Acasă · Lecții · clasa a X-a · Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute

Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute

Profesoara de matematică termină de corectat cele $25$ de lucrări ale clasei a X-a B și scrie notele pe o foaie, în ordinea în care i-au venit sub mână: $7, 9, 6, 8, 10, 7, 5, 8, 9, 7, 6, 8, 4, 7, 9, 10, 8, 6, 7, 5, 9, 8, 7, 6, 8$ . Se uită la șirul acesta și… nu vede nimic. Câți au luat sub $5$ ? Care e nota cea mai des întâlnită? Sunt mai mulți peste $8$ sau sub $8$ ? Ca să răspundă, ar trebui să numere de fiecare dată de la capăt, cu degetul pe foaie, și tot ar greși pe undeva.

Problema nu e că datele ar fi prea multe — $25$ de numere nu sunt multe. Problema e că sunt neorganizate. Statistica începe exact aici: printr-o operație simplă, care transformă o listă mută într-un tabel care vorbește. Operația se numește numărarea frecvențelor, iar rezultatul ei, tabelul de frecvențe absolute, este obiectul pe care se sprijină tot restul capitolului: din el ies procentele, diagramele și toate mărimile care rezumă setul de date. Cel mai important lucru pe care îl înveți azi nu e însă tabelul, ci verificarea lui: suma frecvențelor trebuie să dea, la fix, numărul de date. Dacă nu dă, ai pierdut sau ai numărat de două ori pe cineva.

Ce vei învăța

Vei ști să ordonezi un set de date brute și să obții șirul ordonat $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ .
Vei ști ce este frecvența absolută a unei valori și cum se notează.
Vei ști să construiești tabelul de frecvențe absolute pentru o caracteristică cantitativă discretă și pentru una calitativă.
Vei ști să aplici de fiecare dată verificarea $\sum n_{i} = n$ și să înțelegi ce înseamnă când ea nu iese.
Vei ști să citești direct din tabel răspunsuri de tipul „câți au nota $8$ " și să spui ce informație se pierde prin trecerea la tabel.
Vei ști să calculezi frecvențele într-o foaie de calcul, cu funcția de numărare condiționată.

Hai să descoperim împreună

1. Primul pas: ordonarea datelor

Setul de date brute din deschidere se numește serie statistică simplă: valorile, în ordinea în care au fost culese. Primul gest util este să le ordonăm crescător:

$4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10.$

Notăm valorile ordonate cu $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ ; aici $n = 25$ , $x_{1} = 4$ și $x_{25} = 10$ . Deja se văd lucruri: cea mai mică notă e $4$ , cea mai mare $10$ , iar în jurul lui $7$ – $8$ se îngrămădesc multe valori. Ordonarea nu schimbă datele, doar le așază; și tot ea e primul pas al oricărei prelucrări viitoare.

Sfat practic pentru ordonarea pe hârtie: nu recopia șirul de zece ori. Parcurge-l o singură dată și pune câte o liniuță („răboj") în dreptul valorii întâlnite, într-o coloană pregătită dinainte cu valorile posibile. La sfârșitul unei singure treceri ai deja numărătoarea completă — și e mult mai greu să greșești decât recitind lista.

2. Frecvența absolută

Definiție. Fie o caracteristică ale cărei valori distincte, în ordine crescătoare, sunt $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ . Se numește frecvență absolută a valorii $v_{i}$ numărul $n_{i}$ de unități statistice la care caracteristica ia acea valoare.

Pe scurt: $n_{i}$ = de câte ori apare valoarea $v_{i}$ în setul de date. Tabelul care așază perechile $(v_{i}, n_{i})$ una sub alta se numește tabel de frecvențe absolute sau serie statistică de frecvențe.

Pentru notele clasei noastre, cu răbojul din secțiunea precedentă, obținem:

Nota $v_{i}$	Răboj	Frecvența absolută $n_{i}$
$4$	I	$1$
$5$	II	$2$
$6$	IIII	$4$
$7$	IIII I	$6$
$8$	IIII I	$6$
$9$	IIII	$4$
$10$	II	$2$
Total		$25$

Aceleași $25$ de numere, dar acum tabelul răspunde imediat: nota cea mai frecventă este $7$ și $8$ (câte $6$ elevi fiecare), un singur elev are $4$ , iar peste $8$ sunt $4 + 2 = 6$ elevi.

✏️Ilustrație: în stânga, lista dezordonată a celor 25 de note scrise de mână pe o foaie; o săgeată groasă spre dreapta duce la tabelul cu trei coloane — nota, răboj, frecvență — și la totalul 25 încercuit

3. Verificarea obligatorie: suma frecvențelor

Aceasta e regula care nu se negociază. Dacă valorile distincte sunt $v_{1}, \dots, v_{k}$ , cu frecvențele $n_{1}, \dots, n_{k}$ , iar setul are $n$ date, atunci

$i = 1 \sum k n_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n .$

Motivul e simplu: fiecare unitate statistică are exact o valoare a caracteristicii, deci e numărată exact o dată, la o singură linie a tabelului. Categoriile trebuie așadar alese astfel încât să nu se suprapună și să acopere toate cazurile.

Verificăm pe tabelul nostru:

$1 + 2 + 4 + 6 + 6 + 4 + 2 = 25 = n ✓$

Ce înseamnă când suma nu dă $n$ ?

Suma e mai mică decât $n$ : ai uitat valori. Fie ai sărit peste niște date când ai numărat, fie ai omis o valoare posibilă din tabel (foarte des: valoarea care apare o singură dată).
Suma e mai mare decât $n$ : ai numărat pe cineva de două ori, de obicei pentru că două categorii se suprapun („sub $7$ " și „între $6$ și $8$ " au valori comune).

✏️Ilustrație: două benzi numerice suprapuse pentru vârste — prima marcată „sub 18 ani" (de la 0 la 18), a doua marcată „între 16 și 25 de ani"; zona de suprapunere 16–18 e hașurată în roșu, cu textul „numărați de două ori"; alături, suma greșită 34 tăiată și scrisă corect 30

Fă verificarea înainte de a merge mai departe. Toate calculele care urmează — procente, diagrame, medii — pornesc din acest tabel; dacă el e greșit, tot ce vine după el e greșit, dar arată perfect corect.

4. Tabelul pentru o caracteristică calitativă

Când caracteristica e calitativă, procedura e identică, doar că „valorile" sunt categorii și nu au o ordine naturală. Am întrebat $30$ de elevi cum vin la școală:

Mijlocul de transport	Frecvența absolută $n_{i}$
pe jos	$11$
autobuz	$9$
mașină	$6$
bicicletă	$4$
Total	$30$

Verificare: $11 + 9 + 6 + 4 = 30 = n$ ✓.

Două observații care contează:

Ordinea liniilor e la alegerea ta. La caracteristici cantitative se ordonează crescător după valoare; la cele calitative se obișnuiește ordonarea descrescătoare după frecvență, ca să se vadă imediat categoria dominantă.
Categoria „altele" trebuie să existe atunci când e nevoie. Dacă un elev vine cu trotineta, nu-l lași pe dinafară — altfel suma nu mai dă $n$ . Se adaugă o linie „altele", de obicei ultima, oricât de mică ar fi frecvența ei.

5. Ce citim din tabel și ce se pierde

Tabelul de frecvențe e o compresie a datelor: mult mai ușor de citit, dar nu conține chiar tot ce conțineau datele brute. Din tabelul notelor putem afla: câți elevi au fiecare notă, care e nota cea mai des întâlnită, câți sunt sub sau peste un prag. Nu mai putem afla cine a luat fiecare notă și nici nu mai putem lega nota de altă caracteristică (de exemplu, de mijlocul de transport). De aceea datele brute se păstrează întotdeauna: tabelul se poate reface din ele, dar ele nu se pot reface din tabel.

O consecință practică pe care merită să o reții de pe acum: la o caracteristică cantitativă continuă (înălțimi, timpi, prețuri), valorile sunt aproape toate distincte, deci fiecare ar avea frecvența $1$ , iar tabelul ar fi la fel de mut ca lista inițială. În acest caz nu se numără valori individuale, ci se grupează datele pe intervale, exact ce studiem în lecția Gruparea datelor pe clase. Histograma.

Un al doilea exemplu, cu date de sport. Într-un turneu, la $20$ de meciuri s-a notat numărul de goluri marcate de echipa gazdă: $1, 0, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 3, 4, 2, 1, 3$ . Tabelul:

Goluri $v_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	Total
Meciuri $n_{i}$	$3$	$6$	$5$	$4$	$2$	$20$

Verificare: $3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20$ ✓. Observă că din acest tabel poți afla și ceva ce nu se vede direct: numărul total de goluri este $\sum v_{i} n_{i} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 0 + 6 + 10 + 12 + 8 = 36$ . Suma aceasta va fi piesa centrală când vom calcula media, în lecția Media aritmetică și media ponderată a unui set de date. Atenție să nu confunzi cele două sume: $\sum n_{i} = 20$ numără meciurile, iar $\sum v_{i} n_{i} = 36$ numără golurile.

6. Cum se face în foaia de calcul

Într-o foaie de calcul, tabelul de frecvențe se obține în două minute și, mai important, se recalculează singur dacă modifici o dată. Presupunem că notele sunt în coloana B, pe rândurile de la $2$ la $26$ , iar în coloana E ai scris valorile posibile $4, 5, \dots, 10$ (rândurile $2$ – $8$ ).

În celula F2 scrii =COUNTIF(B:B; E2) — funcția numără câte celule din coloana B sunt egale cu valoarea din E2, adică exact frecvența absolută $n_{1}$ . Referirea la toată coloana are un avantaj practic: domeniul nu se deplasează când tragi formula în jos peste celelalte rânduri. (Același efect se obține blocând domeniul cu simbolul dolar în fața literei și a numărului de rând — este ceea ce se numește referință absolută.)
În F9 scrii =SUM(F2:F8). Aici trebuie să apară $25$ . Este verificarea $\sum n_{i} = n$ , făcută automat: dacă apare alt număr, ori ai uitat o valoare posibilă în coloana E, ori domeniul de numărare e greșit.
Pentru o caracteristică calitativă, funcția e aceeași: =COUNTIF(C:C; "autobuz"). Ai grijă ca textul din ghilimele să fie scris identic cu cel din date — orice diferență de literă mare sau spațiu duce la un $0$ înșelător.
Alternativa profesionistă este tabelul pivot (PivotTable): selectezi datele, ceri un tabel pivot, pui caracteristica pe rânduri și alegi funcția de numărare. El construiește singur lista valorilor distincte, deci nu poți uita niciuna.

(Numele funcțiilor sunt scrise aici în engleză, forma în care apar în Google Sheets și în majoritatea instalărilor de Excel; separatorul de argumente poate fi ; sau ,, în funcție de setările programului tău.)

Verificarea cu SUM merită repetată de fiecare dată. E singurul moment în care calculatorul îți spune, gratis, dacă ai construit corect tabelul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet pentru un set de note

Notele obținute de $25$ de elevi sunt: $7, 9, 6, 8, 10, 7, 5, 8, 9, 7, 6, 8, 4, 7, 9, 10, 8, 6, 7, 5, 9, 8, 7, 6, 8$ . Construiți tabelul de frecvențe absolute și verificați-l.

Rezolvare. Parcurgem lista o singură dată, cu răbojul, și obținem:

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	Total
$n_{i}$	$1$	$2$	$4$	$6$	$6$	$4$	$2$	$25$

Verificare: $1 + 2 + 4 + 6 + 6 + 4 + 2 = 25 = n$ ✓.

Exemplul 2 — Citirea răspunsurilor din tabel

Folosind tabelul de mai sus, aflați: (a) câți elevi au luat nota $7$ ; (b) câți au notă sub $7$ ; (c) câți au cel puțin $9$ ; (d) care este nota cea mai frecventă.

Rezolvare.

(a) Direct din tabel: $n_{i} = 6$ elevi.

(b) Sub $7$ înseamnă notele $4$ , $5$ și $6$ : $1 + 2 + 4 = 7$ elevi.

(d) Frecvența maximă este $6$ și se atinge de două ori, la nota $7$ și la nota $8$ . Setul are deci două valori cele mai frecvente.

Control: elevii cu note sub $7$ ( $7$ elevi), cu nota $7$ sau $8$ ( $6 + 6 = 12$ ) și cu cel puțin $9$ ( $6$ ) însumează $7 + 12 + 6 = 25$ ✓ — categoriile nu se suprapun și acoperă tot.

Exemplul 3 — Tabel pentru date calitative

Cei $30$ de elevi ai unei clase au răspuns la întrebarea „cum vii la școală?": pe jos — $11$ , autobuz — $9$ , mașină — $6$ , bicicletă — $4$ . Construiți tabelul, verificați-l și spuneți câți elevi folosesc un vehicul.

Rezolvare.

Transport	pe jos	autobuz	mașină	bicicletă	Total
$n_{i}$	$11$	$9$	$6$	$4$	$30$

Verificare: $11 + 9 + 6 + 4 = 30$ ✓.

Folosesc un vehicul toți cei care nu vin pe jos: $9 + 6 + 4 = 19$ elevi. Echivalent, prin complement: $30 - 11 = 19$ ✓.

Exemplul 4 — Când tabelul nu se verifică

Un elev a numărat frecvențele pentru un set de $40$ de date și a obținut tabelul: $n_{1} = 12$ , $n_{2} = 9$ , $n_{3} = 7$ , $n_{4} = 8$ . Ce e greșit și ce trebuie făcut?

Rezolvare. Suma frecvențelor este

$12 + 9 + 7 + 8 = 36 \neq = 40.$

Lipsesc $40 - 36 = 4$ date. Sunt două cauze posibile: ori a sărit peste $4$ valori la numărare, ori există o a cincea categorie pe care nu a trecut-o în tabel (foarte probabil una rară, de tip „altele"). Corectarea se face întorcându-te la datele brute, nu adăugând la ochi $4$ la ultima categorie: numeri din nou, de preferință cu răboj sau cu funcția de numărare din foaia de calcul.

Exemplul 5 — Două sume care nu trebuie confundate

La $20$ de meciuri, numărul de goluri marcate de gazde a fost: $0$ goluri la $3$ meciuri, $1$ gol la $6$ meciuri, $2$ goluri la $5$ meciuri, $3$ goluri la $4$ meciuri, $4$ goluri la $2$ meciuri. Verificați tabelul și calculați numărul total de goluri.

Rezolvare. Verificarea tabelului:

$\sum n_{i} = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 = n ✓$

Numărul total de goluri este o sumă cu totul diferită — fiecare valoare înmulțită cu frecvența ei:

$\sum v_{i} n_{i} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 0 + 6 + 10 + 12 + 8 = 36 goluri .$

De reținut: $\sum n_{i}$ numără unitățile statistice (meciurile), iar $\sum v_{i} n_{i}$ adună valorile (golurile). Prima trebuie să dea $n$ ; a doua, în general, nu.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezultatele la un test, obținute de elevii unei clase, sunt date în tabelul de mai jos.

Nota	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$2$	$5$	$x$	$6$	$3$	$2$

Știind că în clasă sunt $25$ de elevi, determinați $x$ și aflați câți elevi au obținut cel puțin nota $8$ .

Rezolvare. Suma frecvențelor absolute trebuie să fie egală cu numărul de elevi:

$2 + 5 + x + 6 + 3 + 2 = 25.$

Deci $18 + x = 25$ , de unde $x = 7$ . Șapte elevi au obținut nota $7$ .

Cel puțin nota $8$ înseamnă notele $8$ , $9$ și $10$ :

$6 + 3 + 2 = 11 elevi .$

Verificare: cu $x = 7$ , suma completă este $2 + 5 + 7 + 6 + 3 + 2 = 25$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare tabel construit, scrie explicit verificarea $\sum n_{i} = n$ — face parte din rezolvare, nu e un moft.

1. Ordonează crescător setul de date: $3, 5, 2, 5, 4, 3, 5, 1, 4, 3$ . Câte date are setul?

2. Construiește tabelul de frecvențe absolute pentru setul de la exercițiul $1$ și verifică-l.

3. Într-o clasă, notele la un test sunt: $8, 7, 9, 8, 6, 10, 7, 8, 9, 7, 6, 8, 9, 7, 8$ . Construiește tabelul de frecvențe absolute.

4. Folosind tabelul de la exercițiul $3$ , spune câți elevi au nota $8$ , câți au sub $8$ și câți au cel puțin $9$ .

5. Într-un tabel de frecvențe, frecvențele sunt $n_{1} = 4$ , $n_{2} = 9$ , $n_{3} = 11$ , $n_{4} = 6$ . Câte date are setul?

6. Un set are $50$ de date, iar tabelul are patru categorii cu frecvențele $13$ , $17$ , $8$ și $y$ . Determină $y$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma frecvențelor absolute poate fi mai mare decât numărul de date, dacă o unitate statistică are două valori."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din tabelul de frecvențe absolute se pot reface datele brute inițiale."

9. Numărul de frați declarat de $24$ de elevi: $0$ frați — $9$ elevi, $1$ frate — $8$ elevi, $2$ frați — $5$ elevi, $3$ frați — $2$ elevi. Verifică tabelul și calculează numărul total de frați.

10. (Problemă aplicată.) Un magazin a vândut într-o zi $40$ de tricouri, pe mărimi: S — $6$ , M — $14$ , L — $13$ , XL — $7$ . Verifică tabelul, spune care mărime s-a vândut cel mai bine și ce mărimi ar trebui comandate cu prioritate.

11. La $20$ de meciuri, golurile marcate de gazde au fost: $1, 0, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 3, 4, 2, 1, 3$ . Construiește tabelul de frecvențe și verifică-l.

12. Folosind tabelul de la exercițiul $11$ , calculează numărul total de goluri marcate în cele $20$ de meciuri.

13. Explică de ce, la o caracteristică precum înălțimea elevilor, tabelul de frecvențe pe valori individuale nu ajută la nimic.

14. Ce funcție dintr-o foaie de calcul dă frecvența absolută a unei valori? Ce formulă scrii pentru verificarea totalului?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În tabelul de mai jos sunt trecute notele obținute de cei $28$ de elevi ai unei clase.

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$1$	$3$	$5$	$x$	$7$	$4$	$1$

Determină $x$ și numărul elevilor care au obținut cel puțin nota $7$ .

16. (Problemă aplicată.) Într-un chestionar cu $30$ de respondenți, cineva a scris în tabel categoriile „sub $18$ ani", „între $16$ și $25$ de ani" și „peste $25$ de ani", obținând suma $34$ . Explică ce s-a întâmplat și cum se corectează categoriile.

17. Un set de date are $n = 36$ și trei valori distincte, cu frecvențele în raportul $1 : 3 : 5$ . Determină cele trei frecvențe.

18. (Provocare.) Un set de date are exact trei valori distincte: $2$ , $5$ și $9$ . Se știe că suma frecvențelor este $20$ , că suma valorilor tuturor datelor este $120$ și că valoarea $5$ apare de două ori mai des decât valoarea $2$ . Determină cele trei frecvențe.

Răspunsuri și explicații

1. Ordonat: $1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5$ . Setul are $n = 10$ date.

2. Tabelul: $1 \to 1$ ; $2 \to 1$ ; $3 \to 3$ ; $4 \to 2$ ; $5 \to 3$ . Verificare: $1 + 1 + 3 + 2 + 3 = 10 = n$ ✓.

3. Tabelul: $6 \to 2$ ; $7 \to 4$ ; $8 \to 5$ ; $9 \to 3$ ; $10 \to 1$ . Verificare: $2 + 4 + 5 + 3 + 1 = 15 = n$ ✓ (clasa are $15$ elevi în acest test).

4. Nota $8$ : $5$ elevi. Sub $8$ (notele $6$ și $7$ ): $2 + 4 = 6$ elevi. Cel puțin $9$ (notele $9$ și $10$ ): $3 + 1 = 4$ elevi. Control: $6 + 5 + 4 = 15$ ✓.

5. $n = 4 + 9 + 11 + 6 = 30$ de date.

6. Din $13 + 17 + 8 + y = 50$ rezultă $38 + y = 50$ , deci $y = 12$ .

7. Fals. Prin definiție, fiecare unitate statistică are exact o valoare a caracteristicii, deci e numărată o singură dată. Dacă suma iese mai mare decât $n$ , înseamnă că categoriile se suprapun (au valori comune) — și atunci tabelul e construit greșit, nu că regula ar avea excepții.

8. Fals. Din tabel știm câte unități au fiecare valoare, dar nu mai știm cine și nici în ce ordine au fost culese datele. Tabelul se obține din datele brute, dar drumul invers nu e posibil; de aceea datele brute se păstrează.

9. Verificare: $9 + 8 + 5 + 2 = 24 = n$ ✓. Numărul total de frați: $0 \cdot 9 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 0 + 8 + 10 + 6 = 24$ de frați. (Coincidența dintre $24$ de elevi și $24$ de frați e întâmplătoare — cele două sume numără lucruri diferite.)

10. Verificare: $6 + 14 + 13 + 7 = 40$ ✓. Cel mai bine s-a vândut mărimea M ( $14$ bucăți), urmată îndeaproape de L ( $13$ ). Cu prioritate se comandă M și L, care împreună înseamnă $27$ din $40$ de tricouri vândute.

11. Tabelul: $0 \to 3$ ; $1 \to 6$ ; $2 \to 5$ ; $3 \to 4$ ; $4 \to 2$ . Verificare: $3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 = n$ ✓.

12. $\sum v_{i} n_{i} = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 36$ de goluri.

13. Pentru că înălțimea e o caracteristică continuă: măsurată cu precizie, aproape toate valorile sunt distincte, deci fiecare ar apărea o singură dată. Tabelul ar avea aproape tot atâtea linii câte date, cu frecvența $1$ peste tot, și n-ar organiza nimic. Soluția este gruparea datelor pe intervale de valori.

14. Frecvența absolută: COUNTIF, de forma =COUNTIF(B:B; E2). Verificarea totalului: =SUM(F2:F8), iar rezultatul trebuie să fie exact $n$ .

15. Din $1 + 3 + 5 + x + 7 + 4 + 1 = 28$ rezultă $21 + x = 28$ , deci $x = 7$ . Cel puțin nota $7$ : $7 + 7 + 4 + 1 = 19$ elevi.

16. Categoriile se suprapun: cineva de $17$ ani intră și la „sub $18$ ani", și la „între $16$ și $25$ de ani", deci a fost numărat de două ori. De aceea suma $34$ depășește cei $30$ de respondenți; cei $4$ în plus sunt exact persoanele cu $16$ sau $17$ ani. Corectare: categorii care nu se suprapun și acoperă tot, de exemplu „sub $18$ ani", „ $18$ – $25$ de ani", „peste $25$ de ani".

17. Fie frecvențele $k$ , $3 k$ și $5 k$ . Atunci $k + 3 k + 5 k = 9 k = 36$ , deci $k = 4$ , iar frecvențele sunt $4$ , $12$ și $20$ . Verificare: $4 + 12 + 20 = 36$ ✓.

18. Notăm cu $a$ , $b$ , $c$ frecvențele valorilor $2$ , $5$ și $9$ . Din enunț avem trei relații: $a + b + c = 20$ (suma frecvențelor), $2 a + 5 b + 9 c = 120$ (suma valorilor) și $b = 2 a$ .

Înlocuim $b = 2 a$ în prima relație: $a + 2 a + c = 20$ , deci $c = 20 - 3 a$ . Ducem totul în a doua relație:

$2 a + 5 \cdot 2 a + 9 (20 - 3 a) = 120 ⟺ 12 a + 180 - 27 a = 120 ⟺ - 15 a = - 60,$

de unde $a = 4$ , apoi $b = 8$ și $c = 20 - 12 = 8$ .

Verificare: $4 + 8 + 8 = 20$ ✓ și $2 \cdot 4 + 5 \cdot 8 + 9 \cdot 8 = 8 + 40 + 72 = 120$ ✓. Observă că cele două ecuații sunt exact cele două sume care nu trebuie confundate: una numără datele, cealaltă le adună valorile.

De reținut

Frecvența absolută $n_{i}$ a unei valori este numărul de unități statistice la care caracteristica ia acea valoare. Tabelul perechilor $(v_{i}, n_{i})$ se numește tabel de frecvențe absolute.
Verificarea obligatorie: $\sum_{i = 1}^{k} n_{i} = n$ . Ea funcționează pentru că fiecare unitate e numărată exact o dată; dacă nu iese, categoriile se suprapun ori ai sărit peste date.
Ordonarea crescătoare a datelor și numărarea cu răboj, dintr-o singură trecere, sunt cele mai sigure metode de lucru pe hârtie.
Nu confunda $\sum n_{i}$ cu $\sum v_{i} n_{i}$ : prima numără unitățile statistice și trebuie să dea $n$ ; a doua adună valorile (goluri, frați, lei) și dă cu totul altceva.
Tabelul e o compresie: câștigi lizibilitate, pierzi legătura cu unitatea individuală. De aceea datele brute nu se aruncă niciodată.

Greșeli frecvente

Omiterea verificării sumei. E singura verificare gratuită din tot capitolul, iar fără ea o greșeală de numărare se propagă în toate procentele și diagramele care urmează.
Categorii care se suprapun. „Sub $18$ " și „între $16$ și $25$ " numără de două ori aceleași persoane. Categoriile trebuie să fie disjuncte și să acopere toate cazurile.
Uitarea valorilor cu frecvență mică. Valoarea care apare o singură dată e cea mai ușor de sărit la numărare; ea e și motivul cel mai frecvent pentru care suma iese mai mică decât $n$ .
Confundarea celor două sume. La întrebarea „câte goluri s-au marcat?" răspunsul e $\sum v_{i} n_{i}$ , nu $\sum n_{i}$ . Prima sumă are ca unitate de măsură golul, a doua meciul.
Corectarea „din ochi" a tabelului. Când suma nu iese, nu se adaugă diferența la ultima categorie: se numără din nou, de la datele brute. Un tabel care se potrivește prin ajustare arbitrară e mai periculos decât unul vizibil greșit.

Aplică acasă

Frecvențele din propria viață. Notează timp de două săptămâni, într-un caiet, câte ore ai dormit în fiecare noapte, rotunjit la ore întregi. Construiește tabelul de frecvențe absolute și verifică suma. Vei avea $14$ date și, cel mai probabil, doar patru-cinci valori distincte.
Un chestionar în clasă. Alege o întrebare cu răspuns dintr-o listă scurtă (materia preferată, mijlocul de transport, ora de trezire) și adună răspunsurile tuturor colegilor. Construiește tabelul, verifică suma și adaugă, dacă e cazul, categoria „altele" — vei vedea de îndată de ce e necesară.
Cu foaia de calcul. Introdu datele de la punctul 1 sau 2 într-o foaie de calcul, scrie valorile posibile pe o coloană separată și calculează frecvențele cu COUNTIF. Adaugă dedesubt SUM și verifică totalul. Apoi modifică o singură dată din listă și urmărește cum se actualizează singur tot tabelul.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima prelucrare propriu-zisă a datelor: trecerea de la seria brută la tabelul de frecvențe absolute. Calculul este elementar — numărare și adunare —, dar disciplina pe care o cere este esențială pentru tot capitolul: categorii disjuncte, categorii care acoperă toate cazurile și verificarea sistematică $\sum n_{i} = n$ . Programa de trunchi comun cere abordarea prin contexte practice și utilizarea foilor de calcul, motiv pentru care exemplele vin din școală, sport și comerț, iar o secțiune e dedicată numărării condiționate în foaia de calcul.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie totalul și verificarea sumei sub fiecare tabel construit; (2) nu confundă $\sum n_{i}$ cu $\sum v_{i} n_{i}$ atunci când enunțul cere „câte goluri" sau „câți frați"; (3) la exercițiile cu necunoscută în tabel, pornește de la ecuația dată de suma frecvențelor. Întrebări bune de control: „Ce trebuie să dea suma coloanei de frecvențe și de ce?"; „Ce s-a întâmplat dacă suma iese mai mare decât numărul de date?"; „De ce nu putem reface lista inițială din tabel?".

La Bacalaureat, tipul cel mai frecvent este exact cel din exemplul final: un tabel cu o frecvență necunoscută și cu totalul dat, urmat de o întrebare de tip „câți elevi au cel puțin nota $8$ ". Se rezolvă în două rânduri, cu ecuația sumei frecvențelor. Semne că elevul a înțeles: verifică singur totalul, sesizează imediat categoriile care se suprapun și explică de ce înălțimile nu se pun într-un tabel pe valori individuale.

Întrebări frecvente

Ce este frecvența absolută a unei valori? Este numărul de unități statistice la care caracteristica ia acea valoare — pe scurt, de câte ori apare valoarea în setul de date. Se notează $n_{i}$ și se citește direct din tabelul de frecvențe.

Cum construiesc un tabel de frecvențe absolute? Scrii pe o coloană toate valorile distincte, ordonate crescător dacă sunt numere, apoi parcurgi lista de date o singură dată, punând câte un semn în dreptul valorii întâlnite. La final numeri semnele de pe fiecare linie și adaugi o linie de total.

De ce trebuie ca suma frecvențelor absolute să fie egală cu numărul de date? Pentru că fiecare unitate statistică are exact o valoare a caracteristicii, deci este numărată exact o dată, la o singură linie a tabelului. Egalitatea $\sum n_{i} = n$ este, de fapt, verificarea că nu ai pierdut și nu ai dublat nicio dată.

Ce fac dacă suma frecvențelor nu dă numărul de date? Dacă suma e mai mică, ai sărit peste date sau ai uitat o categorie; dacă e mai mare, două categorii se suprapun și au numărat de două ori aceleași unități. În ambele cazuri te întorci la datele brute și numeri din nou — nu ajustezi ultima frecvență ca să iasă totalul.

Care e diferența dintre suma frecvențelor și suma valorilor? $\sum n_{i}$ adună frecvențele și numără unitățile statistice (meciuri, elevi, zile), deci trebuie să dea $n$ . $\sum v_{i} n_{i}$ înmulțește fiecare valoare cu frecvența ei și adună, deci numără valorile propriu-zise (goluri, frați, lei) — un rezultat cu totul diferit.

Cum calculez frecvențele într-un tabel Excel sau Google Sheets? Cu funcția de numărare condiționată: =COUNTIF(B:B; E2), unde B:B este coloana cu datele, iar E2 valoarea căutată. Sub coloana de frecvențe adaugi =SUM(...), care trebuie să dea exact numărul de date. Alternativ, un tabel pivot construiește singur toate categoriile.

Se poate face tabel de frecvențe pentru date care nu sunt numere? Da, procedura e identică: categoriile sunt cuvinte (mijlocul de transport, culoarea, răspunsul da/nu), iar frecvența e numărul de unități din fiecare categorie. Diferența e că liniile nu au o ordine naturală, așa că se ordonează de obicei descrescător după frecvență.

De ce nu se face tabel pe valori individuale pentru înălțimi sau timpi? Pentru că acestea sunt caracteristici continue: aproape toate valorile măsurate sunt distincte, deci fiecare ar avea frecvența $1$ și tabelul n-ar spune nimic. În cazul lor, datele se grupează pe intervale de valori, iar frecvența se calculează pe interval.