Măsura unui arc: grade și radiani (M2, științe ale naturii)

Un laborant pornește centrifuga, iar afișajul arată o turație în rotații pe minut. Manualul de fizică cere însă viteza unghiulară în radiani pe secundă. Cele două numere descriu aceeași mișcare, dar în unități diferite, iar trecerea de la unul la altul este chiar tema acestei lecții. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), măsura arcelor în grade și în radiani deschide unitatea de trigonometrie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde valorile particulare ale funcțiilor trigonometrice sunt scrise în radiani. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus definite pe $[0,2\pi ]$; modelul oficial din 2026 dă, la Subiectul I, un unghi al unui triunghi sub forma $\frac{\pi }{6}$.

Vom construi radianul din cerc, fără să-l luăm ca pe o convenție. Vom converti în ambele sensuri, vom calcula lungimi de arc și viteze de rotație și vom ține mereu socoteala unităților și a zecimalelor. Lecția pregătește cercul trigonometric la M2, unde fiecărui număr îi va corespunde un punct pe cerc.

Ce vei învăța

• Vei explica de ce radianul este un raport între două lungimi și de ce nu depinde de mărimea cercului.
• Vei trece o măsură din grade în radiani și invers, verificând rezultatul printr-un ordin de mărime.
• Vei calcula lungimea unui arc, raza unui cerc sau măsura unui arc, păstrând aceeași unitate pentru lungimi.
• Vei transforma o turație în viteză unghiulară și vei afla viteza unui punct aflat pe marginea unui corp care se rotește.
• Vei rotunji corect rezultatele aproximative și vei spune câte zecimale are sens să păstrezi.
• Vei recunoaște o măsură în radiani într-o cerință de tip Bacalaureat M2 și o vei folosi fără ezitare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce unitate de măsură ne oferă cercul însuși?

Pe un cerc cu centrul $O$, două raze delimitează un unghi la centru și un arc. Ne interesează cât de deschis este unghiul, nu cât de mare este cercul pe care l-am desenat. Dacă mărim desenul de două ori, arcul devine de două ori mai lung, iar raza la fel. Raportul dintre lungimea arcului și rază rămâne neschimbat. Acest raport descrie deschiderea unghiului independent de scară.

Radianul este măsura unui arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza acelui cerc; unghiul la centru care subîntinde un astfel de arc are măsura de un radian, oricare ar fi raza. În general, un arc de lungime $\ell$ pe un cerc de rază $R$ are măsura în radiani egală cu raportul $\ell /R$, cu ambele lungimi exprimate în aceeași unitate.

Pe un cerc cu raza de $4$ cm, un arc de $4$ cm măsoară un radian. Un arc de $10$ cm de pe același cerc măsoară $10/4=2,5$ radiani. Dacă am desena totul în milimetri, am avea $100/40$, adică același număr. Unitatea de lungime dispare din raport, iar rezultatul este un număr fără dimensiune.

În fizică, această observație are un nume: radianul este o unitate adimensională. Scriem totuși „rad” lângă rezultat atunci când vrem să atragem atenția că numărul reprezintă un unghi. În matematică, o măsură scrisă fără simbolul de grad este citită automat în radiani.

De ce vorbim despre măsura arcului și nu doar despre măsura unghiului? Pentru că, pe un cerc dat, fiecărui unghi la centru îi corespunde exact un arc, iar cele două se măresc împreună. Când spunem „arcul are $2,5$ radiani”, spunem de fapt că unghiul la centru care îl subîntinde are această măsură. Lungimea arcului, în schimb, depinde și de rază, așa că ea nu poate descrie singură deschiderea unghiului.

2. Câți radiani are o tură completă?

Lungimea întregului cerc este $2\pi R$. Împărțită la rază, ea dă $2\pi$. Așadar o tură completă înseamnă $2\pi$ radiani, oricât de mare ar fi cercul. Aceeași tură are, prin convenția moștenită din Antichitate, $360^{\circ }$. Din egalitatea celor două descrieri rezultă relația de lucru:

$$2\pi \text{ rad}=360^{\circ },\pi \text{ rad}=180^{\circ }.$$

Împărțind, aflăm cât valorează fiecare unitate în cealaltă. Un radian are $\frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57,2958^{\circ }$, deci puțin sub $60^{\circ }$. Un grad are $\frac{\pi }{180}\approx 0,01745$ radiani, adică o fracțiune mică. Aceste două cifre ajută la controlul oricărui calcul: o măsură în radiani a unui unghi obișnuit dintr-o figură este un număr între zero și aproximativ șase virgulă trei.

Figura arată un cerc pe care arcul colorat are lungimea egală cu raza. Unghiul la centru corespunzător are aproape $57,3^{\circ }$. Dacă ai încerca să așezi raza de-a lungul cercului de mai multe ori, ar încăpea de șase ori și ar rămâne un rest scurt, pentru că $2\pi$ este puțin peste șase.

Câte zecimale folosim? Dacă datele unei probleme sunt măsurate cu două cifre semnificative, un rezultat cu opt zecimale nu este mai precis, ci doar mai lung. Păstrează valoarea exactă cu $\pi$ cât timp calculezi și rotunjește o singură dată, la final. Când rotunjești, uită-te la prima cifră pe care o elimini: dacă este cel puțin cinci, cifra păstrată crește cu o unitate.

3. Cum trecem dintr-o unitate în alta?

Gradele și radianii sunt proporționali: dacă o măsură este o anumită fracțiune din $180^{\circ }$, ea este aceeași fracțiune din $\pi$. Notând cu $n$ numărul de grade și cu $t$ măsura în radiani, avem

$$\frac{n}{180}=\frac{t}{\pi }.$$

Din această proporție citim ambele sensuri. Pentru un unghi de $24^{\circ }$, fracțiunea din $180^{\circ }$ este $24/180=2/15$, deci măsura este $\frac{2\pi }{15}$ radiani. Pentru măsura $\frac{13\pi }{12}$, fracțiunea din $\pi$ este $13/12$, deci unghiul are $\frac{13\cdot 180^{\circ }}{12}=195^{\circ }$.

Nu este nevoie să memorezi două formule. Scrie proporția, simplifică fracția și pune la final unitatea potrivită. La radiani cu $\pi$, trecerea în grade se face înlocuind mental $\pi$ cu $180^{\circ }$ și efectuând împărțirea. La grade, fracția se simplifică înainte de a adăuga $\pi$.

Un control rapid evită multe erori. Dacă măsura în grade este mai mare decât $180^{\circ }$, măsura în radiani trebuie să depășească $\pi \approx 3,14$. Dacă unghiul este ascuțit, măsura în radiani trebuie să fie sub $\pi /2\approx 1,57$. Un rezultat care nu respectă aceste repere trădează un factor inversat.

Proporția funcționează și pentru măsuri care nu conțin $\pi$. Un unghi de $0,5$ radiani, de pildă, are $0,5\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$, iar acest număr nu mai este întreg; îl aproximăm la final. Invers, un unghi dat în grade cu zecimale, cum ar fi $12,5^{\circ }$, se transformă la fel: fracțiunea din $180^{\circ }$ se scrie întâi exact, apoi se înmulțește cu $\pi$.

4. Ce fracție dintr-o tură reprezintă o măsură?

Pentru multe probleme e mai natural să gândim în ture. O tură completă are $2\pi$ radiani, așa că o fracțiune $f$ dintr-o tură are $2\pi f$ radiani și $360^{\circ }\cdot f$. Tabelul de mai jos este organizat după fracțiunea de tură, nu după grade, pentru că astfel se reconstruiește în câteva secunde.

Orice alt unghi uzual se obține adunând sau înmulțind aceste fracțiuni. Un sfert plus o douăsprezecime de tură dă o treime de tură. Invers, pentru o măsură în radiani, împarte la $2\pi$ și afli ce parte din tură reprezintă. Numitorul fracției spune adesea în câte părți egale a fost împărțit cercul.

Această citire este utilă în științe, unde multe fenomene sunt împărțite în etape egale ale unei rotații. Un motor în patru timpi, un mecanism cu opt dinți sau o roată cu douăsprezece spițe împart tura în părți egale. Măsura unei astfel de părți este $2\pi$ împărțit la numărul părților, iar în grade este $360^{\circ }$ împărțit la același număr.

5. Ce lungime are un arc când îi știm măsura?

Relația de definiție, $t=\ell /R$, se poate rearanja. Lungimea arcului este produsul dintre rază și măsura lui în radiani:

$$\ell =R\cdot t(t\text{ ıˆn radiani}).$$

Pe un cerc cu raza de $1,5$ m, un arc de $0,8$ radiani are lungimea $1,5\cdot 0,8=1,2$ m. Nu am avut nevoie de nicio constantă suplimentară, deoarece măsura în radiani conține deja comparația cu raza. Dacă măsura este dată în grade, o transformi mai întâi sau folosești forma echivalentă $\ell =\frac{\pi Rn}{180}$, în care factorul de conversie apare explicit.

Relația are trei necunoscute posibile. Dacă știi arcul și raza, afli măsura. Dacă știi arcul și măsura, afli raza. Într-un calcul corect, lungimile $\ell$ și $R$ au aceeași unitate, iar rezultatul pentru $\ell$ primește unitatea razei. O rază în metri și un arc în centimetri trebuie aduse la aceeași unitate înainte de împărțire.

6. Cât de repede se rotește un corp?

Un disc care se rotește uniform parcurge unghiuri egale în intervale de timp egale. Raportul dintre unghiul parcurs și durata corespunzătoare se numește viteză unghiulară și se notează cu $\omega$. În fizică ea se exprimă în radiani pe secundă. Aparatele indică însă, de obicei, turația, adică numărul de rotații pe minut.

Trecerea este un lanț de două conversii. O rotație înseamnă $2\pi$ radiani, iar un minut înseamnă $60$ de secunde. De exemplu, o turație de $90$ de rotații pe minut dă $\omega =90\cdot \frac{2\pi }{60}=3\pi$ rad/s. Factorul $2\pi$ transformă rotațiile în radiani, iar împărțirea la $60$ transformă minutele în secunde.

Un punct aflat la distanța $R$ de axă parcurge, într-o secundă, un arc de lungime $R\cdot \omega$. Aceasta este viteza lui, $v=\omega R$, în metri pe secundă dacă raza este în metri. Pentru punctul de mai sus aflat la $0,2$ m de axă obținem $v=3\pi \cdot 0,2=0,6\pi \approx 1,885$ m/s. Relația este chiar lungimea arcului, citită pe unitatea de timp.

Din viteza unghiulară aflăm și cât durează o tură. Dacă într-o secundă corpul parcurge $\omega$ radiani, atunci pentru $2\pi$ radiani îi trebuie $T=\frac{2\pi }{\omega }$ secunde. Numărul $T$ se numește perioada rotației. Numărul de rotații într-o secundă este inversul perioadei, iar înmulțit cu $60$ redă turația pe minut. Aceste trei mărimi, turația, viteza unghiulară și perioada, descriu aceeași mișcare uniformă din trei unghiuri diferite.

Toate punctele aceluiași disc au aceeași viteză unghiulară. Vitezele lor diferă însă: un punct mai depărtat de axă parcurge un arc mai lung în același timp. De aceea marginea unui disc se mișcă mai repede decât un punct apropiat de centru, deși discul se rotește ca un tot.

7. Cum se leagă unghiul de drumul parcurs pe cerc?

Poziția unui punct pe un cerc poate fi descrisă în două feluri: prin unghiul la centru față de o rază de referință, numit coordonată unghiulară, sau prin lungimea arcului parcurs de la acea rază, numită coordonată metrică. Legătura dintre ele este tot $\ell =R\cdot t$. Pe un cerc cu raza de $3$ m, unghiul de $2$ radiani corespunde unui drum de $6$ m pe cerc.

Există un cerc special pentru care cele două coordonate coincid ca număr: cercul de rază $1$. Acolo $\ell =1\cdot t=t$, deci a spune „arcul de lungime $t$” și „unghiul de $t$ radiani” înseamnă același lucru. Pe această observație se construiește cercul trigonometric din lecția următoare, unde numărul real devine un drum pe cerc.

Pe un cerc de rază oarecare, coordonata metrică crește de $R$ ori mai repede decât cea unghiulară. Un punct de pe marginea unei roți cu raza de $0,5$ m parcurge jumătate de metru pentru fiecare radian, în timp ce un punct aflat la $0,1$ m de axă parcurge doar o zecime de metru. Unghiul este același pentru amândouă; drumurile diferă. În astronomie și în navigație, unde razele sunt foarte mari, această diferență face ca unghiuri mici să corespundă unor distanțe mari.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Conversie cu verificarea ordinului de mărime

Transformă $162^{\circ }$ în radiani și $\frac{11\pi }{9}$ în grade. Verifică fiecare rezultat cu un reper.

Rezolvare. Fracțiunea din $180^{\circ }$ este $162/180=9/10$, deci $162^{\circ }=\frac{162\pi }{180}=\frac{9\pi }{10}$. Reperul: unghiul este obtuz, iar $\frac{9\pi }{10}$ se află între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$.

Pentru a doua măsură, $\frac{11\pi }{9}=\frac{11\cdot 180^{\circ }}{9}=220^{\circ }$. Reperul: $\frac{11}{9}$ este puțin peste $1$, iar $220^{\circ }$ este puțin peste $180^{\circ }$. Ambele verificări confirmă sensul conversiei.

Exemplul 2 — Unghiul unui pendul

Un pendul are firul de $0,8$ m. Bila se abate de la verticală până când a parcurs un arc de $0,12$ m. Care este unghiul de abatere, în radiani și în grade, cu două zecimale?

Rezolvare. Bila se mișcă pe un arc de cerc cu raza egală cu lungimea firului. Măsura unghiului este raportul dintre arc și rază: $t=\frac{0,12}{0,8}=0,15$ rad. În grade, $0,15\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 8,59^{\circ }$.

Ambele lungimi erau în metri, deci raportul este corect fără conversie. Unghiul este mic, ceea ce se potrivește cu arcul scurt față de lungimea firului. La unghiuri mici, fizicienii preferă radianul, pentru că formulele oscilației sunt scrise în această unitate.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev calculează lungimea unui arc de $80^{\circ }$ pe un cerc cu raza de $0,45$ m și scrie $\ell =0,45\cdot 80=36$ m. Unde a greșit și care este rezultatul corect?

Rezolvare. Relația $\ell =R\cdot t$ cere măsura în radiani. Elevul a înmulțit raza cu numărul de grade. Rezultatul lui depășește de mai multe ori lungimea întregului cerc, care are sub trei metri. Transformăm: $80^{\circ }=\frac{80\pi }{180}=\frac{4\pi }{9}$.

Atunci $\ell =0,45\cdot \frac{4\pi }{9}=\frac{\pi }{5}\approx 0,6283$ m. Controlul cu lungimea cercului, $2\pi \cdot 0,45=0,9\pi$ m, arată că arcul reprezintă $\frac{2}{9}$ din cerc, exact cât reprezintă $80^{\circ }$ din $360^{\circ }$.

Exemplul 4 — Centrifuga de laborator

O centrifugă funcționează la $4200$ de rotații pe minut. Fundul unei eprubete se află la $0,08$ m de axă. Află viteza unghiulară și viteza fundului eprubetei.

Rezolvare. Transformăm turația: $4200\cdot \frac{2\pi }{60}=140\pi \approx 439,82$ rad/s. Viteza punctului este $v=\omega R=140\pi \cdot 0,08=11,2\pi \approx 35,19$ m/s.

Rezultatul este plauzibil pentru o centrifugă: separarea componentelor unei probe cere viteze mari. Modelul presupune rotația uniformă, deci nu descrie pornirea și oprirea aparatului, când turația variază.

Exemplul 5 — Raza unei curbe de tramvai

Pe o porțiune curbă, șinele unui tramvai au lungimea de $150$ m, iar direcția mersului se schimbă cu $25^{\circ }$. Considerând curba un arc de cerc, află raza curbei.

Rezolvare. Schimbarea direcției este egală cu unghiul la centru al arcului, fiindcă tangentele de la capete se rotesc cu același unghi ca razele. În radiani, $25^{\circ }=\frac{25\pi }{180}=\frac{5\pi }{36}$. Din $\ell =R\cdot t$ rezultă $R=\frac{150}{5\pi /36}=\frac{1080}{\pi }\approx 343,77$ m.

Raza mare arată o curbă lină, potrivită unui vehicul lung. Raționamentul inversează relația de lungime: aici necunoscuta nu mai este arcul, ci raza.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Triunghiul $ABC$ are $A=\frac{\pi }{4}$ și $B=\frac{5\pi }{12}$. Determină măsura unghiului $C$, în radiani și în grade, și arată că triunghiul este ascuțitunghic.

Rezolvare. Suma unghiurilor unui triunghi este $\pi$. Obținem $C=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$, adică $60^{\circ }$. Celelalte unghiuri au $45^{\circ }$ și $75^{\circ }$.

Toate trei sunt mai mici decât $90^{\circ }$, deci triunghiul este ascuțitunghic. Enunțul este construit în stilul Subiectului I, unde unghiurile unui triunghi pot fi date direct în radiani; nu reproduce o cerință oficială.

Observă că nu am trecut măsurile în grade decât la final. Adunarea fracțiilor cu $\pi$ se face aducând la numitorul comun $12$, exact ca la fracțiile obișnuite. Gradele au servit doar la comparația cu unghiul drept, unde reperul $90^{\circ }$ este mai familiar decât $\frac{\pi }{2}$.

Să exersăm

Scrie rezultatele exacte cu $\pi$ și dă aproximarea zecimală numai când se cere. Păstrează aceeași unitate de lungime în toate relațiile și rotunjește o singură dată, la final.

1. Transformă în radiani măsurile $12^{\circ }$, $84^{\circ }$ și $252^{\circ }$.

2. Transformă în grade măsurile $\frac{3\pi }{8}$, $\frac{17\pi }{18}$ și $\frac{8\pi }{5}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Un unghi de $3$ radiani este obtuz.

4. Pe un cerc cu raza de $2,5$ cm, un arc are lungimea de $7,5$ cm. Ce măsură are arcul în radiani? Este mai mic sau mai mare decât un semicerc?

5. Calculează lungimea unui arc de $\frac{7\pi }{20}$ radiani pe un cerc cu raza de $16$ cm.

6. Calculează lungimea unui arc de $140^{\circ }$ pe un cerc cu raza de $0,9$ m.

7. (Problemă aplicată.) Roata unei biciclete are raza de $0,33$ m și face $240$ de rotații pe minut. Află viteza unghiulară a roții și viteza unui punct de pe anvelopă, cu două zecimale.

8. Un disc se rotește uniform cu viteza unghiulară de $\frac{5\pi }{3}$ rad/s. În cât timp face o tură completă? Câte rotații face într-un minut?

9. Ordonează crescător unghiurile de $1$ radian, $55^{\circ }$ și $\frac{\pi }{3}$ radiani.

10. Ce fracțiune dintr-o tură reprezintă măsura $\frac{7\pi }{10}$? Ce măsură, în radiani și în grade, are un arc de cinci optimi de tură?

11. Un arc de $2,4$ m corespunde unui unghi la centru de $0,6$ radiani. Care este raza cercului?

12. Pe un cerc, un arc de $9$ cm corespunde unui unghi la centru de $1,2$ radiani. Află raza cercului. Ce lungime are arcul determinat de același unghi pe un cerc cu raza de $12$ cm?

13. Pe un cerc cu raza $1$, un punct parcurge un arc de lungime $2,2$. Exprimă unghiul la centru în grade, cu două zecimale.

14. Exprimă $0,25$ radiani în grade, rotunjit la sutimi, și $2,5^{\circ }$ în radiani, cu patru zecimale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Triunghiul $ABC$ are $A=\frac{\pi }{9}$ și $B=\frac{7\pi }{18}$. Arată că triunghiul este dreptunghic.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arată că un arc de lungime $9\pi$ de pe un cerc cu raza $20$ are măsura de $81^{\circ }$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un unghi ascuțit are măsura $\frac{5\pi }{18}$. Calculează, în grade și în radiani, măsura suplementului său.

18. (Provocare.) Două roți sunt legate printr-o curea care nu alunecă. Roata mică are raza de $5$ cm și face $120$ de rotații pe minut, iar roata mare are raza de $15$ cm. Află viteza unghiulară a roții mari și viteza curelei.

Răspunsuri și explicații

1. $12^{\circ }=\frac{12\pi }{180}=\frac{\pi }{15}$; $84^{\circ }=\frac{84\pi }{180}=\frac{7\pi }{15}$; $252^{\circ }=\frac{252\pi }{180}=\frac{7\pi }{5}$. Ultima depășește $\pi$, cum era de așteptat pentru un unghi mai mare decât $180^{\circ }$.

2. $\frac{3\pi }{8}=\frac{3\cdot 180^{\circ }}{8}=67,5^{\circ }$; $\frac{17\pi }{18}=170^{\circ }$; $\frac{8\pi }{5}=288^{\circ }$. Prima măsură nu este un număr întreg de grade, iar zecimala se păstrează exact.

3. Adevărat. $3\text{ rad}\approx 171,89^{\circ }$, valoare între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$. Același lucru reiese fără grade: $\frac{\pi }{2}<3<\pi$.

4. $t=\frac{7,5}{2,5}=3$ rad. Un semicerc are $\pi$ radiani, iar $3<\pi$, deci arcul este puțin mai mic decât un semicerc.

5. $\ell =16\cdot \frac{7\pi }{20}=5,6\pi \approx 17,59$ cm. Măsura era deja în radiani, deci formula s-a aplicat direct.

6. $140^{\circ }=\frac{7\pi }{9}$, deci $\ell =0,9\cdot \frac{7\pi }{9}=0,7\pi \approx 2,1991$ m. Arcul reprezintă $\frac{7}{18}$ din cercul de lungime $1,8\pi$ m.

7. $\omega =240\cdot \frac{2\pi }{60}=8\pi \approx 25,13$ rad/s. Viteza punctului de pe anvelopă este $v=8\pi \cdot 0,33=2,64\pi \approx 8,29$ m/s, dacă roata se rotește uniform.

8. O tură are $2\pi$ radiani, deci durata ei este $T=\frac{2\pi }{5\pi /3}=1,2$ s. Într-un minut sunt $\frac{60}{1,2}=50$ de rotații.

9. În grade, $1\text{ rad}\approx 57,30^{\circ }$ și $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$. Ordinea crescătoare este: $55^{\circ }$, apoi $1$ radian, apoi $\frac{\pi }{3}$.

10. $\frac{7\pi /10}{2\pi }=\frac{7}{20}$ dintr-o tură. Cinci optimi de tură au $2\pi \cdot \frac{5}{8}=\frac{5\pi }{4}$ radiani, adică $225^{\circ }$.

11. Din $\ell =R\cdot t$ rezultă $R=\frac{2,4}{0,6}=4$ m. Lungimea arcului și raza sunt în aceeași unitate.

12. $R=\frac{9}{1,2}=7,5$ cm. Pe cercul de $12$ cm, același unghi dă $\ell =12\cdot 1,2=14,4$ cm. Măsura rămâne aceeași, lungimea crește proporțional cu raza.

13. Pe cercul de rază $1$, lungimea arcului este chiar măsura în radiani, deci $t=2,2$. În grade, $2,2\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 126,05^{\circ }$.

14. $0,25\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 14,32^{\circ }$. Pentru al doilea, $2,5\cdot \frac{\pi }{180}\approx 0,0436$ rad. Am rotunjit numai rezultatul final.

15. $C=\pi -\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{18}=\frac{\pi }{2}$, deci unghiul $C$ este drept și triunghiul este dreptunghic în $C$.

16. Măsura arcului este $t=\frac{9\pi }{20}$. Transformând, $\frac{9\cdot 180^{\circ }}{20}=81^{\circ }$, cum se cerea.

17. $\frac{5\pi }{18}=50^{\circ }$, deci suplementul are $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$. În radiani, $\pi -\frac{5\pi }{18}=\frac{13\pi }{18}$.

18. Roata mică are $\omega =120\cdot \frac{2\pi }{60}=4\pi$ rad/s. Cureaua are aceeași viteză ca marginile ambelor roți: $v=4\pi \cdot 0,05=0,2\pi \approx 0,63$ m/s. Roata mare are $\omega =\frac{0,2\pi }{0,15}=\frac{4\pi }{3}\approx 4,19$ rad/s, de trei ori mai mică, fiindcă raza ei este de trei ori mai mare.

De reținut

• Măsura în radiani este raportul dintre lungimea arcului și rază; ea nu depinde de scara desenului și nu are dimensiune.
• O tură completă are $2\pi$ radiani, adică $360^{\circ }$; din $\pi$ rad $=180^{\circ }$ se obține orice conversie prin proporție.
• Lungimea arcului este $\ell =R\cdot t$ cu $t$ în radiani, iar $\ell$ și $R$ se exprimă în aceeași unitate.
• Turația în rotații pe minut devine viteză unghiulară prin înmulțire cu $2\pi$ și împărțire la $60$; viteza unui punct este $v=\omega R$.
• Valoarea exactă se păstrează cu $\pi$ până la final, iar aproximarea se rotunjește o singură dată, după prima cifră eliminată.

Greșeli frecvente

• Împărțirea turației numai la $60$. Rezultatul ar fi în rotații pe secundă, nu în radiani pe secundă; lipsește factorul $2\pi$ care transformă rotațiile în radiani.
• Folosirea diametrului în locul razei. Relațiile $\ell =R\cdot t$ și $v=\omega R$ folosesc distanța până la centru; dacă enunțul dă diametrul, îl împarți întâi la doi.
• Lungimi în unități diferite în același raport. Un arc în centimetri împărțit la o rază în metri dă un număr de o sută de ori prea mare; adu mai întâi lungimile la aceeași unitate.
• Rotunjirea lui $\pi$ la $3,14$ la începutul calculului. Eroarea se înmulțește la fiecare pas; lucrează cu $\pi$ exact și rotunjește doar rezultatul final.
• Aceeași viteză pentru toate punctele unui disc. Punctele unui disc au aceeași viteză unghiulară, dar viteza $v=\omega R$ crește cu distanța până la axă; marginea se mișcă mai repede decât un punct de lângă centru.

Aplică acasă

1. Pendul din sfoară. Leagă o piuliță de o sfoară de aproximativ $60$ cm și fixează capătul liber. Abate piulița lângă o riglă și măsoară arcul aproximativ parcurs. Calculează unghiul ca raport dintre arc și lungimea sforii, apoi compară-l, în grade, cu cel citit pe un raportor.
2. Turația unui ventilator sau a unui storcător de salată. Lipește o bucată de bandă colorată pe o paletă și numără rotațiile în zece secunde, la turație mică. Transformă în rotații pe minut și în radiani pe secundă, apoi estimează viteza vârfului paletei cu $v=\omega R$.
3. Câte raze încap pe un borcan? Taie o bandă de hârtie exact cât raza fundului unui borcan și așaz-o, de mai multe ori la rând, pe marginea lui. Numără câte benzi întregi încap și măsoară restul. Explică de ce rezultatul este puțin peste șase.

Pentru părinți și profesori

Lecția urmărește ca elevul să înțeleagă radianul ca raport de lungimi și să-l folosească în calcule de fizică, nu doar să aplice o formulă de conversie. Un răspuns bun conține valoarea exactă, aproximarea rotunjită corect și unitatea. Întrebări utile: „De ce nu se schimbă măsura unui arc dacă mărim desenul?” și „Ce factor lipsește când împarți turația doar la șaizeci?”. Semne că elevul a înțeles: își verifică singur conversiile cu reperele $\pi \approx 3,14$ și $1\text{ rad}\approx 57,3^{\circ }$, iar la problemele cu rotații scrie separat turația, viteza unghiulară și viteza punctului. Pentru recapitularea lungimii cercului din gimnaziu se poate relua lungimea cercului și a arcului din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, unde lista valorilor particulare ale funcțiilor trigonometrice este scrisă în radiani, de la $0$ la $2\pi$. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor pe intervalul $[0,2\pi ]$. În modelul oficial din 2026, Subiectul I conține un triunghi cu un unghi dat în radiani; modelul nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: măsura unui arc în grade și radiani are alt parcurs și alte exemple. După această lecție urmează cercul trigonometric la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la grade și radiani în varianta M2 față de M1?

Noțiunile sunt aceleași, dar aici radianul este tratat ca raport de lungimi și folosit imediat în fizică: viteza unghiulară, turația, pendulul și raza unei curbe. Exercițiile cer mereu unitatea și rotunjirea corectă. Lecția M1 rămâne o comparație opțională; toate definițiile necesare profilului tău sunt pe această pagină.

La ce subiect apar radianii la Bacalaureatul M2?

În modelul oficial din 2026, la Subiectul I, cerința 6, unghiul unui triunghi este dat în radiani, ca pi supra șase. Un singur model nu arată cât de des apare o conversie separată, dar ea trebuie făcută fără ezitare. Programa de examen conține cercul trigonometric și definirea funcțiilor pe intervalul de la zero la doi pi.

Radianul are unitate de măsură sau este doar un număr?

Este raportul a două lungimi, deci un număr fără dimensiune. Metrii de la arc se simplifică cu metrii de la rază. Scriem totuși „rad” când vrem să arătăm că numărul descrie un unghi, mai ales în fizică, la viteza unghiulară. În matematică, o măsură scrisă fără simbolul de grad se citește în radiani.

Cum transform rapid o turație dată în rotații pe minut?

Înmulțește numărul de rotații cu doi pi, ca să obții radiani, apoi împarte la șaizeci, ca să treci de la minute la secunde. Rezultatul este viteza unghiulară în radiani pe secundă. Dacă ai nevoie de viteza unui punct, înmulțește cu distanța lui până la axă, măsurată în metri.

Când folosesc gradele și când radianii într-o problemă?

Gradele sunt comode pentru desene și pentru raportor, iar radianii pentru orice calcul care leagă unghiul de o lungime sau de un timp. Dacă formula conține raza, un arc sau o viteză unghiulară, treci în radiani. Dacă enunțul dă măsurile în grade și cere tot grade, poți lucra direct, fără conversie.

Câte zecimale păstrez la rezultatele aproximative?

Păstrează forma exactă, cu pi, până la ultimul pas și rotunjește o singură dată. Numărul de zecimale urmează precizia datelor sau cerința problemei; două zecimale sunt potrivite pentru majoritatea aplicațiilor. Rotunjește după prima cifră eliminată: cinci sau mai mult mărește ultima cifră păstrată.