Aria triunghiului cu formula sinusului (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un chimist care studiază grafenul, un strat de carbon gros de un singur atom, vrea să știe câți atomi încap pe un angstrom pătrat. Rețeaua se repetă după un romb cu latura cunoscută și unghiul de $6 0^{\circ}$ , iar aria acestui romb este cheia calculului. Nu poate măsura nicio înălțime la acea scară; are doar laturi și unghiuri, obținute din măsurători de difracție. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția arată cum se calculează aria unui triunghi, și apoi a unui paralelogram, direct din două laturi și unghiul cuprins între ele. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”; din 2030, la științe ale naturii, matematica este o probă la alegere. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține calcularea unor arii cu ajutorul trigonometriei; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de arie la Subiectul I.

Pornim de la aria cu baza și înălțimea din lecția de clasa a VII-a despre aria triunghiului și de la cateta opusă din recapitularea trigonometriei în triunghiul dreptunghic la M2. Când datele nu sunt direct cele potrivite, folosim rezolvarea triunghiului în cazurile ULU și LLU la M2.

Ce vei învăța

Vei calcula aria unui triunghi din două laturi și unghiul cuprins între ele, cu $S = \frac{1}{2} ab sin C$ .
Vei justifica formula prin înălțime, atât pentru un unghi ascuțit, cât și pentru unul obtuz.
Vei compara, pe un triunghi din reper, calculul cu și fără trigonometrie.
Vei citi aria ca funcție de unghi: unde e maximă și ce unghiuri dau aceeași arie.
Vei afla din arie o înălțime sau unghiul dintre două laturi, cu ambele variante posibile.
Vei alege calea cea mai scurtă spre arie când datele sunt trei laturi, o latură și două unghiuri sau raza cercului circumscris.

Hai să descoperim împreună

1. De ce căutăm o formulă fără înălțime?

Formula din gimnaziu, $S = \frac{baza \cdot ı ˆ n a ˘ l ț imea}{2}$ , cere piciorul perpendicularei, care în practică nu se vede: pe un teren, pe o piesă sau pe o rețea de atomi măsori laturi și unghiuri, nu perpendiculare. De aceea înlocuim înălțimea cu o expresie în laturi și unghiuri.

Formula sinusului pentru arie este $S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} c a sin B$ : înmulțești două laturi și sinusul unghiului format de ele, apoi iei jumătate din rezultat. În fiecare scriere, unghiul este chiar cel format de cele două laturi folosite. Cele trei forme nu sunt trei formule de memorat, ci aceeași regulă aplicată fiecărui vârf. Alegi vârful în care cunoști unghiul și iei cele două laturi care pleacă din el; dacă enunțul îți dă unghiul $B$ , lucrezi cu laturile $a$ și $c$ , care se întâlnesc în $B$ .

2. De unde vine formula?

În triunghiul $A B C$ ducem înălțimea din $A$ pe dreapta $B C$ , cu piciorul $D$ . Dacă unghiul $C$ este ascuțit, triunghiul $A D C$ este dreptunghic în $D$ , are ipotenuza $A C = b$ , iar înălțimea $A D$ este cateta din fața unghiului $C$ . Deci $A D = b sin C$ și

$S = \frac{B C \cdot A D}{2} = \frac{a \cdot b sin C}{2} .$

Dacă unghiul $C$ este obtuz, piciorul $D$ cade pe prelungirea laturii $B C$ , dincolo de $C$ . În triunghiul dreptunghic $A D C$ apare acum unghiul $18 0^{\circ} - C$ , iar $A D = b sin (18 0^{\circ} - C) = b sin C$ , după relația din lecția despre unghiurile obtuze la M2. Formula rămâne aceeași. Pentru $C = 9 0^{\circ}$ înălțimea este chiar $b$ , iar formula devine semiprodusul catetelor.

Cu unghiul C obtuz, piciorul înălțimii cade pe prelungirea lui BC, iar AD = b · sin(180° − C) = b · sin C.

3. Cum compari calculul cu și fără trigonometrie?

Luăm triunghiul cu vârfurile $A (1, 1)$ , $B (9, 1)$ și $C (4, 7)$ . Latura $A B$ este orizontală, de lungime $8$ , iar înălțimea din $C$ este diferența ordonatelor, $6$ . Fără trigonometrie, aria este $\frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ .

Cu formula nouă, lucrăm doar cu lungimi: $A C = 9 + 36 = 45$ și $B C^{2} = 25 + 36 = 61$ . Cosinusul unghiului $A$ din laturi este $\frac{64 + 45 - 61}{2 \cdot 8 \cdot 45} = \frac{3}{45}$ , deci sinusul lui este $1 - \frac{9}{45} = \frac{6}{45}$ . Rezultă $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 45 \cdot \frac{6}{45}$ , adică tot $24$ .

Pe acest triunghi, calea fără trigonometrie e mai scurtă, fiindcă o latură stă pe o linie a rețelei. Cele două rezultate trebuie să coincidă, iar faptul că au coincis este chiar o verificare a formulei noi pe un caz pe care îl știai deja rezolva. Când nicio latură nu e orizontală sau verticală, iar înălțimea nu se citește direct, formula cu sinus sau metoda dreptunghiului care încadrează triunghiul devin mai potrivite. A alege metoda după date este chiar ce cere programa. Metoda dreptunghiului merge pentru orice triunghi cu vârfurile în reper: îl încadrezi într-un dreptunghi cu laturile paralele cu axele și scazi triunghiurile dreptunghice rămase în colțuri. Formula cu sinus merge pentru orice triunghi, cu sau fără reper, dar cere un unghi și două laturi. Nicio metodă nu e „mai corectă”; una e mai scurtă decât cealaltă pentru anumite date.

4. Cum se schimbă aria când unghiul se deschide?

Fixăm laturile $a = 6$ și $b = 4$ și lăsăm unghiul $C$ să varieze pe $(0, π)$ . Aria devine o funcție de unghi, $S (C) = 12 sin C$ , deci are forma graficului sinusului de pe graficele funcțiilor sinus și cosinus la M2.

Aria cu laturile 6 și 4 fixate: 𝒮(C) = 12 sin C, maximă (12) la C = π/2; 𝒮(π/6) = 𝒮(5π/6) = 6.

Din grafic citești trei lucruri. Aria este cea mai mare, $12$ , pentru $C = \frac{π}{2}$ : cu două laturi fixate, aria cea mai mare o are triunghiul în care ele sunt perpendiculare. Aria crește până la unghiul drept și apoi scade, deci un unghi mai mare nu înseamnă o arie mai mare. Unghiurile suplementare dau aceeași arie: $S (\frac{π}{6}) = S (\frac{5 π}{6}) = 6$ , fiindcă sinusurile lor sunt egale.

5. Ce afli când citești formula invers?

Din $S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$ rezultă $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ : aria dă orice înălțime, fără s-o măsori. Din $S = \frac{1}{2} ab sin C$ rezultă $sin C = \frac{2 S}{ab}$ , iar aici reapare situația din lecția anterioară: o valoare a sinusului între $0$ și $1$ corespunde unui unghi ascuțit și suplementului lui. Ambele triunghiuri au aceeași arie, deci aria singură nu poate alege între ele. Alegerea cere o informație în plus: felul unghiului, natura triunghiului sau o a treia latură. Cele două triunghiuri au aceleași două laturi și aceeași arie, dar a treia latură diferă: la unghiul obtuz ea iese mai lungă decât la cel ascuțit, fiindcă stă în fața unui unghi mai mare. De aceea, dacă enunțul dă și a treia latură, unghiul se află direct din cosinus și ambiguitatea dispare.

6. Ce arie are un paralelogram?

O diagonală împarte paralelogramul cu laturile $x$ și $y$ și unghiul $θ$ dintre ele în două triunghiuri congruente, fiecare cu aria $\frac{1}{2} x y sin θ$ . Prin urmare

$S_{paralelogram} = x y sin θ .$

Unghiul ascuțit și cel obtuz ale paralelogramului sunt suplementare, deci oricare dintre ele dă același rezultat. Pentru $θ = \frac{π}{2}$ formula regăsește aria dreptunghiului. La un romb cu latura $ℓ$ și unghiul $θ$ , ea devine $ℓ^{2} sin θ$ , iar la un pătrat, unde $θ$ este drept, rămâne $ℓ^{2}$ . Formula nu cere înălțimea paralelogramului, ci doar două laturi alăturate și unghiul dintre ele.

7. Ce faci când datele nu sunt două laturi cu unghiul dintre ele?

Programa cere metoda cea mai potrivită datelor, iar pregătirea cere un singur pas.

Două unghiuri și o latură. Suma îți dă unghiul rămas, iar teorema sinusurilor îți dă o a doua latură; acum ai două laturi și unghiul format de ele.
Trei laturi. Afli cosinusul unui unghi din laturi, apoi sinusul lui din formula fundamentală a trigonometriei la M2, luat mereu pozitiv, fiindcă unghiul e al unui triunghi. O formulă care folosește doar laturile vine în lecția următoare, despre formula lui Heron.
Raza cercului circumscris și două unghiuri. Afli laturile cu $a = 2 R sin A$ , din teorema sinusurilor și raza cercului circumscris la M2, apoi aplici formula.
Unghiul dat prin cosinus. Afli sinusul din formula fundamentală și îl pui direct în formulă, fără să mai cauți măsura unghiului.

8. Cum controlezi o arie calculată?

O arie greșită se prinde de multe ori fără să refaci calculul. Primul control este semnul: aria unui triunghi este strict pozitivă, deci un rezultat negativ sau nul arată că în formulă a intrat altceva decât sinusul unui unghi al triunghiului. Al doilea control este plafonul: cu laturile $a$ și $b$ , aria nu poate depăși $\frac{ab}{2}$ , valoarea obținută când unghiul dintre ele este drept. Un rezultat peste acest plafon trădează un factor uitat sau o latură pusă de două ori.

Al treilea control este legătura cu înălțimea. Din arie calculezi înălțimea pe una dintre laturi, $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ , și verifici că ea este mai mică decât fiecare dintre celelalte două laturi care pleacă din același vârf: o perpendiculară este mai scurtă decât orice oblică dusă din același punct. Al patrulea control, când ai timp, este o a doua scriere a formulei, cu altă pereche de laturi și unghiul dintre ele; cele două rezultate trebuie să coincidă, pentru că aria este una singură.

Unitățile se verifică ultimele: laturile în centimetri dau aria în centimetri pătrați, laturile în angstromi dau aria în angstromi pătrați. Dacă amesteci unități, de exemplu o latură în metri și una în centimetri, rezultatul nu mai înseamnă nimic, chiar dacă numărul arată plauzibil.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghi obtuz, valoare exactă

Laturile de $9$ și $16$ ale unui triunghi formează un unghi de $\frac{3 π}{4}$ . Cât este aria triunghiului?

Rezolvare. Cum $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ ,

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 16 \cdot \frac{2}{2} = 362 \approx 50, 91.$

Control: aria maximă cu aceste laturi ar fi $\frac{9 \cdot 16}{2} = 72$ , iar rezultatul este aproximativ $71%$ din ea, cât valoarea sinusului. Același rezultat l-ar fi dat și unghiul ascuțit de $\frac{π}{4}$ , suplementul celui dat: triunghiul ar fi arătat altfel, dar ar fi avut aceeași arie.

Exemplul 2 — Două metode pe același triunghi

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A (0, 0)$ , $B (8, 2)$ și $C (3, 6)$ în două feluri: cu dreptunghiul care îl încadrează și cu formula sinusului.

Rezolvare. Fără trigonometrie. Dreptunghiul cu laturile paralele cu axele care conține triunghiul are dimensiunile $8$ și $6$ , deci aria $48$ . Din el scădem trei triunghiuri dreptunghice: $\frac{8 \cdot 2}{2} = 8$ , $\frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ și $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ . Rămâne $48 - 27 = 21$ .

Cu formula sinusului. Pătratele laturilor: $A B^{2} = 64 + 4 = 68$ , $A C^{2} = 9 + 36 = 45$ , $B C^{2} = 25 + 16 = 41$ . Cosinusul unghiului $A$ este $\frac{68 + 45 - 41}{2 68 \cdot 45} = \frac{72}{2 3 060} = \frac{6}{85}$ , iar sinusul lui $1 - \frac{36}{85} = \frac{7}{85}$ . Atunci

$S = \frac{1}{2} 6845 \cdot \frac{7}{85} = \frac{1}{2} \cdot 685 \cdot \frac{7}{85} = 21.$

Ambele metode dau $21$ . În reper, metoda dreptunghiului e mai scurtă, fiindcă folosește direct coordonatele; formula sinusului câștigă când ai direct laturi și unghiuri, ca pe un teren sau pe o piesă măsurată. Observă și un detaliu de calcul: produsul $68 \cdot 45 = 3060 = 36 \cdot 85$ a permis simplificarea radicalului, iar aria a ieșit întreagă, deși laturile sunt iraționale.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev are triunghiul cu laturile $5$ , $11$ și $14$ . Află cosinusul unghiului dintre laturile de $5$ și $11$ , $- \frac{5}{11}$ , apoi scrie „ $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 11 \cdot (- \frac{5}{11}) = - 12, 5$ ”. Unde greșește și cât este aria?

Rezolvare. Cosinusul este corect: $\frac{25 + 121 - 196}{2 \cdot 5 \cdot 11} = - \frac{50}{110} = - \frac{5}{11}$ . Greșeala este că în formula ariei a pus cosinusul, nu sinusul. Semnalul era chiar rezultatul: o arie negativă nu există.

Sinusul se obține din formula fundamentală și este pozitiv: $sin = 1 - \frac{25}{121} = \frac{96}{11} = \frac{4 6}{11}$ . Aria corectă este $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 11 \cdot \frac{4 6}{11} = 106 \approx 24, 49$ .

Exemplul 4 — Celula grafenului

În grafen, atomii de carbon formează o rețea care se repetă după un romb cu latura de $2, 46$ Å și unghiul de $6 0^{\circ}$ ( $1$ Å $= 1 0^{- 10}$ m). Fiecare romb conține doi atomi. Estimați aria rombului și numărul de atomi pe un angstrom pătrat.

Rezolvare. Rombul este un paralelogram cu laturile egale, deci

$S = 2, 46 \cdot 2, 46 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 6, 0516 \cdot 0, 8660 \approx 5, 24 \overset{˚}{A}^{2} .$

Doi atomi pe aproximativ $5, 24$ Å² înseamnă aproximativ $0, 38$ atomi pe angstrom pătrat. Estimarea arată de ce un strat de grafen de un centimetru pătrat conține un număr uriaș de atomi: un centimetru pătrat înseamnă $1 0^{16}$ angstromi pătrați, deci aproximativ $3, 8 \cdot 1 0^{15}$ atomi. Pentru calcul am ales unghiul de $6 0^{\circ}$ ; cu unghiul obtuz al rombului, de $12 0^{\circ}$ , sinusul și aria ar fi fost aceleași. Modelul tratează rețeaua ca perfect plană și periodică, fără defecte.

Exemplul 5 — Din arie spre unghi

Un triunghi ascuțitunghic are două laturi de $9$ și $10$ și aria $27$ . Aflați unghiul dintre aceste laturi și a treia latură.

Rezolvare. Din formulă, $sin C = \frac{2 \cdot 27}{9 \cdot 10} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$ . Sunt două candidate: $C \approx 36, 8 7^{\circ}$ și $C \approx 143, 1 3^{\circ}$ . A doua ar face triunghiul obtuzunghic, deci o respingem. Pentru $C$ ascuțit, $cos C = \frac{4}{5}$ , iar teorema cosinusului dă

$c^{2} = 81 + 100 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 181 - 144 = 37, c = 37 \approx 6, 08.$

Controlăm că triunghiul este într-adevăr ascuțitunghic: latura cea mai lungă este $10$ , iar $100 < 81 + 37$ . Cu unghiul obtuz, a treia latură ar fi fost $181 + 144 = 325 \approx 18, 03$ , cea mai lungă, în fața unui unghi obtuz. Informația „ascuțitunghic” a fost cea care a ales între cele două unghiuri. Fără ea, răspunsul corect ar fi cuprins ambele variante, fiecare cu altă a treia latură, deși aria este aceeași.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 4$ , $A C = 15$ și $cos A = - \frac{2}{5}$ . Arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu $621$ și calculați $B C$ .

Rezolvare. Unghiul $A$ al unui triunghi are sinusul pozitiv, deci

$sin A = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{5}, S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 15 \cdot \frac{21}{5} = 621 .$

Cu teorema cosinusului, $B C^{2} = 16 + 225 - 2 \cdot 4 \cdot 15 \cdot (- \frac{2}{5}) = 241 + 48 = 289$ , deci $B C = 17$ . Unghiul $A$ este obtuz, iar latura din fața lui, $17$ , este cea mai lungă, cum trebuie. Enunțul este construit de noi în stilul Subiectului I, nu preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

Verifică de fiecare dată că unghiul folosit este cel cuprins între cele două laturi. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă; valorile din tabel se rotunjesc la sutimi.

1. Află aria triunghiului $A B C$ în care $a = 7$ , $b = 18$ și $m (∠ C) = 3 0^{\circ}$ .

2. Laturile de $5$ și $14$ ale unui triunghi fac între ele un unghi de $\frac{2 π}{3}$ . Află aria.

3. Într-un triunghi, laturile de $13$ și $21$ formează un unghi de $7 2^{\circ}$ . Află aria, folosind $sin 7 2^{\circ} \approx 0, 9511$ .

4. Calculează cu formula sinusului aria unui triunghi echilateral cu latura $14$ .

5. Un paralelogram are laturile de $9$ și $14$ , iar unul dintre unghiuri are $\frac{5 π}{6}$ . Calculează aria.

6. Laturile de $12$ și $20$ ale unui triunghi formează un unghi de $\frac{3 π}{4}$ . Află aria și înălțimea dusă pe latura de $20$ .

7. Aria unui triunghi este $20$ , iar două laturi au $7$ și $8$ . Ce măsuri poate avea unghiul dintre ele?

8. Un triunghi are laturile de $7$ și $13$ fixate, iar unghiul format de ele se poate modifica. Pentru ce valori ale acestui unghi aria triunghiului este cel puțin $36, 4$ ?

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un triunghi în care laturile de $7$ și $9$ formează un unghi de $5 0^{\circ}$ are aria mai mare decât $25$ .” Folosește $sin 5 0^{\circ} \approx 0, 7660$ .

10. În triunghiul $A B C$ , $a = 12$ , $m (∠ B) = 4 4^{\circ}$ și $m (∠ C) = 7 1^{\circ}$ . Calculează aria, folosind $sin 4 4^{\circ} \approx 0, 6947$ , $sin 6 5^{\circ} \approx 0, 9063$ și $sin 7 1^{\circ} \approx 0, 9455$ .

11. Calculează aria triunghiului cu laturile $6$ , $11$ și $15$ , trecând prin cosinusul unghiului celui mai mare.

12. (Problemă aplicată.) Aripa unui deltaplan are forma unui triunghi cu două laturi de câte $5, 5$ m, care fac în vârf un unghi de $12 5^{\circ}$ . Calculează aria aripii, folosind $sin 5 5^{\circ} \approx 0, 8192$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 8$ , $B = \frac{π}{4}$ și aria egală cu $20$ . Arătați că $B C = 52$ și calculați $A C$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră paralelogramul $A B C D$ cu $A B = 10$ , $A D = 9$ și $A = \frac{π}{3}$ . Arătați că aria paralelogramului este $453$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ cu $A B = 5$ , $A C = 9$ și $B C = 10$ . Arătați că $cos A = \frac{1}{15}$ și calculați aria triunghiului $A B C$ .

16. Un triunghi echilateral are aria $1003$ . Calculează latura lui.

17. Triunghiul $A B C$ este înscris într-un cerc cu raza $R = 5$ , iar $m (∠ A) = 3 8^{\circ}$ și $m (∠ B) = 5 7^{\circ}$ . Calculează laturile $a$ și $b$ , apoi aria, folosind $sin 3 8^{\circ} \approx 0, 6157$ , $sin 5 7^{\circ} \approx 0, 8387$ și $sin 8 5^{\circ} \approx 0, 9962$ .

18. (Provocare.) Scrie aria aceluiași triunghi în două feluri, $\frac{1}{2} b c sin A$ și $\frac{1}{2} a c sin B$ , și deduce din egalitatea lor teorema sinusurilor pentru laturile $a$ și $b$ .

Răspunsuri și explicații

1. Unghiul $C$ este format de laturile $a$ și $b$ , iar $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 31, 5$ .

2. $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ , deci $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 14 \cdot \frac{3}{2} = \frac{35 3}{2} \approx 30, 31$ .

3. $S \approx \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 21 \cdot 0, 9511 \approx 129, 83$ .

4. $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 14 \cdot \frac{3}{2} = 493 \approx 84, 87$ .

5. $S = 9 \cdot 14 \cdot sin \frac{5 π}{6} = 126 \cdot \frac{1}{2} = 63$ . Unghiul ascuțit al paralelogramului, $\frac{π}{6}$ , dă același rezultat.

6. $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{2}{2} = 602 \approx 84, 85$ . Înălțimea pe latura de $20$ : $h = \frac{2 S}{20} = 62 \approx 8, 49$ .

7. $sin C = \frac{2 \cdot 20}{7 \cdot 8} = \frac{5}{7} \approx 0, 7143$ . Cu un instrument digital, $C \approx 45, 5 8^{\circ}$ sau suplementul lui, $C \approx 134, 4 2^{\circ}$ . Ambele unghiuri dau triunghiuri cu aria $20$ , dar cu a treia latură diferită; fără o informație în plus, amândouă intră în răspuns.

8. Aria este $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 13 \cdot sin C = 45, 5 sin C$ , iar condiția devine $sin C \geq \frac{36 , 4}{45 , 5} = 0, 8$ . Citim pe graficul sinusului, ca în §4: pe $[0, \frac{π}{2}]$ sinusul crește și trece prin $0, 8$ la $C \approx 53, 1 3^{\circ}$ , iar pe $[\frac{π}{2}, π]$ scade și revine la $0, 8$ la suplement, $C \approx 126, 8 7^{\circ}$ . Deci unghiul trebuie să fie între aproximativ $53, 1 3^{\circ}$ și $126, 8 7^{\circ}$ , capetele incluse: cel puțin $80%$ din aria maximă cere un unghi destul de apropiat de cel drept.

9. Fals. Aria este $\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot sin 5 0^{\circ} \approx 31, 5 \cdot 0, 7660 \approx 24, 13$ , puțin sub $25$ . Estimarea „din ochi” înșală: plafonul $\frac{63}{2} = 31, 5$ e mult peste $25$ , dar sinusul de $5 0^{\circ}$ taie aproape un sfert din el.

10. $m (∠ A) = 18 0^{\circ} - 4 4^{\circ} - 7 1^{\circ} = 6 5^{\circ}$ . Cu teorema sinusurilor, $b \approx \frac{12 \cdot 0 , 6947}{0 , 9063} \approx 9, 198$ . Laturile $a$ și $b$ au între ele unghiul $C$ , deci $S \approx \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9, 198 \cdot 0, 9455 \approx 52, 18$ .

11. Unghiul din fața laturii de $15$ : $cos = \frac{36 + 121 - 225}{2 \cdot 6 \cdot 11} = - \frac{68}{132} = - \frac{17}{33}$ . Sinusul: $1 - \frac{289}{1 089} = \frac{800}{33} = \frac{20 2}{33}$ . Aria: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 11 \cdot \frac{20 2}{33} = 202 \approx 28, 28$ .

12. $sin 12 5^{\circ} = sin 5 5^{\circ} \approx 0, 8192$ , deci $S \approx \frac{1}{2} \cdot 5, 5 \cdot 5, 5 \cdot 0, 8192 \approx 12, 39$ m². Deltaplanele reale au aripi cu arii de același ordin de mărime.

13. Unghiul $B$ este cuprins între $A B$ și $B C$ : $20 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot B C \cdot \frac{2}{2} = 22 \cdot B C$ , deci $B C = \frac{20}{2 2} = 52$ . Apoi $A C^{2} = 64 + 50 - 2 \cdot 8 \cdot 52 \cdot \frac{2}{2} = 114 - 80 = 34$ , deci $A C = 34$ .

14. Diagonala $B D$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci $S = A B \cdot A D \cdot sin A = 10 \cdot 9 \cdot \frac{3}{2} = 453$ .

15. Unghiul $A$ are latura $B C$ în față: $cos A = \frac{25 + 81 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ . Sinusul: $1 - \frac{1}{225} = \frac{224}{15} = \frac{4 14}{15}$ . Aria: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 \cdot \frac{4 14}{15} = 614$ .

16. Unghiurile triunghiului echilateral au câte $\frac{π}{3}$ . Pentru latura $ℓ$ , aria este $\frac{1}{2} ℓ^{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{ℓ ^{2} 3}{4}$ . Din $\frac{ℓ ^{2} 3}{4} = 1003$ rezultă $ℓ^{2} = 400$ , deci $ℓ = 20$ .

17. $a = 2 R sin A \approx 10 \cdot 0, 6157 = 6, 157$ și $b = 2 R sin B \approx 10 \cdot 0, 8387 = 8, 387$ . Unghiul dintre ele este $m (∠ C) = 18 0^{\circ} - 3 8^{\circ} - 5 7^{\circ} = 8 5^{\circ}$ , deci $S \approx \frac{1}{2} \cdot 6, 157 \cdot 8, 387 \cdot 0, 9962 \approx 25, 72$ .

18. Din $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B$ , împărțind la $\frac{1}{2} c$ , rezultă $b sin A = a sin B$ . Împărțind la $sin A sin B$ , care nu e zero, obții $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ . La fel, cu a treia scriere a ariei, se adaugă $\frac{c}{sin C}$ .

De reținut

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ , unde $C$ este unghiul format de laturile $a$ și $b$ ; formula e aceeași pentru unghi ascuțit, drept sau obtuz.
Cu două laturi fixate, aria depinde de unghi ca funcția sinus: e maximă la unghi drept, egală cu $\frac{ab}{2}$ , iar unghiurile suplementare dau aceeași arie.
Citită invers, formula dă înălțimea, $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ , și sinusul unghiului, $sin C = \frac{2 S}{ab}$ , cu două unghiuri posibile.
Paralelogramul cu laturile $x$ , $y$ și unghiul $θ$ are aria $x y sin θ$ .
Alegi metoda după date: cu trei laturi treci prin cosinus și sinus, cu o latură și două unghiuri afli întâi o a doua latură, iar în reper poți compara cu metoda fără trigonometrie.

Greșeli frecvente

Cosinusul pus în locul sinusului. După ce afli cosinusul din laturi, îl introduci direct în formula ariei. O arie negativă sau nulă arată imediat greșeala; pasul prin formula fundamentală nu se sare, chiar dacă pare o complicație inutilă.
Sinusul unghiului obtuz luat cu minus. Din $cos C = - \frac{5}{11}$ unii elevi scriu $sin C = - \frac{4 6}{11}$ . Unghiul unui triunghi e între $0$ și $π$ , unde sinusul este pozitiv.
Unitățile amestecate. Laturile în metri, aria scrisă în metri. Aria are unitatea pătratului unei lungimi: m², cm², Å².
Diagonala luată drept latură la paralelogram. Elevul înmulțește o latură cu diagonala și cu sinusul unghiului paralelogramului. În $x y sin θ$ intră două laturi alăturate, care pleacă din același vârf, și unghiul format de ele; diagonala nu face parte din această pereche.
Aria considerată proporțională cu unghiul. Dublarea unghiului nu dublează aria: de la $\frac{π}{6}$ la $\frac{π}{3}$ aria crește de aproximativ $1, 73$ ori, iar de la $\frac{π}{3}$ la $\frac{2 π}{3}$ rămâne aceeași.

Aplică acasă

Fereastra rabatată. O fereastră deschisă rabatat, înclinată spre cameră cu balamalele jos, lasă pe fiecare parte o fantă triunghiulară: două laturi egale cu înălțimea cercevelei și, între ele, unghiul de deschidere. Măsoară înălțimea și unghiul, cu raportorul sau cu o aplicație de telefon, și calculează aria celor două fante prin care intră aerul. Deschide apoi fereastra la un unghi de două ori mai mare și verifică dacă aria fantelor s-a dublat; explică, pe graficul sinusului, de ce la unghiuri mici aproape se dublează.
Aria din cântar. Decupează dintr-o foaie A4 obișnuită, de $80$ g/m², un triunghi cu două laturi de aproximativ $20$ cm și $25$ cm. Măsoară laturile și unghiul dintre ele, calculează aria, apoi cântărește triunghiul pe un cântar de bucătărie precis și estimează aria din masă. Compară cele două rezultate și gândește-te ce erori are fiecare metodă: măsurarea unghiului cu raportorul sau precizia cântarului.
Trei metode pe hârtie cu pătrățele. Desenează un triunghi cu vârfurile în nodurile rețelei, fără laturi orizontale sau verticale. Calculează aria cu dreptunghiul care îl încadrează, apoi cu formula sinusului, pornind de la pătratele laturilor. Notează care metodă a cerut mai puține calcule și dacă cele două rezultate au coincis exact.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima formulă de arie care nu cere înălțimea. La științe ale naturii am pus accentul pe două idei cerute explicit de programă: compararea metodelor de calcul al ariei, cu și fără trigonometrie, și alegerea metodei optime după datele disponibile. De aceea lecția lucrează în reper, unde elevul vede că metoda dreptunghiului e uneori mai scurtă, și citește aria ca funcție de unghi, pe graficul sinusului deja studiat. Întrebări bune de control: „Care unghi intră în formulă?”; „De ce aria nu poate fi negativă?”; „Ce unghiuri dau aceeași arie?”; „Ce faci dacă îți dau trei laturi?”. Un elev care a înțeles alege metoda înainte de calcul și verifică rezultatul cu maximul $\frac{ab}{2}$ . O dificultate frecventă este pasul de la cosinus la sinus când datele sunt trei laturi: elevii fie îl sar, fie păstrează semnul minus al cosinusului. Merită repetat că sinusul oricărui unghi de triunghi este pozitiv. A doua dificultate este citirea inversă, unde elevul vrea un singur răspuns; exemplul cu informația „ascuțitunghic” arată de ce enunțul trebuie citit până la capăt.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; unitatea IX.7 conține „Aria triunghiului; ariile unor suprafețe poligonale”, iar competența IX.CS.5.7 cere analizarea modului optim de determinare a ariilor și compararea metodelor cu și fără trigonometrie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cere, la aplicațiile trigonometriei în geometrie, „calcularea unor arii”. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de arie la Subiectul I; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acestui subiect.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aria triunghiului cu formula sinusului are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, după această lecție urmează aria cu formula lui Heron, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la aria cu formula sinusului în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii tema se învață în clasa a IX-a, iar programa cere explicit compararea metodelor de calcul al ariei, cu și fără trigonometrie, și alegerea celei potrivite. De aceea lecția M2 lucrează în reper, citește aria ca funcție de unghi și are aplicații din chimie și din sport.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare aria triunghiului?

Programa de examen pentru 2027–2029 cere calcularea unor arii la aplicațiile trigonometriei în geometrie. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I, cerința 6, un triunghi dreptunghic, fără cerință de arie. Exercițiile noastre marcate sunt construite scurt, în stilul acelui subiect.

De ce în formula ariei apare sinusul și nu cosinusul?

Pentru că înălțimea este cateta din fața unghiului, iar cateta opusă se exprimă prin sinus. Sinusul unui unghi de triunghi este mereu pozitiv, deci aria iese pozitivă. Cosinusul poate fi negativ sau zero, așa că o arie calculată cu el ar putea ieși negativă sau nulă, ceea ce nu are sens.

Cât de mult contează o eroare de un grad la unghi?

Depinde de unde se află unghiul. Cu laturile fixate, aria urmează graficul sinusului: aproape de $9 0^{\circ}$ curba este aproape plată, așa că o eroare de un grad schimbă aria cu mult sub unu la sută. La unghiuri mici curba urcă repede, iar trecerea de la $1 0^{\circ}$ la $1 1^{\circ}$ mărește aria cu aproximativ $10%$ . Un unghi mic merită deci măsurat mai atent.

Pot afla aria dacă știu raza cercului circumscris?

Da, dacă știi și unghiurile. Din teorema sinusurilor, fiecare latură este $2 R$ înmulțit cu sinusul unghiului din fața ei. Afli două laturi, apoi aplici formula cu unghiul dintre ele. O formulă care leagă direct raza de arie și de laturi face parte din suplimentul pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029.

Aria calculată în reper cu formula sinusului iese mereu la fel ca prin alte metode?

Da, dacă nu greșești calculul, pentru că aria unui triunghi este unică. Diferențele apar doar din rotunjiri, când folosești valori aproximative ale sinusului. De aceea, în reper, e bine să lucrezi cu pătratele laturilor și cu valori exacte până la ultimul pas.