Ce este un polinom. Gradul: pe scurt

Un polinom cu coeficienți complecși este o expresie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$, cu $a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{C}$ și exponenți numere naturale; mulțimea lor se notează $\mathbb{C}[X]$. Nedeterminata $X$ nu este un număr, ci un simbol care marchează poziția în lista de coeficienți — un polinom este, în esență, o listă finită de numere. $a_0$ este termenul liber, iar coeficientul nenul de rang maxim este coeficientul dominant; un polinom cu coeficientul dominant $1$ se numește monic.

Gradul unui polinom nenul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul. Polinomul nul nu are grad — excepție esențială, de reținut mereu separat de polinoamele de grad $0$ (constantele nenule).

Incluziunile $\mathbb{Z}[X]\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$ organizează polinoamele după natura coeficienților. Nu sunt polinoame expresiile cu exponent negativ ($\frac{3}{X}=3X^{-1}$), cu radical din nedeterminată ($\sqrt{X}=X^{1/2}$) sau cu nedeterminata la exponent ($2^X$) — regula: exponenții trebuie să fie naturali, coeficienții pot fi orice numere complexe.

Când coeficientul dominant depinde de un parametru, gradul se determină prin discuție pe cazuri: anulezi coeficienții de sus în jos și verifici de fiecare dată care este primul rămas nenul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f=5X^4-3X^2+7$, care este coeficientul lui $X^3$?

   • a) $0$
   • b) $5$
   • c) $-3$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $0$

   Monomul în $X^3$ lipsește din scriere, deci coeficientul lui este $0$ — un rang „invizibil”, dar existent.

2. Care dintre expresiile următoare NU este polinom?

   • a) $\sqrt{7}{X}^3-2X$
   • b) $\frac{2}{X}+X^2$
   • c) $i{X}^2-(3+i)X$
   • d) $-9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{2}{X}+X^2$

   $\frac{2}{X}=2X^{-1}$ are exponent $-1$, nenatural, deci nu e polinom. Celelalte au exponenți naturali, indiferent cât de „complicați” sunt coeficienții.

3. Ce grad are polinomul constant nenul $f=-6i$?

   • a) nu are grad
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $-6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $0$

   Orice constantă nenulă are gradul $0$. Doar polinomul nul (constanta $0$) nu are grad.