Compararea a două seturi de date

Un antrenor trebuie să aleagă un singur jucător pentru lovitura decisivă. Primul a marcat, în ultimele zece meciuri, $15$ puncte în medie. Al doilea — tot $15$. Dacă antrenorul se oprește aici, alege la întâmplare. Dacă se uită mai departe, descoperă că primul a marcat între $12$ și $18$ în fiecare meci, iar al doilea a oscilat între $11$ și $19$, cu seri de $11$ puncte și seri de $19$. Acum decizia nu mai este la întâmplare: depinde dacă antrenorul vrea siguranță sau vrea o șansă la o seară excepțională.

Aproape toate întrebările statistice serioase sunt de acest tip: nu „cât", ci „care dintre două". Iar răspunsul corect nu vine niciodată dintr-un singur număr. Lecția de față îți dă un protocol de comparare în patru pași, pe care îl vei aplica la fel, fie că e vorba de două clase, două magazine, două orașe sau două luni.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari două seturi de date parcurgând, în ordine, centrul, împrăștierea, forma și contextul.
• Vei ști să recunoști situația în care mediile coincid, dar seturile sunt complet diferite, și să o descrii cu indicatori de împrăștiere.
• Vei ști când media minte și trebuie înlocuită cu mediana în comparație.
• Vei ști să compari seturi de volume diferite, fără să cazi în capcana totalurilor.
• Vei ști să folosești două diagrame boxplot alăturate ca instrument rapid de comparare.
• Vei ști să redactezi concluzia unei comparări în limbaj statistic corect, legat de contextul problemei.

Hai să descoperim împreună

1. Protocolul în patru pași

Ori de câte ori ai două seturi de date în față, parcurgi aceeași listă:

1. Centrul — media $\bar{x}$ și mediana. Unde se află „nivelul obișnuit" al fiecărui set?
2. Împrăștierea — amplitudinea, abaterea intercuartilică $\text{IQR}$ și abaterea standard $\sigma$. Cât de mult variază valorile în jurul acestui nivel?
3. Forma — poziția medianei față de medie, lungimea mustăților pe diagrama boxplot. Există valori extreme? Este setul simetric?
4. Contextul — ce înseamnă, concret, diferențele găsite? Care set este „mai bun" depinde de ce vrei să obții.

Regula de aur: niciodată un singur indicator. O comparație scrisă doar pe medii este, în cel mai bun caz, incompletă.

2. Aceeași medie, aceeași mediană, seturi diferite

Doi jucători, punctajele din ultimele zece meciuri:

• Andrei: $12,12,14,14,15,15,16,16,18,18$
• Bogdan: $11,11,12,13,15,15,17,18,19,19$

Pasul 1 — centrul. Ambele sume dau $150$, deci $\bar{x}=15$ la amândoi. Ambele au $n=10$, iar valorile din mijloc sunt $15$ și $15$ la primul, $15$ și $15$ la al doilea, deci mediana este tot $15$ la amândoi. Centrul nu deosebește nimic.

Pasul 2 — împrăștierea. Cuartilele lui Andrei: jumătatea inferioară $12,12,14,14,15$ dă $Q_1=14$, iar jumătatea superioară $15,16,16,18,18$ dă $Q_3=16$, deci $\text{IQR}=2$ și amplitudinea $18-12=6$. La Bogdan: din $11,11,12,13,15$ iese $Q_1=12$, din $15,17,18,19,19$ iese $Q_3=18$, deci $\text{IQR}=6$ și amplitudinea $8$.

Abaterile standard, calculate cu formula pentru populație din lecția despre abaterea standard:

• Andrei: abaterile sunt $-3,-3,-1,-1,0,0,1,1,3,3$, cu suma pătratelor $9+9+1+1+0+0+1+1+9+9=40$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{\frac{40}{10}}=2$.
• Bogdan: abaterile sunt $-4,-4,-3,-2,0,0,2,3,4,4$, cu suma pătratelor $16+16+9+4+0+0+4+9+16+16=90$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{\frac{90}{10}}=3$.

Pasul 3 — forma. La ambii, media coincide cu mediana, deci seturile sunt simetrice; diferența stă exclusiv în lățime.

Pasul 4 — contextul. Andrei este constant: în jumătate din meciuri marchează între $14$ și $16$ puncte. Bogdan este imprevizibil: aceeași jumătate se întinde de la $12$ la $18$. Dacă antrenorul are nevoie de siguranță, alege Andrei; dacă echipa e în urmă cu $8$ puncte și îi trebuie o seară excepțională, Bogdan are mai multe șanse să dea $19$.

Reține formularea-tip: „aceeași medie, împrăștiere diferită" este cea mai frecventă situație de comparare din programă.

3. Aceeași împrăștiere, centre diferite

Cazul simetric este la fel de important. Timpii de așteptare (în minute) la două linii de autobuz, măsurați în cinci zile:

• Linia 1: $8,9,10,11,12$ — media $10$, suma pătratelor abaterilor $10$, deci ${\sigma }_1=\sqrt{2}\approx 1,41$;
• Linia 2: $13,14,15,16,17$ — media $15$, aceeași sumă a pătratelor $10$, deci ${\sigma }_2=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Aici cele două seturi au exact aceeași împrăștiere (al doilea se obține din primul adăugând $5$ la fiecare valoare, iar translația nu schimbă abaterea standard), dar centre diferite. Concluzia: ambele linii sunt la fel de previzibile, însă a doua te face să aștepți în medie cu $5$ minute mai mult.

4. Când media minte: comparația pe mediană

Salariile lunare (în mii de lei) din două firme mici, cu câte opt angajați:

• Firma X: $3,3,4,4,5,5,6,30$
• Firma Y: $5,6,7,7,8,8,9,10$

Ambele au suma $60$, deci aceeași medie: $\bar{x}=7,5$ mii de lei. Un anunț de angajare care spune „salariul mediu la noi este de $7500$ de lei" ar fi, formal, adevărat la amândouă.

Medianele spun altceva. La firma X, valorile din mijloc sunt $4$ și $5$, deci mediana este $4,5$; la firma Y, valorile din mijloc sunt $7$ și $8$, deci mediana este $7,5$. La firma X, șapte angajați din opt câștigă sub medie — media a fost trasă în sus de un singur salariu de $30$.

Abaterile standard confirmă: la firma X suma pătratelor abaterilor este $586$, deci ${\sigma }_X=\sqrt{\frac{586}{8}}=\sqrt{73,25}\approx 8,56$, în timp ce la firma Y suma este $18$, deci ${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{18}{8}}=\sqrt{2,25}=1,5$.

Regula practică: când media și mediana unui set diferă mult, comparația se face pe mediană, iar împrăștierea se descrie cu $\text{IQR}$, nu cu $\sigma$ — ambele fiind insensibile la o valoare izolată. Aici $\text{IQR}$ este $2$ la ambele firme, ceea ce arată că „grosul" angajaților este la fel de strâns; toată diferența vine din nivel și din acel singur salariu.

5. Seturi de volume diferite

O capcană des întâlnită: două clase dau același test, dar una are $7$ elevi și cealaltă $13$.

• Clasa mică ($n=7$): $6,7,7,8,9,9,10$ — suma $56$, deci $\bar{x}=8$;
• Clasa mare ($n=13$): $4,5,6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,11$ — suma $104$, deci tot $\bar{x}=8$.

Prima greșeală ar fi compararea sumelor ($56$ față de $104$): ele nu spun nimic despre performanță, ci doar despre numărul de elevi. Indicatorii statistici sunt însă construiți exact ca să fie comparabili indiferent de volum, pentru că toți se raportează la $n$.

Medianele: la clasa mică, $Q_2=x_4=8$; la clasa mare, $Q_2=x_7=8$. Egale. Împrăștierea: la clasa mică, suma pătratelor abaterilor este $12$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{12}{7}}\approx 1,31$; la clasa mare, suma este $54$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{54}{13}}\approx 2,04$. Clasa mare este mai eterogenă, ceea ce era de așteptat: cu cât grupul e mai numeros, cu atât are mai multe șanse să conțină și rezultate foarte slabe, și rezultate foarte bune.

Ce se compară și ce nu: se compară media, mediana, cuartilele, amplitudinea, $\text{IQR}$, abaterea standard și procentele. Nu se compară niciodată sumele sau numărul brut de elevi dintr-o categorie — acelea se transformă întâi în frecvențe relative.

6. Cum se scrie concluzia

O concluzie completă are trei propoziții și nu conține cuvântul „mai bun" fără justificare:

1. o propoziție despre nivel: „cele două grupuri au aceeași notă mediană, $8$";
2. o propoziție despre împrăștiere, cu un număr: „rezultatele clasei mari sunt mai împrăștiate ($\sigma \approx 2,04$ față de $\approx 1,31$)";
3. o propoziție despre consecința practică: „deci la clasa mare profesorul are nevoie de sarcini diferențiate".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Comparare completă a două seturi mici

Se dau $P:3,4,5,6,7$ și $Q:1,3,5,7,9$, considerate întregi populații. Compară-le.

Rezolvare. Ambele au media $5$ și mediana $5$. Pentru $P$: abaterile $-2,-1,0,1,2$, suma pătratelor $10$, deci ${\sigma }_P=\sqrt{2}\approx 1,41$; amplitudinea $4$. Pentru $Q$: abaterile $-4,-2,0,2,4$, suma pătratelor $40$, deci ${\sigma }_Q=\sqrt{8}\approx 2,83$; amplitudinea $8$.

Concluzie: același centru, dar $Q$ este de două ori mai împrăștiat decât $P$ după ambii indicatori (amplitudine și abatere standard).

Exemplul 2 — Care indicator alege

Într-un bloc, vechimea celor opt locatari (în ani) este $2,2,3,3,4,4,5,41$. Ce indicator descrie mai fidel „vechimea obișnuită": media sau mediana?

Rezolvare. Suma este $64$, deci media este $8$ ani. Mediana este $\frac{3+4}{2}=3,5$ ani. Șapte locatari din opt au vechimea sub media de $8$ ani, deci media este trasă de valoarea izolată $41$. Mediana, $3,5$ ani, descrie fidel realitatea; media descrie o realitate în care nu trăiește aproape nimeni.

Exemplul 3 — Constanță față de performanță de vârf

Notele Anei la opt teste sunt $7,8,8,8,8,8,8,9$, iar ale lui Bogdan $4,6,6,8,10,10,10,10$. Ambele seturi se consideră întregi populații. Cine are media mai mare? Cine este mai constant?

Rezolvare. Ambele sume dau $64$, deci ambii au media $8$ — nimeni nu este mai bun la acest capitol.

Ana: abaterile $-1,0,0,0,0,0,0,1$, suma pătratelor $2$, deci ${\sigma }_{\text{Ana}}=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{0,25}=0,5$. Bogdan: abaterile $-4,-2,-2,0,2,2,2,2$, suma pătratelor $16+4+4+0+4+4+4+4=40$, deci ${\sigma }_{\text{Bogdan}}=\sqrt{\frac{40}{8}}=\sqrt{5}\approx 2,24$.

Ana este de peste patru ori mai constantă. Bogdan are patru note de $10$, dar și un $4$ — la un examen cu o singură șansă, Ana este pariul sigur.

Exemplul 4 — Comparare pe cuartile și boxplot

Vânzările zilnice (în sute de lei) ale unui magazin în două luni, câte șase zile alese: luna 1 — $20,22,24,26,28,30$; luna 2 — $10,18,24,26,32,40$. Compară cele două luni.

Rezolvare. Ambele au suma $150$, deci media $25$, și ambele au mediana $\frac{24+26}{2}=25$.

Luna 1: $Q_1=22$ (din $20,22,24$), $Q_3=28$ (din $26,28,30$), deci $\text{IQR}=6$ și amplitudinea $10$. Luna 2: $Q_1=18$, $Q_3=32$, deci $\text{IQR}=14$ și amplitudinea $30$.

Concluzie: același nivel median, dar luna a doua a fost mult mai instabilă — cutia ei este de peste două ori mai lată, iar diferența dintre cea mai slabă și cea mai bună zi este de trei ori mai mare.

Exemplul 5 — Comparație cu volume diferite

Într-un sondaj, $40$ de fete și $25$ de băieți au spus dacă merg cu bicicleta la școală. Au răspuns „da" $16$ fete și $15$ băieți. Care grup merge mai des cu bicicleta?

Rezolvare. Numerele brute ($16$ față de $15$) sunt aproape egale și induc în eroare, pentru că grupurile au volume diferite. Trecem la frecvențe relative:

$$\frac{16}{40}=0,4=40\%,\frac{15}{25}=0,6=60\%.$$

Deși băieții care merg cu bicicleta sunt mai puțini ca număr, procentul lor este net mai mare. Comparația corectă se face pe frecvențe relative, nu pe frecvențe absolute.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră seturile de date $R:10,12,13,14,16$ și $S:10,10,13,16,16$, considerate întregi populații.

a) Arată că cele două seturi au aceeași medie și aceeași mediană. b) Calculează abaterea standard a fiecărui set. c) Precizează care set este mai omogen și justifică.

Rezolvare.

a) Ambele sume dau $65$, deci $\bar{x}=\frac{65}{5}=13$. Ambele au $n=5$ impar, iar a treia valoare este $13$ în ambele cazuri, deci mediana este $13$.

b) Pentru $R$: abaterile $-3,-1,0,1,3$, pătratele $9,1,0,1,9$, suma $20$, deci ${\sigma }_R=\sqrt{\frac{20}{5}}=2$. Pentru $S$: abaterile $-3,-3,0,3,3$, pătratele $9,9,0,9,9$, suma $36$, deci ${\sigma }_S=\sqrt{\frac{36}{5}}=\sqrt{7,2}\approx 2,68$.

c) Setul $R$ este mai omogen, pentru că are abaterea standard mai mică ($2<2,68$): valorile lui sunt, în medie, mai apropiate de $13$. Observă că amplitudinea nu ar fi făcut nicio deosebire — este $6$ la ambele.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare comparație, completează întâi un tabel cu media, mediana, amplitudinea, $\text{IQR}$ și $\sigma$, apoi scrie concluzia în cele trei propoziții cerute în lecție.

1. Se dau $A:4,5,6,7,8$ și $B:2,4,6,8,10$, considerate întregi populații. Arată că au aceeași medie și calculează cele două abateri standard.

2. Pentru seturile de la exercițiul $1$, calculează amplitudinea fiecăruia și spune care este mai omogen.

3. Se dau $C:8,9,10,11,12$ și $D:13,14,15,16,17$, considerate întregi populații. Calculează mediile și abaterile standard și explică rezultatul obținut fără a reface calculul pentru $D$.

4. Setul $E:3,3,4,4,5,5,6,30$ și setul $F:5,6,7,7,8,8,9,10$ au aceeași medie. Calculează cele două mediane și spune care indicator descrie mai fidel fiecare set.

5. Pentru seturile de la exercițiul $4$, calculează $Q_1$, $Q_3$ și $\text{IQR}$ la fiecare. Ce observi despre abaterile intercuartilice?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două seturi au aceeași medie, atunci au și aceeași abatere standard."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un set are amplitudinea mai mare decât altul, atunci are obligatoriu și abaterea standard mai mare."

8. Vânzările a două luni sunt $20,22,24,26,28,30$ și $10,18,24,26,32,40$. Calculează mediana și $\text{IQR}$ pentru fiecare lună și scrie concluzia în două propoziții.

9. Notele Anei sunt $7,8,8,8,8,8,8,9$, iar ale lui Bogdan $4,6,6,8,10,10,10,10$. Considerând fiecare set drept întreaga populație, calculează cele două abateri standard.

10. Folosind rezultatele de la exercițiul $9$, spune pe cine ai alege pentru un concurs cu o singură probă și pe cine pentru un concurs cu opt probe, în care contează suma punctelor. Justifică.

11. (Problemă aplicată.) Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ au trecut un test; în alta, de $20$ de elevi, au trecut $13$. Care clasă are rezultate mai bune? Justifică prin frecvențe relative.

12. Se dau $G:2,3,4,4,5,6,6,7,8$ și $H:1,2,4,5,5,5,6,8,9$, considerate întregi populații. Calculează mediile, medianele și abaterile standard, cu două zecimale.

13. Pentru seturile de la exercițiul $12$, calculează amplitudinea și $\text{IQR}$ la fiecare și spune care set este mai omogen.

14. Explică, în trei-patru rânduri, de ce compararea a două clase după suma notelor nu are sens, iar compararea după medie are.

15. (Problemă aplicată.) Două orașe au aceeași temperatură medie anuală, $11^{\circ }$C, dar primul are $\sigma =3^{\circ }$C, iar al doilea $\sigma =11^{\circ }$C. Ce poți spune despre clima fiecăruia? Care are, probabil, ierni mai grele?

16. Un set de date are media $20$ și abaterea standard $4$. Fiecare valoare este mărită cu $6$. Care sunt noua medie și noua abatere standard? Dar dacă, în loc să adunăm $6$, înmulțim fiecare valoare cu $3$?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră seturile $M:12,12,14,14,15,15,16,16,18,18$ și $N:11,11,12,13,15,15,17,18,19,19$, considerate întregi populații. a) Arată că au aceeași medie și aceeași mediană. b) Calculează abaterile standard. c) Precizează care set este mai omogen.

18. (Provocare.) Construiește două seturi de câte cinci numere naturale care să aibă aceeași medie, aceeași mediană și aceeași amplitudine, dar abateri standard diferite (ambele seturi se consideră întregi populații). Explică de ce este posibil.

Răspunsuri și explicații

1. Ambele au suma $30$, deci media $6$. Pentru $A$: abaterile $-2,-1,0,1,2$, suma pătratelor $10$, deci ${\sigma }_A=\sqrt{2}\approx 1,41$. Pentru $B$: abaterile $-4,-2,0,2,4$, suma pătratelor $40$, deci ${\sigma }_B=\sqrt{8}\approx 2,83$.

2. Amplitudinea lui $A$ este $8-4=4$, a lui $B$ este $10-2=8$. Setul $A$ este mai omogen: are și amplitudinea, și abaterea standard mai mici.

3. $C$ are media $10$ și ${\sigma }_C=\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Setul $D$ se obține din $C$ adăugând $5$ la fiecare valoare, deci media crește cu $5$ (devine $15$), iar abaterile față de medie rămân identice: ${\sigma }_D=\sqrt{2}\approx 1,41$. Translația mută centrul, dar nu schimbă împrăștierea.

4. Ambele au media $7,5$. Mediana lui $E$ este $\frac{4+5}{2}=4,5$, iar a lui $F$ este $\frac{7+8}{2}=7,5$. La $F$, media și mediana coincid, deci media descrie fidel setul. La $E$, media este cu $3$ unități peste mediană, fiind trasă de valoarea $30$: aici mediana descrie fidel realitatea.

5. Pentru $E$: jumătatea inferioară $3,3,4,4$ dă $Q_1=3,5$, jumătatea superioară $5,5,6,30$ dă $Q_3=5,5$, deci $\text{IQR}=2$. Pentru $F$: din $5,6,7,7$ iese $Q_1=6,5$, din $8,8,9,10$ iese $Q_3=8,5$, deci $\text{IQR}=2$. Abaterile intercuartilice sunt egale: „grosul" datelor este la fel de strâns în ambele seturi, iar toată diferența vine din nivel și din valoarea izolată $30$, pe care $\text{IQR}$ nici nu o simte.

6. Fals. Seturile $4,5,6,7,8$ și $2,4,6,8,10$ au aceeași medie, $6$, dar abateri standard diferite ($\approx 1,41$, respectiv $\approx 2,83$). Media descrie centrul, nu împrăștierea.

7. Fals. Amplitudinea depinde doar de două valori. Seturile $10,12,13,14,16$ și $10,10,13,16,16$ au aceeași amplitudine, $6$, dar abateri standard diferite ($2$, respectiv $\approx 2,68$); iar un set cu amplitudine mare, dar cu toate celelalte valori strânse, poate avea $\sigma$ mai mic decât un set cu amplitudine mică și valori uniform răsfirate.

8. Ambele au mediana $\frac{24+26}{2}=25$. Luna 1: $Q_1=22$, $Q_3=28$, deci $\text{IQR}=6$. Luna 2: $Q_1=18$, $Q_3=32$, deci $\text{IQR}=14$. Concluzie: nivelul median al vânzărilor a fost identic în cele două luni; în schimb, luna a doua a fost mult mai instabilă, cu o abatere intercuartilică de peste două ori mai mare.

9. Ambele au media $8$. Ana: abaterile $-1,0,0,0,0,0,0,1$, suma pătratelor $2$, deci $\sigma =\sqrt{0,25}=0,5$. Bogdan: abaterile $-4,-2,-2,0,2,2,2,2$, suma pătratelor $40$, deci $\sigma =\sqrt{5}\approx 2,24$.

10. Pentru un concurs cu o singură probă o aleg pe Ana: ea nu a coborât niciodată sub $7$, deci riscul este minim. Pentru un concurs cu opt probe în care contează suma, cei doi sunt echivalenți, pentru că au aceeași medie, deci același total ($64$); dacă însă concursul premiază un rezultat de vârf, Bogdan are patru note de $10$, iar Ana niciuna.

11. Prima clasă: $\frac{18}{30}=0,6=60\%$. A doua: $\frac{13}{20}=0,65=65\%$. A doua clasă are rezultate mai bune, deși numărul absolut al elevilor promovați este mai mic. Comparația pe numere brute ($18$ față de $13$) ar fi fost greșită, pentru că grupurile au volume diferite.

12. Ambele au suma $45$, deci media $5$, și ambele au $n=9$ impar cu a cincea valoare $5$, deci mediana $5$. Pentru $G$: suma pătratelor abaterilor este $9+4+1+1+0+1+1+4+9=30$, deci ${\sigma }_G=\sqrt{\frac{30}{9}}=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,83$. Pentru $H$: suma este $16+9+1+0+0+0+1+9+16=52$, deci ${\sigma }_H=\sqrt{\frac{52}{9}}\approx 2,40$.

13. $G$: amplitudinea $8-2=6$; jumătatea inferioară $2,3,4,4$ dă $Q_1=3,5$, jumătatea superioară $6,6,7,8$ dă $Q_3=6,5$, deci $\text{IQR}=3$. $H$: amplitudinea $9-1=8$; din $1,2,4,5$ iese $Q_1=3$, din $5,6,8,9$ iese $Q_3=7$, deci $\text{IQR}=4$. Setul $G$ este mai omogen după toți trei indicatorii de împrăștiere.

14. Suma notelor depinde direct de numărul de elevi: o clasă de $30$ de elevi mediocri are aproape sigur suma mai mare decât una de $10$ elevi excelenți. Suma măsoară deci mărimea grupului, nu performanța lui. Media, fiind suma împărțită la numărul de elevi, elimină efectul volumului și devine comparabilă între grupuri de mărimi diferite — la fel ca mediana, cuartilele sau frecvențele relative.

15. Ambele orașe au același nivel termic mediu, dar climele sunt foarte diferite. Primul, cu $\sigma =3^{\circ }$C, are un climat blând și echilibrat, cu veri și ierni apropiate de $11^{\circ }$C. Al doilea, cu $\sigma =11^{\circ }$C, are variații uriașe: veri foarte calde și, cel mai probabil, ierni mult mai grele, cu temperaturi mult sub zero.

16. Dacă adunăm $6$ la fiecare valoare, media devine $26$, iar abaterea standard rămâne $4$ (translația nu schimbă abaterile față de medie). Dacă înmulțim fiecare valoare cu $3$, media devine $60$, iar abaterea standard devine $12$, pentru că toate abaterile se înmulțesc cu $3$.

17. a) Ambele sume dau $150$, deci $\bar{x}=15$; ambele au $n=10$ par, cu valorile din mijloc $15$ și $15$, deci mediana este $15$. b) $M$: suma pătratelor abaterilor este $40$, deci ${\sigma }_M=\sqrt{\frac{40}{10}}=2$. $N$: suma este $90$, deci ${\sigma }_N=\sqrt{\frac{90}{10}}=3$. c) Setul $M$ este mai omogen, având abaterea standard mai mică ($2<3$); același lucru îl arată și abaterile intercuartilice, $2$ față de $6$.

18. Un exemplu: $U:10,12,13,14,16$ și $V:10,10,13,16,16$. Ambele au media $13$, mediana $13$ și amplitudinea $6$, dar ${\sigma }_U=2$, iar ${\sigma }_V=\sqrt{7,2}\approx 2,68$. Este posibil pentru că media fixează doar suma, mediana doar valoarea din mijloc, iar amplitudinea doar capetele — nimic din acestea nu controlează cum sunt așezate valorile rămase. La setul $V$ ele sunt împinse spre capete, deci abaterile sunt mai mari.

De reținut

• Compararea a două seturi se face în patru pași: centru, împrăștiere, formă, context — niciodată pe un singur indicator.
• Aceeași medie nu înseamnă aceleași date. Diferența se vede în amplitudine, $\text{IQR}$ și, mai ales, în abaterea standard.
• Când media și mediana diferă mult, setul are valori extreme: comparația se face pe mediană și $\text{IQR}$.
• Seturile de volume diferite se compară prin medie, mediană, cuartile, $\sigma$ și frecvențe relative — niciodată prin sume sau numere brute.
• $\sigma$ mai mic înseamnă grup mai omogen, deci rezultate mai previzibile; nu înseamnă automat „mai bun" — asta o decide contextul.

Greșeli frecvente

• Comparația doar pe medii. Este cea mai frecventă eroare de la Bacalaureat: două seturi cu aceeași medie pot fi complet diferite. Adaugă întotdeauna un indicator de împrăștiere.
• Compararea sumelor sau a numerelor brute când grupurile au volume diferite. Treci întâi la medii sau la frecvențe relative.
• Confundarea lui „mai omogen" cu „mai bun". Un grup omogen cu media $5$ este mai previzibil, dar nu mai performant decât unul neomogen cu media $8$.
• Folosirea mediei la seturi cu valori extreme. Dacă un singur salariu de $30$ trage media peste șapte salarii din opt, media nu mai descrie nimic real; treci pe mediană.
• Uitarea unităților de măsură. Două abateri standard se pot compara doar dacă sunt exprimate în aceeași unitate: nu compari $\sigma$ măsurat în lei cu $\sigma$ măsurat în minute.

Aplică acasă

1. Duelul celor două săptămâni. Notează, două săptămâni la rând, câte minute ai dormit în fiecare noapte. Calculează pentru fiecare săptămână media, mediana și abaterea standard, considerând cele șapte nopți drept întreaga populație observată, apoi scrie concluzia în cele trei propoziții din lecție.

2. Două magazine, același produs. Alege un produs și notează prețul lui în cinci magazine online, apoi repetă pentru un al doilea produs. Compară cele două seturi de prețuri prin medie și abatere standard și explică ce înseamnă, pentru un cumpărător, o abatere standard mare la prețuri.

3. Comparația care induce în eroare. Caută în presă un titlu care compară două grupuri folosind un singur număr (o medie sau un total). Scrie ce indicator lipsește pentru ca afirmația să fie completă și ce concluzie diferită s-ar putea trage dacă acel indicator ar fi cunoscut.

Pentru părinți și profesori

Lecția este cea în care indicatorii învățați separat încep să lucreze împreună. Ea verifică nu atât calculul (deja exersat), cât judecata statistică: alegerea indicatorului potrivit și formularea unei concluzii corecte — exact competențele X.CS.5.3 și X.CS.6.3, care cer analizarea unor strategii de comparare și fundamentarea deciziilor pe date.

Întrebări bune de control: „Dacă două seturi au aceeași medie, sunt la fel?" (nu, trebuie comparată și împrăștierea); „Când folosești mediana în loc de medie?" (când există valori extreme, adică atunci când media și mediana diferă mult); „Poți compara două clase după suma notelor?" (nu, doar după indicatori raportați la $n$); „Ce înseamnă $\sigma$ mai mic?" (grup mai omogen, mai previzibil). Semnul cel mai clar de înțelegere este că elevul refuză spontan concluziile bazate pe un singur număr.

La Bacalaureat, tiparul cel mai frecvent este exact cel din Exemplul 6: două seturi cu aceeași medie și aceeași mediană, cerința fiind calculul abaterilor standard și precizarea setului mai omogen. Punctajul se pierde la partea de interpretare, nu la calcul — mulți elevi obțin corect cele două numere, dar nu formulează concluzia cerută.

Întrebări frecvente

Cum compar corect două seturi de date? Parcurgi patru pași: centrul (media și mediana), împrăștierea (amplitudine, $\text{IQR}$, abatere standard), forma (simetrie, valori extreme, boxplot) și contextul. Concluzia se scrie în cel puțin două propoziții, una despre nivel și una despre variație.

Două seturi cu aceeași medie sunt identice? Nu. Media descrie doar centrul. Seturile $4,5,6,7,8$ și $2,4,6,8,10$ au aceeași medie, $6$, dar al doilea este de două ori mai împrăștiat. De aceea comparația trebuie completată cu un indicator de împrăștiere.

Când folosesc mediana în loc de medie la comparare? Atunci când setul conține valori extreme, adică atunci când media și mediana diferă vizibil. Mediana nu este afectată de o valoare izolată foarte mare sau foarte mică, deci descrie mai fidel situația obișnuită.

Ce indicator arată cel mai bine omogenitatea unui grup? Abaterea standard, pentru că folosește toate valorile setului. Dacă însă există valori extreme, abaterea intercuartilică este mai potrivită, fiind construită numai din cuartile și deci insensibilă la capete.

Pot compara două clase de mărimi diferite? Da, dar numai prin indicatori raportați la numărul de elevi: medie, mediană, cuartile, abatere standard și frecvențe relative. Sumele și numerele brute nu sunt comparabile, pentru că depind de mărimea grupului.

Ce înseamnă că un set are abaterea standard mai mică? Că valorile lui sunt, în medie, mai aproape de medie, deci grupul este mai omogen și rezultatele mai previzibile. Nu înseamnă că grupul este „mai bun" — nivelul îl dau media și mediana, nu împrăștierea.

De ce nu e suficientă amplitudinea pentru a compara împrăștierea? Pentru că amplitudinea folosește doar două valori, minimul și maximul, și ignoră tot ce e între ele. Două seturi cu aceeași amplitudine pot avea abateri standard foarte diferite, în funcție de cum sunt așezate valorile intermediare.