Aria poligoanelor prin descompunere în triunghiuri: pe scurt

Pentru terenuri și forme neregulate nu există o „formulă de manual” a ariei — dar există o singură idee care le rezolvă pe toate: taie figura în triunghiuri care nu se suprapun și adună ariile lor. Fiecare bucată își primește formula potrivită datelor pe care le ai: semiprodusul catetelor, formula cu sinus sau formula lui Heron.

Un patrulater oarecare se împarte cu o singură diagonală în două triunghiuri. Un poligon convex cu $n$ laturi, descompus dintr-un vârf, dă $n-2$ triunghiuri — nu $n$, pentru că din vârful ales nu pleacă diagonale către cei doi vecini imediați.

La metoda măsurătorii „în stea”, folosită în topografie, se alege un punct interior, se măsoară distanțele la vârfuri și unghiurile dintre ele; unghiurile din jurul punctului central trebuie să însumeze exact $360^{\circ }$ — este verificarea gratuită a măsurătorii, de făcut înainte de a calcula ariile.

Un poligon regulat cu $n$ laturi și raza $R$ se descompune în $n$ triunghiuri isoscele identice, cu aria totală $n\cdot \frac{1}{2}{R}^2\sin \frac{360^{\circ }}{n}$. Greșeli frecvente: numărul greșit de triunghiuri, refolosirea greșită a diagonalei între cele două triunghiuri și aplicarea formulei trapezului la un patrulater fără laturi paralele confirmate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un poligon convex cu $n$ laturi se descompune, dintr-un vârf, în:

   • a) $n-2$ triunghiuri
   • b) $n+2$ triunghiuri
   • c) $n$ triunghiuri
   • d) $n-1$ triunghiuri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $n-2$ triunghiuri

   Din vârful ales nu pleacă diagonale spre cei doi vecini imediați, deci rezultă $n-2$ triunghiuri (la un pentagon, $3$).

2. La metoda măsurătorii „în stea”, unghiurile din jurul punctului central trebuie să însumeze:

   • a) $270^{\circ }$
   • b) $360^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $180^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $360^{\circ }$

   Unghiurile din jurul unui punct interior acoperă întregul plan din jurul lui, deci suma trebuie să fie $360^{\circ }$ — verificarea gratuită a măsurătorii.

3. Un patrulater oarecare se împarte în două triunghiuri cu ajutorul:

   • a) unei bisectoare
   • b) unei mediane
   • c) unei diagonale
   • d) unei înălțimi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) unei diagonale

   O diagonală unește două vârfuri opuse și taie patrulaterul exact în două triunghiuri.