Șiruri: moduri de definire și recurență (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un tehnician care întreține o piscină nu calculează concentrația de clor pentru ziua a treizecea dintr-o formulă: el știe doar ce se întâmplă de la o zi la alta — soarele distruge o parte din clorul din apă, iar pompa de dozare adaugă o cantitate fixă. Regula aceasta, „valoarea de mâine se obține din valoarea de azi”, definește un șir la fel de bine ca o formulă. Lecția face parte din traseul de clasa a IX-a pentru profilul științe ale naturii (M2) și arată în câte feluri poate fi dat un șir și cum treci de la un fel la altul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema nu apare ca atare: din capitolul de șiruri, programa nouă păstrează doar progresiile, în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține modalitățile de a defini un șir.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: modurile de a defini un șir, inclusiv recurența, sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28). Noțiunile de termen, rang și formulă a termenului general le ai din lecția șiruri: termen, rang și formulă; aici mergem mai departe, spre regulile care produc un termen din cei dinaintea lui. Când o formulă trebuie confirmată pentru orice rang, folosim metoda inducției matematice, iar primele regularități le-ai căutat încă din clasa a V-a, în lecția despre șiruri de numere naturale și regularități.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă că un șir este definit: există o regulă care fixează fără ambiguitate termenul de orice rang.
Vei ști să recunoști cele trei feluri în care se dă un șir — o propoziție în cuvinte, o expresie în $n$ și o regulă pas cu pas — și la ce folosește fiecare.
Vei ști să calculezi termenii unei recurențe de ordinul întâi și ai unei recurențe de ordinul al doilea, cu numărul corect de termeni inițiali.
Vei ști să obții o recurență dintr-o formulă dată și să verifici că o formulă propusă respectă o recurență.
Vei ști să găsești valoarea de echilibru a unei recurențe de forma $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ și s-o folosești ca să scrii formula termenului general.
Vei ști să reprezinți un șir prin puncte izolate și să citești o regulă de pe un asemenea grafic.

Hai să descoperim împreună

1. Când spunem că un șir este definit?

Un șir definit este un șir de numere reale pentru care avem o regulă care, la fiecare rang $n$ din mulțimea declarată ( $N^{*}$ sau $N$ ), fixează un singur număr real, termenul $a_{n}$ . Nu contează forma regulii — o formulă, o relație cu termenii anteriori sau o propoziție în cuvinte —, contează doar ca oricine o aplică să ajungă la același număr, pentru orice rang.

Din această cerință rezultă ce nu este o definiție: o listă de câțiva termeni urmată de puncte de suspensie sau un tabel de măsurători, care descrie numai rangurile măsurate. Lista și tabelul rămân utile: din ele ghicești regula, pe care apoi o scrii explicit.

În practică vei întâlni trei moduri de a da un șir infinit. Descrierea spune în cuvinte ce reprezintă termenul de rang $n$ . Formula termenului general exprimă direct $a_{n}$ cu ajutorul lui $n$ . Recurența dă unul sau mai mulți termeni de pornire și o relație prin care fiecare termen nou se obține din cei dinaintea lui. Același șir poate avea toate cele trei scrieri.

2. Cum poate o propoziție să definească un șir?

Luăm șirul în care $a_{n}$ este numărul de cifre ale lui $2^{n}$ . Primii zece termeni se obțin scriind puterile: $2$ , $4$ , $8$ au câte o cifră, $16$ , $32$ , $64$ au câte două, $128$ , $256$ , $512$ au câte trei, iar $1024$ are patru. Deci șirul începe cu $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $3$ , $4$ .

Definiția este corectă: pentru orice rang, puterea $2^{n}$ este un număr natural bine determinat, iar numărul lui de cifre este și el unul singur. Nu avem însă o formulă comodă, de felul celor de la progresii, care să dea direct $a_{50}$ ; ca să-l afli, trebuie să știi cât de mare este $2^{50}$ . Observă și un lucru pe care descrierea îl spune fără calcule: șirul nu scade niciodată, pentru că prin dublare un număr nu poate pierde cifre.

Termenii se repetă de trei ori, uneori de patru ori la rând, fără un tipar simplu. O regulă poate fi precisă fără să fie simplă — iar precizia este tot ce cere o definiție.

3. Ce este o recurență și de ce contează termenul de pornire?

O recurență de ordinul întâi este o relație de forma $u_{n + 1} = f (u_{n})$ — uneori cu $n$ prezent și în membrul drept —, însoțită de un termen inițial. Relația spune ce faci la fiecare pas; termenul inițial spune de unde pornești.

Cât de mult contează pornirea se vede pe o singură regulă, aplicată de două ori. Fie $v_{1} = 2$ și $v_{n + 1} = 3 v_{n} - 4$ . Atunci $v_{2} = 3 \cdot 2 - 4 = 2$ , apoi $v_{3} = 2$ și tot așa: șirul este constant. Cu aceeași regulă, dar pornind de la $3$ , adică $z_{1} = 3$ și $z_{n + 1} = 3 z_{n} - 4$ , obținem $z_{2} = 5$ , $z_{3} = 11$ , $z_{4} = 29$ , iar termenii fug tot mai departe.

Numărul $2$ are o proprietate specială pentru regula aceasta: dacă pui $2$ în regulă, primești tot $2$ . Un număr $L$ cu $L = f (L)$ se numește valoare de echilibru a recurenței. Pornind exact din echilibru, șirul stă pe loc; pornind din altă parte, se mișcă. Pentru a găsi echilibrul rezolvi ecuația $L = 3 L - 4$ , cu soluția $L = 2$ . Vei vedea mai jos că echilibrul este cheia formulei explicite la recurențele de forma $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ .

4. Ce se schimbă la o recurență de ordinul al doilea?

Unele reguli privesc înapoi doi pași. Fie $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 3$ și $t_{n + 2} = t_{n + 1} + 2 t_{n}$ . Ca să calculezi $t_{3}$ , ai nevoie de $t_{2}$ și de $t_{1}$ : $t_{3} = 3 + 2 \cdot 1 = 5$ . Apoi $t_{4} = 5 + 2 \cdot 3 = 11$ , $t_{5} = 11 + 2 \cdot 5 = 21$ și $t_{6} = 21 + 2 \cdot 11 = 43$ .

O astfel de relație se numește recurență de ordinul al doilea și are nevoie de doi termeni inițiali consecutivi. Unul singur nu ajunge: fără $t_{2}$ , nu ai cu ce calcula $t_{3}$ . Iar doi termeni care nu sunt consecutivi, de pildă primul și al treilea, nu ajung nici ei direct, fiindcă regula cere întotdeauna doi vecini. Regula de numărare este simplă: câți termeni din urmă privește relația, atâția termeni de pornire, vecini între ei, trebuie să primești.

Recurențele de ordinul al doilea nu au întotdeauna o formulă explicită ușor de ghicit. La M2 le folosim ca să calculăm termeni și ca să verificăm dacă o formulă dată le respectă: pui formula în locul termenilor și controlezi egalitatea pentru orice rang.

5. Cum obții o recurență dintr-o formulă?

Drumul acesta este mai scurt decât cel invers. Scrii $a_{n + 1}$ din formulă, apoi încerci să-l exprimi cu ajutorul lui $a_{n}$ , fără să mai apară $n$ în afara lui $a_{n}$ .

Fie $a_{n} = 2 \cdot 3^{n} - 5$ . Atunci $a_{n + 1} = 2 \cdot 3^{n + 1} - 5 = 3 \cdot 2 \cdot 3^{n} - 5$ . Din formula inițială, $2 \cdot 3^{n} = a_{n} + 5$ , deci $a_{n + 1} = 3 (a_{n} + 5) - 5 = 3 a_{n} + 10$ . Recurența completă este $a_{1} = 1$ și $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 10$ . Controlul pe termeni: $a_{2} = 13$ din formulă și $3 \cdot 1 + 10 = 13$ din recurență.

Ideea este să izolezi partea din formulă care se schimbă de la un rang la altul — aici puterea $3^{n}$ — și s-o înlocuiești cu o expresie în $a_{n}$ . Nu uita termenul inițial: fără $a_{1} = 1$ , recurența $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 10$ ar descrie o infinitate de șiruri.

6. Cum ajungi de la recurență la formulă?

Există două căi, și le folosim pe amândouă. Prima: calculezi câțiva termeni, ghicești o formulă, apoi o demonstrezi prin inducție, folosind recurența în pasul de la $k$ la $k + 1$ . A doua funcționează la recurențele de forma $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ , cu $q \neq = 1$ : te uiți la abaterea față de echilibru.

Fie $w_{1} = 7$ și $w_{n + 1} = 0, 4 w_{n} + 3$ . Echilibrul rezolvă $L = 0, 4 L + 3$ , adică $0, 6 L = 3$ și $L = 5$ . Scăzând $5$ din recurență, obținem $w_{n + 1} - 5 = 0, 4 w_{n} + 3 - 5 = 0, 4 (w_{n} - 5) .$ Abaterea $d_{n} = w_{n} - 5$ se înmulțește la fiecare pas cu $0, 4$ , deci formează o progresie geometrică, cu $d_{1} = 2$ . Formula termenului general al progresiei geometrice, din lecția despre termenul general al progresiei geometrice, dă $d_{n} = 2 \cdot 0, 4^{n - 1}$ , iar $w_{n} = 5 + 2 \cdot 0, 4^{n - 1} .$ Verificare: $w_{2} = 0, 4 \cdot 7 + 3 = 5, 8$ , iar formula dă $5 + 2 \cdot 0, 4 = 5, 8$ ; apoi $w_{3} = 5, 32$ și $w_{4} = 5, 128$ .

Sensul fizic e limpede: când la fiecare pas dispare o fracție fixă din „exces”, excesul scade geometric, iar mărimea se apropie de echilibru fără să-l depășească.

7. Cum se desenează un șir?

Un șir este o funcție definită pe numere naturale, deci graficul lui este format din puncte izolate $(n, a_{n})$ , câte unul deasupra fiecărui rang. Între două ranguri consecutive nu există niciun termen, așa că punctele nu se unesc: o linie continuă ar sugera valori la $n = 2, 5$ , care nu există.

Figura de mai jos arată primii trei termeni ai celor două șiruri cu aceeași regulă ca în secțiunea precedentă, $0, 4 \cdot (termenul curent) + 3$ , dar cu porniri diferite: cel din secțiunea 6 și șirul $y_{1} = 2$ , $y_{n + 1} = 0, 4 y_{n} + 3$ , cu $y_{2} = 3, 8$ , $y_{3} = 4, 52$ și $y_{4} = 4, 808$ . Primul coboară spre dreapta $y = 5$ , al doilea urcă spre ea; niciunul nu o atinge, fiindcă abaterea față de $5$ se înmulțește la fiecare pas cu $0, 4$ : devine tot mai mică, dar nu ajunge la zero.

Aceeași regulă, u ↦ 0,4·u + 3, cu două porniri: 7 (de sus) și 2 (de jos), primii trei termeni. Ambele șiruri se apropie de echilibrul L = 5, fără să-l atingă.

Graficul ajută la ghicit, nu la demonstrat: din el bănuiești echilibrul, iar calculul îl confirmă. Ne oprim la această observație, fiindcă noțiunea de limită a unui șir nu intră în programa de examen M2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la descriere la formulă, în fizică

Un corp cade liber, pornind din repaus, cu accelerația $g = 9, 8$ m/s². Se notează cu $d_{n}$ distanța, în metri, parcursă numai în a $n$ -a secundă a căderii (rezistența aerului se neglijează, iar modelul e valabil cât timp corpul nu atinge solul). Scrieți primii patru termeni și formula termenului general.

Rezolvare. Distanța parcursă în primele $n$ secunde este $\frac{g n ^{2}}{2} = 4, 9 n^{2}$ metri. Distanța din secunda a $n$ -a este diferența dintre distanța după $n$ secunde și cea după $n - 1$ secunde: $d_{n} = 4, 9 n^{2} - 4, 9 (n - 1)^{2} = 4, 9 (2 n - 1) = 9, 8 n - 4, 9.$ Primii termeni sunt $d_{1} = 4, 9$ , $d_{2} = 14, 7$ , $d_{3} = 24, 5$ și $d_{4} = 34, 3$ , toți în metri.

Șirul a fost dat prin descriere („distanța din secunda a $n$ -a”), iar formula a apărut din fizică, nu din ghicit. Diferența a doi termeni consecutivi este constantă, $9, 8$ m, deci șirul este o progresie aritmetică — observație pe care a făcut-o Galilei măsurând bile pe plan înclinat.

Exemplul 2 — O recurență cu echilibru: clorul din piscină

Într-o piscină, concentrația de clor liber este $1$ mg/L la începutul observațiilor. Peste zi, soarele distruge $30 %$ din clorul existent, iar noaptea pompa adaugă $0, 6$ mg/L. Notăm $c_{0} = 1$ și $c_{n}$ concentrația după $n$ zile, deci $c_{n + 1} = 0, 7 c_{n} + 0, 6$ . a) Calculați $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ . b) Găsiți valoarea de echilibru și formula lui $c_{n}$ .

Rezolvare. a) $c_{1} = 0, 7 \cdot 1 + 0, 6 = 1, 3$ , apoi $c_{2} = 0, 7 \cdot 1, 3 + 0, 6 = 1, 51$ și $c_{3} = 0, 7 \cdot 1, 51 + 0, 6 = 1, 657$ , toate în mg/L.

b) Echilibrul rezolvă $L = 0, 7 L + 0, 6$ , adică $0, 3 L = 0, 6$ și $L = 2$ mg/L. Abaterea $c_{n} - 2$ se înmulțește cu $0, 7$ la fiecare zi și pornește de la $c_{0} - 2 = - 1$ , deci $c_{n} - 2 = - 0, 7^{n}$ și $c_{n} = 2 - 0, 7^{n} .$ Control: pentru $n = 2$ , $2 - 0, 49 = 1, 51$ . Concentrația crește spre $2$ mg/L fără să-l depășească. Modelul presupune aceeași fracție distrusă în fiecare zi; o zi înnorată îl strică.

Exemplul 3 — Recurență de ordinul al doilea

Se consideră șirul definit prin $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1$ și $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 6 a_{n}$ , pentru $n \geq 1$ . a) Calculați termenii până la $a_{6}$ . b) Dacă s-ar fi dat numai primul și al treilea termen, s-ar mai fi putut calcula al patrulea? Ce avantaj au doi termeni inițiali consecutivi?

Rezolvare. a) $a_{3} = 1 + 6 \cdot 1 = 7$ , $a_{4} = 7 + 6 \cdot 1 = 13$ , $a_{5} = 13 + 6 \cdot 7 = 55$ și $a_{6} = 55 + 6 \cdot 13 = 133$ .

b) Pentru al patrulea termen regula cere al treilea și al doilea. Aici al doilea se poate reconstrui, fiindcă relația de la $n = 1$ leagă primii trei termeni: $7 - 6 \cdot 1 = 1$ . Cu o regulă în care termenul lipsă apare la pătrat, drumul înapoi ar putea da două valori sau niciuna. Doi termeni consecutivi pornesc calculul direct, fără nicio ecuație.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: rangul pus în locul greșit

Se consideră $a_{1} = 5$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 4 n$ . Un elev scrie: „ $a_{2} = a_{1} + 4 \cdot 2 = 13$ , $a_{3} = 13 + 4 \cdot 3 = 25$ .” Găsiți greșeala, calculați corect primii cinci termeni și verificați formula $a_{n} = 2 n^{2} - 2 n + 5$ .

Rezolvare. Relația $a_{n + 1} = a_{n} + 4 n$ produce termenul de rang $n + 1$ folosind rangul termenului anterior, $n$ . Pentru $a_{2}$ luăm $n = 1$ , deci $a_{2} = 5 + 4 = 9$ ; elevul a pus rangul termenului nou. Corect: $a_{3} = 9 + 8 = 17$ , $a_{4} = 17 + 12 = 29$ , $a_{5} = 29 + 16 = 45$ .

Formula dă $2 - 2 + 5 = 5$ pentru $n = 1$ , apoi $9$ , $17$ , $29$ , $45$ — aceleași valori. Pentru orice rang, $2 (k + 1)^{2} - 2 (k + 1) + 5 = 2 k^{2} + 2 k + 5 = (2 k^{2} - 2 k + 5) + 4 k$ , exact pasul din recurență, deci prin inducție formula este valabilă pentru orice $n \geq 1$ .

Exemplul 5 — Citește graficul

Figura de mai jos arată primii șase termeni ai unui șir: punctele alternează între două niveluri. Se știe că șirul verifică o recurență de forma $a_{n + 1} = s - a_{n}$ . a) Determinați $s$ . b) Scrieți termenul de rang $2027$ . c) Care este valoarea de echilibru a recurenței și de ce niciun punct nu stă pe dreapta ei?

Primii șase termeni ai șirului din Exemplul 5: valorile sar între două niveluri, iar linia punctată marchează echilibrul regulii.

Rezolvare. a) Din grafic, $a_{1} = 6$ și $a_{2} = - 2$ , deci $- 2 = s - 6$ și $s = 4$ . Recurența este $a_{1} = 6$ , $a_{n + 1} = 4 - a_{n}$ ; verificare: $a_{3} = 4 - (- 2) = 6$ , cum arată figura.

b) Aplicând regula de două ori revii de unde ai plecat: $a_{n + 2} = 4 - (4 - a_{n}) = a_{n}$ . Termenii de rang impar sunt egali cu $6$ , cei de rang par cu $- 2$ . Cum $2027$ este impar, $a_{2027} = 6$ .

c) Echilibrul rezolvă $L = 4 - L$ , deci $L = 2$ — linia punctată din figură. Punctele nu stau pe ea, pentru că șirul a pornit din $6$ , nu din $2$ ; ele sar mereu de pe o parte pe alta, la aceeași distanță, $4$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{n} = 3 \cdot 4^{n} + 5$ : a) determinați $a_{1}$ și $a_{2}$ ; b) arătați că $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 15$ , pentru orice $n \geq 1$ .

Rezolvare. a) $a_{1} = 3 \cdot 4 + 5 = 17$ și $a_{2} = 3 \cdot 16 + 5 = 53$ .

b) Calculăm separat cei doi membri. Membrul stâng: $a_{n + 1} = 3 \cdot 4^{n + 1} + 5 = 12 \cdot 4^{n} + 5$ . Membrul drept: $4 a_{n} - 15 = 4 (3 \cdot 4^{n} + 5) - 15 = 12 \cdot 4^{n} + 5$ . Cei doi membri sunt egali pentru orice $n \geq 1$ , ceea ce trebuia arătat. Control numeric: $4 \cdot 17 - 15 = 53 = a_{2}$ .

Să exersăm

Scrie de fiecare dată regula pe care o aplici și, la recurențe, rangul $n$ folosit la pasul respectiv. Un termen calculat greșit strică toți termenii de după el, așa că verifică fiecare pas înainte de a trece mai departe.

1. Calculează primii patru termeni ai șirului dat prin $x_{1} = - 2$ și $x_{n + 1} = 1 - 2 x_{n}$ .

2. Fie $y_{n}$ restul împărțirii lui $n^{2}$ la $5$ . Scrie termenii de la $y_{1}$ la $y_{10}$ și precizează $y_{2027}$ .

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul $(a_{n})_{n \geq 1}$ definit prin $a_{1} = 2$ și $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 3$ . Calculați $a_{5}$ .

4. Primii patru termeni ai unui șir sunt $1$ , $- 5$ , $- 17$ , $- 41$ . Verifică faptul că toți respectă relația $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 7$ și, folosind numai relația, calculează $b_{5}$ și $b_{6}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un șir verifică $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 6$ pentru orice $n \geq 1$ și are doi termeni consecutivi egali, atunci toți termenii lui sunt egali.”

6. Fie $p_{1} = 2$ , $p_{2} = - 1$ și $p_{n + 2} = p_{n + 1} - p_{n}$ . Calculează termenii până la $p_{8}$ și precizează $p_{100}$ .

7. Se dă $q_{1} = 1$ și $q_{n + 1} = q_{n} + 2 n + 3$ . Calculează primii cinci termeni, propune o formulă pentru $q_{n}$ și demonstreaz-o prin inducție.

8. Pentru recurența $r_{n + 1} = 0, 8 r_{n} + 3$ , cu $r_{1} = 5$ , găsește valoarea de echilibru și formula termenului general.

9. (Problemă aplicată.) Într-o păstrăvărie, numărul de păstrăvi crește în fiecare an cu $20 %$ , apoi se pescuiesc $50$ de exemplare. Cu $p_{0} = 500$ la început, $p_{n + 1} = 1, 2 p_{n} - 50$ . Calculează $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ și spune ce s-ar întâmpla dacă populația inițială ar fi $250$ .

10. Determină numerele reale $α$ și $β$ pentru care șirul $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 3$ , $u_{n + 2} = α u_{n + 1} + β u_{n}$ are $u_{3} = 7$ și $u_{4} = 17$ . Calculează apoi $u_{5}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul $(x_{n})_{n \geq 1}$ cu $x_{1} = 2$ și $x_{n + 1} = x_{n} + 3^{n}$ . Arătați că $x_{4} = 41$ .

12. Un rând de $n$ celule hexagonale lipite, ca în fagurele albinelor, are nevoie de $h_{n}$ pereți de ceară, câte un perete pentru fiecare latură, iar latura comună a două celule vecine se numără o singură dată. Arată că $h_{1} = 6$ , $h_{n + 1} = h_{n} + 5$ și scrie formula lui $h_{n}$ .

13. Arată că șirul $a_{n} = 2^{n} + 3$ verifică recurența de ordinul al doilea $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ , pentru orice $n \geq 1$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră șirul $(b_{n})_{n \geq 1}$ cu $b_{n + 1} = \frac{b _{n} + 9}{2}$ , pentru orice $n \geq 1$ . Știind că $b_{3} = 8$ , determinați $b_{1}$ .

15. Arată că recurența $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ nu are niciun termen inițial pentru care șirul să fie constant, în timp ce recurența $u_{n + 1} = 3 - 2 u_{n}$ are exact unul. Care este acela?

16. Șirul $e_{n}$ este definit prin $e_{1} = 10$ și $e_{n + 1} = e_{n} - 2 n$ . Calculează primii cinci termeni și află rangul de la care termenii devin negativi.

17. Se dă $f_{1} = 2$ și $f_{n + 1} = \frac{n + 2}{n} f_{n}$ . Calculează $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , propune o formulă și demonstreaz-o prin inducție.

18. (Provocare.) Arată că orice șir care verifică $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 3$ are forma $v_{n} = 3 + (v_{1} - 3) \cdot 2^{n - 1}$ . Pentru ce valori ale lui $v_{1}$ termenii cresc de la un rang la altul, pentru care scad și pentru care stau pe loc?

Răspunsuri și explicații

1. $x_{2} = 1 - 2 \cdot (- 2) = 5$ , $x_{3} = 1 - 2 \cdot 5 = - 9$ , $x_{4} = 1 - 2 \cdot (- 9) = 19$ . Primii patru termeni sunt $- 2$ , $5$ , $- 9$ , $19$ : semnele alternează, iar valorile se depărtează tot mai mult de zero.

2. Pătratele $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ dau resturile $1, 4, 4, 1, 0, 1, 4, 4, 1, 0$ . Restul lui $(n + 5)^{2}$ la $5$ este același cu al lui $n^{2}$ , fiindcă diferența $10 n + 25$ se împarte la $5$ ; șirul se repetă din $5$ în $5$ . Cum $2027 = 5 \cdot 405 + 2$ , $y_{2027} = y_{2} = 4$ .

3. $a_{2} = 2^{2} - 3 = 1$ , $a_{3} = 1^{2} - 3 = - 2$ , $a_{4} = (- 2)^{2} - 3 = 1$ , $a_{5} = 1^{2} - 3 = - 2$ . Deci $a_{5} = - 2$ ; după primul termen, șirul alternează între $1$ și $- 2$ .

4. $2 \cdot 1 - 7 = - 5$ , $2 \cdot (- 5) - 7 = - 17$ și $2 \cdot (- 17) - 7 = - 41$ : toate trei trecerile respectă relația. Atunci $b_{5} = 2 \cdot (- 41) - 7 = - 89$ și $b_{6} = 2 \cdot (- 89) - 7 = - 185$ . Cu $b_{1} = 1$ , relația definește complet șirul; se poate arăta că $b_{n} = 7 - 3 \cdot 2^{n}$ , dar pentru doi termeni în plus nu e nevoie de formulă.

5. Adevărat. Dacă $u_{k + 1} = u_{k}$ , atunci $u_{k} = 2 u_{k} - 6$ , deci $u_{k} = 6$ , echilibrul recurenței. De aici încolo toți termenii sunt $6$ . Înapoi: din $u_{k} = 2 u_{k - 1} - 6 = 6$ rezultă $u_{k - 1} = 6$ , și tot așa până la $u_{1}$ . Toți termenii sunt egali cu $6$ .

6. $p_{3} = - 1 - 2 = - 3$ , $p_{4} = - 3 - (- 1) = - 2$ , $p_{5} = - 2 - (- 3) = 1$ , $p_{6} = 1 - (- 2) = 3$ , $p_{7} = 3 - 1 = 2$ , $p_{8} = 2 - 3 = - 1$ . Cum $p_{7} = p_{1}$ și $p_{8} = p_{2}$ , iar regula folosește doar doi termeni consecutivi, șirul se repetă din $6$ în $6$ . Deoarece $100 = 6 \cdot 16 + 4$ , $p_{100} = p_{4} = - 2$ .

7. Termenii: $q_{1} = 1$ , $q_{2} = 1 + 5 = 6$ , $q_{3} = 6 + 7 = 13$ , $q_{4} = 13 + 9 = 22$ , $q_{5} = 22 + 11 = 33$ . Formula propusă: $q_{n} = n^{2} + 2 n - 2$ . Pentru $n = 1$ dă $1$ . Dacă $q_{k} = k^{2} + 2 k - 2$ , atunci $q_{k + 1} = k^{2} + 4 k + 1 = (k + 1)^{2} + 2 (k + 1) - 2$ , deci formula trece la rangul următor.

8. Echilibrul: $L = 0, 8 L + 3$ , adică $0, 2 L = 3$ și $L = 15$ . Abaterea $r_{n} - 15$ se înmulțește cu $0, 8$ la fiecare pas și pornește de la $5 - 15 = - 10$ , deci $r_{n} = 15 - 10 \cdot 0, 8^{n - 1}$ . Control: $r_{2} = 0, 8 \cdot 5 + 3 = 7$ , iar formula dă $15 - 8 = 7$ .

9. $p_{1} = 1, 2 \cdot 500 - 50 = 550$ , $p_{2} = 1, 2 \cdot 550 - 50 = 610$ , $p_{3} = 1, 2 \cdot 610 - 50 = 682$ păstrăvi. Echilibrul rezolvă $L = 1, 2 L - 50$ , adică $L = 250$ : cu $250$ de păstrăvi la început, creșterea de $50$ ar fi pescuită exact, iar populația ar rămâne de $250$ în fiecare an. Modelul are sens doar cât timp rezultatele sunt numere naturale și bazinul are loc pentru toți peștii.

10. Din $u_{3} = 3 α + β = 7$ și $u_{4} = 7 α + 3 β = 17$ : înlocuind $β = 7 - 3 α$ în a doua, $7 α + 21 - 9 α = 17$ , deci $α = 2$ și $β = 1$ . Atunci $u_{5} = 2 \cdot 17 + 7 = 41$ .

11. $x_{2} = 2 + 3 = 5$ , $x_{3} = 5 + 9 = 14$ , $x_{4} = 14 + 27 = 41$ . La fiecare pas se adaugă puterea lui $3$ cu exponentul egal cu rangul termenului anterior.

12. O singură celulă are $6$ laturi, deci $h_{1} = 6$ . O celulă nouă, lipită la capătul rândului, împarte o latură cu vecina ei și aduce doar $5$ pereți noi: $h_{n + 1} = h_{n} + 5$ . Diferența constantă arată o progresie aritmetică de rație $5$ , deci $h_{n} = 6 + 5 (n - 1)$ , adică $h_{n} = 5 n + 1$ ; de pildă, un rând de $4$ celule are $21$ de pereți.

13. Membrul drept: $3 (2^{n + 1} + 3) - 2 (2^{n} + 3) = 6 \cdot 2^{n} + 9 - 2 \cdot 2^{n} - 6 = 4 \cdot 2^{n} + 3 = 2^{n + 2} + 3$ , adică exact $a_{n + 2}$ . Egalitatea are loc pentru orice $n$ .

14. Din recurență, $b_{n} = 2 b_{n + 1} - 9$ : mergem înapoi. $b_{2} = 2 \cdot 8 - 9 = 7$ și $b_{1} = 2 \cdot 7 - 9 = 5$ . Verificare înainte: $\frac{5 + 9}{2} = 7$ și $\frac{7 + 9}{2} = 8$ .

15. Un șir constant cere un termen $u$ cu $u = f (u)$ . Pentru prima recurență, ecuația $L = L + 3$ nu are soluție, deci niciun termen inițial nu dă un șir constant. Pentru a doua, $M = 3 - 2 M$ dă $M = 1$ ; cu $u_{1} = 1$ toți termenii sunt $1$ . Cu orice altă pornire, abaterea față de $1$ se înmulțește cu $- 2$ : își schimbă semnul și se dublează la fiecare pas.

16. $e_{2} = 10 - 2 = 8$ , $e_{3} = 8 - 4 = 4$ , $e_{4} = 4 - 6 = - 2$ , $e_{5} = - 2 - 8 = - 10$ . Primul termen negativ este $e_{4}$ . Cum de la un rang la altul se scade tot mai mult, termenii rămân negativi de aici încolo.

17. $f_{2} = \frac{3}{1} \cdot 2 = 6$ , $f_{3} = \frac{4}{2} \cdot 6 = 12$ , $f_{4} = \frac{5}{3} \cdot 12 = 20$ . Formula propusă: $f_{n} = n (n + 1)$ . Pentru $n = 1$ dă $2$ . Dacă $f_{k} = k (k + 1)$ , atunci $f_{k + 1} = \frac{k + 2}{k} \cdot k (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$ , adică formula la rangul $k + 1$ .

18. Echilibrul este $3$ , iar $v_{n + 1} - 3 = 2 (v_{n} - 3)$ : abaterea se dublează la fiecare pas, deci $v_{n} - 3 = (v_{1} - 3) \cdot 2^{n - 1}$ . Dacă $v_{1} > 3$ , abaterea pozitivă se dublează și termenii cresc; dacă $v_{1} < 3$ , abaterea negativă se dublează și termenii scad; dacă $v_{1} = 3$ , șirul este constant.

De reținut

Un șir este definit când o regulă fixează, fără ambiguitate, termenul de orice rang; o listă de câțiva termeni sau un tabel finit nu îl definesc.
Cele trei moduri de definire sunt descrierea, formula termenului general și recurența; primul spune ce reprezintă termenul, al doilea îl calculează direct, al treilea îl construiește din termenii anteriori.
O recurență de ordinul întâi cere un termen inițial, una de ordinul al doilea cere doi termeni inițiali consecutivi; în relația $u_{n + 1} = f (u_{n}, n)$ , rangul $n$ este rangul termenului anterior.
La $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ , cu $q \neq = 1$ , valoarea de echilibru $L$ rezolvă $L = q L + c$ , iar abaterea $u_{n} - L$ formează o progresie geometrică de rație $q$ .
Graficul unui șir este format din puncte izolate $(n, a_{n})$ , care nu se unesc; el sugerează o regulă, iar calculul sau inducția o confirmă.

Greșeli frecvente

Rangul termenului nou pus în locul rangului anterior. În $a_{n + 1} = a_{n} + 4 n$ , pasul de la $a_{1}$ la $a_{2}$ folosește $n = 1$ . A pune $n = 2$ decalează tot șirul, iar greșeala nu se vede până nu verifici cu o formulă.
Doi termeni inițiali care nu sunt vecini. La o recurență de ordinul al doilea, datele $a_{1}$ și $a_{3}$ nu înlocuiesc perechea $a_{1}$ , $a_{2}$ . Regula cere de fiecare dată doi termeni consecutivi, așa că întâi reconstruiești perechea lipsă, dacă se poate.
Echilibrul luat drept termen al șirului. Valoarea $L$ cu $L = f (L)$ este atinsă numai dacă pornești din ea. Pentru clorul din piscină, $2$ mg/L este un prag spre care se merge, nu o valoare pe care o are concentrația într-o anumită zi.
Rotunjirea termenilor intermediari. La o recurență cu zecimale, fiecare termen se calculează din cel precedent exact, iar rotunjirea se face la sfârșit. Dacă rotunjești la fiecare pas, eroarea se transmite și crește de la un termen la altul.
Punctele graficului unite într-o curbă. Un șir nu are valori între ranguri, deci linia continuă inventează termeni care nu există. Pe un grafic de șir se desenează numai punctele $(n, a_{n})$ .

Aplică acasă

Piscina în foaia de calcul. Într-un program de calcul tabelar, scrie în prima celulă $1$ și în celula de sub ea formula „0,7 × celula de deasupra + 0,6”, apoi trage formula în jos pe $20$ de rânduri. Schimbă doza de $0, 6$ în $0, 9$ și observă noul echilibru. Verifică de fiecare dată valoarea cu ecuația $L = 0, 7 L + d$ .
Mingea care sare. Lasă o minge de ping-pong să cadă de la $1$ m pe o podea tare și filmează săriturile cu telefonul, lângă un metru de tâmplar lipit pe perete. Notează înălțimile primelor cinci sărituri și calculează raportul dintre două înălțimi consecutive. Dacă rapoartele sunt apropiate, datele se potrivesc cu o recurență $h_{n + 1} = k h_{n}$ ; scrie valoarea lui $k$ găsită și prezice a șasea săritură.
Trei șiruri spuse în cuvinte. Scrie trei șiruri definite prin descriere — de pildă „numărul de zile ale lunii $n$ a anului”, „numărul de litere al numelui celui de-al $n$ -lea elev din catalog” — și dă-le unui coleg. El trebuie să spună, pentru fiecare, dacă poate găsi o formulă, o recurență sau niciuna. Discutați de ce toate trei sunt totuși definiții corecte.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută atenția de la calculul unui termen la regula care produce termenii. Elevul de științe întâlnește recurențe în orice fenomen descris „de la o zi la alta” — o populație, o concentrație —, iar formula explicită îi permite să răspundă despre un moment îndepărtat fără să parcurgă toți pașii. Metoda echilibrului leagă lecția de progresia geometrică.

De urmărit în caiet: la fiecare pas al unei recurențe, rangul folosit; numărul termenilor inițiali la ordinul al doilea; verificarea unei formule propuse pe cel puțin doi termeni, apoi prin inducție; graficul desenat numai din puncte. Întrebări de control: „Ce valoare dai lui $n$ ca să calculezi $a_{2}$ ?”; „Ce se întâmplă dacă pornești din echilibru?”; „De ce nu unim punctele?”. Semn că elevul a înțeles: înainte de calcul, scrie pe o linie regula și termenul inițial.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a IX-a, capitolul de șiruri cu „modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone”. Programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, păstrează din capitol doar progresiile aritmetice și geometrice. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință despre șiruri, iar exercițiile marcate aici sunt antrenament în limitele programei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 recurențele nu apar; progresiile rămân în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: moduri de definire a unui șir la mate-info (M1). Lecția următoare din traseu, șiruri: monotonie și mărginire, folosește recurențele de aici ca să demonstreze că un șir crește sau rămâne sub un prag, iar testul suplimentului pentru mulțimi și șiruri verifică împreună toate aceste deprinderi.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă pornesc o recurență deasupra echilibrului? Contează factorul $q$ cu care se înmulțește abaterea. Dacă $q$ este între $0$ și $1$ , ca la regula $u_{n + 1} = 0, 4 u_{n} + 3$ din figură, abaterea rămâne pozitivă și se micșorează: pornind de la $7$ , trece din $2$ în $0, 8$ , apoi în $0, 32$ . Termenii coboară spre echilibrul $5$ , fără să treacă sub el.

Ce este valoarea de echilibru a unei recurențe? Este numărul $L$ care, pus în regulă, dă tot $L$ : $L = f (L)$ . Dacă șirul pornește exact din $L$ , rămâne constant. La recurențele $u_{n + 1} = q u_{n} + c$ cu $q \neq = 1$ , echilibrul este $L = \frac{c}{1 - q}$ , iar diferența $u_{n} - L$ se înmulțește cu $q$ la fiecare pas, adică formează o progresie geometrică.

Cum verific dacă o formulă explicită se potrivește cu o recurență? Verifici două lucruri. Întâi, formula trebuie să dea termenul inițial. Apoi, pusă în membrul drept al recurenței, trebuie să producă formula de la rangul următor, pentru orice $n$ . Dacă ambele au loc, formula este corectă prin inducție. Verificarea pe câțiva termeni este un control util, dar nu înlocuiește calculul cu $n$ oarecare.

De ce nu unesc punctele pe graficul unui șir? Pentru că șirul are termeni numai la ranguri naturale. Între $a_{2}$ și $a_{3}$ nu există un termen de rang $2, 5$ , iar o linie continuă ar sugera că există. Graficul corect este format din puncte izolate. Poți totuși desena o dreaptă ajutătoare, de pildă nivelul de echilibru, dacă o marchezi clar ca reper, nu ca parte a șirului.

Ce diferă lecția de M2 față de cea de mate-info (M1)? Tema este aceeași — descriere, formulă, recurență —, dar la M2 accentul cade pe modelele din științe, pe valoarea de echilibru și pe citirea graficului prin puncte. Versiunea M1 lucrează mai mult cu demonstrația prin inducție a formulelor și cu recurențe clasice din matematică. Ambele cer să calculezi corect termenii și să nu confunzi o listă de valori cu o definiție.

La ce subiect apar șirurile recurente la bacalaureatul M2? Programa de examen M_șt-nat pentru 2027–2029 păstrează modalitățile de a defini un șir în materia clasei a IX-a, fără să precizeze la ce subiect apar. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerințele scurte de la Subiectul I sunt din materia claselor a IX-a și a X-a și nu conțin șiruri. Exercițiile marcate în lecție antrenează calculul termenilor și verificarea unei recurențe.