Frecvențe cumulate

Diriginta se uită la tabelul de frecvențe al tezei și primește, în cinci minute, cinci întrebări diferite. Doamna directoare vrea să știe câți elevi au luat sub $5$ . Părintele unui elev întreabă câți au peste $8$ . Profesorul de la clasa paralelă vrea numărul celor care au cel mult $7$ . De fiecare dată, diriginta ia creionul și adună câteva frecvențe: $1$ ; apoi $4 + 2$ ; apoi $1 + 2 + 4 + 6$ . Adunări scurte, dar refăcute la nesfârșit — și fiecare cu riscul ei de greșeală.

Soluția e o idee simplă și veche: fă o singură dată toate adunările posibile și scrie-le într-o coloană. Coloana aceea se numește frecvențe cumulate și transformă orice întrebare de tipul „câți au cel mult…" sau „câți au cel puțin…" într-o simplă citire, fără niciun calcul. Din același motiv, ea e piesa de care ne vom folosi mai târziu ca să găsim rapid valorile care împart setul de date în părți egale. Astăzi învățăm să o construim în ambele sensuri, să o verificăm și să o citim.

Ce vei învăța

Vei ști ce este frecvența cumulată crescător $N_{i}$ și cum se calculează, pas cu pas, din frecvențele absolute.
Vei ști ce este frecvența cumulată descrescător și la ce întrebări răspunde ea.
Vei ști cele trei verificări obligatorii ale unei coloane cumulate.
Vei ști să calculezi frecvențele relative cumulate și să le exprimi în procente.
Vei ști să răspunzi, prin simplă citire, la întrebări de tipul „câți au cel mult $7$ ", „câți au cel puțin $8$ ", „câți au între $6$ și $8$ ".
Vei ști să obții coloana cumulată într-o foaie de calcul, cu o formulă de o singură celulă.

Hai să descoperim împreună

1. Întrebarea care cere o sumă

Pornim de la tabelul de frecvențe absolute al notelor celor $25$ de elevi, construit în lecția Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute:

Nota $v_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	Total
$n_{i}$	$1$	$2$	$4$	$6$	$6$	$4$	$2$	$25$

Întrebarea „câți elevi au nota $7$ ?" se citește direct: $6$ . Dar întrebarea „câți elevi au cel mult $7$ ?" cere o adunare: $1 + 2 + 4 + 6 = 13$ . Iar „câți au cel mult $8$ ?" cere altă adunare, care o repetă pe prima: $1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$ .

Aici e ideea. A doua sumă o conține pe prima: $19 = 13 + 6$ . Nu are rost să reluăm adunarea de la capăt de fiecare dată; e destul să mergem o singură dată de sus în jos, adăugând mereu frecvența liniei curente la totalul de până acolo.

2. Frecvența cumulată crescător

Definiție. Fie valorile distincte $v_{1} < v_{2} < \dots < v_{k}$ , cu frecvențele absolute $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ . Se numește frecvență cumulată crescător a valorii $v_{i}$ numărul

$N_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{i} = j = 1 \sum i n_{j} .$

$N_{i}$ reprezintă numărul de date care au valoarea cel mult egală cu $v_{i}$ , adică $x \leq v_{i}$ .

Se calculează cel mai simplu prin recurență, adăugând de fiecare dată o singură frecvență:

$N_{1} = n_{1}, N_{i} = N_{i - 1} + n_{i} (i \geq 2) .$

Pentru tabelul nostru:

Nota $v_{i}$	$n_{i}$	Calcul	$N_{i}$ (cel mult $v_{i}$ )
$4$	$1$	$1$	$1$
$5$	$2$	$1 + 2$	$3$
$6$	$4$	$3 + 4$	$7$
$7$	$6$	$7 + 6$	$13$
$8$	$6$	$13 + 6$	$19$
$9$	$4$	$19 + 4$	$23$
$10$	$2$	$23 + 2$	$25$

Citim acum fără să mai calculăm nimic: cel mult $5$ au $3$ elevi; cel mult $7$ au $13$ elevi; cel mult $9$ au $23$ de elevi. Ultima valoare este $25$ , adică exact $n$ — și aceasta e prima verificare.

✏️Ilustrație: o scară urcătoare cu șapte trepte, fiecare treaptă etichetată cu nota (4, 5, …, 10) și cu înălțimea cumulată (1, 3, 7, 13, 19, 23, 25); ultima treaptă atinge o linie orizontală punctată marcată „n = 25"

3. Frecvența cumulată descrescător

Uneori întrebarea e pusă invers: „câți elevi au cel puțin nota $8$ ?". Pentru astfel de întrebări construim coloana cumulată în celălalt sens.

Definiție. Se numește frecvență cumulată descrescător a valorii $v_{i}$ numărul

$N_{i}^{↓} = n_{i} + n_{i + 1} + \dots + n_{k} = j = i \sum k n_{j},$

adică numărul de date care au valoarea cel puțin egală cu $v_{i}$ , adică $x \geq v_{i}$ .

Se calculează la fel de comod, dar pornind de jos în sus:

$N_{k}^{↓} = n_{k}, N_{i}^{↓} = N_{i + 1}^{↓} + n_{i} .$

Tabelul complet, cu ambele coloane:

Nota $v_{i}$	$n_{i}$	$N_{i}$ (cel mult $v_{i}$ )	$N_{i}^{↓}$ (cel puțin $v_{i}$ )
$4$	$1$	$1$	$25$
$5$	$2$	$3$	$24$
$6$	$4$	$7$	$22$
$7$	$6$	$13$	$18$
$8$	$6$	$19$	$12$
$9$	$4$	$23$	$6$
$10$	$2$	$25$	$2$

Deci $12$ elevi au cel puțin nota $8$ , iar $6$ au cel puțin $9$ . Observă cum prima coloană cumulată crește până la $n$ , iar a doua descrește de la $n$ până la $n_{k}$ : de aici vin și numele lor.

4. Trei verificări obligatorii

Coloanele cumulate se verifică ele pe ele, iar verificările sunt rapide:

Ultima cumulată crescător este $n$ : $N_{k} = n$ . La noi, $25$ ✓. Este aceeași verificare ca $\sum n_{i} = n$ , doar scrisă altfel.
Prima cumulată descrescător este $n$ : $N_{1}^{↓} = n$ . La noi, tot $25$ ✓ (toate datele au valoarea cel puțin egală cu cea mai mică valoare).
Cele două coloane se completează reciproc: numărul celor cu $x \leq v_{i}$ plus numărul celor cu $x \geq v_{i + 1}$ dă tot setul, deci

$N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n .$

Verificăm pe linia notei $7$ : cei cu cel mult $7$ sunt $13$ , cei cu cel puțin $8$ sunt $12$ , iar $13 + 12 = 25$ ✓.

O consecință utilă în sens invers: dacă ți se dă numai coloana cumulată, poți reconstitui frecvențele absolute prin scădere:

$n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}, n_{1} = N_{1} .$

De exemplu, $n_{4} = N_{4} - N_{3} = 13 - 7 = 6$ — exact frecvența notei $7$ . Este un tip de cerință care apare des în probleme: se dă tabelul cumulat și se cere tabelul obișnuit.

5. Frecvențe relative cumulate

Exact ca la frecvențele absolute, putem cumula și frecvențele relative. Frecvența relativă cumulată este

$F_{i} = f_{1} + f_{2} + \dots + f_{i} = \frac{N _{i}}{n},$

iar în procente ne spune ce parte din setul de date are valoarea cel mult $v_{i}$ .

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$N_{i}$	$1$	$3$	$7$	$13$	$19$	$23$	$25$
$F_{i}$	$0, 04$	$0, 12$	$0, 28$	$0, 52$	$0, 76$	$0, 92$	$1$
$F_{i}$ în procente	$4%$	$12%$	$28%$	$52%$	$76%$	$92%$	$100%$

Ultima valoare este $1$ , adică $100%$ — verificarea coloanei. Citirea devine foarte comodă: $52%$ dintre elevi au cel mult nota $7$ , iar $28%$ au cel mult $6$ ; între aceste două praguri, adică exact la nota $7$ , se află $52% - 28% = 24%$ din clasă.

Coloana procentelor cumulate este și cea care ne va permite, mai târziu, să găsim rapid valoarea de la care în jos se află jumătate din date sau un sfert din date — vezi lecțiile Mediana unui set de date și Cuartile și amplitudine. Reprezentarea ei grafică se numește poligonul frecvențelor cumulate și o studiem în lecția Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate.

6. Cum se citesc intervalele

Cea mai frecventă greșeală la frecvențe cumulate e la întrebările de tip „câți au între". Regula e simplă dacă ții minte că $N_{i}$ înseamnă „cel mult $v_{i}$ ":

„câți au cel mult $v_{i}$ " $= N_{i}$ ;
„câți au strict sub $v_{i}$ " $= N_{i - 1}$ (nu $N_{i}$ ! valoarea $v_{i}$ e deja inclusă în $N_{i}$ );
„câți au cel puțin $v_{i}$ " $= N_{i}^{↓} = n - N_{i - 1}$ ;
„câți au între $v_{i}$ și $v_{j}$ , inclusiv" $= N_{j} - N_{i - 1}$ .

✏️Ilustrație: axa notelor de la 4 la 10, cu tabelul cumulat scris dedesubt; sunt marcate cu acolade colorate trei zone — „cel mult 6: 7 elevi", „între 6 și 8 inclusiv: 19 − 3 = 16 elevi" și „cel puțin 8: 12 elevi"; săgeți de la fiecare acoladă spre celula corespunzătoare din tabel

Exemplu: câți elevi au între $6$ și $8$ , inclusiv? Sunt cei cu cel mult $8$ minus cei cu cel mult $5$ :

$N (\leq 8) - N (\leq 5) = 19 - 3 = 16 elevi .$

Control prin adunare directă: $4 + 6 + 6 = 16$ ✓.

Al doilea exemplu, cu un alt set de date. Într-o clasă cu $40$ de elevi s-a numărat câte zile de absență a avut fiecare într-o lună:

Zile de absență	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$n_{i}$	$12$	$10$	$8$	$5$	$3$	$2$
$N_{i}$ (cel mult)	$12$	$22$	$30$	$35$	$38$	$40$
$N_{i}^{↓}$ (cel puțin)	$40$	$28$	$18$	$10$	$5$	$2$
$F_{i}$ în procente	$30%$	$55%$	$75%$	$87, 5%$	$95%$	$100%$

Citim: trei sferturi dintre elevi ( $75%$ ) au avut cel mult două zile de absență; $10$ elevi au avut cel puțin trei zile; între $1$ și $3$ zile au avut $35 - 12 = 23$ de elevi.

7. Cum se face în foaia de calcul

Coloana cumulată este locul unde foaia de calcul strălucește, pentru că se scrie o singură formulă și se trage în jos. Presupunem frecvențele absolute în coloana F, rândurile $2$ – $8$ .

În G2 scrii =F2 — prima cumulată este chiar prima frecvență.
În G3 scrii =G2+F3 și tragi formula în jos până la G8. Fiecare celulă adună la totalul de deasupra frecvența de pe rândul ei — exact recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ .
Verificarea: în G8 trebuie să apară exact $n$ . Dacă nu apare, ori ai sărit un rând când ai tras formula, ori tabelul de frecvențe absolute era deja greșit.
Pentru cumulatele descrescător poți folosi relația $N_{i}^{↓} = n - N_{i - 1}$ : în H2 scrii =F9 (totalul), iar în H3 scrii =H2-F2 și tragi în jos.
Pentru procentele cumulate, împarți coloana G la total și aplici formatul procentual; ultima celulă trebuie să afișeze $100%$ .

(Numele funcțiilor și separatorul de argumente pot diferi ușor între Google Sheets și Excel, iar interfața în limba română poate afișa numele traduse; rolul lor rămâne același.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Construcția ambelor coloane

Pentru tabelul notelor: $4 \to 1$ , $5 \to 2$ , $6 \to 4$ , $7 \to 6$ , $8 \to 6$ , $9 \to 4$ , $10 \to 2$ , construiți coloanele de frecvențe cumulate crescător și descrescător și verificați-le.

Rezolvare. Crescător, adunând pas cu pas: $1$ ; $1 + 2 = 3$ ; $3 + 4 = 7$ ; $7 + 6 = 13$ ; $13 + 6 = 19$ ; $19 + 4 = 23$ ; $23 + 2 = 25$ .

Descrescător, de jos în sus: $2$ ; $2 + 4 = 6$ ; $6 + 6 = 12$ ; $12 + 6 = 18$ ; $18 + 4 = 22$ ; $22 + 2 = 24$ ; $24 + 1 = 25$ .

Verificări: ultima crescătoare este $25 = n$ ✓; prima descrescătoare este $25 = n$ ✓; pe linia notei $7$ , $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = 13 + 12 = 25$ ✓.

Exemplul 2 — Citirea răspunsurilor

Folosind tabelul de mai sus, aflați câți elevi au: (a) cel mult $6$ ; (b) strict sub $7$ ; (c) cel puțin $8$ ; (d) între $6$ și $8$ inclusiv.

Rezolvare.

(a) $N (\leq 6) = 7$ elevi.

(b) Strict sub $7$ înseamnă cel mult $6$ , deci tot $7$ elevi. Atenție: nu $13$ , care include și cei cu nota $7$ .

(d) $N (\leq 8) - N (\leq 5) = 19 - 3 = 16$ elevi. Control direct: $4 + 6 + 6 = 16$ ✓.

Exemplul 3 — Din cumulate înapoi în frecvențe absolute

Se dau frecvențele cumulate crescător ale unui set de date: $N_{1} = 5$ , $N_{2} = 12$ , $N_{3} = 20$ , $N_{4} = 27$ , $N_{5} = 30$ . Determinați frecvențele absolute și numărul total de date.

Rezolvare. Numărul total este ultima cumulată: $n = N_{5} = 30$ .

Frecvențele absolute se obțin prin scăderi succesive:

$n_{1} = N_{1} = 5; n_{2} = 12 - 5 = 7; n_{3} = 20 - 12 = 8; n_{4} = 27 - 20 = 7; n_{5} = 30 - 27 = 3.$

Verificare: $5 + 7 + 8 + 7 + 3 = 30 = n$ ✓.

Exemplul 4 — Procente cumulate

Pentru setul zilelor de absență ( $40$ de elevi, cu frecvențele $12, 10, 8, 5, 3, 2$ pentru $0, 1, 2, 3, 4, 5$ zile), calculați procentele cumulate și răspundeți: ce procent dintre elevi au avut cel mult două zile de absență?

Rezolvare. Cumulatele crescător: $12$ , $22$ , $30$ , $35$ , $38$ , $40$ . Împărțim la $n = 40$ :

$\frac{12}{40} = 30%; \frac{22}{40} = 55%; \frac{30}{40} = 75%; \frac{35}{40} = 87, 5%; \frac{38}{40} = 95%; \frac{40}{40} = 100%.$

Deci $75%$ dintre elevi au avut cel mult două zile de absență. Verificarea coloanei: ultima valoare este $100%$ ✓.

Exemplul 5 — Necunoscută într-un tabel cumulat

Într-un tabel cu $n = 50$ de date, frecvențele cumulate crescător sunt $8$ , $21$ , $x$ , $44$ , $50$ . Știind că a treia valoare are frecvența absolută $13$ , determinați $x$ și frecvența absolută a valorii a patra.

Rezolvare. Din $n_{3} = N_{3} - N_{2}$ obținem $13 = x - 21$ , deci

$x = 34.$

Apoi $n_{4} = N_{4} - N_{3} = 44 - 34 = 10$ .

Verificare: frecvențele absolute sunt $8$ , $21 - 8 = 13$ , $13$ , $10$ și $50 - 44 = 6$ ; suma lor este $8 + 13 + 13 + 10 + 6 = 50 = n$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Tabelul de mai jos conține notele obținute de cei $25$ de elevi ai unei clase.

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$1$	$2$	$4$	$6$	$6$	$4$	$2$

Determinați numărul elevilor care au obținut cel mult nota $7$ și procentul elevilor care au obținut cel puțin nota $8$ .

Rezolvare. Cel mult nota $7$ înseamnă frecvența cumulată crescător la nota $7$ :

$N (\leq 7) = 1 + 2 + 4 + 6 = 13 elevi .$

Cel puțin nota $8$ înseamnă restul clasei:

$25 - 13 = 12 elevi, \frac{12}{25} = 0, 48 = 48%.$

Verificare directă: $6 + 4 + 2 = 12$ ✓, iar $52% + 48% = 100%$ ✓ — cele două grupuri acoperă toată clasa.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare coloană cumulată, verifică faptul că ultima valoare crescătoare este $n$ .

1. Frecvențele absolute ale unui set sunt $3$ , $5$ , $7$ , $4$ , $1$ . Calculează frecvențele cumulate crescător.

2. Pentru același set, calculează frecvențele cumulate descrescător.

3. Câte date are setul de la exercițiul $1$ ? Cum ai aflat, folosind coloana cumulată?

4. Pentru tabelul notelor ( $4 \to 1$ , $5 \to 2$ , $6 \to 4$ , $7 \to 6$ , $8 \to 6$ , $9 \to 4$ , $10 \to 2$ ), câți elevi au cel mult nota $6$ ?

5. Pentru același tabel, câți elevi au cel puțin nota $9$ ?

6. Pentru același tabel, câți elevi au note între $5$ și $8$ , inclusiv?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Frecvența cumulată crescător a ultimei valori este întotdeauna egală cu numărul total de date."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul elevilor cu note strict sub $7$ este egal cu frecvența cumulată crescător a notei $7$ ."

9. Frecvențele cumulate crescător ale unui set sunt $4$ , $11$ , $19$ , $26$ , $30$ . Determină frecvențele absolute.

10. (Problemă aplicată.) Timpul de așteptare la un ghișeu, măsurat în minute întregi, pentru $40$ de persoane: $0$ min — $6$ persoane, $1$ min — $9$ , $2$ min — $11$ , $3$ min — $8$ , $4$ min — $4$ , $5$ min — $2$ . Construiește coloana cumulată și spune câte persoane au așteptat cel mult $2$ minute și ce procent reprezintă.

11. Pentru setul zilelor de absență ( $12$ , $10$ , $8$ , $5$ , $3$ , $2$ pentru $0$ – $5$ zile, $n = 40$ ), calculează procentele cumulate.

12. Pentru același set, câți elevi au avut între $1$ și $3$ zile de absență, inclusiv?

13. (Problemă aplicată.) Într-un magazin, $80%$ dintre clienți cumpără cel mult $3$ produse, iar $55%$ cumpără cel mult $2$ . Ce procent cumpără exact $3$ produse?

14. Ce formulă scrii într-o foaie de calcul pentru a doua celulă a coloanei cumulate? Ce trebuie să apară în ultima celulă?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În tabelul de mai jos sunt notele celor $30$ de elevi ai unei clase.

Nota	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$3$	$5$	$8$	$7$	$5$	$2$

Determinați câți elevi au obținut cel mult nota $7$ și ce procent dintre elevi au obținut cel puțin nota $8$ .

16. Într-un tabel cu $n = 60$ , frecvențele cumulate crescător sunt $9$ , $24$ , $y$ , $52$ , $60$ . Știind că a treia valoare are frecvența absolută $15$ , determină $y$ și frecvențele absolute ale celorlalte valori.

17. Explică, într-o frază, de ce coloana cumulată descrescător începe întotdeauna cu $n$ , iar cea crescător se termină întotdeauna cu $n$ .

18. (Provocare.) Un set de date are $5$ valori distincte și $n = 48$ . Frecvențele cumulate crescător formează o progresie aritmetică. Știind că $N_{1} = 8$ , determină toate frecvențele cumulate și toate frecvențele absolute. Ce observi despre frecvențele absolute?

Răspunsuri și explicații

1. $3$ ; $3 + 5 = 8$ ; $8 + 7 = 15$ ; $15 + 4 = 19$ ; $19 + 1 = 20$ . Deci coloana crescătoare este $3, 8, 15, 19, 20$ .

2. De jos în sus: $1$ ; $1 + 4 = 5$ ; $5 + 7 = 12$ ; $12 + 5 = 17$ ; $17 + 3 = 20$ . Coloana descrescătoare, citită de sus în jos, este $20, 17, 12, 5, 1$ .

3. $n = 20$ , adică ultima valoare a coloanei cumulate crescător (sau prima a celei descrescătoare). Este verificarea standard: $3 + 5 + 7 + 4 + 1 = 20$ ✓.

4. $N (\leq 6) = 1 + 2 + 4 = 7$ elevi.

5. $N^{↓} (\geq 9) = 4 + 2 = 6$ elevi. Echivalent: $25 - N (\leq 8) = 25 - 19 = 6$ ✓.

6. $N (\leq 8) - N (\leq 4) = 19 - 1 = 18$ elevi. Control direct: $2 + 4 + 6 + 6 = 18$ ✓.

7. Adevărat. Ultima cumulată crescător este suma tuturor frecvențelor absolute, iar aceasta este, prin definiție, numărul de date: $N_{k} = \sum n_{i} = n$ . Este chiar verificarea obligatorie a coloanei.

8. Fals. Frecvența cumulată la nota $7$ înseamnă „cel mult $7$ ", deci include elevii cu nota $7$ . Numărul celor strict sub $7$ este cumulata valorii precedente, $N (\leq 6) = 7$ , nu $N (\leq 7) = 13$ .

9. $n_{1} = 4$ ; $n_{2} = 11 - 4 = 7$ ; $n_{3} = 19 - 11 = 8$ ; $n_{4} = 26 - 19 = 7$ ; $n_{5} = 30 - 26 = 4$ . Verificare: $4 + 7 + 8 + 7 + 4 = 30 = N_{5}$ ✓.

10. Coloana cumulată: $6$ ; $15$ ; $26$ ; $34$ ; $38$ ; $40$ . Cel mult $2$ minute au așteptat $26$ de persoane, adică $\frac{26}{40} = 0, 65 = 65%$ .

11. $\frac{12}{40} = 30%$ ; $\frac{22}{40} = 55%$ ; $\frac{30}{40} = 75%$ ; $\frac{35}{40} = 87, 5%$ ; $\frac{38}{40} = 95%$ ; $\frac{40}{40} = 100%$ .

12. $N (\leq 3) - N (\leq 0) = 35 - 12 = 23$ de elevi. Control direct: $10 + 8 + 5 = 23$ ✓.

13. Procentele date sunt cumulate, deci procentul celor care cumpără exact $3$ produse este diferența lor: $80% - 55% = 25%$ . Aceasta e chiar regula $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}$ , scrisă în procente.

14. În a doua celulă a coloanei cumulate scrii =G2+F3 (totalul de deasupra plus frecvența de pe rândul curent) și tragi formula în jos. În ultima celulă trebuie să apară exact $n$ , numărul total de date.

15. Cel mult nota $7$ : $3 + 5 + 8 = 16$ elevi. Cel puțin nota $8$ : $30 - 16 = 14$ elevi, adică $\frac{14}{30} = 0, 4666 \dots \approx 46, 7%$ . (Control direct: $7 + 5 + 2 = 14$ ✓.)

16. Din $n_{3} = N_{3} - N_{2}$ avem $15 = y - 24$ , deci $y = 39$ . Frecvențele absolute: $n_{1} = 9$ ; $n_{2} = 24 - 9 = 15$ ; $n_{3} = 15$ ; $n_{4} = 52 - 39 = 13$ ; $n_{5} = 60 - 52 = 8$ . Verificare: $9 + 15 + 15 + 13 + 8 = 60 = n$ ✓.

17. Pentru că prima coloană numără datele cu valoarea cel mult $v_{i}$ , iar la ultima valoare această condiție e îndeplinită de toate datele; a doua numără datele cu valoarea cel puțin $v_{i}$ , iar la prima valoare condiția e îndeplinită tot de toate datele. În ambele capete obținem, deci, întregul set, adică $n$ .

18. Fie rația $r$ . Cumulatele sunt $N_{1} = 8$ , $N_{2} = 8 + r$ , $N_{3} = 8 + 2 r$ , $N_{4} = 8 + 3 r$ , $N_{5} = 8 + 4 r$ . Din $N_{5} = n = 48$ obținem $8 + 4 r = 48$ , deci $r = 10$ . Cumulatele sunt așadar

$8, 18, 28, 38, 48.$

Frecvențele absolute, prin scădere: $n_{1} = 8$ , iar $n_{2} = n_{3} = n_{4} = n_{5} = 10$ . Observația cerută: frecvențele absolute sunt constante de la a doua valoare încolo și egale cu rația progresiei. Explicația e imediată din $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1} = r$ : dacă șirul cumulatelor este o progresie aritmetică, diferența a doi termeni consecutivi — adică frecvența absolută — este chiar rația.

De reținut

Frecvența cumulată crescător $N_{i} = n_{1} + \dots + n_{i}$ dă numărul de date cu valoarea cel mult $v_{i}$ ; se calculează prin recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ .
Frecvența cumulată descrescător dă numărul de date cu valoarea cel puțin $v_{i}$ și se obține adunând de jos în sus, sau cu relația $N_{i}^{↓} = n - N_{i - 1}$ .
Verificările: ultima cumulată crescător și prima cumulată descrescător sunt amândouă egale cu $n$ ; în plus, $N_{i} + N_{i + 1}^{↓} = n$ .
Drumul invers: din coloana cumulată se recuperează frecvențele absolute prin scădere, $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}$ . Aceeași regulă funcționează și cu procentele cumulate.
„Cel mult $v_{i}$ " înseamnă $N_{i}$ , dar „strict sub $v_{i}$ " înseamnă $N_{i - 1}$ — cea mai des întâlnită capcană a lecției.

Greșeli frecvente

Confundarea lui „sub" cu „cel mult". Numărul elevilor cu note sub $7$ este $N (\leq 6) = 7$ , nu $N (\leq 7) = 13$ . Când enunțul spune „sub", cobori cu o linie în coloana cumulată.
Cumularea în ordinea greșită a valorilor. Frecvențele se cumulează după valorile ordonate crescător. Dacă tabelul are liniile amestecate, ordonează-l întâi; altfel coloana cumulată nu înseamnă nimic.
Adunarea de la capăt de fiecare dată. Nu recalcula $N_{4} = n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4}$ ; folosește recurența $N_{4} = N_{3} + n_{4}$ . E mai rapid și, mai ales, mai greu de greșit.
Uitarea verificării finale. Dacă ultima cumulată nu dă $n$ , tot restul lecției e compromis. E o verificare de trei secunde.
Scăderea inversată la intervale. Pentru „între $v_{i}$ și $v_{j}$ inclusiv" se scade $N_{i - 1}$ din $N_{j}$ , nu $N_{i}$ din $N_{j}$ — altfel pierzi chiar valoarea $v_{i}$ din numărătoare.

Aplică acasă

Notele tale. Adună toate notele pe care le ai la o materie în semestrul curent, construiește tabelul de frecvențe și coloana cumulată. Răspunde apoi la două întrebări: câte note ai sub $8$ și ce procent din notele tale sunt cel puțin $9$ .
Timpii de așteptare. Timp de o săptămână, notează câte minute aștepți autobuzul în fiecare zi, rotunjit la minut. Construiește coloana cumulată și află în câte zile ai așteptat cel mult trei minute. Vei obține, în mic, exact tipul de tabel folosit de operatorii de transport.
Foaia de calcul. Introdu într-o foaie de calcul frecvențele de la punctul $1$ sau $2$ , scrie formula cumulată într-o singură celulă și trage-o în jos. Verifică ultima valoare, apoi modifică o frecvență și urmărește cum se actualizează instantaneu toată coloana.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce o unealtă simplă și foarte rentabilă: coloana cumulată, care preia o dată pentru totdeauna toate adunările de tipul „câți au cel mult…". Dificultatea reală nu e calculul — o singură adunare pe rând —, ci precizia limbajului: „sub", „cel mult", „cel puțin" și „între" trimit la celule diferite ale tabelului, iar confuzia dintre ele e cea mai frecventă sursă de greșeli. Programa de trunchi comun cere abordarea prin contexte practice și utilizarea foilor de calcul, motiv pentru care exemplele vin din viața școlii, iar recurența $N_{i} = N_{i - 1} + n_{i}$ e prezentată și ca formulă care se trage în jos într-o foaie de calcul.

Ce verificați în caietul elevului: (1) folosește recurența, nu reia adunarea de la prima linie; (2) verifică faptul că ultima cumulată dă $n$ ; (3) traduce corect enunțul în „cel mult" sau „cel puțin" înainte de a citi din tabel. Întrebări bune de control: „Câți au cel mult $7$ ? Dar strict sub $7$ ?"; „Ce trebuie să apară în ultima celulă a coloanei cumulate și de ce?"; „Cum recuperezi frecvențele absolute dacă ai doar coloana cumulată?".

La Bacalaureat, cerințele tipice sunt „câți elevi au obținut cel mult nota…" sau „ce procent au obținut cel puțin nota…", pornind de la un tabel de frecvențe. Ele se rezolvă într-un singur rând dacă elevul a înțeles cumularea, iar punctajul se pierde aproape exclusiv la interpretarea greșită a cuvântului „sub". Semne că elevul a înțeles: construiește singur coloana cumulată chiar când enunțul nu i-o cere, verifică ultima valoare și trece fără ezitare între frecvențe absolute și cumulate, în ambele sensuri.

Întrebări frecvente

Ce este frecvența cumulată crescător? Este suma frecvențelor absolute de la prima valoare până la valoarea curentă, $N_{i} = n_{1} + \dots + n_{i}$ . Ea arată câte date au valoarea cel mult egală cu $v_{i}$ și se calculează cel mai comod prin recurență, adăugând la totalul anterior frecvența liniei curente.

Ce este frecvența cumulată descrescător? Este suma frecvențelor de la valoarea curentă până la ultima, deci numărul de date cu valoarea cel puțin egală cu $v_{i}$ . Se poate calcula adunând de jos în sus sau, mai rapid, cu relația $N_{i}^{↓} = n - N_{i - 1}$ .

De ce ultima frecvență cumulată este egală cu numărul de date? Pentru că ea adună toate frecvențele absolute, iar suma lor este chiar $n$ . Este aceeași verificare ca $\sum n_{i} = n$ din tabelul de frecvențe absolute, doar citită la capătul coloanei cumulate.

Câți elevi au note sub 7, dacă $N (\leq 7) = 13$ ? Nu $13$ , ci frecvența cumulată a notei precedente. „Sub $7$ " înseamnă strict mai mic decât $7$ , deci „cel mult $6$ ", adică $N (\leq 6)$ . Dacă la nota $7$ sunt $6$ elevi, atunci sub $7$ sunt $13 - 6 = 7$ elevi.

Cum aflu câte date sunt într-un interval? Scazi cumulata de dinaintea intervalului din cumulata de la capătul lui: pentru „între $v_{i}$ și $v_{j}$ , inclusiv", numărul este $N_{j} - N_{i - 1}$ . De exemplu, între notele $6$ și $8$ sunt $N (\leq 8) - N (\leq 5) = 19 - 3 = 16$ elevi.

Cum recuperez frecvențele absolute dintr-un tabel cumulat? Prin scăderi succesive: $n_{i} = N_{i} - N_{i - 1}$ , iar prima frecvență este chiar prima cumulată, $n_{1} = N_{1}$ . Verificarea se face adunând la loc frecvențele obținute — suma trebuie să dea ultima cumulată.

Ce sunt frecvențele relative cumulate? Sunt cumulatele împărțite la numărul total de date, $F_{i} = \frac{N _{i}}{n}$ , exprimate de obicei în procente. Ele arată ce parte din setul de date are valoarea cel mult $v_{i}$ , iar ultima valoare a coloanei trebuie să fie $1$ , adică $100%$ .

Cum calculez coloana cumulată în Excel sau Google Sheets? Scrii în prima celulă frecvența inițială, iar în a doua o formulă de tipul =G2+F3, care adună la totalul de deasupra frecvența de pe rândul curent, apoi tragi formula în jos. Ultima celulă trebuie să afișeze exact numărul total de date.