Frecvențe relative și procente

Două clase au completat același chestionar: „faci sport de cel puțin două ori pe săptămână?". În clasa a X-a A au răspuns „da" $9$ elevi. În clasa a X-a B au răspuns „da" $12$ elevi. Care clasă e mai sportivă? Răspunsul care vine primul în minte — „B, evident, are mai mulți" — este greșit, și nu puțin greșit. Clasa A are $18$ elevi, deci sportivii înseamnă acolo jumătate din clasă. Clasa B are $30$ de elevi, iar cei $12$ înseamnă doar $40\%$. Clasa mai sportivă este, de fapt, A.

Aici se vede limita frecvențelor absolute: ele spun câți, dar nu spun din câți. Un număr singur, rupt de totalul din care provine, nu poate fi comparat cu nimic — și exact pe acest tip de eroare se construiesc jumătate din titlurile înșelătoare din presă. Remediul e o operație de o linie: împărțim fiecare frecvență absolută la numărul total de date. Obținem frecvențele relative, care se exprimă cel mai adesea în procente, sunt comparabile între grupuri de mărimi diferite și au o proprietate de control la fel de utilă ca suma frecvențelor absolute: adunate, dau întotdeauna $1$.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi frecvența relativă $f_i=\frac{n_i}{n}$ și să o exprimi ca fracție, ca număr zecimal și în procente.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești proprietatea $\sum f_i=1$, respectiv $\sum p_i=100\%$.
• Vei ști să compari două seturi de date de volume diferite, folosind procentele în locul frecvențelor absolute.
• Vei ști să treci înapoi de la procent la frecvența absolută, cu $n_i=f_i\cdot n$.
• Vei ști de ce procentele rotunjite pot să nu dea exact $100\%$ și cum se raportează corect în acest caz.
• Vei ști să calculezi frecvențele relative și să le formatezi ca procente într-o foaie de calcul.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția și cele trei forme de scriere

Definiție. Fie un set cu $n$ date, în care valoarea $v_i$ are frecvența absolută $n_i$. Se numește frecvență relativă a valorii $v_i$ numărul

$$f_i=\frac{n_i}{n}.$$

Frecvența relativă arată ce parte din setul de date o reprezintă valoarea $v_i$. Ea se scrie în trei forme, toate corecte, folosite în situații diferite:

• ca fracție: $f_i=\frac{6}{25}$ — forma exactă, cea folosită în calcule;
• ca număr zecimal: $f_i=0,24$ — forma folosită în tabele și în programe;
• ca procent: $p_i=f_i\cdot 100\%=24\%$ — forma folosită în comunicare.

Trecerea de la frecvența relativă la procent se face înmulțind cu $100$, iar înapoi, împărțind la $100$. Nu confunda cele două: $f_i=0,24$ și $p_i=24\%$ sunt același lucru scris altfel, dar „$f_i=24$" e o greșeală de scriere care va strica toate calculele următoare.

2. Tabelul complet de frecvențe

Reluăm notele celor $25$ de elevi ai clasei a X-a B, cu frecvențele absolute deja calculate în lecția Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute, și adăugăm două coloane:

Citim direct: aproape un sfert dintre elevi au nota $7$, tot atâția au nota $8$, iar $4\%$ (adică un singur elev) au nota $4$. Aceste procente pot fi comparate cu procentele altei clase, indiferent câți elevi are ea — ceea ce frecvențele absolute nu permiteau.

3. De ce suma frecvențelor relative este întotdeauna 1

Proprietatea nu e o coincidență a exemplului, ci o consecință directă a definiției. Dacă valorile distincte sunt $v_1,\dots ,v_k$, atunci

$$\sum _{i=1}^k{f}_i=\sum _{i=1}^k\frac{n_i}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i=\frac{1}{n}\cdot n=1.$$

Am folosit, la penultimul pas, exact verificarea din lecția precedentă: $\sum n_i=n$. Deci cele două verificări sunt aceeași verificare, scrisă în două limbaje. În procente, proprietatea devine

$$\sum _{i=1}^k{p}_i=100\%.$$

Mai reține și încadrarea: pentru orice $i$ avem $0\le n_i\le n$, deci

$$0\le f_i\le 1,0\%\le p_i\le 100\%.$$

O frecvență relativă mai mare decât $1$ sau un procent peste $100\%$ înseamnă, fără excepție, o greșeală de calcul — cel mai des împărțirea la numărul greșit.

4. Compararea a două seturi de volume diferite

Aceasta e utilitatea principală a frecvențelor relative. Revenim la cele două clase din deschidere:

În valori absolute, B pare înaintea lui A ($12>9$). În valori relative, ordinea se inversează: $50\%>40\%$. Care e răspunsul corect la întrebarea „care clasă e mai sportivă?" Cea relativă — pentru că întrebarea se referă la o proporție din clasă, nu la un număr de persoane.

Regula practică: compari frecvențe absolute doar între grupuri de aceeași mărime. În rest, treci obligatoriu la procente. Vom relua tema, cu instrumente mai fine, în lecția Compararea a două seturi de date.

5. Rotunjirea și capcana sumei de 100%

Până acum, toate procentele au ieșit „rotunde", pentru că $n=25$ împarte comod. Nu e mereu așa. Am întrebat $30$ de elevi care e sportul lor preferat:

Suma procentelor rotunjite este

$$36,7+26,7+16,7+10,0+10,0=100,1(\%),$$

deci nu dă $100$. Nu e nicio greșeală de calcul: trei dintre valori au fost rotunjite în sus, fiecare cu circa $0,033$, iar cele trei mici creșteri s-au adunat într-o zecime. Fenomenul apare ori de câte ori rotunjești și e cunoscut sub numele de eroare de rotunjire.

Cum se procedează corect:

1. Verificarea se face pe valorile exacte, nu pe cele rotunjite: $\sum f_i=1$ se controlează cu fracțiile, unde egalitatea e perfectă.
2. Rotunjești o singură dată, la final. Dacă rotunjești pe parcurs și apoi mai calculezi cu numerele rotunjite, erorile se acumulează.
3. Când publici un tabel a cărui sumă iese $99,9\%$ sau $100,1\%$, se adaugă o notă de subsol: „diferența față de $100\%$ provine din rotunjire". Așa procedează toate institutele de statistică.
4. Nu „repara" un procent la întâmplare ca să iasă suma. Dacă totuși e nevoie ca totalul afișat să fie exact $100\%$ (de exemplu, într-un raport oficial), se ajustează categoria cu frecvența cea mai mare, iar ajustarea se menționează.

Reține regula de rotunjire: la o zecimală, te uiți la a doua zecimală; dacă e $5$ sau mai mare, cifra zecimilor crește cu $1$; altfel rămâne. Astfel $36,666\dots$ devine $36,7$, iar $16,666\dots$ devine $16,7$.

6. Drumul invers: de la procent la frecvența absolută

Formula se răstoarnă imediat:

$$f_i=\frac{n_i}{n}⟺n_i=f_i\cdot n=\frac{p_i}{100}\cdot n.$$

Într-un liceu cu $800$ de elevi, dacă $35\%$ merg pe jos la școală, numărul lor este

$$n_i=\frac{35}{100}\cdot 800=280\text{ elevi}.$$

Atenție la un detaliu care apare des în probleme: rezultatul trebuie să fie număr natural. Dacă îți iese $n_i=27,3$ elevi, ori procentul era rotunjit, ori totalul e greșit. Când datele sunt corecte și procentul e exact, $n_i$ iese întotdeauna întreg.

Al treilea tip de întrebare care se rezolvă cu aceeași formulă este aflarea totalului: dacă $18$ elevi reprezintă $22,5\%$ dintr-un grup, atunci

$$n=\frac{n_i}{f_i}=\frac{18}{0,225}=80\text{ elevi}.$$

7. Cum se face în foaia de calcul

Presupunem că frecvențele absolute sunt în coloana F, pe rândurile $2$–$8$, iar totalul $n$ e în celula F9.

• În G2 scrii =F2/F9 și tragi formula în jos. Ca să nu se deplaseze celula totalului, o fixezi mai întâi ca referință absolută (în majoritatea programelor, punând simbolul dolar în fața literei coloanei și a numărului de rând). Fără această fixare, a doua formulă va împărți la F10, care e goală, și vei primi o eroare de împărțire la zero — un semn util că ai uitat fixarea.
• Rezultatele apar ca numere zecimale. Pentru a le vedea în procente, selectezi coloana și aplici formatul procentual; programul afișează $0,24$ ca $24\%$, fără să modifice valoarea din spate. Asta e important: formatarea schimbă doar afișarea, nu numărul, deci toate calculele ulterioare rămân corecte.
• În G9 pui =SUM(G2:G8). Trebuie să apară $1$ (adică $100\%$ în format procentual). Este verificarea $\sum f_i=1$.
• Dacă vrei procente rotunjite la o zecimală într-o coloană separată, folosești =ROUND(G2*100; 1). Aici vei vedea cu ochii tăi fenomenul din secțiunea $5$: suma coloanei rotunjite poate să iasă $100,1$, în timp ce suma coloanei nerotunjite rămâne exact $100$.

(Numele funcțiilor sunt scrise în engleză, forma în care apar în Google Sheets și în majoritatea instalărilor de Excel; separatorul de argumente poate fi ; sau ,, după setările programului.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul de frecvențe relative

Notele a $25$ de elevi au frecvențele absolute: $1,2,4,6,6,4,2$ pentru notele $4,5,6,7,8,9,10$. Calculați frecvențele relative și procentele și verificați suma.

Rezolvare. Împărțim fiecare frecvență la $n=25$:

$$\frac{1}{25}=0,04;\frac{2}{25}=0,08;\frac{4}{25}=0,16;\frac{6}{25}=0,24.$$

Deci procentele sunt, în ordine, $4\%$, $8\%$, $16\%$, $24\%$, $24\%$, $16\%$, $8\%$.

Verificare: $4+8+16+24+24+16+8=100$, adică $100\%$ ✓. Echivalent, pe fracții: $\frac{1+2+4+6+6+4+2}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✓.

Exemplul 2 — Comparație corectă între două clase

În clasa A, $9$ din $18$ elevi fac sport regulat; în clasa B, $12$ din $30$. Care clasă e mai sportivă?

Rezolvare. Comparăm frecvențele relative, nu pe cele absolute:

$$f_A=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}=0,5=50\%,f_B=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$$

Cum $50\%>40\%$, clasa A e mai sportivă, deși are mai puțini sportivi în cifre absolute. Comparația directă $12>9$ e lipsită de sens aici, pentru că cele două clase au volume diferite.

Exemplul 3 — Rotunjirea care strică totalul

Din $30$ de elevi, $11$ preferă fotbalul, $8$ baschetul, $5$ voleiul, $3$ tenisul și $3$ alte sporturi. Calculați procentele rotunjite la o zecimală și comentați suma lor.

Rezolvare.

$$\frac{11}{30}=0,3666\dots \to 36,7\%;\frac{8}{30}=0,2666\dots \to 26,7\%;\frac{5}{30}=0,1666\dots \to 16,7\%;$$

$$\frac{3}{30}=0,1=10,0\%(\text{de doua˘ ori}).$$

Suma: $36,7+26,7+16,7+10,0+10,0=100,1(\%)$.

Comentariu: suma depășește $100\%$ cu o zecime pentru că trei valori au fost rotunjite în sus. Pe valorile exacte, suma este $\frac{11+8+5+3+3}{30}=\frac{30}{30}=1=100\%$. Tabelul se publică cu mențiunea „diferența provine din rotunjire".

Exemplul 4 — De la procent la număr

Într-un liceu cu $800$ de elevi, $35\%$ vin pe jos, $30\%$ cu autobuzul, $20\%$ cu mașina, iar restul cu bicicleta. Câți elevi sunt în fiecare categorie?

Rezolvare. Procentul bicicliștilor este $100\%-(35\%+30\%+20\%)=15\%$. Apoi:

$$0,35\cdot 800=280;0,30\cdot 800=240;0,20\cdot 800=160;0,15\cdot 800=120.$$

Verificare: $280+240+160+120=800$ ✓ — suma frecvențelor absolute trebuie să dea $n$, exact ca la lecția precedentă.

Exemplul 5 — Aflarea totalului

Într-un sondaj, $54$ de persoane au răspuns „da", ceea ce reprezintă $22,5\%$ dintre respondenți. Câți respondenți au fost în total? Câți au răspuns altfel decât „da"?

Rezolvare. Din $f=\frac{n_i}{n}$ obținem

$$n=\frac{n_i}{f}=\frac{54}{0,225}=\frac{54000}{225}=240\text{ respondenți}.$$

Cei care nu au răspuns „da" sunt $240-54=186$, adică $100\%-22,5\%=77,5\%$.

Verificare: $0,775\cdot 240=186$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Într-o clasă cu $40$ de elevi, culoarea preferată a fost: albastru — $14$ elevi, roșu — $10$, verde — $9$, galben — $7$. Determinați frecvențele relative, exprimate în procente, și verificați rezultatul.

Rezolvare. Împărțim fiecare frecvență la $n=40$:

$$\frac{14}{40}=\frac{7}{20}=0,35=35\%;\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=0,25=25\%;$$

$$\frac{9}{40}=0,225=22,5\%;\frac{7}{40}=0,175=17,5\%.$$

Verificare: $35+25+22,5+17,5=100$, adică $100\%$ ✓. Aici toate procentele sunt exacte, pentru că $40$ împarte $100$ fără rest de zecimale infinite: $\frac{100}{40}=2,5$, deci fiecare elev „valorează" exact $2,5\%$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare tabel, scrie verificarea sumei — pe fracții, nu pe procentele rotunjite.

1. Într-un set cu $n=20$ de date, o valoare are frecvența absolută $5$. Calculează frecvența relativă și procentul.

2. Într-un set cu $n=50$, frecvențele absolute sunt $12$, $18$, $15$ și $5$. Calculează frecvențele relative în procente și verifică suma.

3. Într-un grup de $80$ de persoane, $28$ preferă ceaiul. Ce procent reprezintă?

4. Un procent de $45\%$ dintr-un grup de $60$ de persoane înseamnă câți oameni?

5. Într-un set de date, o valoare are frecvența relativă $0,12$, iar frecvența ei absolută este $9$. Câte date are setul?

6. Clasa A are $20$ de elevi, dintre care $12$ au luat peste $8$; clasa B are $25$ de elevi, dintre care $14$ au luat peste $8$. Care clasă a avut rezultate mai bune?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o valoare are frecvența relativă $1,2$, înseamnă că apare foarte des."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma procentelor dintr-un tabel de frecvențe rotunjite la o zecimală este întotdeauna exact $100\%$."

9. Într-un set cu $n=30$, patru valori au frecvențele $12$, $9$, $6$ și $3$. Calculează procentele și verifică suma.

10. (Problemă aplicată.) Un magazin a vândut $200$ de perechi de pantofi: $70$ mărimea $38$, $60$ mărimea $39$, $40$ mărimea $40$, $30$ mărimea $41$. Calculează procentele și spune ce mărimi ar trebui să reprezinte prioritatea la următoarea comandă.

11. Într-un set cu $n=30$, frecvențele sunt $11$, $8$, $5$, $3$ și $3$. Calculează procentele rotunjite la o zecimală și explică de ce suma lor nu dă $100\%$.

12. Într-un liceu cu $600$ de elevi, $18\%$ studiază germana. Câți elevi sunt? Dacă la anul numărul lor crește la $126$, ce procent reprezintă atunci?

13. (Problemă aplicată.) Un articol spune: „numărul accidentelor a crescut de la $8$ la $12$ într-un oraș și de la $50$ la $60$ în alt oraș; primul oraș stă mai bine, pentru că are mai puține accidente". Ce e greșit în raționament?

14. Ce formulă scrii într-o foaie de calcul pentru frecvența relativă și ce trebuie să dea suma coloanei? Cum obții afișarea în procente?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Într-o clasă cu $40$ de elevi, $14$ au ales albastrul, $10$ roșul, $9$ verdele și $7$ galbenul. Determinați frecvențele relative exprimate în procente.

16. Într-un set de date, două valori au procentele $32\%$ și $28\%$, iar celelalte trei valori au procente egale între ele. Ce procent are fiecare dintre acestea trei?

17. Un sondaj pe $250$ de persoane arată $46\%$ răspunsuri „da", $34\%$ „nu" și restul „nu știu". Câte persoane au ales fiecare variantă?

18. (Provocare.) Într-un grup, $60\%$ sunt fete. Dintre fete, $25\%$ fac sport; dintre băieți, $50\%$ fac sport. Ce procent din tot grupul face sport? Verifică rezultatul luând un grup concret de $200$ de persoane.

Răspunsuri și explicații

1. $f=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25=25\%$.

2. $\frac{12}{50}=24\%$; $\frac{18}{50}=36\%$; $\frac{15}{50}=30\%$; $\frac{5}{50}=10\%$. Verificare: $24+36+30+10=100$ ✓.

3. $\frac{28}{80}=\frac{7}{20}=0,35=35\%$.

4. $0,45\cdot 60=27$ de persoane.

5. $n=\frac{n_i}{f}=\frac{9}{0,12}=\frac{900}{12}=75$ de date.

6. Clasa A: $\frac{12}{20}=0,6=60\%$. Clasa B: $\frac{14}{25}=0,56=56\%$. Rezultate mai bune are clasa A, deși în cifre absolute B are mai mulți elevi peste $8$.

7. Fals. Frecvența relativă este $\frac{n_i}{n}$, iar $n_i\le n$, deci $f_i\le 1$ întotdeauna. O valoare peste $1$ arată o greșeală de calcul — cel mai probabil împărțirea la un total greșit sau confuzia dintre frecvența relativă ($0,12$) și procent ($12\%$).

8. Fals. Suma valorilor exacte este mereu $100\%$, dar suma celor rotunjite poate ieși $99,9\%$ sau $100,1\%$, pentru că rotunjirile în sus și în jos nu se compensează neapărat. Exemplul din lecție (frecvențele $11,8,5,3,3$ din $30$) dă $100,1\%$.

9. $\frac{12}{30}=40\%$; $\frac{9}{30}=30\%$; $\frac{6}{30}=20\%$; $\frac{3}{30}=10\%$. Verificare: $40+30+20+10=100$ ✓. Aici nu apare problema rotunjirii, pentru că toate fracțiile sunt exacte.

10. $\frac{70}{200}=35\%$; $\frac{60}{200}=30\%$; $\frac{40}{200}=20\%$; $\frac{30}{200}=15\%$. Verificare: $35+30+20+15=100$ ✓. Prioritatea la comandă: mărimile $38$ și $39$, care împreună înseamnă $65\%$ din vânzări.

11. $\frac{11}{30}\approx 36,7\%$; $\frac{8}{30}\approx 26,7\%$; $\frac{5}{30}\approx 16,7\%$; $\frac{3}{30}=10,0\%$ (de două ori). Suma: $100,1\%$. Explicație: trei valori au fost rotunjite în sus, fiecare cu aproximativ $0,033$, iar cele trei creșteri s-au adunat într-o zecime. Pe fracții, suma rămâne exact $\frac{30}{30}=1$.

12. $0,18\cdot 600=108$ elevi. Dacă numărul devine $126$: $\frac{126}{600}=0,21=21\%$.

13. Se compară numere absolute între grupuri diferite, fără să se raporteze la mărimea orașelor și fără să se privească creșterea relativă. Primul oraș a trecut de la $8$ la $12$, adică o creștere de $\frac{12-8}{8}=0,5=50\%$; al doilea, de la $50$ la $60$, adică $\frac{10}{50}=0,2=20\%$. Ca dinamică, primul oraș stă mult mai prost. În plus, pentru a compara nivelul accidentelor ar trebui raportate la numărul de locuitori.

14. Frecvența relativă: =F2/F9, cu celula totalului fixată ca referință absolută. Suma coloanei, cu =SUM(...), trebuie să dea $1$ (adică $100\%$ în format procentual). Afișarea în procente se obține aplicând formatul procentual coloanei — el schimbă doar afișarea, nu valoarea.

15. $\frac{14}{40}=35\%$; $\frac{10}{40}=25\%$; $\frac{9}{40}=22,5\%$; $\frac{7}{40}=17,5\%$. Verificare: $35+25+22,5+17,5=100$ ✓.

16. Cele două valori date însumează $32\%+28\%=60\%$, deci pentru celelalte trei rămân $100\%-60\%=40\%$. Fiind egale, fiecare are $\frac{40\%}{3}=13,33\dots \%\approx 13,3\%$. Observă că, rotunjite, cele trei dau $39,9\%$, iar totalul afișat ar fi $99,9\%$ — încă un caz de eroare de rotunjire.

17. „Da": $0,46\cdot 250=115$ persoane. „Nu": $0,34\cdot 250=85$. „Nu știu": $100\%-46\%-34\%=20\%$, deci $0,2\cdot 250=50$. Verificare: $115+85+50=250$ ✓.

18. Fetele sunt $60\%$ din grup, băieții $40\%$. Procentul celor care fac sport:

$$0,6\cdot 0,25+0,4\cdot 0,5=0,15+0,20=0,35=35\%.$$

Verificare pe $200$ de persoane: $120$ de fete, dintre care $0,25\cdot 120=30$ fac sport; $80$ de băieți, dintre care $0,5\cdot 80=40$ fac sport. În total $30+40=70$ de persoane, adică $\frac{70}{200}=0,35=35\%$ ✓. Greșeala tipică aici este media simplă a procentelor, $\frac{25\%+50\%}{2}=37,5\%$: ea ar fi corectă doar dacă fetele și băieții ar fi în număr egal.

De reținut

• Frecvența relativă este $f_i=\frac{n_i}{n}$, iar procentul corespunzător $p_i=f_i\cdot 100\%$. Aceeași mărime, trei forme de scriere: fracție, zecimal, procent.
• Suma frecvențelor relative este întotdeauna $1$, adică $\sum p_i=100\%$; proprietatea se demonstrează în două rânduri din $\sum n_i=n$ și e verificarea obligatorie a oricărui tabel.
• Pentru orice valoare, $0\le f_i\le 1$. O frecvență relativă supraunitară sau un procent peste $100\%$ semnalează, fără excepție, o greșeală.
• Comparațiile între grupuri de mărimi diferite se fac numai în procente. Frecvențele absolute se compară doar când totalurile sunt egale.
• Suma procentelor rotunjite poate să nu dea $100\%$. Verificarea se face pe valorile exacte, iar diferența se menționează într-o notă, nu se corectează la întâmplare.

Greșeli frecvente

• Confundarea frecvenței relative cu procentul. $f_i=0,24$ și $p_i=24\%$ sunt același lucru; a scrie $f_i=24$ înseamnă a înmulți din greșeală cu $100$ toate calculele ulterioare.
• Compararea frecvențelor absolute între grupuri inegale. „B are mai mulți sportivi" nu înseamnă „B e mai sportivă" când B are și mai mulți elevi. Treci întâi la procente.
• Împărțirea la numărul greșit. Frecvența relativă se calculează raportând la totalul setului, nu la frecvența maximă și nici la numărul de categorii.
• Verificarea făcută pe procentele rotunjite. Când suma iese $100,1\%$, mulți elevi cred că au greșit calculul și modifică o valoare. Verificarea corectă se face pe fracții, unde suma e exact $1$.
• Media simplă a două procente. Procentele calculate pe grupuri de mărimi diferite nu se mediază direct; trebuie ponderate cu mărimile grupurilor, altfel rezultatul e fals (vezi exercițiul $18$).

Aplică acasă

1. Bugetul tău de timp. Notează cum ți-ai împărțit orele unei zile obișnuite pe patru-cinci categorii (somn, școală, teme, ecran, altele). Calculează frecvențele relative raportându-te la $24$ de ore și exprimă-le în procente. Verifică suma și vezi dacă îți iese exact $100\%$ sau apare o eroare de rotunjire.

2. Compară două clase. Adună de la un coleg dintr-o clasă cu alt efectiv datele la aceeași întrebare (de exemplu, câți vin pe jos la școală). Compară întâi în cifre absolute, apoi în procente, și scrie o propoziție care spune corect care clasă „stă mai bine".

3. Verifică un titlu din presă. Găsește un articol care compară două orașe, două țări sau două perioade prin numere absolute. Caută totalurile la care s-ar raporta acele numere și recalculează în procente. De multe ori, concluzia articolului se schimbă.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la numărare la proporție, pas esențial pentru tot ce urmează: diagramele circulare, compararea seturilor de date și, mai târziu, probabilitățile. Aparatul matematic este cel de gimnaziu — o împărțire și o înmulțire cu $100$ —, dar competența nouă e de altă natură: a înțelege că un număr fără totalul lui nu poate fi interpretat. Programa de trunchi comun cere abordarea prin contexte practice și utilizarea foilor de calcul, de unde exemplele din școală și comerț și secțiunea despre formatul procentual.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie frecvența relativă întâi ca fracție și abia apoi o transformă în procent; (2) face verificarea sumei pe valorile exacte, nu pe cele rotunjite; (3) la comparații, raportează întotdeauna la totalul propriu al fiecărui grup. Întrebări bune de control: „De ce suma frecvențelor relative este $1$?"; „Poate o frecvență relativă să fie $1,3$?"; „De ce suma procentelor afișate în tabel a ieșit $100,1\%$?"; „Clasa cu mai mulți sportivi este neapărat clasa mai sportivă?".

La Bacalaureat, cerințele sunt de tipul „determinați frecvența relativă, exprimată procentual" pornind de la un tabel dat, sau invers, aflarea numărului de elevi dintr-un procent. Sunt exerciții scurte, în care punctajul se pierde la scrierea rezultatului (procent uitat sau zecimală greșită), nu la raționament. Semne că elevul a înțeles: verifică singur suma, refuză să compare direct numere provenind din grupuri de mărimi diferite și explică de ce media a două procente nu e media aritmetică simplă.

Întrebări frecvente

Ce este frecvența relativă a unei valori? Este raportul dintre frecvența absolută a valorii și numărul total de date, $f_i=\frac{n_i}{n}$. Ea arată ce parte din setul de date reprezintă acea valoare și se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau în procente.

Cum transform frecvența relativă în procent? Înmulțești cu $100$ și adaugi semnul procent: $f_i=0,24$ înseamnă $24\%$. Invers, împarți procentul la $100$: $35\%$ înseamnă $f_i=0,35$. Cele două forme trebuie ținute distincte în scris, altfel calculele ulterioare se înmulțesc din greșeală cu $100$.

De ce suma frecvențelor relative este întotdeauna 1? Pentru că $\sum f_i=\sum \frac{n_i}{n}=\frac{1}{n}\sum n_i=\frac{n}{n}=1$, folosind faptul că suma frecvențelor absolute este chiar numărul de date. În procente, aceeași proprietate se scrie $\sum p_i=100\%$.

De ce nu îmi dă suma procentelor exact 100%? Pentru că ai rotunjit. Dacă mai multe procente se rotunjesc în sus, micile creșteri se adună și totalul afișat devine $100,1\%$; dacă se rotunjesc în jos, iese $99,9\%$. Valorile exacte însumează întotdeauna $100\%$, iar diferența se semnalează printr-o notă de subsol.

Cum compar corect două clase de mărimi diferite? Calculezi procentele în interiorul fiecărei clase și compari procentele, nu numerele. Nouă sportivi din $18$ elevi înseamnă $50\%$, iar $12$ din $30$ înseamnă $40\%$: prima clasă e mai sportivă, deși are mai puțini sportivi ca număr.

Cum aflu câte date corespund unui procent dat? Cu formula $n_i=\frac{p_i}{100}\cdot n$. De exemplu, $35\%$ dintr-un liceu cu $800$ de elevi înseamnă $0,35\cdot 800=280$ de elevi. Rezultatul trebuie să fie număr natural; dacă nu e, procentul din enunț era rotunjit.

Poate o frecvență relativă să fie mai mare decât 1? Nu. Cum $0\le n_i\le n$, rezultă $0\le f_i\le 1$, deci procentul e între $0\%$ și $100\%$. Un rezultat în afara acestui interval înseamnă că ai împărțit la altceva decât la totalul setului de date.

Cum calculez frecvențele relative în Excel sau Google Sheets? Împarți fiecare frecvență absolută la celula cu totalul, fixată ca referință absolută, apoi aplici coloanei formatul procentual. Suma coloanei, calculată cu SUM, trebuie să dea $1$, adică $100\%$ — este verificarea obligatorie a tabelului.