Condiții de progresie și intercalarea termenilor (M2, științe ale naturii)

O șină de cale ferată din oțel are $25$ m la $0$ °C și se alungește cu $12$ mm până la $40$ °C. Inginerul care verifică rosturile dintre șine vrea să știe lungimea ei și la $10$ °C, $20$ °C și $30$ °C, știind că alungirea crește uniform cu temperatura. Problema cere să așezi numere între două valori date, încât lista întreagă să devină o progresie — operația se numește intercalare și este subiectul acestei lecții din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2), alături de condiția ca mai multe numere să fie în progresie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema nu apare ca atare: programa nouă cere progresiile, în domeniul „Algebră”, prin termenul general și sumă. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține condiția ca n numere, pentru n ≥ 3, să fie în progresie.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Criteriul pentru trei termeni consecutivi vine din lecția caracterizarea progresiilor prin trei termeni, iar formulele cu care calculăm rația vin din termenul general al progresiei aritmetice și din termenul general al progresiei geometrice. Pentru rădăcinile unei ecuații de forma $q^2=a$, reia lecția de clasa a VII-a despre rădăcina pătrată și modul.

Ce vei învăța

• Vei ști să formulezi condiția ca n numere, cu n ≥ 3, să fie, în ordinea dată, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sau geometrice.
• Vei ști să numeri condițiile: câte diferențe, câte relații între trei termeni și de ce trebuie verificate toate.
• Vei ști să rezolvi probleme în care numerele conțin o necunoscută și trebuie îndeplinite mai multe condiții deodată.
• Vei ști să intercalezi $k$ termeni între două valori cunoscute, în progresie aritmetică, cu rația $\frac{B-A}{k+1}$.
• Vei ști să intercalezi numere în progresie geometrică și să discuți câte soluții există, după paritatea exponentului și după semn.
• Vei ști să afli câte numere trebuie intercalate pentru o rație dată și să recunoști când intercalarea este imposibilă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce condiție verifică n numere în progresie aritmetică?

Condiția de progresie aritmetică pentru n numere este egalitatea tuturor diferențelor dintre vecini: lista $a_1,a_2,\dots ,a_n$, cu $n\ge 3$, citită în ordinea dată, formează o progresie aritmetică atunci când $a_2-a_1=a_3-a_2=\dots =a_n-a_{n-1}$. Sunt $n-1$ diferențe, iar ca să fie toate egale scrii $n-2$ egalități — fiecare leagă o diferență de următoarea.

Fiecare dintre aceste egalități privește trei termeni vecini și se poate scrie, ca în lecția precedentă, sub forma $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$, pentru $k$ de la $2$ la $n-1$. Așadar condiția pentru $n$ numere este o listă de $n-2$ relații de medie, legate prin „și”: termenul al doilea este media vecinilor lui, al treilea la fel, și tot așa până la penultimul. Primul și ultimul nu au doi vecini, deci nu apar în mijlocul niciunei relații.

Numărătoarea contează în practică. Pentru patru numere scrii două relații, pentru șase numere scrii patru. Nu contează dacă verifici prin diferențe sau prin relațiile de medie: ambele drumuri cer exact aceeași informație, iar alegerea ține de comoditate. Diferențele sunt mai rapide când numerele sunt date; relațiile de medie sunt mai comode când termenii conțin o necunoscută, fiindcă fiecare dă direct o ecuație. Dacă scrii mai puține, ai verificat doar o parte din listă; dacă ai scrie și relații între termeni care nu sunt vecini, ai adăuga condiții care nu sunt necesare.

2. Și pentru progresia geometrică?

Condiția are aceeași structură, cu o precauție în plus. O listă de numere nenule $b_1,b_2,\dots ,b_n$, cu $n\ge 3$, citită în ordinea dată, formează o progresie geometrică atunci când toate rapoartele dintre vecini sunt egale, adică atunci când $b_k^2=b_{k-1}{b}_{k+1}$ pentru $k$ de la $2$ la $n-1$. Tot $n-2$ relații, plus verificarea că niciun număr nu este zero.

Condiția de nenulitate se verifică o singură dată, pentru toată lista, dar nu poate lipsi: o relație pătratică poate fi adevărată și cu zerouri, cum ai văzut în lecția precedentă. În practică, când numerele conțin o necunoscută, rezolvi relațiile, apoi elimini valorile care anulează vreun termen.

3. De ce nu ajunge o parte din condiții?

Pentru că relațiile se referă la triplete diferite. Numerele $1,5$; $4$; $6,5$; $9,5$ trec prima verificare, $2\cdot 4=1,5+6,5$, dar nu și pe a doua: $2\cdot 6,5=13$, pe când $4+9,5=13,5$. Primele trei sunt în progresie aritmetică, lista întreagă nu este.

Când numerele conțin o necunoscută, fiecare relație devine o ecuație, iar lista de relații devine un sistem. O valoare a necunoscutei este bună numai dacă verifică toate ecuațiile. Se poate întâmpla ca prima ecuație să aibă o soluție, iar a doua alta: atunci nu există nicio valoare care să facă din listă o progresie. De aceea, după ce rezolvi, înlocuiești soluția în toate numerele și calculezi toate diferențele sau toate rapoartele.

4. Ce înseamnă să intercalezi termeni?

A intercala $k$ numere între $A$ și $B$ înseamnă a găsi $k$ numere care, așezate între $A$ și $B$, formează împreună cu ele o progresie: $A$ este primul termen, $B$ este ultimul, iar lista are $k+2$ termeni. Între $A$ și $B$ sunt, deci, $k+1$ pași de la un termen la următorul, nu $k$.

Numărătoarea pașilor e locul unde se greșește cel mai des. Dacă între două repere de pe o riglă se trasează trei repere noi, apar patru intervale, nu trei. Formula termenului general din lecțiile de bază leagă exact aceste mărimi: ultimul termen se obține din primul după $k+1$ pași.

5. Cum afli rația la intercalarea aritmetică?

Ultimul termen este $B=A+(k+1)r$, deci $$r=\frac{B-A}{k+1}.$$ Soluția există întotdeauna și este unică: pentru orice $A$, $B$ și orice $k$ natural nenul găsești o singură rație. Dacă $B>A$, rația e pozitivă și termenii cresc; dacă $B<A$, rația e negativă. Termenii intercalați sunt $A+r$, $A+2r$, …, $A+kr$.

Formula are o interpretare simplă: diferența totală $B-A$ se împarte în $k+1$ bucăți egale. Pe o axă, termenii intercalați împart segmentul de la $A$ la $B$ în $k+1$ segmente egale — de aceea intercalarea aritmetică apare peste tot unde o mărime variază uniform între două valori măsurate.

6. Cum afli rația la intercalarea geometrică?

Aici $A$ și $B$ trebuie să fie nenule, iar ultimul termen este $B=A{q}^{k+1}$, deci $$q^{k+1}=\frac{B}{A}.$$ Numărul soluțiilor reale depinde de exponentul $k+1$. Dacă exponentul este impar, ecuația are exact o soluție reală, oricare ar fi semnul raportului $\frac{B}{A}$. Dacă exponentul este par și raportul e pozitiv, există două soluții, opuse: o rație pozitivă și una negativă. Dacă exponentul este par și raportul e negativ, nu există nicio soluție reală, deci intercalarea e imposibilă.

Regula se înțelege din semne. O putere pară a unui număr real nu poate fi negativă, deci la exponent par $A$ și $B$ trebuie să aibă același semn. La exponent impar semnul se păstrează, așa că un raport negativ cere pur și simplu o rație negativă.

Mai rămâne o observație practică: rația nu iese întotdeauna un număr rațional. Dacă trei panouri fonoabsorbante identice, puse unul după altul, reduc intensitatea unui sunet de la $100$ la $10$ unități, fiecare panou o înmulțește cu același factor $q$, iar $q^3=\frac{1}{10}$. Rația este inversul rădăcinii cubice a lui $10$, aproximativ $0,464$; o afli cu calculatorul și rotunjești abia la sfârșit.

7. Câte numere se pot intercala pentru o rație dată?

Uneori se cunoaște rația și se cere numărul termenilor. La progresia aritmetică, din $B-A=(k+1)r$ rezultă $k+1=\frac{B-A}{r}$; intercalarea e posibilă numai dacă acest raport este un număr natural mai mare sau egal cu $2$. La progresia geometrică, trebuie ca $\frac{B}{A}$ să fie o putere a rației, cu exponent natural.

Dacă raportul nu iese natural, răspunsul corect este „nu se poate”, nu o valoare rotunjită. Un număr de termeni este întotdeauna natural, iar o rotunjire ar strica exact condiția de la care am pornit: ultimul termen n-ar mai fi $B$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cinci numere, trei relații

Verificați dacă lista $2,4$; $1,1$; $-0,2$; $-1,5$; $-2,8$, citită în ordinea dată, are diferențe constante.

Rezolvare. Sunt cinci numere, deci scriem trei relații. Primul triplet: $2\cdot 1,1=2,2=2,4+(-0,2)$. Al doilea: $2\cdot (-0,2)=-0,4=1,1+(-1,5)$. Al treilea: $2\cdot (-1,5)=-3=-0,2+(-2,8)$.

Toate trei au loc: lista are diferențe constante, iar rația este $1,1-2,4=-1,3$. Observă că n-am comparat primul termen cu al patrulea sau cu al cincilea: relațiile privesc numai vecini.

Exemplul 2 — Două condiții, o singură necunoscută

Determinați numărul real $x$ pentru care lista $x$, $3x+3$, $7x-2$, $x^2+21$, luată în ordinea dată, formează o progresie aritmetică.

Rezolvare. Prima relație, pentru primele trei numere: $2(3x+3)=x+7x-2$, adică $6x+6=8x-2$, deci $x=4$. A doua relație, pentru ultimele trei: $2(7x-2)=3x+3+x^2+21$, adică $x^2-11x+28=0$, sau $(x-4)(x-7)=0$, cu soluțiile $x=4$ și $x=7$.

Valoarea comună celor două ecuații este $x=4$: numerele devin $4$, $15$, $26$, $37$, cu rația $11$. Valoarea $x=7$ verifică doar a doua relație — pentru ea lista este $7$, $24$, $47$, $70$, cu diferențele $17$, $23$, $23$ — și se respinge.

Exemplul 3 — Șina care se dilată

O șină de oțel are lungimea de $25000$ mm la $0$ °C și de $25012$ mm la $40$ °C. Presupunând că lungimea crește uniform cu temperatura, aflați lungimile ei la $10$ °C, $20$ °C și $30$ °C.

Rezolvare. Temperaturile sunt egal depărtate, câte $10$ °C, deci lungimile formează o progresie aritmetică în care intercalăm $k=3$ termeni între $25000$ și $25012$. Rația este $r=\frac{25012-25000}{3+1}=3$ mm la fiecare $10$ °C. Lungimile cerute sunt $25003$ mm, $25006$ mm și $25009$ mm.

Alungirea relativă este de $3$ mm la $25$ m pentru fiecare $10$ °C, adică $0,000012$ pe grad, valoarea obișnuită pentru oțel. Modelul liniar e bun pe un interval de temperaturi obișnuit; de aceea, între șine se lasă rosturi de câțiva milimetri.

Exemplul 4 — Exponent par, două progresii

Intercalați trei numere între $3$ și $12$, încât lista de cinci numere să fie o progresie geometrică.

Rezolvare. Avem $k=3$, deci $q^4=\frac{12}{3}=4$. Exponentul este par și raportul e pozitiv, deci există două rații: din $q^4=4$ rezultă $q^2=2$ (a doua posibilitate, $q^2=-2$, nu are soluții reale), deci $q=\sqrt{2}$ sau $q=-\sqrt{2}$.

Cu $q=\sqrt{2}$ obținem $3$, $3\sqrt{2}$, $6$, $6\sqrt{2}$, $12$. Cu $q=-\sqrt{2}$ obținem $3$, $-3\sqrt{2}$, $6$, $-6\sqrt{2}$, $12$. Termenul din mijloc, $6$, este același în ambele liste: el este media geometrică pozitivă a capetelor, fiindcă e despărțit de fiecare capăt prin doi pași.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: „semne diferite, deci imposibil”

Un elev afirmă: „Între $8$ și $-343$ nu se pot intercala termeni în progresie geometrică, fiindcă au semne diferite.” Arătați pentru ce număr de termeni intercalați are dreptate și pentru ce număr greșește.

Rezolvare. Pentru un singur termen intercalat, pătratul rației ar trebui să fie $-\frac{343}{8}$, un număr negativ, ceea ce e imposibil: aici elevul are dreptate. Pentru doi termeni, însă, $q^3=-\frac{343}{8}$, cu exponent impar, deci $q=-\frac{7}{2}$. Termenii intercalați sunt $8\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)=-28$ și $-28\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)=98$, iar lista $8$, $-28$, $98$, $-343$ este o progresie geometrică.

Greșeala elevului este că a transformat o regulă valabilă la exponent par într-una generală. Semnele diferite ale capetelor împiedică doar intercalarea unui număr impar de termeni.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $-9$, $x$, $y$, $21$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. b) Câte numere trebuie intercalate între $-9$ și $21$ pentru ca progresia aritmetică obținută să aibă rația $2$?

Rezolvare. a) Între $-9$ și $21$ sunt trei pași, deci $r=\frac{21-(-9)}{3}=10$. Rezultă $x=1$ și $y=11$. Verificare: $2\cdot 1=-9+11$ și $2\cdot 11=1+21$.

b) Din $21-(-9)=(k+1)\cdot 2$ rezultă $k+1=15$, deci trebuie intercalate $k=14$ numere.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi câți termeni are lista completă și câți pași sunt între primul și ultimul termen. La progresiile geometrice, verifică exponentul și semnul raportului înainte să scrii rația.

1. Verifică, scriind toate relațiile, dacă lista $1029$, $294$, $84$, $24$ are rapoarte egale între vecini.

2. O listă de $12$ numere ar trebui să formeze o progresie aritmetică. Câte relații de forma $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$ scrii ca s-o verifici? Câte diferențe dintre vecini se compară?

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Intercalați patru numere între $0,5$ și $3,75$, încât cele șase numere să formeze, în această ordine, o progresie aritmetică.

4. Într-un experiment, apa oxigenată se descompune în prezența unui catalizator, iar masa de apă oxigenată rămasă nedescompusă se înmulțește cu același factor în intervale de timp egale. Se cântărește această masă la patru momente egal depărtate: la primul este de $2000$ mg, iar la ultimul de $54$ mg. Află masele de la al doilea și de la al treilea moment și factorul.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Între $2$ și $7$ se pot intercala trei numere pozitive, iar cele cinci numere formează atunci o progresie geometrică.”

6. Intercalează cinci numere între $64$ și $729$, încât cele șapte numere să aibă rapoarte egale între vecini. Scrie toate soluțiile. Are termenul din mijloc al listei aceeași valoare în toate soluțiile?

7. Între $32$ și $1250$ se intercalează întâi un singur număr pozitiv, astfel încât cele trei numere să fie în progresie geometrică. Apoi, între oricare doi vecini ai listei obținute se mai intercalează câte un număr pozitiv, încât toate cele cinci numere să formeze tot o progresie geometrică. Scrie cele două liste și compară rațiile lor.

8. Între $3$ și $768$ s-au intercalat numere, iar lista obținută este o progresie geometrică cu rația $2$. Câte numere s-au intercalat?

9. Determină numerele pozitive $x$ și $y$ pentru care $2$, $x$, $24,5$, $y$ formează, în această ordine, o progresie geometrică.

10. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de laborator, numărul de dafnii (purici de apă) crește în fiecare săptămână cu același factor. La început sunt $10000$ de exemplare, iar după $4$ săptămâni sunt $28561$. Câte dafnii sunt după $1$, $2$ și $3$ săptămâni?

11. Determină numerele $x$ și $y$ pentru care $125$, $x$, $y$, $1331$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

12. Lista $4$, $a$, $b$, $c$, $34$ formează, în această ordine, o progresie aritmetică. Calculează $a+b+c$ fără să afli fiecare număr, apoi verifică.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $-13$, $-1$, $11$ și $23$, în această ordine, formează o progresie aritmetică.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Intercalați două numere între $1$ și $1000$, încât cele patru numere să formeze, în această ordine, o progresie geometrică.

15. Între $10$ și $40$ se intercalează numere în progresie aritmetică. Poate rația să fie $7$? Dar $6$? Pentru rația posibilă, câte numere se intercalează?

16. Câte progresii geometrice reale au cinci termeni, primul egal cu $1$ și ultimul egal cu $16$? Dar cu primul $1$ și ultimul $-16$?

17. Între $0$ și $1$ se intercalează $k$ numere în progresie aritmetică. Scrie rația în funcție de $k$ și calculează al doilea termen al progresiei pentru $k=9$.

18. (Provocare.) Între $2$ și $1458$ se intercalează $k$ numere, cu $k\ge 1$, iar lista obținută este o progresie geometrică cu rație număr întreg. Găsește toate valorile posibile ale lui $k$ și rațiile corespunzătoare.

Răspunsuri și explicații

1. Toate numerele sunt nenule. Relațiile: $294^2=86436=1029\cdot 84$ și $84^2=7056=294\cdot 24$. Ambele au loc, deci numerele sunt în progresie geometrică, cu rația $\frac{294}{1029}=\frac{2}{7}$.

2. Pentru $12$ numere sunt $12-2=10$ relații de medie, câte una pentru fiecare termen care are doi vecini (de la al doilea la al unsprezecelea). Diferențele dintre vecini sunt $11$, iar egalitatea lor înseamnă tot $10$ egalități.

3. Lista are șase termeni, deci cinci pași: $r=\frac{3,75-0,5}{5}=0,65$. Numerele intercalate sunt $1,15$; $1,8$; $2,45$; $3,1$. Verificare: $3,1+0,65=3,75$.

4. Valorile formează o progresie geometrică cu patru termeni, deci $q^3=\frac{54}{2000}=\frac{27}{1000}$ și $q=\frac{3}{10}$, singura soluție reală (exponent impar). Al doilea moment: $2000\cdot 0,3=600$ mg; al treilea: $600\cdot 0,3=180$ mg; apoi $180\cdot 0,3=54$ mg. De la o măsurătoare la următoarea rămâne nedescompusă $30\%$ din apa oxigenată.

5. Adevărat. Cinci termeni înseamnă patru pași, deci $q^4=\frac{7}{2}$. Raportul e pozitiv, iar exponentul par dă două rații reale opuse; cea pozitivă, aproximativ $1,37$, face toți termenii pozitivi. Rația nu este un număr rațional, dar asta nu împiedică intercalarea: termenul din mijloc este exact $2q^2=2\sqrt{3,5}=\sqrt{14}$, adică media geometrică a capetelor.

6. Lista are șapte termeni, deci șase pași: $q^6=\frac{729}{64}={\left(\frac{3}{2}\right)}^6$. Exponentul e par și raportul pozitiv, deci $q=\frac{3}{2}$ sau $q=-\frac{3}{2}$. Soluțiile: $64$, $96$, $144$, $216$, $324$, $486$, $729$ și $64$, $-96$, $144$, $-216$, $324$, $-486$, $729$. Termenul din mijloc nu mai este același: el este $216$ într-o listă și $-216$ în cealaltă, fiindcă e despărțit de capete prin trei pași, un număr impar. Dintre numerele intercalate, coincid doar cele aflate la un număr par de pași de primul termen: $144$ și $324$.

7. Prima intercalare are doi pași: $q^2=\frac{1250}{32}=\frac{625}{16}$, iar rația pozitivă este $q=\frac{25}{4}$; lista este $32$, $200$, $1250$. Lista finală are cinci termeni, deci patru pași între aceleași capete: $p^4=\frac{625}{16}$ și $p=\frac{5}{2}$; lista este $32$, $80$, $200$, $500$, $1250$. Numărul $200$ rămâne pe loc, iar $q=p^2$: fiecare pas vechi s-a împărțit în doi pași noi, egali ca raport.

8. $\frac{768}{3}=256=2^8$, deci de la $3$ la $768$ sunt $8$ pași de înmulțire cu $2$. Lista are $9$ termeni, deci s-au intercalat $7$ numere.

9. De la $2$ la $24,5$ sunt doi pași, deci $q^2=\frac{24,5}{2}=12,25$, iar rația pozitivă este $3,5$ (cea negativă ar face $x$ negativ). Rezultă $x=7$ și $y=24,5\cdot 3,5=85,75$. Verificare: $7^2=49=2\cdot 24,5$.

10. Numărul de dafnii din săptămână în săptămână formează o progresie geometrică, deci $q^4=\frac{28561}{10000}=2,8561$. Rațiile reale sunt $1,3$ și $-1,3$, dar un număr de animale nu poate fi negativ, deci $q=1,3$. După $1$, $2$ și $3$ săptămâni sunt $13000$, $16900$ și $21970$ de dafnii. Modelul presupune aceeași creștere relativă în fiecare săptămână, fără limită de hrană.

11. $q^3=\frac{1331}{125}$, deci $q=\frac{11}{5}$. Atunci $x=125\cdot \frac{11}{5}=275$ și $y=275\cdot \frac{11}{5}=605$. Verificare: $605\cdot \frac{11}{5}=1331$.

12. Termenul din mijloc, $b$, este media capetelor: $b=\frac{4+34}{2}=19$, iar $a+c=2b$, deci $a+b+c=3b=57$. Verificare: rația este $\frac{34-4}{4}=7,5$, iar numerele sunt $11,5$; $19$; $26,5$, cu suma $57$.

13. Diferențele dintre vecini sunt $-1-(-13)=12$, $11-(-1)=12$ și $23-11=12$, toate egale; lista este o progresie aritmetică, cu rația $12$.

14. Lista are patru termeni, deci $q^3=\frac{1000}{1}=1000$ și $q=10$. Numerele intercalate sunt $10$ și $100$.

15. Trebuie ca $\frac{40-10}{r}$ să fie un număr natural de pași. Pentru $r=7$ se obține $\frac{30}{7}$, care nu e natural, deci rația $7$ nu este posibilă. Pentru $r=6$ se obțin $5$ pași, deci lista are $6$ termeni și se intercalează $4$ numere.

16. Cinci termeni înseamnă patru pași. Pentru primul $1$ și ultimul $16$: $q^4=16$, cu soluțiile $q=2$ și $q=-2$, deci două progresii. Pentru ultimul $-16$: $q^4=-16$ nu are soluții reale, deci nicio progresie.

17. Lista are $k+2$ termeni, deci $k+1$ pași, iar $r=\frac{1-0}{k+1}=\frac{1}{k+1}$. Pentru $k=9$, rația este $\frac{1}{10}$, iar al doilea termen este $0+\frac{1}{10}=0,1$.

18. Trebuie ca $q^{k+1}=\frac{1458}{2}=729=3^6$, cu $q$ întreg și $k+1\ge 2$. Scrierile lui $729$ ca putere cu exponent cel puțin $2$ sunt $3^6$, $9^3$, $27^2$ și, cu baze negative, $(-3{)}^6$ și $(-27{)}^2$. Rezultă $k=5$ (cu $q=3$ sau $q=-3$), $k=2$ (cu $q=9$) și $k=1$ (cu $q=27$ sau $q=-27$).

De reținut

• Numerele $a_1,\dots ,a_n$, cu $n\ge 3$, sunt în progresie aritmetică când cele $n-1$ diferențe dintre vecini sunt egale, adică atunci când au loc toate cele $n-2$ relații $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$.
• Numerele nenule $b_1,\dots ,b_n$ sunt în progresie geometrică când au loc toate cele $n-2$ relații $b_k^2=b_{k-1}{b}_{k+1}$; relațiile se leagă prin „și”, iar cu necunoscute formează un sistem.
• A intercala $k$ numere între $A$ și $B$ înseamnă a construi o progresie cu $k+2$ termeni și $k+1$ pași; în cazul aritmetic, $r=\frac{B-A}{k+1}$, cu soluție unică.
• În cazul geometric, $q^{k+1}=\frac{B}{A}$: exponent impar — o singură rație; exponent par și raport pozitiv — două rații opuse; exponent par și raport negativ — nicio rație.
• Pentru o rație dată, numărul de pași este $\frac{B-A}{r}$ la progresia aritmetică; dacă nu iese natural, intercalarea e imposibilă, fără nicio rotunjire.

Greșeli frecvente

• Numărul de pași confundat cu numărul termenilor intercalați. Trei repere noi între două existente creează patru intervale. În formulă apare $k+1$, nu $k$; o rație calculată cu $k$ face ca ultimul termen să nu mai fie $B$.
• Rația calculată cu capetele inversate. Lista merge de la $A$ la $B$, deci rația aritmetică este $\frac{B-A}{k+1}$, nu $\frac{A-B}{k+1}$. Cu semnul schimbat, termenii intercalați pleacă în direcția opusă, iar ultimul nu mai iese $B$ — verificarea de la final prinde greșeala imediat.
• Termenii geometrici obținuți adunând rația. După ce ai aflat $q$, termenul următor se obține înmulțind cu $q$, nu adunând: pornind de la $4$ cu rația $2,5$ urmează $10$, nu $6,5$. Confuzia apare când, în aceeași temă, s-au rezolvat înainte intercalări aritmetice.
• Imposibilitatea extinsă la orice număr de termeni. Capete de semne diferite exclud intercalarea unui număr impar de termeni, nu și a unui număr par. Uită-te la exponent înainte să tragi concluzia.
• Numărul de termeni rotunjit. Dacă $\frac{B-A}{r}$ iese $4,3$, nu se intercalează „aproximativ trei numere”: intercalarea cu acea rație nu există, iar răspunsul se formulează ca atare.

Aplică acasă

1. Gradațiile unei rigle improvizate. Pe o bandă de hârtie lungă de $20$ cm marchează capetele cu $0$ și $20$. Intercalează $9$ marcaje egal depărtate și calculează unde cade fiecare, apoi verifică cu rigla. Repetă cu $6$ marcaje și observă când pozițiile nu mai sunt numere întregi de centimetri.

2. Treptele ISO ale camerei. Deschide modul manual (profesional) al camerei unui telefon și notează valorile de sensibilitate ISO pe care le oferă între $100$ și $200$, apoi între $200$ și $400$. Calculează ce numere ai obține intercalând același număr de termeni în progresie geometrică și compară-le cu valorile afișate de cameră. Explică de ce producătorii au ales rapoarte egale, nu diferențe egale.

3. Planul de antrenament. Un alergător vrea să treacă de la $2$ km în prima zi la $5$ km în a opta zi. Intercalează distanțele zilelor intermediare o dată cu creștere constantă și o dată cu creștere procentuală constantă (rația o afli cu calculatorul). Compară cele două planuri în ziua a patra și spune care e mai prudent la început.

Pentru părinți și profesori

Lecția generalizează criteriul pentru trei termeni la liste de orice lungime și îl aplică la o problemă concretă: completarea unei progresii între două valori cunoscute. Pentru elevul de științe, intercalarea este un calcul foarte des întâlnit — o mărime care variază uniform între două măsurători, o substanță care se descompune cu același factor în intervale egale, o creștere cu factor constant —, iar discuția despre numărul de soluții la progresia geometrică îl obligă să lege algebra de semne și de paritate.

De urmărit în caiet: numărul de pași scris explicit înainte de formulă; toate relațiile scrise când lista are mai mult de trei termeni; discuția exponentului și a semnului la intercalarea geometrică; respingerea motivată a rației negative în contextele fizice. Întrebări de control: „Câte intervale apar dacă intercalezi cinci numere?”; „De ce între un număr pozitiv și unul negativ se pot intercala două numere, dar nu unul?”; „Ce faci dacă numărul de pași nu iese natural?”. Semn că elevul a înțeles: verifică la final că ultimul termen calculat este chiar $B$.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul de șiruri al clasei a IX-a, „condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3”; intercalarea este aplicarea ei directă, prin formula termenului general. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, cere progresiile prin termenul general și prin sumă, fără această condiție. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre progresii, iar exercițiile marcate aici sunt antrenament în limitele programei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 progresiile aparțin domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Lecția pereche de la mate-info (M1) mai conține o identitate algebrică generală și aplicațiile ei, care nu intră în programa M2; aici ea nu apare.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: condiția de progresie pentru n numere la mate-info (M1). Exercițiile unității se reiau împreună în testul suplimentului pentru mulțimi și șiruri.

Întrebări frecvente

De ce se numără pașii, nu termenii intercalați? Pentru că rația se schimbă o dată la fiecare pas, adică la trecerea de la un termen la următorul. Dacă intercalezi $k$ numere între $A$ și $B$, drumul are $k+1$ pași, iar diferența sau raportul capetelor se împarte în atâtea bucăți egale. Numărând termenii în loc de pași, ultimul termen calculat nu mai iese $B$.

Pot intercala termeni în progresie geometrică dacă un capăt este zero? Nu. Dacă primul termen este $0$, orice înmulțire cu rația dă tot $0$, deci ultimul termen nu poate fi un număr nenul. Dacă ultimul este $0$, iar primul nu, ecuația $q^{k+1}=\frac{B}{A}$ cere $q=0$, dar rația unei progresii geometrice este nenulă. La progresia aritmetică, un capăt egal cu zero nu ridică nicio problemă.

Ce legătură are intercalarea cu formula termenului general? Intercalarea este formula termenului general citită invers. Capătul $B$ este termenul de rang $k+2$ al progresiei care pornește din $A$, deci $B=A+(k+1)r$ sau $B=A{q}^{k+1}$. Din această egalitate afli rația, iar apoi termenii intercalați se scriu direct, cu aceeași formulă, pentru rangurile de la $2$ la $k+1$.

Când este intercalarea geometrică imposibilă? Când exponentul $k+1$ este par și capetele au semne diferite: o putere pară nu poate fi negativă. Imposibilă este și intercalarea cu o rație dată atunci când raportul capetelor nu este o putere a rației cu exponent natural. La progresia aritmetică, în schimb, intercalarea unui număr fixat de termeni este mereu posibilă.

Ce diferă lecția de M2 față de cea de mate-info (M1)? Ambele predau condiția pentru $n$ numere și intercalarea. Lecția de mate-info continuă cu o identitate algebrică generală, cu demonstrația ei și cu aplicații de divizibilitate, care nu fac parte din programa M2. Aici, în locul lor, lucrăm cu probleme cu mai multe condiții simultane și cu modele din științe: dilatarea unei șine, descompunerea apei oxigenate, populații de organisme.

La ce subiect apare condiția de progresie la bacalaureatul M2? Programa de examen M_șt-nat pentru 2027–2029 cere condiția ca $n$ numere să fie în progresie, pentru $n\ge 3$, fără să precizeze subiectul. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerințele scurte de la Subiectul I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a și nu conțin progresii. Exercițiile marcate în lecție sunt antrenament în limitele programei.