Aria triunghiului: formula lui Heron (M2, științe ale naturii)

Un ecolog care studiază vegetația unei pajiști bate trei țăruși în pământ, întinde o sfoară între ei și numără plantele din interior. Cu ruleta măsoară ușor cele trei laturi, dar un unghi i-ar cere un instrument în plus și o citire atentă printre ierburi. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această lecție arată cum afli aria unui triunghi numai din lungimile laturilor, cu formula lui Heron, și cum o compari cu drumul care trece prin trigonometrie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre aria unui triunghi.

Lecția leagă trei rezultate din unitatea ta. Din aria triunghiului cu formula sinusului la M2 știi să calculezi aria din două laturi și unghiul dintre ele. Din teorema cosinusului pentru aflarea unghiurilor la M2 știi să afli cosinusul unui unghi din cele trei laturi, iar formula fundamentală a trigonometriei îți dă sinusul din cosinus. Pus cap la cap, acest lanț duce de la trei lungimi la arie. Formula lui Heron face același drum într-un singur pas, fără să treacă prin vreun unghi.

Ce vei învăța

• Vei calcula semiperimetrul unui triunghi și cele trei diferențe care intră în formula lui Heron.
• Vei afla aria unui triunghi numai din laturi și vei ști de unde vine formula, pornind de la formula cu sinus.
• Vei citi din semnul diferențelor dacă lungimile date închid un triunghi, închid unul degenerat sau nu închid niciunul.
• Vei compara drumul fără trigonometrie cu drumul prin cosinus și sinus și vei alege metoda potrivită datelor.
• Vei calcula aria unui triunghi cu vârfurile date în reper, lucrând cu pătratele laturilor, fără radicali intermediari.
• Vei judeca cât de sigură este o arie obținută din lungimi măsurate, după forma triunghiului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune formula lui Heron?

Fie un triunghi cu laturile de lungimi $a$, $b$ și $c$, adică trei numere pozitive care respectă strict inegalitatea triunghiului: fiecare este mai mic decât suma celorlalte două. Semiperimetrul triunghiului este jumătatea perimetrului, $p=\frac{a+b+c}{2}$. Formula lui Heron spune că aria triunghiului este

$$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Formula poartă numele lui Heron din Alexandria, care a descris-o în secolul I, într-o carte despre măsurători. Aria iese în unitatea de lungime la pătrat: laturile în metri dau metri pătrați, laturile în centimetri dau centimetri pătrați.

Ordinea de lucru are trei pași. Întâi verifici că lungimile închid un triunghi. Apoi calculezi $p$ și cele trei diferențe $p-a$, $p-b$, $p-c$. La sfârșit înmulțești exact cele patru numere și extragi un singur radical. Fiecare diferență este jumătatea unei inegalități a triunghiului, fiindcă $2(p-a)=b+c-a$; de aceea toate trei sunt pozitive când triunghiul există. Odată aflată aria, înălțimile se citesc invers, $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$, exact ca în lecția despre aria cu sinus: pe teren, o astfel de înălțime este distanța de la un țăruș la sfoara întinsă între ceilalți doi.

2. De unde vine formula?

Programa de științe nu numește formula lui Heron. Ea cere aria triunghiului și, prin competența IX.CS.5.7, compararea metodelor de calcul al ariei cu și fără elemente de trigonometrie. Drumul de mai jos arată că Heron este chiar drumul trigonometric, din care unghiul a fost eliminat prin calcul.

Pornim de la aria cu sinus, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}bc\sin A$, și o ridicăm la pătrat: $4{\mathcal{S}}^2=b^2{c}^2{\sin }^{2}A=b^2{c}^2-b^2{c}^2{\cos }^{2}A$. Din teorema cosinusului, $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$. Înmulțind cu $4$, obținem

$$16{\mathcal{S}}^2=4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2.$$

Membrul drept este o diferență de pătrate, pe care o descompunem de două ori:

$$16{\mathcal{S}}^2=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)=\left(a^2-(b-c{)}^2\right)\left((b+c{)}^2-a^2\right).$$

Fiecare paranteză mai este o diferență de pătrate, deci $16{\mathcal{S}}^2=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)$. Cu $a+b+c=2p$, fiecare factor este de două ori o diferență: $a-b+c=2(p-b)$, $a+b-c=2(p-c)$, $b+c-a=2(p-a)$. Produsul celor patru factori este $16p(p-a)(p-b)(p-c)$, iar după împărțirea la $16$ rămâne exact formula lui Heron. Unghiul $A$ a dispărut: cosinusul lui s-a exprimat prin laturi, iar sinusul s-a obținut din cosinus cu formula fundamentală.

3. Ce se întâmplă când lungimile nu închid un triunghi?

Să dăm formulei lungimile $5$, $8$ și $14$. Semiperimetrul este $p=\frac{5+8+14}{2}=\frac{27}{2}$, iar diferențele sunt $\frac{27}{2}-5=\frac{17}{2}$, $\frac{27}{2}-8=\frac{11}{2}$ și $\frac{27}{2}-14=-\frac{1}{2}$. Produsul de sub radical iese negativ, iar radicalul nu are sens printre numerele reale. Nu este o greșeală de calcul: $5+8=13<14$, deci segmentele scurte nu ajung să se unească deasupra celui lung.

Un caz aparte este diferența egală cu zero. Pentru lungimile $7$, $9$ și $16$ avem $p=\frac{7+9+16}{2}=16$ și $16-16=0$, deci produsul este $0$ și aria iese $0$. Aici $7+9=16$: cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă, iar „triunghiul” s-a turtit într-un segment. Un astfel de triunghi degenerat nu închide nicio suprafață, iar formula spune exact asta.

Regula generală se citește din legătura $2(p-a)=b+c-a$: o diferență pozitivă înseamnă o inegalitate strictă, o diferență nulă înseamnă puncte coliniare, iar o diferență negativă înseamnă că triunghiul nu există. Semnul celor trei diferențe face singur verificarea existenței.

4. Cu trigonometrie sau fără?

Luăm triunghiul cu laturile $25$, $38$ și $51$ și îi calculăm aria pe ambele drumuri. Fără trigonometrie: $p=57$, diferențele sunt $32$, $19$ și $6$, iar

$$\mathcal{S}=\sqrt{57\cdot 32\cdot 19\cdot 6}=\sqrt{207936}=456.$$

Cu trigonometrie: unghiul dintre laturile de $25$ și $51$ este opus laturii de $38$, iar cosinusul lui este $\frac{625+2601-1444}{2\cdot 25\cdot 51}=\frac{1782}{2550}=\frac{297}{425}$. Din formula fundamentală, sinusul este $\sqrt{1-\frac{88209}{180625}}=\sqrt{\frac{92416}{180625}}=\frac{304}{425}$, pozitiv, ca pentru orice unghi al unui triunghi. Aria cu sinus dă $\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 51\cdot \frac{304}{425}=456$; calculul se simplifică, fiindcă $25\cdot 51=1275$ este de trei ori numitorul sinusului.

Cele două drumuri dau același număr, exact, fără nicio rotunjire. Diferența dintre ele este una practică. Heron cere trei lungimi și un singur radical. Drumul prin unghi cere un cosinus, un sinus și grijă la fiecare fracție, dar are un avantaj pe teren: dacă unghiul a fost oricum măsurat, cu un teodolit sau cu aplicația unui telefon, formula cu sinus folosește direct două laturi și acel unghi, iar a treia latură nu mai trebuie măsurată. Metoda se alege după datele de care dispui, nu invers.

5. De ce contează forma triunghiului când lungimile sunt măsurate?

În laborator sau pe teren, o lungime vine cu o eroare. Triunghiul cu laturile $34$ m, $55$ m și $87$ m are $p=88$, diferențele $54$, $33$ și $1$, iar aria $\sqrt{88\cdot 54\cdot 33\cdot 1}=\sqrt{156816}=396$ m². Să presupunem că a treia latură a fost citită greșit, $87,2$ m în loc de $87$ m, adică o eroare de aproximativ $0,2\%$.

Atunci semiperimetrul devine $\frac{34+55+87,2}{2}=88,1$, iar diferențele devin $54,1$, $33,1$ și $0,9$. Aria calculată este $\sqrt{88,1\cdot 54,1\cdot 33,1\cdot 0,9}\approx 376,81$ m², cu aproximativ $4,8\%$ mai mică. Motivul se vede în formulă: factorul $p-c$ era $1$ și a devenit $0,9$, adică s-a schimbat cu o zecime din el însuși. Pentru schimbări mici, variația relativă a unui produs este aproximativ suma variațiilor relative ale factorilor, iar radicalul o înjumătățește. Ceilalți trei factori au crescut cu aproximativ $0,1\%$, $0,2\%$ și $0,3\%$, iar factorul mic a scăzut cu $10\%$; suma dă aproximativ $-9,4\%$, iar jumătatea ei, aproximativ $-4,7\%$, este foarte aproape de ce am obținut. Același raționament îl folosesc fizicienii când estimează eroarea unei mărimi calculate din mai multe măsurători.

Concluzia practică este una de proiectare a măsurătorii. Un triunghi foarte alungit, cu o latură aproape egală cu suma celorlalte două, are o diferență mică, iar aria lui e sensibilă la erorile de citire. Când poți alege unde bați țărușii, alege un triunghi cu laturi apropiate ca mărime: toate diferențele sunt atunci mari, iar aceeași eroare de măsurare schimbă aria mult mai puțin.

6. Ce faci când vârfurile sunt date în reper?

În reperul cartezian, distanța dintre două puncte la M2 se calculează ca radical dintr-o sumă de pătrate. Laturile ies de multe ori ca radicali, iar formula lui Heron cu radicali în fiecare diferență devine incomodă. Soluția stă în relația intermediară din §2, scrisă acum pentru unghiul dintre laturile $a$ și $b$:

$$16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2.$$

Ea conține numai pătratele laturilor, adică exact numerele pe care formula distanței le dă direct, fără radical. Etichetele $a$, $b$, $c$ pot fi puse în orice ordine: rezultatul nu depinde de alegere, fiindcă formula lui Heron e simetrică. Lucrezi cu numere întregi până la ultimul pas, iar radicalul se extrage o singură dată, din $16{\mathcal{S}}^2$. Forma își face singură un control pe cazul cunoscut din gimnaziu: dacă triunghiul e dreptunghic, cu $c$ ipotenuza, paranteza $a^2+b^2-c^2$ se anulează, în membrul drept rămâne doar $4a^2{b}^2$, iar aria iese $\frac{ab}{2}$, semiprodusul catetelor. Exemplul 4 arată drumul pe numere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aria din trei laturi, pas cu pas

Calculează aria triunghiului cu laturile $13$, $37$ și $40$.

Rezolvare. Latura cea mai lungă este $40$, iar $13+37=50>40$, deci triunghiul există. Semiperimetrul este $p=\frac{13+37+40}{2}=45$, iar diferențele sunt $p-13=32$, $p-37=8$ și $p-40=5$, toate pozitive.

Înmulțim exact cele patru numere și extragem radicalul o singură dată:

$$\mathcal{S}=\sqrt{45\cdot 32\cdot 8\cdot 5}=\sqrt{57600}=240.$$

Rezultatul este un număr întreg, pentru că produsul $57600$ este pătratul lui $240$.

Exemplul 2 — Suprafața de probă a unui ecolog

Pentru a estima câte plante de păpădie cresc pe o pajiște, un ecolog delimitează o suprafață de probă triunghiulară cu laturile de $25$ m, $34$ m și $39$ m și numără în interiorul ei $1890$ de plante. Estimează densitatea plantelor și numărul lor pe o pajiște de $2$ ha, presupunând că plantele sunt răspândite uniform.

Rezolvare. Existența: $25+34=59>39$. Semiperimetrul este $p=49$, iar diferențele sunt $24$, $15$ și $10$:

$$\mathcal{S}=\sqrt{49\cdot 24\cdot 15\cdot 10}=\sqrt{176400}=420{\text{m}}^2.$$

Densitatea este $\frac{1890}{420}=4,5$ plante pe metru pătrat. Pajiștea are $2$ ha, adică $20000$ m², deci estimarea este $4,5\cdot 20000=90000$ de plante. Modelul presupune o răspândire uniformă; dacă plantele se strâng în pâlcuri, ecologii folosesc mai multe suprafețe de probă, așezate la întâmplare, și fac media densităților.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=21$, $AC=61$ și $BC=68$. Un elev calculează corect aria, $630$, apoi scrie: „înălțimea din $A$ are aproximativ $20,66$”. Unde greșește și care este valoarea corectă?

Rezolvare. Aria este corectă: $p=75$, diferențele sunt $54$, $14$ și $7$, iar $\mathcal{S}=\sqrt{75\cdot 54\cdot 14\cdot 7}=\sqrt{396900}=630$. Elevul a împărțit însă dublul ariei la latura $AC$, adică $\frac{1260}{61}\approx 20,66$. Aceasta este înălțimea din $B$, care cade pe $AC$.

Înălțimea din $A$ cade pe latura opusă vârfului $A$, adică pe $BC=68$. Valoarea corectă este $h_A=\frac{2\cdot 630}{68}=\frac{315}{17}\approx 18,53$. Regula de citire: înălțimea dintr-un vârf se împarte la latura pe care nu stă acel vârf.

Exemplul 4 — Vârfurile date în reper

Calculează aria triunghiului cu vârfurile $P(2,-3)$, $Q(7,1)$ și $R(0,4)$.

Rezolvare. Calculăm pătratele laturilor direct din coordonate: $P{Q}^2=5^2+4^2=41$, $P{R}^2=2^2+7^2=53$ și $Q{R}^2=7^2+3^2=58$. Alegem $a^2=41$, $b^2=53$ și $c^2=58$ și aplicăm forma cu pătrate:

$$16{\mathcal{S}}^2=4\cdot 41\cdot 53-(41+53-58{)}^2=8692-1296=7396.$$

Cum $7396=86^2$, avem $4\mathcal{S}=86$ și $\mathcal{S}=\frac{43}{2}=21,5$. Nicio latură nu a fost scrisă ca radical: $\sqrt{41}$, $\sqrt{53}$ și $\sqrt{58}$ ar fi făcut formula clasică greu de dus până la capăt.

Exemplul 5 — Masa unei plăci de aluminiu

Dintr-o tablă de aluminiu cu grosimea de $1$ mm se taie o placă triunghiulară cu laturile de $20$ cm, $53$ cm și $55$ cm. Densitatea aluminiului este $2,7$ g/cm³. Ce masă are placa?

Rezolvare. O bucată de tablă cu aria de $1$ cm² și grosimea de $0,1$ cm are volumul $0,1$ cm³ și masa $0,1\cdot 2,7=0,27$ g. Masa plăcii este deci aria ei, în centimetri pătrați, înmulțită cu $0,27$ g.

Existența: $20+53=73>55$. Semiperimetrul este $p=64$, cu diferențele $44$, $11$ și $9$:

$$\mathcal{S}=\sqrt{64\cdot 44\cdot 11\cdot 9}=\sqrt{278784}=528{\text{cm}}^2.$$

Masa plăcii este $528\cdot 0,27=142,56$ g. Modelul presupune o grosime constantă și neglijează materialul pierdut la tăiere; o cântărire cu precizie de un gram confirmă sau infirmă măsurarea laturilor.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=15$, $BC=26$ și $AC=37$. a) Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $156$. b) Arătați că $\cos B=-\frac{3}{5}$.

Rezolvare. Existența: $15+26=41>37$. Semiperimetrul este $p=\frac{15+26+37}{2}=39$, iar diferențele sunt $24$, $13$ și $2$. Atunci

$$\mathcal{S}=\sqrt{39\cdot 24\cdot 13\cdot 2}=\sqrt{24336}=156.$$

b) Unghiul $B$ este cuprins între $AB$ și $BC$, deci $\sin B=\frac{2\mathcal{S}}{AB\cdot BC}=\frac{312}{390}=\frac{4}{5}$. Latura opusă lui $B$, $AC=37$, este cea mai lungă, iar pătratul ei, $37^2=1369$, depășește $15^2+26^2=901$, deci $B$ este obtuz și cosinusul lui e negativ: $\cos B=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Teorema cosinusului confirmă: $\frac{225+676-1369}{2\cdot 15\cdot 26}=\frac{-468}{780}=-\frac{3}{5}$. Cerința este construită în stilul Subiectului I, cu verbul „Arătați”, și nu reproduce un subiect oficial.

Să exersăm

Verifică existența triunghiului înainte de orice calcul, înmulțește exact cele patru numere și extrage un singur radical. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, iar aproximările se rotunjesc la două zecimale.

1. Calculează aria triunghiului cu laturile $8$, $29$ și $35$.

2. Calculează aria triunghiului cu laturile $28$, $65$ și $89$.

3. Calculează aria triunghiului cu laturile $10$, $35$ și $39$.

4. Calculează aria triunghiului cu laturile $5$, $9$ și $12$, în formă exactă și aproximativă.

5. Lungimile $6$, $11$ și $x$, cu $x>0$, sunt folosite în formula lui Heron. Pentru ce valori ale lui $x$ aria iese $0$ și ce înseamnă geometric acest rezultat?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Triunghiul cu laturile $3$, $25$ și $26$ are aria mai mare decât $40$.”

7. Calculează aria triunghiului cu vârfurile $A(0,1)$, $B(5,3)$ și $C(2,7)$, folosind pătratele laturilor.

8. Triunghiul $ABC$ are $AB=29$, $AC=75$ și $BC=92$. Punctul $D$ de pe latura $BC$ verifică $BD=23$. Calculează aria triunghiului $ABD$.

9. Calculează aria triunghiului isoscel cu laturile $29$, $29$ și $40$ cu formula lui Heron, apoi verifică rezultatul cu înălțimea dusă pe bază.

10. În triunghiul cu laturile $36$, $61$ și $65$, calculează aria cu formula lui Heron, apoi cosinusul și sinusul unghiului opus laturii de $36$ și aria cu formula sinusului. Compară cele două drumuri.

11. Un triunghi măsurat pe teren are laturile de $5$ m, $51$ m și $52$ m. Calculează aria, apoi aria obținută dacă a treia latură este citită $52,2$ m. Cu cât la sută s-a schimbat aria?

12. (Problemă aplicată.) O pânză de umbrire triunghiulară are laturile de $2,5$ m, $3,9$ m și $4,0$ m. Materialul costă $32$ de lei pe metru pătrat. Calculează aria pânzei și costul materialului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=41$, $AC=50$ și $BC=73$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $984$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Triunghiul $ABC$ are perimetrul $112$, $AB=29$ și $BC=35$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $504$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=29$, $AC=68$ și $BC=65$. Arătați că $\sin A=\frac{468}{493}$.

16. Trei balize de monitorizare a apei unui lac formează un triunghi $ABC$ cu $AB=63$ m, $AC=25$ m și $BC=74$ m. Calculează distanța de la baliza $C$ la dreapta $AB$.

17. Calculează aria triunghiului cu laturile $5$, $8$ și $11$, în formă exactă, și arată că este mai mică decât $20$.

18. (Provocare.) Laturile unui triunghi sunt $n-1$, $n$ și $n+1$, cu $n>2$ număr natural. Arată că aria lui este $\frac{n}{4}\sqrt{3\left(n^2-4\right)}$, apoi calculează aria pentru $n=52$.

Răspunsuri și explicații

1. Existența: $8+29=37>35$. $p=36$, diferențele sunt $28$, $7$ și $1$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{36\cdot 28\cdot 7\cdot 1}=\sqrt{7056}=84$.

2. Existența: $28+65=93>89$. $p=91$, diferențele sunt $63$, $26$ și $2$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{91\cdot 63\cdot 26\cdot 2}=\sqrt{298116}=546$.

3. Existența: $10+35=45>39$. $p=42$, diferențele sunt $32$, $7$ și $3$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{42\cdot 32\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{28224}=168$.

4. Existența: $5+9=14>12$. $p=13$, diferențele sunt $8$, $4$ și $1$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{13\cdot 8\cdot 4\cdot 1}=\sqrt{416}=4\sqrt{26}\approx 20,40$. Pătratul perfect scos de sub radical este $16$, pentru că $416=16\cdot 26$.

5. Aria iese $0$ când una dintre diferențe este nulă. Dacă $x$ este latura cea mai lungă, condiția este $x=6+11=17$. Dacă latura cea mai lungă este $11$, condiția este $11=6+x$, adică $x=5$. Varianta $6=11+x$ nu are soluție pozitivă. Pentru $x=17$ sau $x=5$ cele trei puncte sunt coliniare: triunghiul este degenerat.

6. Fals. Existența: $3+25=28>26$. $p=27$, diferențele sunt $24$, $2$ și $1$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{27\cdot 24\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$, iar $36<40$. Triunghiul are o latură foarte scurtă și este aproape turtit, de aceea aria e mică față de laturile lungi.

7. $A{B}^2=5^2+2^2=29$, $A{C}^2=2^2+6^2=40$, $B{C}^2=3^2+4^2=25$. Cu $a^2=29$, $b^2=40$, $c^2=25$: $16{\mathcal{S}}^2=4\cdot 29\cdot 40-(29+40-25{)}^2=4640-1936=2704=52^2$, deci $4\mathcal{S}=52$ și $\mathcal{S}=13$.

8. Existența: $29+75=104>92$. $p=98$, diferențele sunt $69$, $23$ și $6$, deci ${\mathcal{S}}_{ABC}=\sqrt{98\cdot 69\cdot 23\cdot 6}=\sqrt{933156}=966$. Triunghiurile $ABD$ și $ABC$ au aceeași înălțime din $A$, iar bazele lor, $BD=23$ și $BC=92$, sunt în raportul $\frac{1}{4}$. Atunci ${\mathcal{S}}_{ABD}=\frac{966}{4}=241,5$, fără să calculezi înălțimea.

9. $p=49$, diferențele sunt $20$, $20$ și $9$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{49\cdot 20\cdot 20\cdot 9}=\sqrt{176400}=420$. Înălțimea pe bază cade în mijlocul ei, deci $h=\sqrt{29^2-20^2}=\sqrt{441}=21$, iar $\frac{40\cdot 21}{2}=420$, aceeași valoare.

10. Heron: $p=81$, diferențele sunt $45$, $20$ și $16$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{81\cdot 45\cdot 20\cdot 16}=\sqrt{1166400}=1080$. Unghiul opus laturii de $36$ este cel dintre laturile de $61$ și $65$: $\cos =\frac{3721+4225-1296}{2\cdot 61\cdot 65}=\frac{6650}{7930}=\frac{665}{793}$ și $\sin =\sqrt{1-\frac{442225}{628849}}=\sqrt{\frac{186624}{628849}}=\frac{432}{793}$. Formula cu sinus dă $\frac{1}{2}\cdot 61\cdot 65\cdot \frac{432}{793}=1080$. Heron a cerut un singur radical; drumul prin unghi a cerut două fracții și un radical.

11. Cu $52$ m: $p=54$, diferențele sunt $49$, $3$ și $2$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{54\cdot 49\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{15876}=126$ m². Cu $52,2$ m, semiperimetrul devine $54,1$, diferențele sunt $49,1$, $3,1$ și $1,9$, iar aria devine $\sqrt{54,1\cdot 49,1\cdot 3,1\cdot 1,9}\approx 125,08$ m². Aria a scăzut cu aproximativ $0,73\%$. Schimbarea e mai mică decât în §5 pentru că cea mai mică diferență este aici $2$, nu $1$.

12. $p=5,2$, diferențele sunt $2,7$, $1,3$ și $1,2$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{5,2\cdot 2,7\cdot 1,3\cdot 1,2}=\sqrt{21,9024}=4,68$ m². Costul materialului este $4,68\cdot 32=149,76$ lei.

13. Existența: $41+50=91>73$. $p=82$, diferențele sunt $41$, $32$ și $9$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{82\cdot 41\cdot 32\cdot 9}=\sqrt{968256}=984$.

14. A treia latură este $AC=112-29-35=48$, iar existența se verifică: $29+35=64>48$. Semiperimetrul este jumătatea perimetrului dat, $p=56$, diferențele sunt $27$, $21$ și $8$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{56\cdot 27\cdot 21\cdot 8}=\sqrt{254016}=504$.

15. $p=81$, diferențele sunt $52$, $16$ și $13$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{81\cdot 52\cdot 16\cdot 13}=\sqrt{876096}=936$. Unghiul $A$ este cuprins între $AB$ și $AC$, deci $\sin A=\frac{2\mathcal{S}}{AB\cdot AC}=\frac{1872}{1972}=\frac{468}{493}$.

16. Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este înălțimea din $C$. $p=81$, diferențele sunt $18$, $56$ și $7$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{81\cdot 18\cdot 56\cdot 7}=\sqrt{571536}=756$ m², iar $h_C=\frac{2\cdot 756}{63}=24$ m.

17. $p=12$, diferențele sunt $7$, $4$ și $1$, deci $\mathcal{S}=\sqrt{12\cdot 7\cdot 4\cdot 1}=\sqrt{336}=4\sqrt{21}\approx 18,33$. Pentru comparație fără aproximare: $20=\sqrt{400}$, iar $336<400$, deci aria este mai mică decât $20$.

18. Semiperimetrul este $p=\frac{3n}{2}$, iar diferențele sunt $\frac{n}{2}+1$, $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}-1$. Produsul de sub radical este $\frac{3n}{2}\cdot \frac{n}{2}\cdot \frac{n^2-4}{4}=\frac{3n^2\left(n^2-4\right)}{16}$, deci $\mathcal{S}=\frac{n}{4}\sqrt{3\left(n^2-4\right)}$. Pentru $n=52$: $\mathcal{S}=13\sqrt{8100}=13\cdot 90=1170$.

De reținut

• Pentru laturile $a$, $b$, $c$ ale unui triunghi, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$, aria este $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$; formula nu cere niciun unghi.
• Formula provine din aria cu sinus, în care cosinusul unghiului a fost scris cu teorema cosinusului: Heron este drumul trigonometric cu unghiul eliminat.
• Diferențele $p-a$, $p-b$, $p-c$ sunt pozitive exact când triunghiul există; o diferență nulă dă aria $0$ și puncte coliniare.
• Cu vârfurile în reper se lucrează cu pătratele laturilor: $16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2$.
• Un triunghi foarte alungit are aria sensibilă la erorile de măsurare; pe teren se preferă triunghiuri cu laturi apropiate ca mărime.

Greșeli frecvente

• Diferențele scrise invers. Cine calculează $a-p$ în loc de $p-a$ primește trei factori negativi, deci un produs negativ, și ajunge să declare inexistent un triunghi care există. Semiperimetrul stă întotdeauna în față.
• Triunghiul degenerat declarat inexistent. Când o diferență iese $0$, produsul este $0$, nu negativ: cele trei puncte sunt coliniare, iar aria este $0$. Triunghiul degenerat nu închide o suprafață, dar lungimile lui există; răspunsul corect spune că punctele sunt pe aceeași dreaptă.
• Pătratele distanțelor puse drept laturi. La vârfurile date în reper, $41$ este $P{Q}^2$, nu $PQ$. Introdus în formula clasică a lui Heron ca latură, dă un triunghi cu totul altul. Pătratele se folosesc numai în forma cu pătrate.
• Aria convertită ca o lungime. Placa din Exemplul 5 are $528$ cm², adică $0,0528$ m², nu $5,28$ m². Un metru pătrat are $100\cdot 100=10000$ cm², deci la arii factorul de conversie este pătratul factorului de la lungimi.
• Laturile unui triunghi alungit rotunjite la metru. La laturile $34$ m, $55$ m și $87,4$ m, cine rotunjește ultima latură la $87$ m schimbă factorul mic din $0,8$ în $1$ și umflă aria cu peste zece procente. La triunghiurile alungite, lungimile se păstrează cu toate zecimalele măsurate.

Aplică acasă

1. Felia de pizza. Măsoară cele trei laturi ale unei felii dintr-o pizza tăiată în $n$ felii egale: cele două tăieturi drepte și coarda dintre capetele crustei. Calculează aria triunghiului cu formula lui Heron și compar-o cu aria feliei, $\frac{\pi r^2}{n}$. Ce reprezintă diferența și cum se schimbă ea dacă pizza e tăiată în mai multe felii?
2. O suprafață de probă în curte. Bate trei bețe într-o peluză, întinde o sfoară între ele și măsoară laturile. Numără firele de trifoi sau de păpădie din interior, calculează aria și estimează densitatea plantelor pe metru pătrat. Repetă pe o a doua suprafață și compară densitățile.
3. Forma care iartă erorile. Cu o sfoară de $1$ m, formează pe o masă un triunghi aproape echilateral și unul foarte alungit. Măsoară laturile, calculează ambele arii, apoi mută un vârf cu $1$ cm și recalculează. Notează în care caz aria s-a schimbat mai mult și explică de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția pune în centru o idee pe care programa de științe o cere explicit: compararea metodelor de calcul al ariei cu și fără trigonometrie. Formula lui Heron nu apare ca rețetă izolată, ci ca drumul trigonometric în care unghiul a fost eliminat, iar elevul o verifică pe un triunghi în care ambele drumuri dau exact aceeași arie. Am adăugat trei direcții specifice profilului: forma cu pătratele laturilor, legată de geometria analitică din aceeași clasă; sensibilitatea ariei la erorile de măsurare, esențială pentru orice lucrare de teren sau de laborator; modelele în care aria este un pas spre o altă mărime, densitate sau masă. Întrebări bune de control: „Ce îți spune semnul celor trei diferențe?”; „Când alegi formula cu sinus în locul formulei lui Heron?”; „De ce un triunghi alungit este o alegere proastă pentru o suprafață de probă?”. Un elev care a înțeles verifică existența din reflex, nu rotunjește înainte de radical și știe să spună pe ce latură cade o înălțime. Pentru aria triunghiului din gimnaziu este utilă lecția de clasa a VII-a despre aria triunghiului dedusă din paralelogram.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; programa cere aria triunghiului și ariile unor suprafețe poligonale, iar competența IX.CS.5.7 cere compararea metodelor de calcul al ariei cu și fără elemente de trigonometrie, fără să numească formula lui Heron. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, și nicio cerință despre arie; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aria triunghiului cu formula lui Heron are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este aria suprafețelor poligonale prin descompunere la M2, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la formula lui Heron în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, formula se învață în clasa a IX-a, în unitatea de trigonometrie, imediat după aria cu sinus. Lecția M2 o prezintă ca drumul trigonometric cu unghiul eliminat și adaugă forma cu pătratele laturilor pentru vârfuri în reper, sensibilitatea la erorile de măsurare și modele în care aria duce la o densitate sau la o masă.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea formula lui Heron?

Programa de examen pentru 2027–2029 cuprinde calcularea unor arii printre aplicațiile trigonometriei în geometria plană, iar cerințele scurte de geometrie și trigonometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre arie; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect, cu verbul „Arătați”.

Când merită formula cu sinus în locul formulei lui Heron?

Când datele conțin deja un unghi. Dacă ai măsurat două laturi și unghiul dintre ele, formula cu sinus le folosește direct, iar a treia latură nu mai e necesară. Formula lui Heron câștigă când ai doar lungimi, de exemplu la o măsurătoare cu ruleta sau cu un telemetru. A calcula un unghi numai ca să aplici apoi formula cu sinus este drumul lung.

Pot folosi formula lui Heron când vârfurile sunt date prin coordonate?

Da, dar lucrează cu pătratele laturilor. Formula distanței îți dă direct $P{Q}^2$, fără radical, iar forma $16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2$ cere exact aceste pătrate. Calculul rămâne cu numere întregi până la sfârșit, iar radicalul se extrage o singură dată. Etichetele $a$, $b$, $c$ se pot pune în orice ordine, fiindcă rezultatul nu depinde de alegerea lor.

De ce un triunghi foarte alungit își schimbă mult aria la o eroare mică de măsurare?

La un triunghi alungit, una dintre diferențele $p-a$, $p-b$, $p-c$ este mică. O eroare de câțiva centimetri la o latură schimbă acea diferență cu o parte însemnată din valoarea ei, iar produsul de sub radical se modifică vizibil. Când toate diferențele sunt mari, aceeași eroare contează mult mai puțin.

Cum verific repede că n-am greșit la formula lui Heron?

Fiecare diferență trebuie să fie pozitivă și mai mică decât $p$, altfel ai greșit o scădere. Apoi desenează triunghiul la scară, cu rigla și compasul, măsoară o înălțime pe desen și calculează baza ori înălțimea pe doi. Rezultatul desenului e aproximativ, dar prinde imediat o greșeală de zece ori mai mare sau mai mică.