Aria triunghiului cu formula sinusului

Un vecin vrea să afle câți metri pătrați are grădina din spatele casei. Grădina e triunghiulară, iar el are la îndemână doar o ruletă cu laser și aplicația de busolă de pe telefon. Măsoară două laturi — $45$ de metri și $62$ de metri — și unghiul dintre ele, $72^{\circ }$. Apoi se blochează: formula pe care o știe din gimnaziu este $\mathcal{S}=\frac{\text{baza}\times \text{ıˆna˘lțimea}}{2}$, iar înălțimea nu se vede nicăieri pe teren. Ca s-o măsoare, ar trebui să găsească exact locul unde cade perpendiculara din colțul de sus pe latura opusă — printre pomi, printre straturi de roșii și peste un gard viu.

Aici trigonometria rezolvă problema într-o singură linie. În lecția asta vei învăța formula care calculează aria exact din datele pe care le poți măsura ușor: două laturi și unghiul dintre ele. Nu ai nevoie de nicio înălțime, de niciun desen suplimentar și de nicio construcție pe teren. Vecinul nostru va afla, până la finalul primei pagini, că grădina lui are aproximativ $1327$ de metri pătrați — și îl vom ajuta și să verifice singur dacă rezultatul e plauzibil.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi aria unui triunghi când cunoști două laturi și unghiul dintre ele, în toate cele trei scrieri ale formulei.
• Vei ști de ce formula funcționează neschimbat și când unghiul este obtuz.
• Vei ști să folosești tabelele trigonometrice sau calculatorul pentru unghiuri „urâte", care nu sunt de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ sau $60^{\circ }$.
• Vei ști să citești formula în sens invers: din arie să afli o înălțime sau măsura unui unghi.
• Vei ști să calculezi aria unui paralelogram și să recunoști când aria unui triunghi cu două laturi date este maximă.
• Vei ști să transformi o problemă practică de teren într-o problemă de arie și să verifici dacă răspunsul e rezonabil.

Hai să descoperim împreună

1. De ce formula din gimnaziu nu ne ajută pe teren

Pentru orice triunghi $ABC$, cu $h_a$ înălțimea corespunzătoare laturii $a$, știm din gimnaziu că

$$\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}.$$

Cele trei scrieri dau același număr, pentru că e vorba de aceeași suprafață, „așezată" pe alt suport. Formula e perfect corectă și rămâne definiția de la care pornim. Problema ei este practică: înălțimea nu este o mărime pe care o ai la îndemână. Într-o problemă de manual primești laturi și unghiuri; pe un teren real măsori distanțe între borne și direcții cu busola. Nicăieri nu apare, gata trasată, o perpendiculară.

Mai mult, ca să duci înălțimea trebuie să găsești piciorul perpendicularei, iar la un triunghi cu un unghi obtuz acest picior cade în afara laturii — adică în afara terenului. Ideea care ne scoate din impas e simplă și tipică pentru trigonometrie: nu renunțăm la înălțime, o rescriem cu ajutorul datelor pe care le avem.

2. Înălțimea, scrisă cu sinus

Ne întoarcem la triunghiul $ABC$ și ducem înălțimea din vârful $A$ pe latura $BC$; o notăm $h_a$. Se formează un triunghi dreptunghic care are ca ipotenuză latura $b=AC$ și în care unghiul $C$ se vede întreg. În acest triunghi dreptunghic, $h_a$ este cateta opusă unghiului $C$, iar din definiția sinusului învățată la trigonometria în triunghiul dreptunghic:

$$\sin C=\frac{h_a}{b}⟹h_a=b\sin C.$$

Înlocuim această expresie în formula de bază, luând ca bază latura $a$:

$$\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{a\cdot b\sin C}{2}=\frac{1}{2}ab\sin C.$$

Formula ariei cu două laturi și unghiul dintre ele. În orice triunghi $ABC$ are loc

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B.$$

Citirea corectă, în cuvinte: jumătate din produsul a două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Ține minte poziția unghiului, pentru că e diferită de cea din teorema cosinusului: acolo unghiul era opus laturii pe care o calculai, aici unghiul este cuprins între cele două laturi pe care le folosești. Cele trei scrieri nu sunt trei formule diferite de învățat, ci aceeași regulă aplicată pe fiecare pereche de laturi; alegi scrierea care se potrivește datelor din enunț.

3. Ce se întâmplă când unghiul este obtuz

Să presupunem că unghiul $C$ are, de exemplu, $130^{\circ }$. Atunci piciorul înălțimii din $A$ cade în afara segmentului $BC$, pe prelungirea lui. În triunghiul dreptunghic care se formează nu mai apare unghiul $C$, ci suplementul lui, $180^{\circ }-C$. La prima vedere pare că formula se strică. Dar am văzut la lecția despre sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze că

$$\sin (180^{\circ }-C)=\sin C,$$

adică sinusul nu face diferență între un unghi și suplementul lui. Prin urmare $h_a=b\sin (180^{\circ }-C)=b\sin C$ și formula rămâne exact aceeași. Este unul dintre motivele pentru care trigonometria e atât de comodă în geometrie: o singură formulă acoperă toate tipurile de triunghi, fără cazuri separate.

Merită să vezi asta pe numere. Un triunghi cu laturile $10$ și $12$ și unghiul dintre ele de $50^{\circ }$ are aria

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \sin 50^{\circ }=60\cdot 0,7660\approx 45,96,$$

iar un triunghi cu aceleași laturi $10$ și $12$, dar cu unghiul dintre ele de $130^{\circ }$, are aria

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \sin 130^{\circ }=60\cdot 0,7660\approx 45,96.$$

Exact aceeași valoare, deși cele două triunghiuri arată complet diferit: unul e „adunat", celălalt e „turtit". Reține observația asta, pentru că peste două secțiuni ea va produce o mică surpriză.

4. Cum obții sinusul unui unghi oarecare

Programa spune limpede că, în aplicațiile trigonometriei în geometrie, valorile funcțiilor trigonometrice se pot obține din tabele sau cu instrumente digitale. Asta înseamnă că nu ești obligat să lucrezi doar cu unghiurile „frumoase" de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$ sau $90^{\circ }$. Pe teren, unghiul măsurat iese $72^{\circ }$ sau $108^{\circ }$, nu $60^{\circ }$.

Ai două căi, ambele acceptate:

• tabelul trigonometric din culegere sau din memoratorul de matematică — cauți linia unghiului și citești valoarea, de obicei cu patru zecimale;
• calculatorul științific sau telefonul — atenție să fie setat pe grade (DEG), nu pe radiani (RAD); este greșeala numărul unu la acest capitol.

Iată câteva valori pe care le vom folosi în lecție, rotunjite la patru zecimale: $\sin 37^{\circ }\approx 0,6018$; $\sin 47^{\circ }\approx 0,7314$; $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$; $\sin 72^{\circ }\approx 0,9511$; $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$; $\sin 108^{\circ }\approx 0,9511$.

Ai observat? $\sin 72^{\circ }$ și $\sin 108^{\circ }$ sunt egale — pentru că $72^{\circ }+108^{\circ }=180^{\circ }$, deci unghiurile sunt suplementare. Verificarea asta o poți face oricând, gratuit, ca test că ai citit corect din tabel.

Acum putem rezolva problema vecinului cu grădina: două laturi de $45$ m și $62$ m, cu unghiul de $72^{\circ }$ între ele.

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot 62\cdot \sin 72^{\circ }\approx 1395\cdot 0,9511\approx 1326,7{\text{m}}^2.$$

Grădina are aproximativ $1327$ de metri pătrați, adică puțin peste treisprezece ari. Verificare de bun-simț: aria nu poate depăși $\frac{45\cdot 62}{2}=1395$ m², valoarea care s-ar obține la un unghi drept. Suntem la $95\%$ din acel maxim, ceea ce e firesc pentru un unghi de $72^{\circ }$, apropiat de $90^{\circ }$. ✓

5. Trei cazuri particulare care merită reținute

Triunghiul dreptunghic. Dacă $C=90^{\circ }$, atunci $\sin C=1$ și formula devine $\mathcal{S}=\frac{ab}{2}$ — semiprodusul catetelor, exact ce știai din gimnaziu. Formula nouă nu contrazice nimic, ci conține vechea regulă ca pe un caz particular.

Triunghiul echilateral. Cu $a=b=\ell$ și unghiul dintre ele de $60^{\circ }$:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}{\ell }^2\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}{\ell }^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}.$$

Pentru $\ell =10$ obținem $\mathcal{S}=25\sqrt{3}\approx 43,30$.

Paralelogramul. O diagonală împarte un paralelogram cu laturile $x$ și $y$ și unghiul $\theta$ între ele în două triunghiuri congruente, fiecare de arie $\frac{1}{2}xy\sin \theta$. Prin urmare

$${\mathcal{S}}_{\text{paralelogram}}=xy\sin \theta .$$

Verificare: pentru $\theta =90^{\circ }$ obținem $xy$, adică aria dreptunghiului. ✓ Un paralelogram cu laturile de $7$ și $12$ și unghiul de $30^{\circ }$ are aria $7\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=42$.

6. Formula citită invers: din arie afli înălțimi și unghiuri

Orice formulă din matematică se poate citi în ambele sensuri, iar aceasta e deosebit de generoasă.

Din arie, o înălțime. Din $\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}$ scoatem

$$h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}.$$

Așadar, dacă ai calculat aria cu formula sinusului, obții imediat orice înălțime, fără s-o măsori. Exemplu: într-un triunghi cu $a=13$, $b=20$ și unghiul dintre ele de $30^{\circ }$, aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=65$, iar înălțimea corespunzătoare laturii de $20$ este $h=\frac{2\cdot 65}{20}=6,5$.

Din arie, un unghi. Din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ scoatem

$$\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}.$$

Aici apare surpriza anunțată. Ecuația $\sin C=k$, cu $0<k<1$, are pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$ două soluții: un unghi ascuțit și suplementarul lui, obtuz. Deci, în general, problema „știu aria și două laturi, cât e unghiul dintre ele?" are două răspunsuri, ambele corecte.

Exemplu: aria e $96$, iar laturile sunt $16$ și $24$. Atunci

$$\sin C=\frac{2\cdot 96}{16\cdot 24}=\frac{192}{384}=\frac{1}{2},$$

deci $m(\angle C)=30^{\circ }$ sau $m(\angle C)=150^{\circ }$. Este aceeași ambiguitate a sinusului pe care ai întâlnit-o la cazul LLU din rezolvarea triunghiului. Singurul mod de a alege între cele două este o informație suplimentară din enunț („triunghiul este ascuțitunghic", „unghiul este obtuz", un desen).

7. Când este aria maximă

Să fixăm două laturi, $a$ și $b$, și să lăsăm unghiul dintre ele să se deschidă treptat. Aria $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ are factorul $\frac{1}{2}ab$ constant, deci variază exact la fel ca $\sin C$. Iar sinusul crește de la $0$ la $1$ pe intervalul $(0^{\circ },90^{\circ }]$ și apoi scade înapoi spre $0$ până la $180^{\circ }$.

Concluzie: aria este maximă atunci când $\sin C=1$, adică pentru $m(\angle C)=90^{\circ }$, iar valoarea maximă este

$${\mathcal{S}}_{\max }=\frac{ab}{2}.$$

Dintre toate triunghiurile cu două laturi date, cel dreptunghic este cel mai încăpător. Rezultatul are aplicații foarte concrete: dacă ai două garduri de lungimi fixe și vrei să închizi cu ele o suprafață cât mai mare lângă un colț, le așezi perpendicular.

De aici iese și un avertisment: e fals că, mărind unghiul dintre două laturi fixate, aria crește mereu. Crește doar până la $90^{\circ }$; după aceea scade. Un triunghi cu laturile $10$ și $10$ și unghiul de $90^{\circ }$ are aria $50$, iar cu unghiul de $150^{\circ }$ are aria $25$ — unghi mai mare, arie mai mică.

8. Ce faci dacă nu ai două laturi

Formula cere două laturi și unghiul dintre ele (configurația LUL). Dacă enunțul îți dă altceva, ai nevoie de un pas pregătitor:

• Ai o latură și două unghiuri (ULU). Afli al treilea unghi din suma de $180^{\circ }$, apoi cu teorema sinusurilor obții o a doua latură — și ai ajuns la LUL.
• Ai cele trei laturi (LLL). Fie afli un unghi cu teorema cosinusului și apoi aplici formula, fie folosești direct formula lui Heron, pe care o studiem în lecția următoare.
• Ai o latură și înălțimea corespunzătoare ei. Nu-ți mai trebuie trigonometrie: aplici direct $\frac{a{h}_a}{2}$.

Exemplu de traseu ULU $\to$ LUL. În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=10$, $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Atunci $m(\angle A)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$. Cu teorema sinusurilor,

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot 0,5}{0,9659}\approx 5,18.$$

Acum avem laturile $a$ și $b$ și unghiul $C$ dintre ele, deci

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5,18\cdot \sin 45^{\circ }\approx 18,31.$$

Un singur pas de teorema sinusurilor te aduce mereu din ULU în LUL.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Direct din formulă

În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=14$, $b=9$ și $m(\angle C)=30^{\circ }$. Calculați aria triunghiului.

Rezolvare. Unghiul $C$ este chiar unghiul dintre laturile $a$ și $b$, deci putem aplica formula direct:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 9\cdot \sin 30^{\circ }=63\cdot \frac{1}{2}=31,5.$$

Control rapid: aria maximă posibilă pentru aceste laturi ar fi $\frac{14\cdot 9}{2}=63$, iar noi am obținut exact jumătate din ea — firesc, pentru că $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. ✓ $■$

Exemplul 2 — Unghi obtuz

Un triunghi are două laturi de $12$ și $7$, iar unghiul dintre ele are $135^{\circ }$. Calculați aria.

Rezolvare. Sinusul nu se sperie de unghiurile obtuze: $\sin 135^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Prin urmare

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=42\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}\approx 29,70.$$

Observă că triunghiul e „turtit", deci aria e mult sub maximul de $42$ — cam $71\%$ din el. $■$

Exemplul 3 — Un teren măsurat cu instrumente digitale

Un teren triunghiular are două laturi de $48$ m și $65$ m, iar unghiul dintre ele, măsurat cu aplicația de pe telefon, are $60^{\circ }$. Câți metri pătrați are terenul? Dar câți ari?

Rezolvare. Aplicăm formula:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 65\cdot \sin 60^{\circ }=1560\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=780\sqrt{3}\approx 1351,0{\text{m}}^2.$$

Un ar înseamnă $100$ m², deci terenul are aproximativ $13,51$ ari. Verificare de plauzibilitate: maximul teoretic pentru aceste laturi este $1560$ m², iar $\sin 60^{\circ }\approx 0,87$, deci ne așteptam la circa $87\%$ din el ✓. $■$

Exemplul 4 — Din arie, spre unghi

Aria unui triunghi este $45$, iar două dintre laturile lui măsoară $12$ și $15$. Ce măsură poate avea unghiul dintre aceste laturi?

Rezolvare. Citim formula invers:

$$\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}=\frac{2\cdot 45}{12\cdot 15}=\frac{90}{180}=\frac{1}{2}.$$

Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, ecuația $\sin C=\frac{1}{2}$ are două soluții: $m(\angle C)=30^{\circ }$ și $m(\angle C)=150^{\circ }$. Ambele triunghiuri există și au aria $45$; enunțul, așa cum e formulat, nu permite alegerea între ele. $■$

Exemplul 5 — Aria și înălțimea, în același lanț

Într-un triunghi, două laturi au $20$ și $14$, iar unghiul dintre ele are $108^{\circ }$. a) Calculați aria. b) Calculați înălțimea corespunzătoare laturii de $20$.

Rezolvare. a) Din tabel, $\sin 108^{\circ }\approx 0,9511$, deci

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 14\cdot 0,9511=140\cdot 0,9511\approx 133,15.$$

b) Din $\mathcal{S}=\frac{20\cdot h}{2}=10h$ rezultă

$$h=\frac{\mathcal{S}}{10}\approx 13,32.$$

Verificare de plauzibilitate: înălțimea trebuie să fie mai mică decât latura de $14$ din care „pornește" ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. a) Calculați aria triunghiului $ABC$. b) Calculați lungimea laturii $BC$. c) Calculați lungimea înălțimii din $A$.

Rezolvare. a) Unghiul $A$ este cuprins între laturile date, deci

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32.$$

b) Cu teorema cosinusului:

$$B{C}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot \frac{1}{2}=89-40=49,$$

deci $BC=7$. Verificăm inegalitatea triunghiului: $5+7=12>8$ ✓, $5+8=13>7$ ✓, $7+8=15>5$ ✓.

c) Înălțimea din $A$ cade pe latura $BC=7$, deci

$$h_a=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95.$$

Plauzibil: înălțimea din $A$ trebuie să fie mai mică decât ambele laturi care pleacă din $A$, adică decât $5$ și decât $8$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de calcul, notează ce date ai și verifică dacă unghiul dat este într-adevăr între cele două laturi folosite. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă; unde apar valori din tabel, rotunjește la două zecimale.

1. În triunghiul $ABC$, $a=10$, $b=12$ și $m(\angle C)=30^{\circ }$. Calculează aria.

2. Un triunghi are două laturi de $8$ și $6$, iar unghiul dintre ele are $45^{\circ }$. Calculează aria.

3. În triunghiul $ABC$, $a=7$, $b=10$ și $m(\angle C)=150^{\circ }$. Calculează aria.

4. Un triunghi are laturile de $4$ și $9$, cu unghiul dintre ele de $120^{\circ }$. Calculează aria.

5. Calculează aria unui triunghi echilateral cu latura de $8$, folosind formula cu sinus.

6. Un triunghi are catetele de $9$ și $12$. Calculează aria cu formula sinusului și compară cu semiprodusul catetelor.

7. Un triunghi are laturile de $20$ și $14$, iar unghiul dintre ele are $68^{\circ }$. Calculează aria, folosind $\sin 68^{\circ }\approx 0,9272$.

8. Un paralelogram are laturile de $7$ și $12$, iar unghiul dintre ele are $30^{\circ }$. Calculează aria paralelogramului.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă mărim unghiul dintre două laturi de lungimi fixate, aria triunghiului crește întotdeauna."

10. Două laturi ale unui triunghi au $9$ și $14$. Care este cea mai mare arie pe care o poate avea triunghiul și pentru ce măsură a unghiului dintre ele se obține?

11. Aria unui triunghi este $45$, iar două dintre laturile sale au $12$ și $15$. Află măsurile posibile ale unghiului dintre ele. Câte răspunsuri sunt?

12. Un triunghi are laturile de $13$ și $20$, cu unghiul dintre ele de $30^{\circ }$. Calculează aria, apoi înălțimea corespunzătoare laturii de $20$.

13. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are două laturi de $48$ m și $65$ m, iar unghiul dintre ele are $60^{\circ }$. Calculează suprafața terenului în metri pătrați și în ari.

14. (Problemă aplicată.) O velă triunghiulară are două laturi de $3,2$ m și $4,5$ m, cu unghiul dintre ele de $75^{\circ }$. Câți metri pătrați de pânză sunt necesari, dacă se adaugă $10\%$ pentru tiv și croială? Folosește $\sin 75^{\circ }\approx 0,9659$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=8$ și $m(\angle A)=60^{\circ }$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=10$, $BC=6$ și $m(\angle B)=150^{\circ }$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

17. În triunghiul $ABC$ se cunosc $a=10$, $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Calculează aria triunghiului. (Indicație: află întâi $m(\angle A)$, apoi latura $b$ cu teorema sinusurilor.)

18. (Provocare.) Un parc are forma triunghiului $ABC$, cu $AB=30$ m, $AC=40$ m și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Din intrarea $A$ se toarnă o alee dreaptă care împarte unghiul $A$ în două unghiuri de câte $60^{\circ }$ și ajunge într-un punct $D$ de pe latura $BC$. Folosind faptul că aria triunghiului $ABC$ este suma ariilor triunghiurilor $ABD$ și $ACD$, calculează lungimea aleii $AD$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ }=60\cdot \frac{1}{2}=30$.

2. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}\approx 16,97$.

3. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 10\cdot \frac{1}{2}=17,5$. Unghiul obtuz nu schimbă formula.

4. $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 9\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15,59$.

5. Unghiurile triunghiului echilateral au $60^{\circ }$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\approx 27,71$. Se regăsește formula $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$ pentru $\ell =8$.

6. Unghiul dintre catete are $90^{\circ }$, iar $\sin 90^{\circ }=1$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12\cdot 1=54$ — exact semiprodusul catetelor. Formula din gimnaziu este cazul particular $C=90^{\circ }$ al formulei cu sinus.

7. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 14\cdot 0,9272=140\cdot 0,9272\approx 129,81$.

8. Aria paralelogramului este $xy\sin \theta =7\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ }=84\cdot \frac{1}{2}=42$ (dublul ariei triunghiului format de cele două laturi).

9. Fals. Aria este $\frac{1}{2}ab\sin C$, iar sinusul crește doar până la $90^{\circ }$, după care scade. Contraexemplu: cu laturile $10$ și $10$, unghiul de $90^{\circ }$ dă aria $50$, iar unghiul de $150^{\circ }$ — mai mare! — dă aria $25$. Afirmația este adevărată numai dacă ambele unghiuri comparate sunt cel mult drepte.

10. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 14\cdot \sin C=63\sin C\le 63$, cu egalitate pentru $\sin C=1$, adică $m(\angle C)=90^{\circ }$. Aria maximă este $63$.

11. $\sin C=\frac{2\cdot 45}{12\cdot 15}=\frac{1}{2}$, deci $m(\angle C)=30^{\circ }$ sau $m(\angle C)=150^{\circ }$ — două răspunsuri, pentru că sinusul nu distinge unghiurile suplementare.

12. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 20\cdot \frac{1}{2}=65$; apoi din $\mathcal{S}=\frac{20\cdot h}{2}=10h$ obținem $h=6,5$.

13. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot 65\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=780\sqrt{3}\approx 1351,0$ m², adică aproximativ $13,51$ ari.

14. Aria pânzei: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3,2\cdot 4,5\cdot 0,9659=7,2\cdot 0,9659\approx 6,95$ m². Cu adaosul de $10\%$: $6,95\cdot 1,1\approx 7,65$ m² de pânză.

15. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\approx 17,32$.

16. Unghiul $B$ este cuprins între laturile $AB$ și $BC$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin 150^{\circ }=30\cdot \frac{1}{2}=15$.

17. $m(\angle A)=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$; suma unghiurilor se verifică: $105^{\circ }+30^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$ ✓. Cu teorema sinusurilor, $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot 0,5}{0,9659}\approx 5,18$. Acum $a$ și $b$ au între ele unghiul $C$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5,18\cdot \sin 45^{\circ }\approx 18,31$.

18. Notăm $AD=d$. Aleea împarte parcul în două triunghiuri, fiecare cu unghiul de $60^{\circ }$ în vârful $A$:

$${\mathcal{S}}_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot d\cdot \sin 60^{\circ },{\mathcal{S}}_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot d\cdot \sin 60^{\circ }.$$

Suma lor este aria întregului parc, ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40\cdot \sin 120^{\circ }$. Cum $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }$, factorul comun se simplifică:

$$\frac{1}{2}d(30+40)=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 40⟹35d=600⟹d=\frac{120}{7}\approx 17,14\text{m}.$$

Aleea are aproximativ $17,14$ m. Verificare de plauzibilitate: $AD$ trebuie să fie mai scurtă decât cea mai lungă dintre laturile $AB$ și $AC$, adică sub $40$ m ✓, și mai scurtă decât $30$ m, pentru că pleacă „între" cele două laturi ✓.

De reținut

• $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B$ — jumătate din produsul a două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
• Formula merge la fel pentru unghiuri obtuze, pentru că $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$; la $C=90^{\circ }$ dă semiprodusul catetelor.
• Aria paralelogramului cu laturile $x$, $y$ și unghiul $\theta$ este $xy\sin \theta$ — dublul ariei triunghiului corespunzător.
• Formula se citește și invers: $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$ dă o înălțime, iar $\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$ dă unghiul, dar cu două soluții posibile.
• Cu două laturi fixate, aria e maximă la unghi drept și valoarea maximă este $\frac{ab}{2}$; valorile sinusului pentru unghiuri oarecare se iau din tabel sau de la calculator, setat pe grade.

Greșeli frecvente

• Unghiul luat greșit. Se scrie $\frac{1}{2}ab\sin A$, deși $A$ nu este unghiul dintre laturile $a$ și $b$. Regula: în formula ariei unghiul e cuprins între laturile folosite, spre deosebire de teorema cosinusului, unde unghiul este opus laturii calculate.
• Uitarea lui $\frac{1}{2}$. Produsul $ab\sin C$ este aria paralelogramului, nu a triunghiului. Verifică pe un caz cunoscut: la catetele $3$ și $4$ trebuie să iasă $6$, nu $12$.
• Calculatorul lăsat pe radiani. Dacă apeși $\sin 30$ și îți iese $-0,988$ în loc de $0,5$, calculatorul e pe RAD. Comută pe DEG și reia tot calculul.
• Un singur răspuns la problema inversă. Când afli unghiul din $\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$, uiți de suplementul lui. Dacă enunțul nu spune că triunghiul e ascuțitunghic, scrie ambele soluții.
• Rotunjirea prea devreme. Dacă rotunjești sinusul la o zecimală și abia apoi înmulțești cu numere mari, eroarea se umflă. Lucrează cu cel puțin patru zecimale și rotunjește doar rezultatul final.

Aplică acasă

1. Colțul de curte. Alege în curte, în parc sau în fața blocului o suprafață aproximativ triunghiulară. Măsoară cu pasul (sau cu ruleta) două dintre laturi și estimează unghiul dintre ele cu aplicația de busolă sau cu raportorul de pe telefon. Calculează aria cu formula sinusului și notează și maximul teoretic $\frac{ab}{2}$: cât la sută din maxim ai obținut?

2. Două creioane și un tabel. Prinde două creioane de lungimi diferite într-un vârf comun și deschide unghiul dintre ele treptat. Calculează aria triunghiului format la $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $150^{\circ }$ și fă un tabel. Găsește în tabel perechea de unghiuri care dau exact aceeași arie și explică de ce.

3. Grădina de pe hartă. Deschide o hartă digitală și alege un scuar sau un teren triunghiular din localitatea ta. Măsoară cu instrumentul de măsurare al hărții două laturi și citește unghiul dintre ele, apoi calculează suprafața. Dacă aplicația are opțiune de măsurare a suprafeței, compară rezultatele și exprimă diferența în procente.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima formulă „adevărat trigonometrică" de arie și, odată cu ea, o schimbare de mentalitate: aria nu se mai calculează dintr-o înălțime greu de obținut, ci din mărimi care se pot măsura direct pe teren. Conform programei de trunchi comun, formula nu se demonstrează formal; se construiește intuitiv, prin înlocuirea înălțimii cu $b\sin C$, se verifică pe cazuri cunoscute (triunghi dreptunghic, triunghi echilateral) și se aplică în contexte practice. Elevul care vrea și partea de demonstrație riguroasă o găsește în lecția de clasa a IX-a Aria triunghiului: de la baza·înălțimea/2 la formula lui Heron.

Întrebări bune de control: „Unde stă unghiul în formula $\frac{1}{2}ab\sin C$?" (între cele două laturi folosite); „De ce formula merge și la unghi obtuz?" (pentru că $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$); „Cum afli înălțimea dacă ai aria?" ($h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$); „Câte unghiuri pot da aceeași arie cu laturi fixate?" (două, suplementare). Semne că a înțeles: verifică singur dacă unghiul din enunț este între laturile alese, estimează rezultatul înainte de calcul (compară cu maximul $\frac{ab}{2}$) și nu uită al doilea răspuns la problema inversă.

La Bacalaureat, formula apare aproape la fiecare sesiune, cel mai des în lanțul „aflați aria $\to$ aflați o latură cu teorema cosinusului $\to$ aflați o înălțime". Exercițiile 15 și 16 reproduc exact acest tipar, iar exercițiul 6 din exemplele rezolvate parcurge lanțul complet. Continuarea firească este lecția despre formula lui Heron, care rezolvă cazul în care nu cunoști niciun unghi, și apoi aria suprafețelor poligonale prin descompunere, unde formula se aplică pe fiecare bucată a unui teren.

Întrebări frecvente

Cum calculez aria unui triunghi dacă știu două laturi și unghiul dintre ele? Cu formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$: înmulțești cele două laturi, înmulțești cu sinusul unghiului dintre ele și împarți la doi. Valoarea sinusului o iei din tabelul trigonometric sau de la calculator, setat pe grade.

Formula cu sinus funcționează și la triunghiuri obtuzunghice? Da, la orice triunghi. Când unghiul este obtuz, piciorul înălțimii cade în afara laturii, dar în calcul apare $\sin (180^{\circ }-C)$, care este egal cu $\sin C$, deci formula rămâne neschimbată.

De ce apare $\frac{1}{2}$ în formula ariei triunghiului? Pentru că $ab\sin C$ este aria paralelogramului construit pe cele două laturi, iar triunghiul este exact jumătate din acest paralelogram. Verificarea rapidă: la un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$ formula trebuie să dea $6$.

Cum aflu unghiul unui triunghi dacă știu aria și două laturi? Din $\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$. Atenție: ecuația are, în general, două soluții pe $(0^{\circ },180^{\circ })$ — un unghi ascuțit și suplementarul lui obtuz. Alegi între ele doar dacă enunțul dă o informație suplimentară.

Când are un triunghi arie maximă, dacă două laturi sunt fixate? Când unghiul dintre ele este drept. Atunci $\sin C=1$, iar aria atinge valoarea maximă $\frac{ab}{2}$. Pentru orice alt unghi, aria este strict mai mică.

Ce fac dacă am doar o latură și două unghiuri? Afli al treilea unghi scăzând din $180^{\circ }$, apoi calculezi o a doua latură cu teorema sinusurilor. Ai ajuns în situația „două laturi și unghiul dintre ele" și aplici formula cu sinus.

Cum calculez suprafața unui teren triunghiular fără să măsor înălțimea? Măsori două laturi cu ruleta sau cu telemetrul și unghiul dintre ele cu busola digitală, apoi aplici $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$. Este exact motivul pentru care topografii folosesc această formulă: nu cere nicio construcție pe teren.

De ce îmi dă calculatorul un rezultat ciudat pentru sinus? Cel mai probabil este setat pe radiani. Caută modul DEG (sau D pe afișaj) și verifică imediat cu $\sin 30^{\circ }$: trebuie să obții $0,5$. Dacă obții altceva, setarea e greșită.