suprafețe poligonale, într-o metodă de lucru cu date reale de teren. Elevul nu primește o formulă nouă, ci învață să taie o figură în piese potrivite datelor măsurate și să verifice rezultatul pe altă cale. Am ales trei tipuri de date specifice profilului: carnetul topografului, cu metoda ordonatelor; coordonatele din planurile de situație, legate de geometria analitică din aceeași clasă; fețele înclinate, unde trigonometria transformă o arie văzută de sus în arie reală. Întrebări bune de control: „Ce dată îți lipsește ca să calculezi aria unui patrulater cu patru laturi cunoscute?”; „De ce aria de sub marginea de jos se scade?”; „Ce se întâmplă cu aria unei fețe când panta crește?”. Un elev care a înțeles desenează piesele înainte de calcul, verifică suma pe o a doua descompunere și judecă mărimea rezultatului. Pentru aria trapezului din gimnaziu este utilă lecția de clasa a VII-a despre aria trapezului.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; conținutul „ariile unor suprafețe poligonale” și competența IX.CS.5.7 cer explicit determinarea ariilor unor figuri care pot fi descompuse în triunghiuri, în contexte practice precum terenuri, panouri sau acoperișuri, și compararea metodelor cu și fără trigonometrie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, și nicio cerință de arie; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aria suprafețelor poligonale prin descompunere are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este măsurători indirecte: triangulație și navigație la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la ariile poligonale în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, tema se învață în clasa a IX-a, în aceeași unitate cu formula lui Heron și cu aria cu sinus. Lecția M2 pune accentul pe datele de teren: carnetul topografului cu metoda ordonatelor, vârfurile date în reper, acoperișurile și secțiunile de rambleu, precum și pe trecerea de la planul la scară la teren.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ariile poligoanelor?

Programa de examen pentru 2027–2029 cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană, iar cerințele scurte de geometrie și trigonometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de arie; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect, cu verbul „Arătați”.

Ce este metoda ordonatelor și de ce o folosesc topografii?

Este măsurarea unei parcele de pe o linie dreaptă întinsă de-a lungul ei, numită aliniament: din câteva stații se măsoară perpendicular distanța până la margine. Piesele sunt trapeze dreptunghice, iar echipamentul necesar e minim: o ruletă și un echer topografic. Metoda merge bine la parcele lungi și înguste și nu cere măsurarea niciunui unghi oblic.

Cum aflu aria unui poligon dacă știu coordonatele vârfurilor?

Duci din fiecare vârf perpendiculara pe axa $Ox$ și împarți conturul în marginea de sus și marginea de jos. Aduni trapezele de sub marginea de sus, scazi trapezele de sub marginea de jos și obții aria. Verifici apoi cu dreptunghiul care încadrează poligonul, din care scazi triunghiurile dreptunghice din colțuri.

De ce aria unui acoperiș este mai mare decât aria casei?

Fiecare față a acoperișului este înclinată, iar pe direcția pantei lungimea reală este lungimea văzută de sus împărțită la cosinusul pantei. Pentru o pantă de $30^{\circ }$ acoperișul are cu aproximativ $15\%$ mai multă suprafață decât amprenta casei, iar pentru una de $45^{\circ }$ cu aproximativ $41\%$ mai multă.

Când aleg diagonala și formula lui Heron, iar când metoda ordonatelor?

Diagonala merge bine la o parcelă compactă, cu colțurile vizibile unele din altele, unde poți întinde ruleta între ele. Metoda ordonatelor e potrivită la parcelele lungi și înguste, de-a lungul unui drum sau al unui pârâu, și când mijlocul terenului e greu de străbătut. Dacă ai deja coordonatele colțurilor, calculezi direct, fără nicio măsurătoare nouă.