Diagrama boxplot

Doi diriginți se ceartă amiabil în cancelarie: fiecare susține că la clasa lui elevii au ieșit mai bine la teză. Primul scoate un carnețel: „media noastră e $7$ ". Al doilea ridică din umeri: „și a noastră tot $7$ ". Mediana? Tot $7$ la amândoi. Și totuși, cine intră în cele două clase vede că nu seamănă deloc: la una notele sunt strânse între $5$ și $8$ , la cealaltă sar de la $3$ la $10$ . Indicatorii de centru, luați singuri, nu spun nimic despre asta.

Le lipsește o imagine: nu un tabel de numere, ci un desen mic, care se înțelege dintr-o privire și arată unde stau datele, cât de împrăștiate sunt și dacă se înghesuie mai mult în jos sau mai mult în sus. Desenul acesta se numește diagramă boxplot (în românește, „cutie cu mustăți"), îl folosesc medicii, meteorologii și analiștii sportivi, iar tu îl vei construi din cinci numere pe care știi deja să le calculezi.

Ce vei învăța

Vei ști să extragi din orice set de date cele cinci numere caracteristice: minimul, $Q_{1}$ , mediana $Q_{2}$ , $Q_{3}$ și maximul.
Vei ști să construiești o diagramă boxplot pe o axă gradată, cu cutia, linia medianei și mustățile duse până la minim și la maxim.
Vei ști să citești un boxplot dat: cutia, linia din interiorul ei, mustățile și cele patru sferturi de date.
Vei ști să compari două seturi de date desenând boxplot-urile unul sub altul și să formulezi concluzia în limbaj statistic.
Vei ști să recunoști asimetria după poziția medianei în cutie și după lungimea mustăților.
Vei ști ce informații nu se văd într-un boxplot, ca să nu tragi din el concluzii pe care nu le susține.

Hai să descoperim împreună

1. Cinci numere în locul întregului tabel

Un set de date poate avea zece valori sau zece mii; în ambele cazuri se folosește același rezumat scurt, numit rezumatul celor cinci numere:

$x_{m i n}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{m a x}$

Le-ai întâlnit pe toate în lecția despre cuartile și amplitudine: $Q_{2}$ este mediana, $Q_{1}$ mediana jumătății inferioare, iar $Q_{3}$ mediana jumătății superioare, cu regula fermă că, la un număr impar de date, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți.

De ce tocmai aceste cinci numere? Pentru că ele taie setul de date în patru sferturi egale ca număr de valori: între $x_{m i n}$ și $Q_{1}$ stau cele mai mici $25%$ dintre valori, între $Q_{1}$ și $Q_{2}$ al doilea sfert, între $Q_{2}$ și $Q_{3}$ al treilea, iar între $Q_{3}$ și $x_{m a x}$ cele mai mari $25%$ .

Reține bine: fiecare sfert conține același număr de valori, dar sferturile nu au aceeași lungime pe axă. Din diferența dintre lungimile lor se naște toată informația pe care o citim în diagramă.

2. Un exemplu de la care pornim

Unsprezece elevi au notat câte minute fac până la școală:

$8, 10, 12, 15, 15, 20, 22, 25, 28, 30, 46$

Datele sunt deja ordonate crescător, iar $n = 11$ este impar.

Mediana. $Q_{2} = x_{6} = 20$ , a șasea valoare, cea din mijloc.

Prima cuartilă. Jumătatea inferioară, fără valoarea mediană, este $8, 10, 12, 15, 15$ , cu mediana $Q_{1} = 12$ .

A treia cuartilă. Jumătatea superioară este $22, 25, 28, 30, 46$ , cu mediana $Q_{3} = 28$ .

Rezumatul celor cinci numere: $x_{m i n} = 8$ , $Q_{1} = 12$ , $Q_{2} = 20$ , $Q_{3} = 28$ , $x_{m a x} = 46$ . De aici, amplitudinea este $46 - 8 = 38$ de minute, iar abaterea intercuartilică este $IQR = Q_{3} - Q_{1} = 28 - 12 = 16$ minute.

3. Construcția diagramei, pas cu pas

Ai cele cinci numere; desenul are patru pași.

Pasul 1 — axa. Trasezi o axă orizontală gradată, care acoperă tot intervalul datelor, cu puțin spațiu la capete: aici, de la $0$ la $50$ , din $5$ în $5$ . Axa trebuie să aibă unitatea de măsură scrisă (aici: minute).

Pasul 2 — cutia. Desenezi un dreptunghi de la $Q_{1} = 12$ la $Q_{3} = 28$ . Înălțimea lui nu are semnificație statistică — o alegi cât îți convine, doar să fie aceeași dacă desenezi mai multe cutii.

Pasul 3 — linia medianei. În interiorul cutiei trasezi un segment vertical la $Q_{2} = 20$ : singura linie din cutie și cea mai importantă din tot desenul.

Pasul 4 — mustățile. Din mijlocul laturii din stânga pornești un segment până la $x_{m i n} = 8$ , iar din mijlocul celei din dreapta unul până la $x_{m a x} = 46$ , cu câte o liniuță verticală scurtă la capete. În toate diagramele din acest manual, mustățile merg exact până la minimul și la maximul setului.

✏️Ilustrație: axă orizontală gradată 0–50 cu eticheta „minute"; cutie desenată de la 12 la 28, linie verticală îngroșată la 20 în interiorul cutiei; mustață stângă de la 12 la 8, mustață dreaptă de la 28 la 46, cu liniuțe terminale; sub axă, etichete „min = 8", „Q1 = 12", „Q2 = 20", „Q3 = 28", „max = 46"; deasupra, patru acolade care marchează cele patru sferturi, fiecare cu textul „25% din date"

4. Cum se citește o cutie cu mustăți

Odată desenat, boxplot-ul se citește după trei repere.

Lungimea cutiei este chiar $IQR$ . Cutia acoperă jumătatea din mijloc a datelor: scurtă înseamnă grup omogen, lată înseamnă grup împrăștiat. La noi are lungimea $16$ — jumătate dintre elevi fac între $12$ și $28$ de minute până la școală.

Poziția liniei medianei în cutie arată asimetria. Dacă linia stă la mijlocul cutiei, cele două sferturi din mijloc sunt la fel de întinse; dacă e lipită de o latură, sfertul dinspre acea latură e mult mai înghesuit decât celălalt. La noi, linia este la $20$ , adică la $8$ unități de $Q_{1}$ și la $8$ de $Q_{3}$ — perfect la mijloc.

Lungimea mustăților arată cozile. Mustața stângă are lungimea $12 - 8 = 4$ , cea dreaptă $46 - 28 = 18$ : de peste patru ori mai lungă. Cele mai mari $25%$ dintre timpi sunt răsfirate pe un interval mult mai larg decât cele mai mici $25%$ , deci setul este asimetric spre dreapta.

Un semn util: la un set asimetric spre dreapta, media este de obicei mai mare decât mediana. Aici media este $\frac{231}{11} = 21$ , iar mediana $20$ — media a fost trasă în sus de valoarea $46$ , în timp ce mediana nici nu a clipit.

5. Un exemplu cu număr par de date

Doisprezece elevi au spus câte cărți au citit în vacanță:

$4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 13$

Aici $n = 12$ este par, deci mediana este media valorilor din mijloc:

$Q_{2} = \frac{x _{6} + x _{7}}{2} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5.$

Jumătatea inferioară este $4, 5, 5, 6, 7, 7$ (șase valori), deci $Q_{1} = \frac{5 + 6}{2} = 5, 5$ . Jumătatea superioară este $8, 8, 9, 10, 11, 13$ , deci $Q_{3} = \frac{9 + 10}{2} = 9, 5$ .

Rezumatul: $4$ ; $5, 5$ ; $7, 5$ ; $9, 5$ ; $13$ , deci $IQR = 4$ , cu linia medianei exact la mijlocul cutiei, mustața stângă de lungime $1, 5$ și cea dreaptă $3, 5$ — din nou o coadă mai lungă spre dreapta, dar mult mai puțin pronunțată.

Observă că cuartilele nu trebuie să fie valori din set: $5, 5$ și $9, 5$ nu apar în șir. Cuartila este o graniță, nu neapărat un element.

6. Două cutii alăturate: puterea reală a diagramei

Ne întoarcem la cei doi diriginți din deschidere. Notele de la teză, pentru câte nouă elevi din fiecare clasă:

Clasa A: $3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10$
Clasa B: $5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8$

Ambele au suma $63$ , deci aceeași medie, $7$ , și ambele au $n = 9$ impar cu $Q_{2} = x_{5} = 7$ , deci și aceeași mediană: indicatorii de centru nu deosebesc nimic.

Calculăm cuartilele. Clasa A: din $3, 4, 5, 7$ iese $Q_{1} = 4, 5$ , iar din $8, 9, 10, 10$ iese $Q_{3} = 9, 5$ . Clasa B: din $5, 6, 7, 7$ iese $Q_{1} = 6, 5$ , iar din $7, 8, 8, 8$ iese $Q_{3} = 7, 5$ .

	min	$Q_{1}$	$Q_{2}$	$Q_{3}$	max	IQR	amplitudine
Clasa A	$3$	$4, 5$	$7$	$9, 5$	$10$	$5$	$7$
Clasa B	$5$	$6, 5$	$7$	$7, 5$	$8$	$1$	$3$

✏️Ilustrație: două boxplot-uri orizontale suprapuse pe aceeași axă gradată de la 2 la 11, cu eticheta „nota"; sus, clasa A: cutie lată de la 4,5 la 9,5, mediană la 7, mustăți până la 3 și 10; jos, clasa B: cutie îngustă de la 6,5 la 7,5, mediană la 7, mustăți până la 5 și 8; linia medianei aliniată vertical la ambele, ca să se vadă că medianele coincid

Desenul spune totul într-o secundă: medianele coincid, dar cutia clasei A este de cinci ori mai lată. Clasa B este omogenă, clasa A este polarizată — are și elevi foarte buni ( $10$ ), și elevi în dificultate ( $3$ ).

Concluzia se scrie mereu în două propoziții, una despre centru și alta despre împrăștiere: „Cele două clase au același nivel median ( $7$ ), dar rezultatele clasei A sunt net mai împrăștiate ( $IQR = 5$ față de $1$ ), deci grupul A este mult mai neomogen."

7. Ce nu se vede într-un boxplot

Diagrama este puternică tocmai pentru că aruncă detaliile — dar de aici vin și limitele ei.

Nu se vede numărul de date. Un boxplot din $7$ valori arată identic cu unul din $700$ care au aceleași cinci numere; de aceea volumele se scriu alături de desen.
Nu se văd valorile individuale, nici cât de des se repetă: două seturi diferite pot avea același boxplot.
Nu se vede dacă datele au două „vârfuri", adică două grupuri distincte. Pentru asta ai nevoie de o histogramă sau de o diagramă cu bare.
Nu se vede media. Boxplot-ul este construit doar din numere de poziție.

Notă informativă (o singură dată, doar aici). În statistica avansată se folosește uneori o convenție diferită, în care mustățile se opresc la ultima valoare aflată la cel mult $1, 5 \cdot IQR$ de marginea cutiei, iar valorile din afara acestui interval se desenează separat, ca puncte, și se numesc valori extreme (sau aberante). În lecțiile, exemplele și testele acestui manual nu folosim regula respectivă: mustățile merg întotdeauna până la minimul și la maximul setului. Ține minte doar că, dacă vezi puncte izolate într-un boxplot dintr-o carte sau dintr-un articol, aceea este convenția cealaltă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rezumatul celor cinci numere, $n$ impar

Se dă setul $3, 6, 8, 11, 14, 16, 19$ . Determină cele cinci numere caracteristice.

Rezolvare. Datele sunt ordonate, $n = 7$ impar, deci mediana este a patra valoare: $Q_{2} = 11$ . Din $3, 6, 8$ iese $Q_{1} = 6$ , iar din $14, 16, 19$ iese $Q_{3} = 16$ . Rezumatul: $3$ ; $6$ ; $11$ ; $16$ ; $19$ , cu amplitudinea $16$ și $IQR = 10$ .

Exemplul 2 — Rezumatul celor cinci numere, $n$ par

Se dă setul $2, 4, 7, 9, 12, 14, 17, 19$ . Determină cele cinci numere și lungimile mustăților.

Rezolvare. $n = 8$ este par, deci $Q_{2} = \frac{9 + 12}{2} = 10, 5$ ; din $2, 4, 7, 9$ iese $Q_{1} = 5, 5$ , iar din $12, 14, 17, 19$ iese $Q_{3} = 15, 5$ . Rezumatul: $2$ ; $5, 5$ ; $10, 5$ ; $15, 5$ ; $19$ . Ambele mustăți au lungimea $3, 5$ , iar mediana cade la mijlocul cutiei ( $10, 5 - 5, 5 = 5 = 15, 5 - 10, 5$ ): setul este simetric.

Exemplul 3 — Citirea unei diagrame date

Un boxplot al temperaturilor maxime dintr-o lună are $x_{m i n} = 12$ , $Q_{1} = 14, 5$ , $Q_{2} = 18$ , $Q_{3} = 22$ , $x_{m a x} = 26$ (grade Celsius). Câte procente din zile au avut maxima peste $2 2^{\circ}$ C? Dar între $14, 5^{\circ}$ C și $1 8^{\circ}$ C? Este setul simetric?

Rezolvare. Peste $Q_{3} = 22$ se află ultimul sfert, adică $25%$ dintre zile; între $Q_{1}$ și $Q_{2}$ se află al doilea sfert, tot $25%$ .

Pentru simetrie comparăm: în cutie, $18 - 14, 5 = 3, 5$ în stânga medianei și $22 - 18 = 4$ în dreapta; mustața stângă are $2, 5$ , cea dreaptă $4$ . Ambele comparații înclină la fel, deci setul este ușor asimetric spre dreapta.

Exemplul 4 — Construcția completă

Zece produse dintr-un magazin au prețurile (în lei): $15, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 34, 43$ . Construiește boxplot-ul și comentează forma.

Rezolvare. $n = 10$ par: $Q_{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25$ ; din $15, 18, 20, 22, 24$ iese $Q_{1} = 20$ , iar din $26, 28, 30, 34, 43$ iese $Q_{3} = 30$ . Rezumatul: $15$ ; $20$ ; $25$ ; $30$ ; $43$ , cu $IQR = 10$ , mediana fix la mijlocul cutiei, mustața stângă $5$ și cea dreaptă $13$ .

✏️Ilustrație: boxplot orizontal pe axă gradată 10–45 cu eticheta „preț (lei)"; cutie de la 20 la 30, mediană la 25, mustață stângă până la 15, mustață dreaptă lungă până la 43

Comentariu: jumătatea „de mijloc" a prețurilor este strânsă între $20$ și $30$ de lei, dar sfertul de sus se întinde până la $43$ — produsele scumpe, puține și răzlețe, trag media ( $26$ lei) peste mediană ( $25$ lei).

Exemplul 5 — Comparare pe două cutii

Doi frați și-au notat, timp de o săptămână, minutele petrecute pe telefon:

Andrei: $30, 40, 45, 50, 55, 60, 90$
Bianca: $10, 25, 45, 50, 55, 75, 100$

Compară cele două seturi cu ajutorul boxplot-urilor.

Rezolvare. Ambele au $n = 7$ , deci $Q_{2} = x_{4} = 50$ la amândoi. Andrei: $Q_{1} = 40$ (din $30, 40, 45$ ), $Q_{3} = 60$ (din $55, 60, 90$ ), deci rezumat $30$ ; $40$ ; $50$ ; $60$ ; $90$ , cu $IQR = 20$ . Bianca: $Q_{1} = 25$ , $Q_{3} = 75$ , deci rezumat $10$ ; $25$ ; $50$ ; $75$ ; $100$ , cu $IQR = 50$ .

✏️Ilustrație: două boxplot-uri orizontale pe aceeași axă 0–110, eticheta „minute pe telefon"; sus Andrei (cutie 40–60, mediană 50, mustăți la 30 și 90), jos Bianca (cutie 25–75, mediană 50, mustăți la 10 și 100)

Concluzia: au exact același obicei median — jumătate din zile sub $50$ de minute, jumătate peste. Dar Bianca este mult mai inconstantă: cutia ei este de două ori și jumătate mai lată ( $50$ față de $20$ ), cu zile de $10$ minute și zile de $100$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră setul de date $4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14$ , reprezentând numărul de mii de pași făcuți zilnic de o persoană, timp de $11$ zile.

a) Determină cele cinci numere caracteristice ale setului. b) Calculează abaterea intercuartilică și amplitudinea. c) Precizează câte zile au avut cel mult $Q_{1}$ mii de pași.

Rezolvare.

a) Datele sunt ordonate, $n = 11$ impar, deci $Q_{2} = x_{6} = 8$ ; din $4, 5, 6, 6, 7$ iese $Q_{1} = 6$ , iar din $9, 10, 11, 12, 14$ iese $Q_{3} = 11$ . Rezumatul: $4$ ; $6$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ .

b) $IQR = Q_{3} - Q_{1} = 11 - 6 = 5$ (mii de pași); amplitudinea $= 14 - 4 = 10$ (mii de pași).

c) Valorile cel mult egale cu $6$ sunt $4, 5, 6, 6$ , adică $4$ zile din $11$ .

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare set, ordonează întâi datele, scrie cele cinci numere pe un rând și abia apoi desenează. Mustățile merg mereu până la minim și până la maxim.

1. Determină cele cinci numere caracteristice pentru setul $2, 5, 7, 9, 11, 13, 16$ .

2. Determină cele cinci numere caracteristice pentru setul $6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 22$ .

3. Pentru setul $12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 26$ , calculează $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , amplitudinea și $IQR$ .

4. Desenează pe caiet boxplot-ul setului de la exercițiul $3$ , pe o axă gradată din $2$ în $2$ , de la $10$ la $28$ .

5. Un boxplot are $x_{m i n} = 5$ , $Q_{1} = 9$ , $Q_{2} = 12$ , $Q_{3} = 15$ , $x_{m a x} = 25$ . Cât este lungimea cutiei? Dar lungimea fiecărei mustăți?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un boxplot, cutia conține jumătate dintre valorile setului."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă linia medianei este la mijlocul cutiei, atunci setul este obligatoriu simetric."

8. Pentru setul $20, 22, 25, 25, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 44, 53$ (durate, în minute), determină cele cinci numere caracteristice.

9. Folosind rezultatele de la exercițiul $8$ , precizează dacă setul este asimetric și în ce direcție, comparând lungimile celor două mustăți.

10. Un boxplot al notelor unei clase de $24$ de elevi are $Q_{1} = 6$ și $Q_{3} = 9$ . Câți elevi au luat cel puțin $9$ ? Câți au note între $6$ și $9$ ?

11. Se dau seturile $P : 3, 5, 5, 6, 8, 9$ și $R : 1, 4, 5, 6, 10, 10$ . Determină cele cinci numere pentru fiecare și spune care set are cutia mai lată.

12. (Problemă aplicată.) Cei $13$ trandafiri dintr-un lot depășesc înălțimea de $40$ cm cu, respectiv, $1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10$ centimetri. Determină cele cinci numere caracteristice ale acestor depășiri.

13. Explică, în două-trei rânduri, de ce două seturi de date diferite pot avea exact același boxplot. Arată apoi că seturile $A : 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13$ și $B : 1, 2, 6, 6, 7, 9, 10, 10, 13$ au același rezumat al celor cinci numere.

14. Un boxplot are mustața stângă de lungime $2$ , cutia de lungime $3$ și mustața dreaptă de lungime $11$ . Fără să știi valorile, ce poți spune despre forma setului?

15. Se dă setul $4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14$ . Câte valori se află strict între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ ?

16. (Problemă aplicată.) Doi vânzători au încasat, în șase zile, sumele (în sute de lei): Vlad — $20, 22, 24, 26, 28, 30$ ; Radu — $10, 18, 24, 26, 32, 40$ . Determină cele cinci numere pentru fiecare și scrie o concluzie în două propoziții, una despre centru și una despre împrăștiere.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 10$ . a) Determină mediana și cuartilele. b) Calculează abaterea intercuartilică. c) Precizează câte valori sunt mai mari decât $Q_{3}$ .

18. (Provocare.) Construiește un set de $9$ numere naturale cu $x_{m i n} = 2$ , $Q_{1} = 4$ , $Q_{2} = 6$ , $Q_{3} = 9$ și $x_{m a x} = 15$ . Câte seturi diferite se pot construi? Argumentează de ce sunt mai multe.

Răspunsuri și explicații

1. $n = 7$ impar, deci $Q_{2} = x_{4} = 9$ . Jumătatea de jos: $2, 5, 7 \Rightarrow Q_{1} = 5$ . Jumătatea de sus: $11, 13, 16 \Rightarrow Q_{3} = 13$ . Rezumatul: $2$ ; $5$ ; $9$ ; $13$ ; $16$ .

2. $n = 8$ par, deci $Q_{2} = \frac{12 + 15}{2} = 13, 5$ . Jos: $6, 8, 10, 12 \Rightarrow Q_{1} = 9$ . Sus: $15, 17, 20, 22 \Rightarrow Q_{3} = 18, 5$ . Rezumatul: $6$ ; $9$ ; $13, 5$ ; $18, 5$ ; $22$ .

3. $n = 9$ impar, $Q_{2} = x_{5} = 18$ ; jos $12, 14, 15, 17 \Rightarrow Q_{1} = 14, 5$ ; sus $20, 21, 23, 26 \Rightarrow Q_{3} = 22$ . Amplitudine $14$ , $IQR = 7, 5$ .

4. Cutia se desenează de la $14, 5$ la $22$ , cu linia medianei la $18$ , iar mustățile merg până la $12$ și până la $26$ . Verificare: mediana cade puțin mai aproape de marginea stângă ( $3, 5$ ) decât de cea dreaptă ( $4$ ).

5. $IQR = 15 - 9 = 6$ ; mustața stângă $4$ , cea dreaptă $10$ . Coada din dreapta fiind mult mai lungă, setul este asimetric spre dreapta.

6. Adevărat. Între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ se află al doilea și al treilea sfert, adică $25% + 25% = 50%$ dintre valori.

7. Fals. Poziția medianei descrie doar jumătatea din mijloc a datelor; mustățile pot fi foarte diferite. Contraexemplu: setul $5, 7, 10, 10, 18$ are $Q_{1} = 6$ , $Q_{2} = 10$ , $Q_{3} = 14$ , deci mediana stă exact la mijlocul cutiei, dar mustața stângă are lungimea $1$ , iar cea dreaptă $4$ — set clar asimetric spre dreapta.

8. $n = 12$ par: $Q_{2} = \frac{30 + 32}{2} = 31$ ; jos $20, 22, 25, 25, 28, 30 \Rightarrow Q_{1} = 25$ ; sus $32, 35, 36, 40, 44, 53 \Rightarrow Q_{3} = 38$ . Rezumatul: $20$ ; $25$ ; $31$ ; $38$ ; $53$ .

9. Mustața stângă are lungimea $5$ , cea dreaptă $15$ ; fiind de trei ori mai lungă la dreapta, setul este asimetric spre dreapta: duratele mari sunt mai răsfirate decât cele mici.

10. Peste $Q_{3}$ stă ultimul sfert, $25%$ din $24$ , adică $6$ elevi; între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ stă jumătatea din mijloc, $50%$ din $24$ , adică $12$ elevi.

11. $P$ : $Q_{2} = 5, 5$ , $Q_{1} = 5$ , $Q_{3} = 8$ , deci $IQR = 3$ . $R$ : $Q_{2} = 5, 5$ , $Q_{1} = 4$ , $Q_{3} = 10$ , deci $IQR = 6$ . Setul $R$ are cutia de două ori mai lată, deși medianele sunt egale.

12. $n = 13$ impar, $Q_{2} = x_{7} = 5$ ; jos $1, 2, 2, 3, 4, 5 \Rightarrow Q_{1} = 2, 5$ ; sus $6, 7, 8, 9, 9, 10 \Rightarrow Q_{3} = 8, 5$ . Rezumatul: $1$ ; $2, 5$ ; $5$ ; $8, 5$ ; $10$ .

13. Pentru că boxplot-ul păstrează doar cinci praguri și aruncă tot restul. Ambele seturi au $Q_{2} = 7$ , $Q_{1} = 4$ , $Q_{3} = 10$ , minimul $1$ și maximul $13$ , deși nu au aproape nicio valoare comună: valorile dintre granițe pot fi mutate fără ca desenul să se schimbe.

14. Cutia este scurtă, deci grupul central e omogen; mustața dreaptă e însă de peste trei ori mai lungă decât toată cutia, deci sfertul superior e extrem de răsfirat. Setul este puternic asimetric spre dreapta, iar media va depăși vizibil mediana.

15. Cele cinci numere sunt $4$ ; $6$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ (le-am calculat la Exemplul 6). Strict între $Q_{1} = 6$ și $Q_{3} = 11$ se află valorile $7, 8, 9, 10$ , adică $4$ valori.

16. Vlad: rezumat $20$ ; $22$ ; $25$ ; $28$ ; $30$ , cu $IQR = 6$ . Radu: rezumat $10$ ; $18$ ; $25$ ; $32$ ; $40$ , cu $IQR = 14$ . Concluzie: au exact aceeași încasare mediană, $2500$ de lei pe zi, dar încasările lui Radu sunt mult mai împrăștiate, deci activitatea lui e mai neregulată.

17. a) $n = 9$ impar, deci $Q_{2} = x_{5} = 7$ ; jos $3, 4, 5, 7 \Rightarrow Q_{1} = 4, 5$ ; sus $8, 9, 10, 10 \Rightarrow Q_{3} = 9, 5$ . b) $IQR = 5$ . c) Mai mari decât $9, 5$ sunt $10$ și $10$ , adică $2$ valori.

18. Un exemplu valid: $2, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 15$ . Verificare: $n = 9$ impar, deci $Q_{2} = x_{5} = 6$ ✓; din $2, 3, 5, 5$ iese $Q_{1} = 4$ ✓, iar din $7, 8, 10, 15$ iese $Q_{3} = 9$ ✓; minimul $2$ ✓, maximul $15$ ✓.

Există mai multe asemenea seturi, pentru că cele cinci numere fixează doar pragurile: de $Q_{1}$ răspunde doar suma $x_{2} + x_{3} = 8$ , de $Q_{3}$ doar suma $x_{7} + x_{8} = 18$ , iar $x_{4}$ și $x_{6}$ pot lua orice valori care păstrează ordinea. O a doua soluție: $2, 4, 4, 6, 6, 7, 9, 9, 15$ .

De reținut

Rezumatul celor cinci numere, $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $x_{m a x}$ , taie setul de date în patru sferturi cu același număr de valori.
Boxplot-ul se desenează pe o axă gradată: cutia de la $Q_{1}$ la $Q_{3}$ , o linie la $Q_{2}$ în interiorul ei și mustăți duse până la minim și până la maxim.
Lungimea cutiei este $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ și măsoară împrăștierea jumătății din mijloc a datelor; lungimea totală, de la un capăt de mustață la altul, este amplitudinea.
Forma se citește din poziția medianei în cutie și din raportul lungimilor mustăților: o mustață dreaptă mult mai lungă înseamnă asimetrie spre dreapta, iar acolo media depășește de obicei mediana.
Boxplot-ul nu arată câte date sunt, ce valori individuale au și dacă există mai multe grupuri; când compari două seturi, scrie întotdeauna și volumele lor.

Greșeli frecvente

Calcularea cuartilelor pe date neordonate. Cuartilele au sens doar pe șirul crescător; primul gest este întotdeauna ordonarea.
Includerea medianei în jumătăți la $n$ impar. Convenția manualului spune clar: la $n$ impar, valoarea mediană nu intră în niciuna dintre jumătăți. Includerea ei schimbă $Q_{1}$ și $Q_{3}$ și duce la un boxplot greșit.
Mustăți desenate „cât să arate frumos". Mustața se oprește exact la minimul, respectiv la maximul setului; un capăt care nu corespunde unei valori reale este o eroare.
Confundarea lungimii cutiei cu numărul de date. O cutie lată nu înseamnă „mai mulți elevi", ci „valori mai împrăștiate": în cutie stau mereu exact $50%$ dintre valori.
Citirea mediei de pe diagramă. Linia din interiorul cutiei este mediana, nu media; la seturile asimetrice diferența dintre ele este chiar informația interesantă.

Aplică acasă

Săptămâna ta în cinci numere. Notează timp de $9$ zile câte minute ai petrecut la teme, ordonează datele, calculează cele cinci numere și desenează boxplot-ul. Apoi răspunde în scris: „ce zi ar trebui să schimb ca să scurtez cutia?".
Duelul boxplot-urilor. Cere aceleași date unui coleg și desenează cele două boxplot-uri unul sub altul, pe aceeași axă. Scrie două propoziții de comparație: una despre mediană, una despre lățimea cutiei.
Boxplot digital. Introdu cele două seturi într-o foaie de calcul (Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc), pe două coloane, și inserează un grafic de tip „Casetă și mustăți". Compară-l cu desenul tău de mână: dacă $Q_{1}$ și $Q_{3}$ diferă, ai găsit un lucru important — funcția QUARTILE folosește alt algoritm de interpolare decât manualul, mai ales la seturi mici, iar la școală și la examen se folosește algoritmul învățat aici.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singura reprezentare grafică din programa de clasa a X-a construită exclusiv din indicatori de poziție, nu din frecvențe. Verifică dacă elevul stăpânește algoritmul cuartilelor (X.CS.2.3) și dacă poate trece de la desen la interpretare, adică să spună ce înseamnă o cutie lată sau o mustață lungă în contextul concret al problemei (X.CS.5.3).

Întrebări bune de control: „Câte procente din date se află în cutie?" ( $50%$ ); „Ce reprezintă linia din interiorul cutiei?" (mediana, nu media); „Până unde merg mustățile?" (până la minim și maxim); „Ce înseamnă că mustața dreaptă e de trei ori mai lungă decât cea stângă?" (asimetrie spre dreapta). Semnul cel mai clar că elevul a înțeles este că, pus în fața a două cutii alăturate, formulează spontan două afirmații: una despre nivel și una despre omogenitate.

Un accent care merită insistență: în manual, mustățile merg întotdeauna până la minim și maxim, la orice diagramă, în lecții și în teste deopotrivă. Nota informativă din lecție semnalează doar că mai există și o altă convenție, folosită în statistica avansată și în unele programe de calcul; elevul trebuie să o recunoască dacă o întâlnește, nu să o aplice.

La Bacalaureat, subiectul apare cel mai des sub forma „se dă un set de date; determinați mediana și cuartilele" sau „se dă o diagramă; citiți valorile cerute". Punctajul se pierde la ordonarea datelor și la cazul $n$ impar, nu la desen.

Întrebări frecvente

Ce este o diagramă boxplot? Este reprezentarea grafică a unui set de date, construită din cinci numere: minimul, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ și maximul. Se desenează ca o cutie între $Q_{1}$ și $Q_{3}$ , cu o linie la mediană și cu două mustăți duse până la minimul și la maximul setului.

Cum se construiește un boxplot pas cu pas? Ordonezi datele crescător, calculezi cele cinci numere, trasezi o axă gradată cu unitatea de măsură scrisă, desenezi cutia de la $Q_{1}$ la $Q_{3}$ , pui linia medianei în interior și duci mustățile până la minim și maxim.

Ce reprezintă cutia dintr-un boxplot? Cutia acoperă jumătatea din mijloc a datelor, adică $50%$ dintre valori, cele dintre $Q_{1}$ și $Q_{3}$ . Lungimea ei este abaterea intercuartilică, $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ .

Ce înseamnă o cutie lungă față de una scurtă? O cutie scurtă arată un grup omogen; una lungă, un grup împrăștiat, în care și valorile „obișnuite" diferă mult între ele. Numărul de date este același: $50%$ din set.

Linia din mijlocul cutiei este media sau mediana? Este mediana; media nu apare în diagrama clasică. La seturile asimetrice, cele două numere diferă vizibil, iar diferența dintre ele este chiar un semnal de asimetrie.

Cum compar două seturi de date folosind boxplot-uri? Le desenezi pe aceeași axă, unul sub altul, cu aceeași scară. Compari pozițiile medianelor (nivelul), lățimile cutiilor (omogenitatea) și lungimile mustăților (cozile). Concluzia se scrie în două propoziții, una despre centru și una despre împrăștiere.

Cum îmi dau seama dintr-un boxplot dacă datele sunt asimetrice? Compari distanțele $Q_{2} - Q_{1}$ și $Q_{3} - Q_{2}$ , apoi lungimile mustăților. Dacă partea dreaptă e vizibil mai lungă în ambele comparații, setul e asimetric spre dreapta; dacă cea stângă e mai lungă, e asimetric spre stânga.

De ce nu se vede numărul de date pe un boxplot? Pentru că diagrama folosește doar praguri de poziție, care nu depind de volumul setului: un set de $7$ valori și unul de $700$ pot da desene identice. De aceea volumul se scrie alături de diagramă.