Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor (M2, științe ale naturii)

Un kinetoterapeut vrea să știe cât de mult își poate îndoi genunchiul un pacient după o operație. Nu are un raportor mare, dar are o bandă de măsurat: lungimea coapsei, lungimea gambei și distanța de la șold la gleznă. Din aceste trei lungimi iese unghiul genunchiului, fără nicio măsurare de unghi. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), lecția aceasta întoarce teorema cosinusului: pornești de la laturi și ajungi la unghiuri, exact cum cere programa, prin determinarea măsurii unui unghi când se cunosc lungimile laturilor. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde teorema cosinusului și rezolvarea triunghiurilor oarecare; pentru cei care au început clasa a IX-a în 2026, din 2030 matematica devine la științe o probă la alegere, MAT_P2, iar tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”.

Folosești direct teorema cosinusului: enunț și aplicații, la M2, unde ai calculat o latură din două laturi și unghiul dintre ele. Acum necunoscuta devine cosinusul, iar unghiul se citește din el, ca în lecția despre unghiurile obtuze la M2. Ideea e simplă, dar cere atenție la un singur detaliu: care latură stă în fața unghiului căutat. Aproape toate greșelile din această lecție vin de acolo, așa că exemplele de mai jos insistă pe acest pas.

Ce vei învăța

• Vei scrie cosinusul oricărui unghi al unui triunghi ca raport între expresii cu laturile lui.
• Vei citi din semnul numărătorului dacă unghiul căutat este ascuțit, drept sau obtuz, înainte de orice aproximare.
• Vei trece de la cosinus la unghi: exact, pentru valorile de bază, în radiani, sau cu un instrument digital, cu rotunjirea potrivită.
• Vei alege unghiul care merită calculat întâi și vei controla rezultatele cu suma unghiurilor.
• Vei obține sinusul și tangenta unui unghi direct din laturi, fără să treci prin măsura unghiului.
• Vei recunoaște relații între laturi care ascund un unghi exact și vei rezolva cerințe în forma de la bacalaureatul M2.

Hai să descoperim împreună

1. Cum scoți cosinusul din teoremă?

Pornești de la $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ și tratezi $\cos A$ ca pe o necunoscută. Treci termenul cu cosinusul în membrul stâng, iar $a^2$ în cel drept: $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$. Numărul $2bc$ este strict pozitiv, fiind dublul unui produs de lungimi, deci poți împărți la el.

Cosinusul unui unghi al triunghiului este, în orice triunghi $ABC$ cu $a=BC$, $b=CA$ și $c=AB$, câtul dintre o expresie cu pătratele laturilor și dublul produsului laturilor care formează unghiul:

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$

iar formulele pentru $\cos B$ și $\cos C$ se obțin rotind rolurile. Tiparul se reține ușor: la numitor stă dublul produsului laturilor care formează unghiul, la numărător suma pătratelor lor, din care se scade pătratul laturii din fața unghiului.

Pentru celelalte două unghiuri:

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$

Cu formula aceasta, trei lungimi măsurate sunt suficiente pentru orice unghi al triunghiului. Lungimile se măsoară ușor, cu o bandă, o riglă sau un telemetru; unghiurile cer instrumente anume și, pe teren, se măsoară mai greu. De aceea drumul „de la laturi la unghiuri” apare atât de des în aplicațiile din științe.

2. Ce spune semnul numărătorului?

Numitorul este pozitiv, deci cosinusul are semnul numărătorului $b^2+c^2-a^2$. Iar semnul cosinusului unui unghi de triunghi îi arată felul, cum ai văzut la unghiurile obtuze: numărător pozitiv înseamnă unghi ascuțit, numărător zero înseamnă unghi drept, numărător negativ înseamnă unghi obtuz.

De pildă, dacă laturile care formează unghiul sunt $4$ și $6$, iar cea din față are $7$, numărătorul este $16+36-49=3$, pozitiv, deci unghiul este ascuțit, chiar dacă latura opusă e destul de lungă. Observația îți dă un control înainte de orice calcul cu zecimale. Dacă numărătorul iese negativ, unghiul căutat este sigur mai mare decât $\frac{\pi }{2}$, iar un rezultat final sub acest prag trădează o greșeală. Aici ne interesează felul unghiului pe care îl calculezi; cum decizi felul întregului triunghi numai din laturi, fără cosinus, afli în lecția despre natura unui triunghi din lungimile laturilor, la M2.

3. Cum treci de la cosinus la unghi?

Pe intervalul $(0,\pi )$, fiecărei valori a cosinusului îi corespunde un singur unghi. Pentru valorile de bază, unghiul se scrie exact, în radiani:

Pentru orice altă valoare folosești tasta ${\cos }^{-1}$ a unui calculator, care întoarce direct un unghi între $0^{\circ }$ și $180^{\circ }$, sau tabelul, cu suplementul pentru valorile negative. Scrii fracția exactă înainte de a o transforma în zecimală și rotunjești abia unghiul final, de obicei la două zecimale ale gradului.

Mai e un detaliu practic: în modelul oficial de bacalaureat M2 din 2026, unghiul triunghiului este scris cu $\pi$; de aceea un rezultat exact îl dai în radiani, iar unul obținut cu instrumentul digital, în grade, cu zecimale. Tabelul se citește și ca listă de „semnale”: dacă o problemă de examen cere să arăți că un unghi are o anumită valoare, fracția obținută din laturi trebuie să fie exact una dintre valorile de mai sus. O fracție ca $\frac{7}{15}$ nu corespunde niciunui unghi de bază, deci răspunsul ei va fi aproximativ.

4. Care unghi merită calculat primul?

Cel opus celei mai lungi laturi. Unghiul cel mai mare se află în fața laturii celei mai mari, iar triunghiul are cel mult un unghi obtuz, deci numai acesta poate fi obtuz. Calculându-l primul, afli imediat dacă triunghiul ascunde un unghi obtuz; celelalte două sunt atunci sigur ascuțite.

De pildă, pentru laturile $5$, $6$ și $8$, unghiul opus laturii de $8$ are cosinusul $\frac{25+36-64}{60}=-\frac{1}{20}$, deci este obtuz, de aproximativ $92,87^{\circ }$, cu puțin peste unghiul drept. Nu mai e nevoie să verifici felul celorlalte unghiuri: sunt ascuțite. Dacă ai de aflat și ele, cosinusurile lor ies pozitive, un control în plus al calculului. Invers, dacă unghiul cel mai mare iese ascuțit, toate trei sunt ascuțite, iar o singură fracție a răspuns la întrebarea despre felul tuturor unghiurilor.

5. Cum obții sinusul și tangenta unghiului?

Fără să treci prin măsura unghiului. Cunoscând $\cos A$ ca fracție exactă, sinusul vine din formula fundamentală, cu semnul plus, pentru că unghiul unui triunghi are sinusul pozitiv: $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$. Tangenta este câtul lor și are semnul cosinusului. Pasul este cel din lecția despre calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta, la M2.

Drumul acesta păstrează valorile exacte. Dacă ai trece întâi la unghi, cu o aproximare, și abia apoi ai calcula sinusul, ai pierde precizie și forma cu radicali. Pentru un unghi obtuz, tangenta iese negativă, iar sinusul rămâne pozitiv; dacă obții un sinus negativ, ai ales greșit semnul radicalului, pentru că în triunghi nu există alegere. Sinusul exact al unui unghi calculat din laturi îți va folosi în lecțiile următoare ale unității, de pildă la teorema sinusurilor și la aria triunghiului.

6. Ce faci când laturile sunt legate printr-o relație?

Uneori nu primești numere, ci o relație. Să presupunem că laturile verifică $a^2=b^2+c^2+k\cdot bc$, unde $k$ este un număr fixat. Atunci $b^2+c^2-a^2=-k\cdot bc$, iar formula dă $\cos A=\frac{-k\cdot bc}{2bc}=-\frac{k}{2}$, oricare ar fi lungimile. Relația „ascunde” unghiul: cosinusul lui depinde numai de $k$, iar unghiul este unul de bază doar pentru câteva valori ale lui $k$.

Metoda e mereu aceeași: izolezi expresia $b^2+c^2-a^2$ din relația dată, o împarți la $2bc$ și simplifici literele. Semnul din fața produsului $bc$ decide felul unghiului: plus în expresia izolată înseamnă unghi ascuțit, minus înseamnă unghi obtuz. Dacă după simplificare rămâne un număr, unghiul este fixat de relație; dacă rămân litere, unghiul depinde de laturi și relația nu e suficientă. Pentru ca relația să descrie un triunghi, numărul obținut trebuie să fie strict între $-1$ și $1$, deci $k$ trebuie să fie strict între $-2$ și $2$.

7. Cum controlezi un set de unghiuri?

Dacă ai calculat două unghiuri, al treilea se află prin scădere din $\pi$, iar cosinusul lui, calculat separat din laturi, trebuie să dea același unghi, cu diferențe mici, de rotunjire. Cu unghiuri rotunjite la două zecimale, suma poate diferi de $180^{\circ }$ cu una sau două sutimi; nu corectezi unghiurile ca să „iasă” suma.

Încă o proprietate utilă: laturile proporționale dau aceleași unghiuri. Dacă înmulțești toate laturile cu același număr, în formula cosinusului factorul apare la pătrat și la numărător, și la numitor, deci se simplifică. Triunghiurile obținute sunt asemenea, iar unghiurile lor sunt egale. Poți deci lucra cu numerele cele mai mici care păstrează proporția. În problemele cu măsurători, asta îți permite să treci liniștit de la centimetri la metri: unitatea de măsură, aceeași pentru toate laturile, nu schimbă unghiurile. Condiția este ca toate lungimile să fie exprimate în aceeași unitate înainte de calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un unghi obtuz exact

Un triunghi are laturile $a=\sqrt{29}$, $b=2\sqrt{2}$ și $c=3$. Determină unghiul cel mai mare.

Rezolvare. Latura cea mai lungă este $a=\sqrt{29}\approx 5,39$, deci calculăm unghiul $A$. Cu $a^2=29$ și $b^2=8$:

$$\cos A=\frac{8+9-29}{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{-12}{12\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

deci $A=\frac{3\pi }{4}$. Pașii importanți au fost doi: am lucrat cu pătratele laturilor, care sunt numere întregi, și am raționalizat fracția abia la final. Unghiul este obtuz, așa că celelalte două sunt ascuțite și au împreună $\frac{\pi }{4}$. Observă și cum a apărut radicalul din rezultat: el nu vine din pătratele laturilor, ci din produsul de la numitor, singurul loc în care laturile intră fără să fie ridicate la pătrat.

Exemplul 2 — Cu instrumentul digital

Un triunghi are laturile $7$, $10$ și $15$. Calculează cosinusul unghiului cel mai mare și măsura acestuia, în grade, cu două zecimale.

Rezolvare. Unghiul cel mai mare este opus laturii de $15$:

$$\cos =\frac{49+100-225}{2\cdot 7\cdot 10}=\frac{-76}{140}=-\frac{19}{35}\approx -0,5429.$$

Numărătorul negativ arată un unghi obtuz. Instrumentul digital dă aproximativ $122,88^{\circ }$. Am introdus în calculator fracția $-\frac{19}{35}$, nu valoarea deja rotunjită, ca să nu adunăm două rotunjiri. Controlul de plauzibilitate: $-0,5429$ este puțin mai mic decât $-\frac{1}{2}$, iar cosinusul descrește pe $(0,\pi )$, deci unghiul trebuie să fie puțin mai mare decât $\frac{2\pi }{3}$, adică decât $120^{\circ }$, cum a arătat calculatorul.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un triunghi are laturile $55$, $57$ și $97$. Un elev caută unghiul cel mai mare și scrie: „Cosinusul este $\frac{3025+9409-3249}{2\cdot 55\cdot 97}$, deci unghiul este ascuțit, de aproximativ treizeci și unu de grade.” Unde greșește?

Rezolvare. Unghiul cel mai mare se află în fața laturii celei mai lungi, $97$, deci aceasta trebuie să fie latura scăzută la numărător. Elevul a scăzut pătratul lui $57$ și a calculat, de fapt, unghiul opus laturii de $57$. Corect:

$$\cos =\frac{3025+3249-9409}{2\cdot 55\cdot 57}=\frac{-3135}{6270}=-\frac{1}{2},$$

deci unghiul cel mai mare are $\frac{2\pi }{3}$. Semnalul de alarmă era chiar rezultatul elevului: un unghi de treizeci și unu de grade nu poate fi cel mai mare al unui triunghi, fiindcă ceilalți doi ar trebui să aibă împreună o sută patruzeci și nouă de grade, deci cel puțin unul ar depăși șaptezeci. Calculul elevului nu este inutil: el a aflat corect unghiul din fața laturii de $57$. Doar că acesta nu era unghiul cerut, iar o etichetă greșită pe un rezultat corect rămâne o greșeală.

Exemplul 4 — Unghiul genunchiului

Pentru un pacient așezat pe un scaun înalt, un kinetoterapeut măsoară: $44$ cm de la articulația șoldului la cea a genunchiului, $42$ cm de la genunchi la gleznă și $75$ cm de la șold la gleznă. Ce unghi face coapsa cu gamba?

Rezolvare. Unghiul căutat, din vârful genunchiului, este opus segmentului șold–gleznă, de $75$ cm:

$$\cos =\frac{44^2+42^2-75^2}{2\cdot 44\cdot 42}=\frac{1936+1764-5625}{3696}=\frac{-1925}{3696}=-\frac{25}{48}\approx -0,5208.$$

Unghiul este obtuz, de aproximativ $121,39^{\circ }$. Cu piciorul întins, unghiul ar fi aproape $180^{\circ }$, deci genunchiul este îndoit cu aproximativ $58,6^{\circ }$ față de poziția dreaptă. Kinetoterapeuții exprimă de obicei tocmai această diferență, numită unghi de flexie; repetând măsurătorile de la o ședință la alta, pot urmări cum își recapătă pacientul mobilitatea. Modelul înlocuiește oasele prin segmente între centrele articulațiilor și presupune că cele trei puncte au fost marcate corect pe piele; o eroare de un centimetru la distanța șold–gleznă schimbă unghiul cu aproape trei grade, deci măsurătorile cer atenție.

Exemplul 5 — Relația care ascunde un unghi

Laturile unui triunghi $ABC$ verifică relația $b^2+c^2-a^2=\sqrt{3}bc$. Determină unghiul $A$. Dacă, în plus, $b=c$, determină și unghiurile $B$ și $C$.

Rezolvare. Împărțim relația la $2bc$: $\cos A=\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $A=\frac{\pi }{6}$, oricare ar fi laturile care verifică relația.

Dacă $b=c$, triunghiul este isoscel cu vârful în $A$, iar unghiurile de la bază sunt egale: $B=C=\frac{1}{2}\left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{12}$. Controlul: $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{12}+\frac{5\pi }{12}=\pi$. Unghiurile de la bază nu au cerut niciun cosinus: odată cunoscut unghiul din vârf, suma unghiurilor și egalitatea lor le-au fixat. Nu orice problemă cu laturi trebuie rezolvată numai cu teorema cosinusului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=9$, $AC=5$ și $BC=2\sqrt{13}$. Arătați că $\sin A=\frac{4}{5}$.

Rezolvare. Unghiul $A$ este opus laturii $BC$, iar $B{C}^2=52$:

$$\cos A=\frac{81+25-52}{2\cdot 9\cdot 5}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}.$$

Unghiul fiind al unui triunghi, sinusul este pozitiv: $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte de la Subiectul I și nu reproduce o cerință oficială; cerința nu dă un unghi de bază, iar drumul trece prin cosinus fără să afle vreodată măsura unghiului.

Să exersăm

Identifică întâi latura din fața unghiului căutat și scrie fracția cu pătratele laturilor. Unghiurile de bază se dau în radiani; celelalte, în grade, cu două zecimale, obținute cu un instrument digital.

1. Un triunghi are laturile $4\sqrt{3}$, $3$ și $\sqrt{21}$. Determină unghiul opus laturii de $\sqrt{21}$.

2. Un triunghi are laturile $40$, $77$ și $103$. Determină unghiul opus laturii de $103$.

3. Un triunghi are laturile $3\sqrt{2}$, $5$ și $\sqrt{13}$. Determină unghiul opus laturii de $\sqrt{13}$.

4. Un triunghi are laturile $2\sqrt{3}$, $1$ și $\sqrt{19}$. Determină unghiul cel mai mare.

5. Un triunghi are laturile $7$, $8$ și $10$. Calculează cosinusul unghiului cel mai mare și măsura lui.

6. Un triunghi are laturile $5$, $7$ și $11$. Calculează cosinusul unghiului cel mai mare și măsura lui.

7. Un triunghi are laturile $9$, $14$ și $19$. Determină cel mai mic unghi al său.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă laturile unui triunghi sunt $11$, $85$ și $91$, atunci unghiul cel mai mare are $\frac{2\pi }{3}$.

9. Un triunghi are laturile $3$, $8$ și $9$. Pentru unghiul opus laturii de $9$, calculează cosinusul, sinusul și tangenta, în formă exactă.

10. Laturile unui triunghi $ABC$ verifică relația $a^2=b^2+c^2+\frac{bc}{2}$. Ce fel de unghi este $A$ și cât este $\cos A$?

11. (Problemă aplicată.) Un jucător de fotbal se află la $20$ m de un stâlp al porții și la $22$ m de celălalt. Lățimea porții este de $7,32$ m. Sub ce unghi vede jucătorul poarta?

12. Un triunghi isoscel are laturile egale de $13$ și baza de $24$. Calculează unghiul din vârf și unghiurile de la bază.

13. Un triunghi are laturile $4$, $9$ și $11$. Calculează unghiurile opuse laturilor de $4$ și de $9$, apoi pe al treilea prin scădere, și controlează-l cu cosinusul lui.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=10$, $AC=13$ și $BC=\sqrt{139}$. Arătați că $A=\frac{\pi }{3}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4\sqrt{2}$, $BC=7$ și $AC=5$. Arătați că $B=\frac{\pi }{4}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2$, $AC=4$ și $BC=2\sqrt{7}$. Arătați că $\cos A=-\frac{1}{2}$.

17. Laturile unui triunghi sunt proporționale cu numerele $5$, $7$ și $9$. Determină unghiul cel mai mare.

18. (Provocare.) Arată că în orice triunghi $ABC$ are loc egalitatea $b\cos C+c\cos B=a$ și explică ce înseamnă ea în desen, pentru un unghi $B$ ascuțit și unul $C$ obtuz.

Răspunsuri și explicații

1. Pătratele laturilor sunt $48$, $9$ și $21$. $\cos =\frac{48+9-21}{2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3}=\frac{36}{24\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci unghiul are $\frac{\pi }{6}$. Nu este cel mai mare unghi: latura $\sqrt{21}\approx 4,58$ nu e cea mai lungă.

2. $\cos =\frac{1600+5929-10609}{2\cdot 40\cdot 77}=\frac{-3080}{6160}=-\frac{1}{2}$, deci unghiul are $\frac{2\pi }{3}$.

3. $\cos =\frac{18+25-13}{2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5}=\frac{30}{30\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci unghiul are $\frac{\pi }{4}$.

4. Latura cea mai lungă este $\sqrt{19}\approx 4,36$. $\cos =\frac{12+1-19}{2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{-6}{4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci unghiul are $\frac{5\pi }{6}$.

5. $\cos =\frac{49+64-100}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{13}{112}\approx 0,1161$. Unghiul este ascuțit, de aproximativ $83,33^{\circ }$. Fiind cel mai mare, și celelalte două sunt ascuțite. Cosinusul mic, apropiat de zero, arată un unghi aproape drept.

6. $\cos =\frac{25+49-121}{2\cdot 5\cdot 7}=-\frac{47}{70}\approx -0,6714$. Unghiul este obtuz, de aproximativ $132,18^{\circ }$. Laturile scurte, $5$ și $7$, abia ajung să „închidă” latura de $11$, de aceea unghiul dintre ele este atât de deschis.

7. Cel mai mic unghi se opune laturii de $9$: $\cos =\frac{196+361-81}{2\cdot 14\cdot 19}=\frac{476}{532}=\frac{17}{19}\approx 0,8947$, deci unghiul are aproximativ $26,53^{\circ }$. El are cel mai mare cosinus dintre cele trei, pentru că cosinusul descrește pe $(0,\pi )$.

8. Adevărat. Unghiul cel mai mare se opune laturii de $91$: $\cos =\frac{121+7225-8281}{2\cdot 11\cdot 85}=\frac{-935}{1870}=-\frac{1}{2}$, deci unghiul are exact $\frac{2\pi }{3}$. Verdictul nu se putea da fără calcul: laturile nu au o formă care să trădeze unghiul.

9. $\cos =\frac{9+64-81}{2\cdot 3\cdot 8}=-\frac{8}{48}=-\frac{1}{6}$. Sinusul este pozitiv: $\sin =\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{35}}{6}$. Tangenta este $\frac{\sqrt{35}}{6}:\left(-\frac{1}{6}\right)=-\sqrt{35}$.

10. Din relație, $b^2+c^2-a^2=-\frac{bc}{2}$, deci $\cos A=-\frac{bc}{2}:(2bc)=-\frac{1}{4}$. Cosinusul negativ arată un unghi obtuz, dar $-\frac{1}{4}$ nu e o valoare din tabelul unghiurilor de bază: instrumentul digital dă $A\approx 104,48^{\circ }$.

11. Unghiul căutat este în vârful unde stă jucătorul și se opune lățimii porții: $\cos \approx \frac{400+484-53,5824}{880}=\frac{830,4176}{880}\approx 0,9437$, deci unghiul are aproximativ $19,33^{\circ }$. Modelul privește jucătorul și stâlpii ca puncte pe teren și ignoră înălțimea porții. Un unghi mic arată de ce șuturile din unghi ascuțit, de lângă linia porții, au șanse mici: poarta „se vede” printr-o deschidere îngustă.

12. Unghiul din vârf se opune bazei: $\cos =\frac{169+169-576}{2\cdot 13\cdot 13}=-\frac{238}{338}=-\frac{119}{169}\approx -0,7041$, deci are aproximativ $134,76^{\circ }$. La bază: $\cos =\frac{169+576-169}{2\cdot 13\cdot 24}=\frac{576}{624}=\frac{12}{13}$, deci fiecare unghi de la bază are aproximativ $22,62^{\circ }$. Suma: $134,76+2\cdot 22,62=180$.

13. Opus lui $4$: $\cos =\frac{81+121-16}{2\cdot 9\cdot 11}=\frac{186}{198}=\frac{31}{33}$, deci aproximativ $20,05^{\circ }$. Opus lui $9$: $\cos =\frac{16+121-81}{2\cdot 4\cdot 11}=\frac{56}{88}=\frac{7}{11}$, deci aproximativ $50,48^{\circ }$. Al treilea: $180-20,05-50,48=109,47$ grade. Control: $\cos =\frac{16+81-121}{2\cdot 4\cdot 9}=-\frac{24}{72}=-\frac{1}{3}$, care dă tot aproximativ $109,47^{\circ }$, un unghi obtuz.

14. Unghiul $A$ se opune laturii $BC$, cu $B{C}^2=139$: $\cos A=\frac{100+169-139}{2\cdot 10\cdot 13}=\frac{130}{260}=\frac{1}{2}$, deci $A=\frac{\pi }{3}$.

15. Unghiul $B$ este format de laturile $AB$ și $BC$ și se opune laturii $AC$: $\cos B=\frac{32+49-25}{2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 7}=\frac{56}{56\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $B=\frac{\pi }{4}$.

16. $\cos A=\frac{4+16-28}{2\cdot 2\cdot 4}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$, cum se cerea; unghiul are deci $\frac{2\pi }{3}$.

17. Unghiurile nu depind de factorul de proporționalitate, deci lucrăm cu laturile $5$, $7$ și $9$. Unghiul cel mai mare se opune laturii de $9$: $\cos =\frac{25+49-81}{2\cdot 5\cdot 7}=-\frac{7}{70}=-\frac{1}{10}$, deci unghiul are aproximativ $95,74^{\circ }$.

18. Înlocuim cosinusurile prin laturi: $b\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a$. În desen, $b\cos C$ și $c\cos B$ sunt proiecțiile laturilor $CA$ și $BA$ pe dreapta $BC$, cu semn. Dacă $C$ este obtuz, piciorul înălțimii din $A$ cade în afara laturii $BC$, proiecția $b\cos C$ este negativă și se scade din cealaltă.

De reținut

• În orice triunghi, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$: la numărător se scade pătratul laturii din fața unghiului, la numitor stă dublul produsului laturilor care îl formează.
• Semnul numărătorului dă felul unghiului calculat: pozitiv, ascuțit; zero, drept; negativ, obtuz; unghiul cel mai mare se calculează primul, fiind singurul care poate fi obtuz.
• Pentru valorile de bază, unghiul se scrie exact, în radiani; altfel se obține cu ${\cos }^{-1}$ din fracția exactă, rotunjind doar la final.
• Sinusul unghiului se obține din cosinus, cu semnul plus, fără să treci prin măsura unghiului; tangenta are semnul cosinusului.
• O relație între laturi fixează un unghi când, după împărțirea la $2bc$, rămâne un număr; laturile proporționale dau aceleași unghiuri.

Greșeli frecvente

• Pătratul uitat în formulă. Unii scriu la numărător $b+c-a$ în loc de $b^2+c^2-a^2$. Un astfel de calcul poate da chiar un „cosinus” mai mare decât $1$; ridicarea la pătrat a fiecărei laturi este primul pas, înainte de orice adunare.
• Radicalul din latură ridicat greșit la pătrat. Pentru o latură de $2\sqrt{2}$, pătratul este $8$, nu $4$ sau $16$. O greșeală aici schimbă fracția, iar unghiul exact dispare; scrie separat lista pătratelor laturilor înainte de a le pune în formulă.
• Fracția rotunjită înainte de ${\cos }^{-1}$. Dacă transformi $-\frac{19}{35}$ în $-0,5$ ca să „simplifici”, obții exact $120^{\circ }$ în loc de aproape $122,88^{\circ }$. Calculatorul primește fracția, iar rotunjirea se face la unghi.
• Unghiul exprimat în grade când cerința este în radiani. În modelul oficial de bacalaureat M2, unghiul triunghiului este scris cu $\pi$, iar exercițiile marcate în lecție păstrează această scriere. Un răspuns „$120^{\circ }$” la „arătați că $A=\frac{2\pi }{3}$” trebuie încheiat cu scrierea din enunț.
• Laturi măsurate în unități diferite. Dacă o lungime e scrisă în metri și celelalte în centimetri, fracția amestecă mărimi incompatibile și cosinusul iese fără sens, uneori chiar mai mare decât $1$. Toate cele trei laturi se aduc la aceeași unitate înainte de a le ridica la pătrat.

Aplică acasă

1. Unghiul cotului, din trei măsurători. Cu o bandă de croitorie, măsoară lungimea brațului de la umăr la cot, a antebrațului de la cot la încheietură și distanța umăr–încheietură, pentru trei poziții ale brațului. Calculează de fiecare dată unghiul cotului și observă cum crește distanța umăr–încheietură odată cu unghiul. Marchează punctele cu un marker lavabil, ca măsurătorile să pornească de fiecare dată din aceleași locuri.
2. Cât de deschisă e cartea? Deschide o carte groasă sau capacul unui laptop și măsoară cu rigla lățimea copertei, a paginii de bază și distanța dintre marginile lor libere. Calculează unghiul de deschidere pentru trei poziții și verifică apoi că, atunci când distanța dintre margini crește, unghiul crește și el.
3. Construcția cu cercuri, în program. Într-un program de geometrie dinamică, construiește triunghiul din Exemplul 2 fără să folosești vreun unghi: fixează latura de $15$, apoi desenează cercurile cu centrele în capetele ei și razele de $7$ și de $10$; un punct de intersecție este al treilea vârf. Măsoară unghiul cel mai mare cu instrumentul de unghiuri și compară-l cu valoarea calculată în lecție.

Pentru părinți și profesori

La profilul științe ale naturii, lecția acoperă direct activitatea din programă care cere determinarea măsurii unui unghi când se cunosc lungimile laturilor triunghiului. Accentul cade pe trei deprinderi: alegerea laturii scăzute la numărător, citirea felului unghiului din semn și trecerea la unghi fără pierderi de precizie. Pentru elevii de la științe, drumul „de la lungimi la unghi” are și un sens practic direct, în biomecanică, în topografia unui teren de cercetare sau în laborator, unde lungimile se măsoară mult mai ușor decât unghiurile. Întrebări utile de control: „Care latură se scade când calculezi $\cos B$?”; „De ce numitorul nu poate fi negativ?”; „Cum afli sinusul fără să afli unghiul?”. Semnele de înțelegere: elevul calculează întâi unghiul opus laturii celei mai lungi, lucrează cu fracții exacte și rotunjește numai la final, iar în problemele din științe spune ce presupune modelul. Pentru reluarea tehnicii din lecția precedentă se poate folosi teorema cosinusului pentru a treia latură, la M2, iar pentru proprietatea laturilor proporționale, criteriile de asemănare a triunghiurilor, din clasa a VII-a.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, care cere explicit determinarea măsurii unui unghi al triunghiului din lungimile laturilor; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”, iar din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde teorema cosinusului și rezolvarea triunghiurilor oarecare. Modelul oficial din 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, fără aflarea unui unghi din laturi; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: teorema cosinusului, aflarea unghiurilor din laturi este găzduită la clasa a X-a. Pe traseul M2, după această lecție urmează natura unui triunghi din lungimile laturilor, la M2, iar exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Ce este diferit la aflarea unghiurilor în varianta M2 față de M1?

La științe ale naturii, lecția vine în clasa a IX-a, iar unghiurile exacte se scriu în radiani, ca în cerințele de tip bacalaureat M2. Accentul cade pe calculul sinusului direct din laturi, pe relațiile dintre laturi care fixează un unghi și pe modele din biomecanică și sport. La mate-info, tema este în clasa a X-a.

La ce subiect al bacalaureatului M2 apare aflarea unui unghi din laturi?

Programa de examen pentru 2027–2029 cuprinde teorema cosinusului și rezolvarea triunghiurilor oarecare, deci un unghi aflat din laturi poate apărea într-o cerință de geometrie. Modelul oficial din 2026 are o singură cerință de trigonometrie, la Subiectul I, într-un triunghi dreptunghic. Exercițiile marcate aici au forma unei cerințe scurte, „arătați că”.

De ce se lucrează cu pătratele laturilor și nu cu laturile?

Pentru că formula conține pătratele. Când o latură are radical, pătratul ei este de obicei un număr întreg, iar calculul devine mai simplu. Scrie întâi lista celor trei pătrate, apoi fracția. Laturile propriu-zise apar doar la numitor, în produsul celor două laturi care formează unghiul căutat, și tot de acolo vine, de obicei, radicalul din rezultat.

Pot afla sinusul unui unghi dacă știu doar laturile?

Da, fără să afli unghiul. Calculezi cosinusul ca fracție exactă, apoi sinusul din formula fundamentală, cu semnul plus, fiindcă orice unghi de triunghi are sinusul pozitiv. Drumul păstrează radicalii și evită aproximările, iar sinusul exact îți va folosi la teorema sinusurilor și la aria triunghiului.

Ce înseamnă dacă fracția cosinusului iese mai mică decât minus unu?

Înseamnă că cele trei lungimi nu închid un triunghi, iar calculul a fost făcut înaintea verificării existenței. Pentru lungimile $3$, $4$ și $8$, fracția pentru unghiul opus lui $8$ dă $-\frac{13}{8}$, imposibil pentru un cosinus, pentru că $3+4<8$. Existența se verifică întâi, ca în lecția despre natura unui triunghi la M2.

De ce laturile proporționale dau aceleași unghiuri?

Dacă înmulțești toate laturile cu același număr, pătratele lor se înmulțesc cu pătratul acelui număr, la fel și produsul de la numitor. Factorul se simplifică, iar cosinusul rămâne neschimbat. Triunghiurile obținute sunt asemenea, deci au aceleași unghiuri. De aceea poți lucra cu cele mai mici numere care păstrează proporția.