Măsurători indirecte: triangulație și navigație (M2, științe ale naturii)

Din două turnuri de observare aflate la câțiva kilometri unul de altul, pădurarii văd același fir de fum ridicându-se deasupra pădurii. Fiecare citește pe cadranul lui o singură direcție, iar din aceste două citiri și din distanța dintre turnuri echipa de intervenție află exact unde s-a aprins focul. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție arată cum transformi direcții măsurate de la nord și o bază cunoscută într-un triunghi pe care îl rezolvi cu teorema sinusurilor și cu teorema cosinusului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de măsurare indirectă.

Lecția încheie unitatea de trigonometrie și folosește aproape tot ce ai construit în ea. Teorema sinusurilor la M2 îți dă o latură din alta și din două unghiuri, iar teorema cosinusului la M2 îți dă a treia latură din două laturi și unghiul dintre ele. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri oarecare le iei din tabele sau cu mijloace digitale, cu patru zecimale, iar rezultatul final se rotunjește la sfârșit.

Ce vei învăța

• Vei descrie o direcție prin azimut, măsurat de la nord în sensul acelor de ceasornic, și o vei deosebi de unghiul de pe cercul trigonometric.
• Vei afla unghiurile unui triunghi din azimuturile citite la capetele unei baze, folosind azimutul invers.
• Vei localiza un punct inaccesibil din două vize și vei calcula distanțele cu teorema sinusurilor.
• Vei calcula înălțimea unui obiect văzut din două stații aflate de o parte și de alta a lui.
• Vei rezolva un traseu frânt de navigație și vei afla distanța și azimutul drumului de întoarcere.
• Vei judeca cât de sigur este un rezultat, după unghiul sub care se văd capetele bazei din punctul vizat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o măsurătoare indirectă?

O măsurătoare indirectă este aflarea prin calcul a unei distanțe sau a unei înălțimi la care nu poți ajunge, pornind de la mărimi pe care le poți măsura: o bază, adică un segment accesibil cu lungimea cunoscută, și unghiuri citite din capetele ei. Triangulația este metoda în care punctul inaccesibil devine vârful unui triunghi cu baza cunoscută; poziția lui se află din unghiurile de la capetele bazei, iar procedeul se numește intersecție înainte.

Modelul pe care îl folosim este plan: considerăm terenul orizontal și neglijăm curbura Pământului. Pentru distanțe orizontale de câteva zeci de kilometri, abaterea dată de curbură este mult mai mică decât eroarea de citire a unghiurilor. Când calculăm înălțimi, verificăm separat mărimea acestei abateri, așa cum face Exemplul 2.

2. Ce este azimutul?

Azimutul unei direcții este unghiul măsurat de la direcția nord până la acea direcție, în sensul acelor de ceasornic; valorile lui aparțin intervalului $[0^{\circ },360^{\circ })$. Nordului îi corespunde azimutul $0^{\circ }$, estului $90^{\circ }$, sudului $180^{\circ }$, iar vestului $270^{\circ }$. Aceasta este convenția din navigație, din topografie și de pe busola telefonului.

Pe cercul trigonometric, direcțiile se măsoară altfel: de la est, în sens trigonometric, adică invers acelor de ceasornic. În lecția despre reducerea la primul cadran la M2 ai lucrat chiar cu această a doua convenție. Legătura dintre ele este simplă: o direcție cu azimutul $z$ face cu estul, în sens trigonometric, unghiul $90^{\circ }-z$ când $z\le 90^{\circ }$ și $450^{\circ }-z$ când $z>90^{\circ }$, astfel încât rezultatul rămâne în $[0^{\circ },360^{\circ })$. Pentru $z$ din primul cadran, formulele pentru $\frac{\pi }{2}-x$ dau $\cos (90^{\circ }-z)=\sin z$ și $\sin (90^{\circ }-z)=\cos z$: o deplasare de lungime $d$ pe azimutul $z$ are componenta spre est $d\sin z$ și componenta spre nord $d\cos z$. Pentru azimuturile din celelalte cadrane folosești aceleași două expresii și calculezi $\sin z$ și $\cos z$ cu formulele de reducere; semnul arată direcția: o componentă negativă spre est înseamnă o deplasare spre vest, iar una negativă spre nord, o deplasare spre sud.

3. Cum afli unghiurile triunghiului din azimuturi?

Unghiul dintre două direcții care pleacă din același punct este diferența azimuturilor lor, dacă aceasta nu depășește $180^{\circ }$; altfel este $360^{\circ }$ minus acea diferență. Un unghi de triunghi este mereu între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$.

Mai ai nevoie de o singură regulă. Dacă direcția de la $A$ la $B$ are azimutul $z$, direcția de la $B$ înapoi la $A$ are azimutul $z+180^{\circ }$ sau $z-180^{\circ }$, după care dintre ele cade în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$. Acesta este azimutul invers. La capătul $A$ al bazei compari azimutul spre $B$ cu azimutul spre punctul vizat; la capătul $B$ compari azimutul invers, spre $A$, cu azimutul spre același punct. Al treilea unghi vine din sumă, iar suma de $180^{\circ }$ este primul control al citirilor.

4. Cum localizezi un punct din două vize?

Două stații, $A$ și $B$, se află la $5$ km una de alta, iar $B$ se vede din $A$ pe azimutul $110^{\circ }$. Din $A$, un punct $C$ se vede pe azimutul $25^{\circ }$, iar din $B$, pe azimutul $345^{\circ }$. Unghiul din $A$ este $110^{\circ }-25^{\circ }=85^{\circ }$. Azimutul invers de la $B$ la $A$ este $110^{\circ }+180^{\circ }=290^{\circ }$, deci unghiul din $B$ este $345^{\circ }-290^{\circ }=55^{\circ }$. Al treilea unghi are $180^{\circ }-85^{\circ }-55^{\circ }=40^{\circ }$.

Latura $AC$ se opune unghiului din $B$, iar baza $AB$ se opune unghiului din $C$. Teorema sinusurilor dă

$$AC=\frac{5\sin 55^{\circ }}{\sin 40^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,8192}{0,6428}\approx 6,37\text{km}.$$

Punctul $C$ este deci la aproximativ $6,37$ km de $A$, pe azimutul $25^{\circ }$: poziția lui este complet determinată, fără ca cineva să fi ajuns acolo.

5. Cum afli o înălțime din două stații aflate de o parte și de alta?

Un obiect $M$ aflat sus, deasupra segmentului $AB$, se vede din $A$ sub unghiul de elevație $\alpha$ și din $B$ sub unghiul de elevație $\beta$. Punctele $A$, $B$ și $M$ sunt în același plan vertical, iar stațiile stau de o parte și de alta a verticalei lui $M$. În triunghiul $ABM$, unghiurile de la bază sunt chiar $\alpha$ și $\beta$, iar unghiul din $M$ este $180^{\circ }-\alpha -\beta$.

Teorema sinusurilor dă $AM=\frac{AB\sin \beta }{\sin M}$, iar înălțimea este cateta opusă unghiului $\alpha$ în triunghiul dreptunghic format de $AM$ cu verticala: $h=AM\sin \alpha$. Pe scurt,

$$h=\frac{AB\sin \alpha \sin \beta }{\sin M},M=180^{\circ }-\alpha -\beta .$$

Formula folosește toate trei unghiurile triunghiului, iar controlul natural este poziția piciorului verticalei: distanțele orizontale de la cele două stații, $AM\cos \alpha$ și $BM\cos \beta$, trebuie să dea împreună baza $AB$.

6. Ce unghi intră în teorema cosinusului pe un traseu frânt?

O navă pleacă din $P$, parcurge distanța $d_1$ pe azimutul $z_1$ până în $M$, apoi distanța $d_2$ pe azimutul $z_2$ până în $N$. În $M$, direcția de unde a venit nava are azimutul invers $z_1\pm 180^{\circ }$, deci unghiul interior al triunghiului $PMN$ în $M$ este $180^{\circ }-|z_2-z_1|$, când diferența azimuturilor nu depășește $180^{\circ }$. Distanța $PN$ vine din teorema cosinusului.

Pentru drumul de întoarcere mai ai nevoie de un unghi: unghiul din $P$, pe care îl dă teorema sinusurilor, fiindcă e opus laturii $MN$, cunoscute. Dacă nava a cotit spre dreapta, adică $z_2>z_1$, direcția de la $P$ la $N$ are azimutul $z_1$ plus unghiul din $P$. Azimutul drumului de întoarcere, de la $N$ la $P$, este azimutul invers al acesteia.

7. Cât de sigur este rezultatul?

Unghiurile se citesc cu o eroare, iar efectul ei depinde de forma triunghiului. Pe o bază de $1$ km, cu unghiurile de $60^{\circ }$ la ambele capete, punctul vizat e la $1$ km de $A$; dacă al doilea unghi e citit $61^{\circ }$, distanța devine $\frac{\sin 61^{\circ }}{\sin 59^{\circ }}\approx \frac{0,8746}{0,8572}\approx 1,02$ km, adică doar cu $2\%$ mai mult.

Pe aceeași bază, cu unghiurile de $85^{\circ }$ la ambele capete, punctul vizat se vede sub numai $10^{\circ }$, iar distanța este $\frac{\sin 85^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}\approx \frac{0,9962}{0,1736}\approx 5,74$ km. Un singur grad în plus la a doua citire o face $\frac{\sin 86^{\circ }}{\sin 9^{\circ }}\approx \frac{0,9976}{0,1564}\approx 6,38$ km, cu $11\%$ mai mult. Concluzia practică: baza se alege cât mai lungă, astfel încât punctul vizat să nu vadă capetele ei sub un unghi foarte mic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două turnuri de observare a incendiilor

Turnul $B$ se vede din turnul $A$ pe azimutul $75^{\circ }$, la $12$ km distanță. Pentru un fir de fum $F$, observatorul din $A$ citește azimutul $20^{\circ }$, iar cel din $B$ azimutul $330^{\circ }$. Află distanțele de la turnuri la foc și poziția focului față de turnul $A$.

Rezolvare. Unghiul din $A$ este $75^{\circ }-20^{\circ }=55^{\circ }$. Azimutul invers de la $B$ la $A$ este $75^{\circ }+180^{\circ }=255^{\circ }$, deci unghiul din $B$ este $330^{\circ }-255^{\circ }=75^{\circ }$. Unghiul din $F$ are $180^{\circ }-55^{\circ }-75^{\circ }=50^{\circ }$. Cu teorema sinusurilor, cu baza opusă unghiului din $F$:

$$AF=\frac{12\sin 75^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,9659}{0,7660}\approx 15,13\text{km},BF=\frac{12\sin 55^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,8192}{0,7660}\approx 12,83\text{km}.$$

Focul se află pe azimutul $20^{\circ }$ față de $A$, deci la aproximativ $15,13\cdot 0,3420\approx 5,2$ km spre est și $15,13\cdot 0,9397\approx 14,2$ km spre nord de turnul $A$; o zecimală ajunge, fiindcă un azimut se citește cu o precizie de ordinul unui grad. Controlul: unghiul cel mai mare, de $75^{\circ }$, se opune laturii celei mai lungi, $AF$.

Exemplul 2 — Înălțimea unui meteor

Două stații de observare a meteorilor, $A$ și $B$, aflate la $80$ km una de alta, fotografiază același meteor $M$, care trece între ele. Din $A$ se vede sub unghiul de elevație de $69^{\circ }$, iar din $B$ sub $63^{\circ }$. La ce înălțime a strălucit meteorul?

Rezolvare. În triunghiul $ABM$ unghiurile de la bază sunt $69^{\circ }$ și $63^{\circ }$, deci unghiul din $M$ are $180^{\circ }-69^{\circ }-63^{\circ }=48^{\circ }$. Latura $AM$ se opune unghiului din $B$:

$$AM=\frac{80\sin 63^{\circ }}{\sin 48^{\circ }}\approx \frac{80\cdot 0,8910}{0,7431}\approx 95,92\text{km},h=AM\sin 69^{\circ }\approx 95,92\cdot 0,9336\approx 89,55\text{km}.$$

Piciorul verticalei este la aproximativ $95,92\cdot 0,3584\approx 34,4$ km de $A$. Înălțimea de circa $90$ km se încadrează în intervalul, de aproximativ $70$–$120$ km, în care meteorii ard în atmosferă. Validitatea modelului plan: pe $34$ km, suprafața Pământului coboară sub orizontala locului cu aproximativ $\frac{34,4^2}{2\cdot 6371}\approx 0,09$ km, o abatere neglijabilă față de $90$ km.

Exemplul 3 — Radiotelemetria unui lup

Un lup poartă o zgardă-emițător. Un biolog merge pe un drum forestier drept, orientat spre nord, și recepționează semnalul din două puncte ale drumului: din $A$ pe azimutul $35^{\circ }$, iar din $B$, aflat la $2,4$ km mai la nord, pe azimutul $110^{\circ }$. La ce distanță de $A$ se află lupul și ce poziție are față de $A$?

Rezolvare. Direcția de la $A$ la $B$ are azimutul $0^{\circ }$, deci unghiul din $A$ este $35^{\circ }$. Azimutul invers, de la $B$ la $A$, este $180^{\circ }$, deci unghiul din $B$ este $180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. Unghiul din $L$, poziția lupului, este $180^{\circ }-35^{\circ }-70^{\circ }=75^{\circ }$. Atunci

$$AL=\frac{2,4\sin 70^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}\approx \frac{2,4\cdot 0,9397}{0,9659}\approx 2,33\text{km}.$$

Față de $A$, lupul e la aproximativ $2,33\cdot 0,5736\approx 1,34$ km spre est și $2,33\cdot 0,8192\approx 1,91$ km spre nord. În practică, fiecare azimut are o eroare de câteva grade, așa că cele două vize delimitează o mică zonă, nu un punct; biologii fac o a treia citire, din alt punct, ca să micșoreze această zonă.

Exemplul 4 — Nava de cercetare și drumul de întoarcere

O navă de cercetare pleacă din portul $P$, parcurge $18$ km pe azimutul $65^{\circ }$ până în $M$, apoi $25$ km pe azimutul $150^{\circ }$ până în $N$. Calculează distanța de la $N$ la port și azimutul pe care trebuie să navigheze nava ca să se întoarcă direct.

Rezolvare. Diferența azimuturilor este $150^{\circ }-65^{\circ }=85^{\circ }$, deci unghiul interior din $M$ are $180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$. Cu teorema cosinusului și cu $\cos 95^{\circ }\approx -0,0872$:

$$P{N}^2=18^2+25^2-2\cdot 18\cdot 25\cdot \cos 95^{\circ }\approx 949+900\cdot 0,0872=1027,48,$$

deci $PN\approx 32,05$ km. Unghiul din $P$ se opune laturii $MN=25$ km: $\sin P\approx \frac{25\cdot 0,9962}{32,05}\approx 0,777$, deci unghiul din $P$ are aproximativ $51,0^{\circ }$; el e ascuțit, fiindcă unghiul obtuz al triunghiului este cel din $M$. Nava a cotit spre dreapta, deci direcția de la $P$ la $N$ are azimutul $65^{\circ }+51,0^{\circ }=116,0^{\circ }$. Drumul de întoarcere are azimutul invers, $116,0^{\circ }+180^{\circ }=296,0^{\circ }$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un drumeț parcurge $10$ km pe azimutul $30^{\circ }$. Un elev scrie: „s-a deplasat cu aproximativ 8,66 km spre est și cu 5 km spre nord”. Unde greșește și care sunt deplasările corecte?

Rezolvare. Elevul a folosit convenția cercului trigonometric, cu unghiul măsurat de la est: a pus cosinusul pe direcția est și sinusul pe direcția nord. Azimutul se măsoară însă de la nord. Componenta spre est este $10\sin 30^{\circ }=5$ km, iar componenta spre nord este $10\cos 30^{\circ }=5\sqrt{3}\approx 8,66$ km. Un control fără calcul: azimutul $30^{\circ }$ e mai aproape de nord decât de est, deci deplasarea spre nord trebuie să fie cea mai mare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=7\sqrt{2}$, $BC=17$ și $m(\angle ABC)=\frac{3\pi }{4}$. Arătați că $AC=25$ și calculați $\sin (\angle BAC)$.

Rezolvare. Unghiul $B$ este cuprins între laturile $AB$ și $BC$, iar $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Teorema cosinusului dă

$$A{C}^2=98+289-2\cdot 7\sqrt{2}\cdot 17\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=387+238=625,$$

deci $AC=25$. Cu teorema sinusurilor, latura $BC$ se opune unghiului $A$: $\sin (\angle BAC)=\frac{BC\sin B}{AC}=\frac{17}{25}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{17\sqrt{2}}{50}$. Configurația este chiar a unui traseu frânt cu unghiul interior obtuz. Cerința este construită în stilul Subiectului I și nu reproduce un subiect oficial.

Să exersăm

Desenează la fiecare problemă nordul, baza și vizele. Folosește valorile din tabel cu patru zecimale și rotunjește doar rezultatul final: la două zecimale, dacă enunțul nu cere altfel.

1. Scrie azimuturile direcțiilor nord-est, sud, sud-vest și vest-nord-vest.

2. Direcția de la $A$ la $B$ are azimutul $250^{\circ }$. Ce azimut are direcția de la $B$ la $A$? Dar dacă direcția de la $A$ la $B$ are azimutul $40^{\circ }$?

3. Din același punct pleacă două direcții, cu azimuturile $75^{\circ }$ și $310^{\circ }$. Ce unghi fac ele?

4. Un drumeț parcurge $6$ km pe azimutul $240^{\circ }$. Calculează, în formă exactă, componentele deplasării spre est și spre nord și spune în ce direcții s-a deplasat de fapt.

5. Pe o bază $AB$ de $750$ m, vizele spre un punct $C$ fac cu baza un unghi de $44^{\circ }$ la capătul $A$ și unul de $81^{\circ }$ la capătul $B$. Calculează distanța $AC$, rotunjită la metru.

6. Două hidrofoane ancorate în mare, $A$ și $B$, ascultă fluieratul unui grup de delfini $D$. Hidrofonul $B$ se află față de $A$ pe azimutul $310^{\circ }$, la $4$ km. Sunetul vine la $A$ de pe azimutul $260^{\circ }$, iar la $B$ de pe azimutul $210^{\circ }$. Află unghiurile triunghiului $ABD$ și distanțele $AD$ și $BD$. Ce observi?

7. Din satele $A$ și $B$, aflate la $6$ km unul de altul, de o parte și de alta a unui vârf de munte, vârful se vede sub unghiurile de elevație de $24^{\circ }$ din $A$ și $47^{\circ }$ din $B$. La ce înălțime față de sate se află vârful și sub ce unghi de elevație se vede el din punctul $C$, mijlocul segmentului $AB$?

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O barcă ce parcurge $6$ km pe azimutul $55^{\circ }$ și apoi $6$ km pe azimutul $175^{\circ }$ ajunge la $6$ km de punctul de plecare.”

9. Din același port ies simultan două nave. După o vreme, prima a ajuns la $18$ km de port, cu azimutul $15^{\circ }$, iar a doua la $35$ km, cu azimutul $75^{\circ }$. Cât de departe sunt navele una de cealaltă?

10. Un caiac vâslește $3,3$ km cu azimutul $35^{\circ }$, apoi $5,6$ km cu azimutul $125^{\circ }$. Ce unghi face traseul la cotitură? Află apoi distanța până la punctul de plecare și azimutul drumului de întoarcere.

11. La capetele unei baze de $2$ km, vizele spre un reper fac cu baza unghiuri de $80^{\circ }$ și $88^{\circ }$. Calculează distanța de la primul capăt al bazei la reper, apoi refă calculul dacă al doilea unghi a fost de fapt $89^{\circ }$. Cu cât la sută se schimbă distanța?

12. O echipă Salvamont aflată în punctul $B$, la $6$ km est de baza $A$, primește poziția unui turist accidentat, $S$, aflat la $4$ km nord de $A$. Pe ce azimut trebuie să meargă echipa direct de la $B$ spre $S$ și ce distanță are de parcurs?

13. (Problemă aplicată.) O colonie de pelicani cuibărește pe un ostrov din Delta Dunării. De pe mal, din două puncte $A$ și $B$ aflate la $600$ m unul de altul, colonia se vede sub unghiurile de $52^{\circ }$ în $A$ și $67^{\circ }$ în $B$, față de dreapta $AB$. Presupune că, pentru a nu speria păsările, nicio barcă nu trebuie să se apropie de colonie la mai puțin de $500$ m. Sunt punctele $A$ și $B$ destul de departe? Dă distanțele cu o zecimală.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=11$, $BC=9$ și $m(\angle BAC)=\frac{\pi }{4}$. Arătați că $\sin (\angle ACB)=\frac{11\sqrt{2}}{18}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un punct $P$ se află la $8$ km de punctul $O$, pe azimutul $150^{\circ }$. Arătați că $P$ este la $4$ km spre est și la $4\sqrt{3}$ km spre sud de $O$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=15\sqrt{2}$, $AC=23$ și $BC=17$. Arătați că $m(\angle BAC)=\frac{\pi }{4}$.

17. Din același port, o navă ajunge la $7$ km cu azimutul $20^{\circ }$, iar alta la $24$ km cu azimutul $110^{\circ }$. Arată că direcțiile lor sunt perpendiculare și calculează distanța dintre nave.

18. (Provocare.) Pentru două stații $A$ și $B$ aflate de o parte și de alta a unui obiect, cu unghiurile de elevație $\alpha$ și $\beta$ și baza $AB=d$, arată, pornind de la distanțele orizontale, că $h=\frac{d\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }$. Verifică formula pentru $d=40$ km și $\alpha =\beta =45^{\circ }$.

Răspunsuri și explicații

1. Nord-est: $45^{\circ }$. Sud: $180^{\circ }$. Sud-vest: $180^{\circ }+45^{\circ }=225^{\circ }$. Vest-nord-vest se află la jumătatea dintre vest și nord-vest: $\frac{270^{\circ }+315^{\circ }}{2}=292,5^{\circ }$.

2. $250^{\circ }-180^{\circ }=70^{\circ }$, fiindcă $250^{\circ }+180^{\circ }$ depășește $360^{\circ }$. Pentru $40^{\circ }$, azimutul invers este $40^{\circ }+180^{\circ }=220^{\circ }$.

3. Diferența este $310^{\circ }-75^{\circ }=235^{\circ }$, mai mare decât $180^{\circ }$, deci unghiul dintre direcții este $360^{\circ }-235^{\circ }=125^{\circ }$.

4. Spre est: $6\sin 240^{\circ }=-6\sin 60^{\circ }=-3\sqrt{3}\approx -5,20$ km. Spre nord: $6\cos 240^{\circ }=-6\cos 60^{\circ }=-3$ km. Semnele negative arată că drumețul a mers $3\sqrt{3}$ km spre vest și $3$ km spre sud, ca pentru o direcție din cadranul sud-vest. Am folosit $\sin (180^{\circ }+x)=-\sin x$ și $\cos (180^{\circ }+x)=-\cos x$.

5. Unghiul din $C$ are $180^{\circ }-44^{\circ }-81^{\circ }=55^{\circ }$, iar $AC$ se opune unghiului din $B$: $AC=\frac{750\sin 81^{\circ }}{\sin 55^{\circ }}\approx \frac{750\cdot 0,9877}{0,8192}\approx 904$ m.

6. Unghiul din $A$ are $310^{\circ }-260^{\circ }=50^{\circ }$. Azimutul invers, de la $B$ la $A$, este $310^{\circ }-180^{\circ }=130^{\circ }$, deci unghiul din $B$ are $210^{\circ }-130^{\circ }=80^{\circ }$, iar unghiul din $D$ are $180^{\circ }-50^{\circ }-80^{\circ }=50^{\circ }$. Triunghiul are două unghiuri de $50^{\circ }$, deci este isoscel: latura $BD$, opusă unghiului din $A$, este egală cu $AB$, opusă unghiului din $D$, adică $BD=4$ km, fără niciun calcul. Latura $AD$ se opune unghiului din $B$: $AD=\frac{4\sin 80^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}\approx \frac{4\cdot 0,9848}{0,7660}\approx 5,14$ km.

7. Unghiul din vârf are $180^{\circ }-24^{\circ }-47^{\circ }=109^{\circ }$, iar distanța de la $A$ la vârf se opune unghiului din $B$: $\frac{6\sin 47^{\circ }}{\sin 109^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,7314}{0,9455}\approx 4,64$ km. Înălțimea este $4,64\cdot \sin 24^{\circ }\approx 4,64\cdot 0,4067\approx 1,89$ km, iar piciorul verticalei este la $4,64\cdot \cos 24^{\circ }\approx 4,24$ km de $A$. Mijlocul $C$ este la $3$ km de $A$, deci la aproximativ $1,24$ km de piciorul verticalei. Din $C$, tangenta unghiului de elevație este $\frac{1,89}{1,24}\approx 1,52$, iar unghiul are aproximativ $56,7^{\circ }$ (cu instrumentul digital): din mijlocul bazei vârful se vede mult mai sus decât din oricare sat.

8. Adevărat. Diferența azimuturilor este $175^{\circ }-55^{\circ }=120^{\circ }$, deci unghiul interior din punctul de cotitură are $60^{\circ }$. Triunghiul are două laturi de $6$ km și unghiul de $60^{\circ }$ între ele, deci este echilateral, iar a treia latură are tot $6$ km. Cu teorema cosinusului: $36+36-2\cdot 6\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=36$.

9. Ambele nave au plecat din port, așa că unghiul format de drumurile lor este diferența azimuturilor, $75^{\circ }-15^{\circ }=60^{\circ }$. Distanța $d$ verifică $d^2=18^2+35^2-2\cdot 18\cdot 35\cdot \frac{1}{2}=919$, deci $d=\sqrt{919}\approx 30,32$ km.

10. Diferența azimuturilor este $125^{\circ }-35^{\circ }=90^{\circ }$, deci unghiul interior de la cotitură are $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$. Distanța este $\sqrt{3,3^2+5,6^2}=\sqrt{10,89+31,36}=\sqrt{42,25}=6,5$ km. Unghiul din punctul de plecare are tangenta $\frac{5,6}{3,3}\approx 1,697$, deci aproximativ $59,49^{\circ }$. Caiacul a cotit spre dreapta, deci direcția spre punctul final are azimutul $35^{\circ }+59,49^{\circ }=94,49^{\circ }$, iar drumul de întoarcere are azimutul $94,49^{\circ }+180^{\circ }=274,49^{\circ }$.

11. Cu $80^{\circ }$ și $88^{\circ }$, unghiul din reper are $12^{\circ }$, iar distanța cerută se opune unghiului de $88^{\circ }$: $\frac{2\sin 88^{\circ }}{\sin 12^{\circ }}\approx \frac{2\cdot 0,9994}{0,2079}\approx 9,61$ km. Cu $89^{\circ }$, unghiul din reper are $11^{\circ }$: $\frac{2\sin 89^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}\approx \frac{2\cdot 0,9998}{0,1908}\approx 10,48$ km. Distanța crește cu aproximativ $9\%$, deși citirea s-a schimbat cu un singur grad: baza este prea scurtă pentru un reper atât de îndepărtat.

12. Față de $B$, punctul $S$ este cu $6$ km spre vest și cu $4$ km spre nord, deci componentele deplasării de la $B$ la $S$ sunt $-6$ km spre est și $4$ km spre nord. Distanța este $BS=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7,21$ km. Direcția este în cadranul nord-vest, deci azimutul este $360^{\circ }$ minus unghiul pe care îl face cu nordul spre vest. Acel unghi are tangenta $\frac{6}{4}=1,5$, deci aproximativ $56,31^{\circ }$, iar azimutul este $360^{\circ }-56,31^{\circ }=303,69^{\circ }$. Control: $\sin 303,69^{\circ }\approx -0,8321$ și $\cos 303,69^{\circ }\approx 0,5547$, iar $7,21\cdot (-0,8321)\approx -6,00$ și $7,21\cdot 0,5547\approx 4,00$.

13. Unghiul din colonie are $180^{\circ }-52^{\circ }-67^{\circ }=61^{\circ }$. Distanța de la $A$: $\frac{600\sin 67^{\circ }}{\sin 61^{\circ }}\approx \frac{600\cdot 0,9205}{0,8746}\approx 631,5$ m. Distanța de la $B$: $\frac{600\sin 52^{\circ }}{\sin 61^{\circ }}\approx \frac{600\cdot 0,7880}{0,8746}\approx 540,6$ m. Ambele depășesc $500$ m, deci condiția presupusă este respectată în ambele puncte.

14. Latura $BC$ se opune unghiului $A$, iar latura $AB$ se opune unghiului $C$. Teorema sinusurilor dă $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$, deci $\sin C=\frac{AB\sin A}{BC}=\frac{11}{9}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{11\sqrt{2}}{18}$. Valoarea este sub $1$, pentru că $11\sqrt{2}=\sqrt{242}<\sqrt{324}=18$.

15. Spre est: $8\sin 150^{\circ }=8\sin 30^{\circ }=4$ km. Spre nord: $8\cos 150^{\circ }=-8\cos 30^{\circ }=-4\sqrt{3}$ km, deci $4\sqrt{3}$ km spre sud. Am folosit $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$ și $\cos (180^{\circ }-x)=-\cos x$.

16. Unghiul $A$ este cuprins între $AB$ și $AC$, iar latura opusă lui este $BC$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{450+529-289}{2\cdot 15\sqrt{2}\cdot 23}=\frac{690}{690\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pe intervalul $(0,\pi )$, singurul unghi cu acest cosinus este $\frac{\pi }{4}$.

17. Diferența azimuturilor este $110^{\circ }-20^{\circ }=90^{\circ }$, deci direcțiile sunt perpendiculare. Distanța dintre nave este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele de $7$ km și $24$ km: $\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ km.

18. Fie $x$ și $y$ distanțele orizontale de la $A$ și de la $B$ până la piciorul verticalei, cu $x+y=d$. În cele două triunghiuri dreptunghice, $x=\frac{h}{\mathrm{tg}\alpha }$ și $y=\frac{h}{\mathrm{tg}\beta }$. Adunând, $h\left(\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }+\frac{1}{\mathrm{tg}\beta }\right)=d$, de unde $h=\frac{d\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }$. Pentru $d=40$ km și $\alpha =\beta =45^{\circ }$: $h=\frac{40\cdot 1\cdot 1}{1+1}=20$ km, adică exact jumătatea bazei, cum cere simetria.

De reținut

• Azimutul se măsoară de la nord, în sensul acelor de ceasornic, între $0^{\circ }$ și $360^{\circ }$; pe distanța $d$ pe azimutul $z$ te deplasezi cu $d\sin z$ spre est și cu $d\cos z$ spre nord.
• Azimutul invers diferă cu $180^{\circ }$; la capătul îndepărtat al bazei, unghiul triunghiului se măsoară față de azimutul invers al bazei.
• O bază cunoscută și două unghiuri dau triunghiul prin teorema sinusurilor; două laturi și unghiul dintre ele îl dau prin teorema cosinusului.
• Cu două stații de o parte și de alta a unui obiect, $h=\frac{AB\sin \alpha \sin \beta }{\sin M}$, cu $M=180^{\circ }-\alpha -\beta$.
• Rezultatul e sigur doar dacă punctul vizat vede baza sub un unghi suficient de mare; o bază scurtă amplifică erorile de citire.

Greșeli frecvente

• Azimutul invers negativ. Pentru o bază pe azimutul $75^{\circ }$, direcția înapoi nu este $75^{\circ }-180^{\circ }=-105^{\circ }$. Azimutul trebuie adus în intervalul $[0^{\circ },360^{\circ })$, deci este $255^{\circ }$.
• Diferența de azimuturi luată drept unghi, chiar peste $180^{\circ }$. Între azimuturile $80^{\circ }$ și $300^{\circ }$ diferența este $220^{\circ }$, dar unghiul dintre direcții este $140^{\circ }$. Un unghi de triunghi nu poate depăși $180^{\circ }$.
• Azimutul numărat invers acelor de ceasornic. Cine pune vestul la $90^{\circ }$ lucrează în oglindă și obține poziția simetrică față de axa nord–sud. Busola telefonului crește spre dreapta: nord, est, sud, vest.
• Drumul de întoarcere paralel cu primul tronson. După un traseu frânt, azimutul întoarcerii nu este azimutul primului tronson plus $180^{\circ }$; acela te-ar duce pe o dreaptă paralelă, pe lângă port. Azimutul întoarcerii se calculează din triunghiul întregului traseu.
• Stații de o parte și de alta tratate ca stații de aceeași parte. Dacă obiectul e între stații, unghiul din vârf este $180^{\circ }-\alpha -\beta$, nu diferența $\beta -\alpha$. Desenul arată imediat în ce situație ești.

Aplică acasă

1. Busola telefonului și azimutul invers. Alege două repere vizibile unul din altul, de exemplu doi stâlpi. Citește cu busola telefonului azimutul de la primul spre al doilea, apoi mergi la al doilea și citește azimutul înapoi. Verifică dacă diferă cu $180^{\circ }$ și încearcă să explici abaterea, de exemplu prin apropierea unor obiecte de fier.
2. O drumeție pe azimuturi. Planifică un traseu de $3$–$4$ tronsoane, fiecare cu un azimut și o lungime. Calculează poziția finală adunând componentele spre est și spre nord, apoi parcurge traseul cu o aplicație care înregistrează drumul și compară poziția reală cu cea calculată.
3. Radiotelemetria jucată. Un prieten ascunde într-un parc un telefon care redă un sunet. Doi dintre voi, aflați la o distanță cunoscută unul de altul, citesc azimutul din care vine sunetul. Calculați poziția telefonului cu teorema sinusurilor și verificați căutându-l.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de trigonometrie cu competența de modelare pe care programa o cere explicit: situații practice cu distanțe și înălțimi, din astronomie, navigație și construcții. Elevul nu primește un triunghi desenat, ci direcții citite pe o busolă, și învață să le traducă în unghiuri de triunghi. Am insistat pe trei lucruri specifice profilului: convenția azimutului, pusă față în față cu cea a cercului trigonometric, și componentele spre est și spre nord, legate de reperul cartezian; situațiile din științe, meteorul, radiotelemetria unui animal, turnurile de foc; judecarea preciziei, adică alegerea unei baze care nu amplifică erorile de citire. Întrebări bune de control: „Ce azimut are direcția de la $B$ la $A$?”; „Ce unghi de triunghi corespunde celor două citiri de busolă?”; „De ce o bază scurtă dă rezultate nesigure?”. Pentru componentele unei deplasări pe axe este utilă lecția despre coordonate în situații practice la M2, iar pentru valorile de bază ale sinusului și cosinusului, lecția de clasa a VII-a despre valorile trigonometrice pentru 30°, 45° și 60°.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; competențele IX.CS.4.7, IX.CS.5.7 și IX.CS.6.7 cer determinarea unor lungimi în configurații extrase din contexte practice (măsurători indirecte, distanțe, înălțimi), analizarea unor situații din astronomie, navigație și construcții și modele geometrice din navigație. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde programa numește teorema sinusurilor, teorema cosinusului și rezolvarea triunghiurilor oarecare. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare, fără să numească azimutul sau navigația. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic; exercițiile 14 și 16, marcate Bacalaureat M2, sunt triunghiuri oarecare construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial. Exercițiul 15, cu azimut, poartă marcajul MAT_P2 2030: azimutul nu apare în programa din 2014, iar programa probei MAT_P2 evaluează competența IX.CS.6.7, modelarea unor situații practice care implică concepte trigonometrice.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: măsurători indirecte, triangulație și navigație are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, rezolvarea completă a triunghiurilor cu o latură și două unghiuri este în rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU la M2, iar cu această lecție se încheie unitatea: exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la măsurătorile indirecte în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, tema se învață în clasa a IX-a și încheie unitatea de trigonometrie. Lecția M2 pune față în față azimutul și unghiul de pe cercul trigonometric, calculează componentele spre est și spre nord, adaugă situații din științe, ca meteorul sau radiotelemetria unui animal, și cere judecarea preciziei unei măsurători.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea aceste probleme?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține teorema sinusurilor și rezolvarea triunghiurilor oarecare, iar cerințele scurte de trigonometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de măsurare indirectă. Exercițiile 14 și 16, marcate Bacalaureat M2, sunt triunghiuri oarecare fără context de navigație. Exercițiul 15, cu azimut, e marcat MAT_P2 2030, fiindcă azimutul lipsește din programa din 2014.

De ce azimutul pleacă de la nord, iar pe cercul trigonometric unghiul pleacă de la est?

Sunt două convenții născute în lumi diferite. Navigatorii și topografii s-au orientat după nord și după busolă, care crește în sensul acelor de ceasornic. Matematicienii au pornit de la axa $Ox$, spre dreapta, și au ales sensul trigonometric. Pentru un azimut din primul cadran, unghiul de pe cerc este $90^{\circ }-z$, iar greșelile apar când cele două convenții se amestecă.

Cum găsesc drumul înapoi după un traseu cu mai multe tronsoane?

Aduni deplasările spre est și spre nord ale tuturor tronsoanelor și obții poziția finală față de punctul de plecare. Drumul de întoarcere are componentele opuse, iar din ele afli distanța și direcția. La un traseu cu două tronsoane poți lucra și direct în triunghi, cu teorema cosinusului și teorema sinusurilor.

Cât de departe merge modelul plan, fără curbura Pământului?

Pentru distanțe orizontale de câteva zeci de kilometri, modelul plan este foarte bun: erorile de citire a unghiurilor contează mult mai mult. La înălțimi, verifici cât coboară suprafața Pământului pe distanța orizontală, aproximativ $\frac{d^2}{2R}$, cu $R\approx 6371$ km. Pe sute de kilometri, topografii trec la calcule pe sferă.

Cum aleg baza ca să greșesc cât mai puțin?

Alege baza astfel încât punctul vizat să o vadă sub un unghi cât mai apropiat de unghiul drept, nu sub câteva grade. Asta înseamnă o bază lungă, comparabilă cu distanța până la punct. Repetă citirile, verifică suma unghiurilor și, dacă poți, fă o a treia viză dintr-un alt punct.