Abaterea standard: formulă și interpretare

Două magazine din același lanț vând, în cinci zile, același număr mediu de produse: $20$ pe zi. Primul vinde $18,19,20,21,22$; al doilea vinde $10,15,20,25,30$. Media, mediana și modul nu fac nicio diferență între ele. Dar managerul care trebuie să comande marfă vede imediat două lumi diferite: la primul magazin poate comanda liniștit $20$ de produse pe zi, la al doilea riscă fie să rămână fără marfă, fie să o arunce.

Ce lipsește este un număr care să spună cât de departe stau, în medie, valorile față de medie. Amplitudinea și abaterea intercuartilică, pe care le știi din lecția despre cuartile și amplitudine, fac ceva asemănător, dar se sprijină pe două-patru valori și ignoră restul. Indicatorul care folosește toate datele, fără excepție, se numește abatere standard, se notează cu litera grecească $\sigma$ (sigma) și este cel mai important instrument de măsurare a împrăștierii din toată statistica.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este abaterea unei valori față de medie și de ce suma tuturor abaterilor este întotdeauna zero.
• Vei ști să scrii și să aplici formula abaterii standard a populației, $\sigma$, cu împărțire la $n$.
• Vei ști să scrii și să aplici formula abaterii standard a eșantionului, $s$, cu împărțire la $n-1$, și să alegi corect între cele două.
• Vei ști să calculezi $\sigma$ pas cu pas, într-un tabel, pentru un set de date dat.
• Vei ști să interpretezi rezultatul: ce înseamnă $\sigma$ mare, $\sigma$ mic, $\sigma =0$ și în ce unitate de măsură se exprimă.
• Vei ști să folosești funcțiile STDEV.P și STDEV.S dintr-o foaie de calcul și să spui care corespunde fiecărei formule.

Hai să descoperim împreună

1. Abaterile față de medie

Pornim de la un set mic, pe care îl vom folosi tot restul lecției: cinci elevi au obținut la un test punctajele

$$3,5,6,7,9.$$

Media, calculată așa cum ai învățat în lecția despre media aritmetică și media ponderată, este $\bar{x}=\frac{3+5+6+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6$.

Pentru fiecare valoare calculăm abaterea față de medie, adică diferența $x_i-\bar{x}$:

$$3-6=-3,5-6=-1,6-6=0,7-6=1,9-6=3.$$

Ideea naturală ar fi să facem media acestor abateri. Numai că ea nu funcționează niciodată:

$$(-3)+(-1)+0+1+3=0.$$

Nu e o coincidență. Suma abaterilor față de medie este zero pentru orice set de date, iar demonstrația are un rând:

$$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=\sum _{i=1}^n{x}_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0,$$

pentru că, prin definiția mediei, $\sum x_i=n\bar{x}$. Abaterile negative le anulează exact pe cele pozitive, deci media lor nu poate măsura nimic.

2. De ce ridicăm la pătrat

Ne trebuie o cale de a scăpa de semne fără să pierdem mărimile. Soluția adoptată în statistică este ridicarea la pătrat: $(x_i-\bar{x}{)}^2$ este mereu nenegativ, este zero doar când valoarea coincide cu media și crește repede pentru valorile depărtate.

Facem media pătratelor abaterilor (mărimea aceasta se numește varianță sau dispersie):

$$\frac{(-3{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+3^2}{5}=\frac{9+1+0+1+9}{5}=\frac{20}{5}=4.$$

Are însă un defect de interpretare: dacă datele erau punctaje, varianța se măsoară în „puncte la pătrat", ceea ce nu înseamnă nimic. De aceea facem ultimul pas — extragem rădăcina pătrată — și ajungem la un număr care se exprimă în aceeași unitate ca datele:

$$\sigma =\sqrt{4}=2\text{ puncte}.$$

3. Cele două formule și cele două simboluri

Aici trebuie multă atenție, pentru că formula are două variante, folosite în situații diferite. Programa le cere pe amândouă.

$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}\text{(pentru o POPULAȚIE)}$$

$$s=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}\text{(pentru un EȘANTION)}$$

• Folosim $\sigma$ (sigma) când setul de date este întreaga populație studiată: toți elevii unei clase, toate cele $30$ de zile ale lunii, toate produsele dintr-un lot.
• Folosim $s$ când setul este un eșantion extras dintr-o populație mai mare și vrem să estimăm cu el împrăștierea întregii populații. Împărțirea la $n-1$, nu la $n$, corectează faptul că un eșantion mic tinde să pară mai omogen decât populația din care provine; vei vedea acest lucru pe un exemplu numeric complet în lecția despre eșantionare.

Pe setul nostru, dacă cele cinci punctaje sunt toate punctajele clasei (populație), obținem $\sigma =2$. Dacă ele sunt un eșantion de cinci elevi dintr-o școală, obținem

$$s=\sqrt{\frac{20}{5-1}}=\sqrt{5}\approx 2,24.$$

Observă că $s>\sigma$ întotdeauna (se împarte la un număr mai mic), iar diferența dintre ele se micșorează pe măsură ce $n$ crește.

Regula acestui manual: dacă enunțul nu precizează altfel, se folosește $\sigma$, iar enunțul spune explicit „considerând datele drept întreaga populație". Când setul este declarat eșantion, se folosește $s$.

4. Calculul pas cu pas, în tabel

Pentru un set mai mare, calculul se organizează într-un tabel cu trei coloane. Exemplu: cele nouă temperaturi maxime dintr-o săptămână și jumătate (în grade Celsius), considerate drept întreaga populație a zilelor observate:

$$22,23,23,24,25,26,27,27,28.$$

Pasul 1 — media. Suma este $225$, deci $\bar{x}=\frac{225}{9}=25$.

Pasul 2 — tabelul abaterilor.

Pasul 3 — verificarea de siguranță. Coloana din mijloc trebuie să dea suma $0$. Dacă nu dă, ai greșit media sau o scădere; nu merge mai departe.

Pasul 4 — împărțirea și rădăcina. Setul este populația, deci

$$\sigma =\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2{}^{\circ }\text{C}.$$

Interpretare: temperaturile se abat, în medie, cu aproximativ $2$ grade de la valoarea medie de $25$ de grade.

5. Cum se citește un $\sigma$

Numărul obținut nu are niciun sens rupt de context. Iată reperele de interpretare.

• $\sigma$ se exprimă în aceeași unitate ca datele. Dacă datele sunt în lei, $\sigma$ este în lei; dacă sunt în minute, $\sigma$ este în minute. Nu spune niciodată „abaterea standard este $2$" fără unitate.
• $\sigma \ge 0$ mereu, fiind o rădăcină pătrată dintr-un număr nenegativ.
• $\sigma =0$ dacă și numai dacă toate valorile sunt egale. Într-adevăr, o sumă de pătrate este nulă doar când fiecare termen este nul, adică $x_i=\bar{x}$ pentru orice $i$. Setul $8,8,8,8,8$ are $\sigma =0$.
• $\sigma$ mic înseamnă date strânse în jurul mediei; $\sigma$ mare înseamnă date răsfirate. Revenind la cele două magazine din deschidere: pentru $18,19,20,21,22$ suma pătratelor abaterilor este $4+1+0+1+4=10$, deci ${\sigma }_1=\sqrt{2}\approx 1,41$; pentru $10,15,20,25,30$ suma este $100+25+0+25+100=250$, deci ${\sigma }_2=\sqrt{50}\approx 7,07$. Aceeași medie, o împrăștiere de cinci ori mai mare.

• $\sigma$ este sensibilă la valorile extreme, exact ca media, pentru că le ridică la pătrat. O singură valoare depărtată poate umfla abaterea standard; abaterea intercuartilică, în schimb, nici nu o simte.

6. Două proprietăți care se verifică ușor

Translația nu schimbă abaterea standard. Dacă adaugi aceeași constantă la toate valorile, se mută și media cu aceeași constantă, deci abaterile $x_i-\bar{x}$ rămân neschimbate. Verificare pe setul nostru: $13,15,16,17,19$ (fiecare valoare mărită cu $10$) are media $16$, aceleași abateri $-3,-1,0,1,3$ și deci același $\sigma =2$.

Dilatarea o multiplică. Dacă înmulțești toate valorile cu $k>0$, atât media, cât și abaterile se înmulțesc cu $k$, deci $\sigma$ se înmulțește tot cu $k$. Verificare: $6,10,12,14,18$ (dublul setului inițial) are media $12$, suma pătratelor $80$ și $\sigma =\sqrt{16}=4$, adică exact dublul lui $2$.

Cele două proprietăți spun ceva important: abaterea standard măsoară forma împrăștierii, nu poziția datelor pe axă.

7. Abaterea standard în foaia de calcul

Programa cere explicit calculul abaterii standard cu ajutorul foilor de calcul. Aici, distincția dintre cele două formule apare direct în numele funcțiilor:

• =STDEV.P(A1:A9) — litera P vine de la populație și împarte la $n$; corespunde lui $\sigma$.
• =STDEV.S(A1:A9) — litera S vine de la eșantion (sample) și împarte la $n-1$; corespunde lui $s$.

Este exact aceeași alegere pe care o faci pe hârtie, doar că foaia de calcul te obligă să o faci explicit, prin numele funcției. O greșeală frecventă este folosirea automată a lui STDEV.S (varianta implicită în multe programe) pe un set care este, de fapt, întreaga populație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct pentru o populație

Calculează abaterea standard a setului $7,9,9,10,12,13$, considerând datele drept întreaga populație.

Rezolvare. Suma este $60$, deci $\bar{x}=\frac{60}{6}=10$. Abaterile: $-3,-1,-1,0,2,3$ (suma lor este $0$ ✓). Pătratele: $9,1,1,0,4,9$, cu suma $24$. Atunci

$$\sigma =\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2.$$

Exemplul 2 — Aceleași date, tratate ca eșantion

Cele șase valori de la Exemplul 1 reprezintă un eșantion de șase zile dintr-o lună. Calculează abaterea standard a eșantionului.

Rezolvare. Suma pătratelor abaterilor rămâne $24$, dar acum împărțim la $n-1=5$:

$$s=\sqrt{\frac{24}{5}}=\sqrt{4,8}\approx 2,19.$$

Rezultatul este mai mare decât $\sigma =2$, așa cum era de așteptat.

Exemplul 3 — Set cu abatere standard nulă

Un elev a luat, la cinci teste, notele $8,8,8,8,8$. Calculează $\sigma$ și interpretează rezultatul (datele sunt considerate întreaga populație).

Rezolvare. Media este $8$, toate abaterile sunt $0$, deci suma pătratelor este $0$ și $\sigma =0$. Interpretare: elevul este perfect constant — nu există nicio variație între rezultatele lui. Este singura situație în care abaterea standard se anulează.

Exemplul 4 — Comparație la aceeași medie

Două seturi au aceeași medie, $6$: setul $P:4,5,6,7,8$ și setul $Q:2,4,6,8,10$. Calculează abaterile standard (populații) și compară.

Rezolvare. Pentru $P$: abaterile sunt $-2,-1,0,1,2$, pătratele $4,1,0,1,4$, suma $10$, deci ${\sigma }_P=\sqrt{2}\approx 1,41$. Pentru $Q$: abaterile sunt $-4,-2,0,2,4$, pătratele $16,4,0,4,16$, suma $40$, deci ${\sigma }_Q=\sqrt{8}\approx 2,83$.

Setul $Q$ este exact „setul $P$ întins de două ori" față de medie, iar abaterea lui standard este exact dublă. Media nu deosebește cele două seturi; abaterea standard, da.

Exemplul 5 — Efectul unei valori extreme

Setul $3,5,6,7,29$ este considerat întreaga populație. Calculează media, mediana și abaterea standard, apoi comentează.

Rezolvare. Suma este $50$, deci $\bar{x}=10$; mediana este $6$. Abaterile: $-7,-5,-4,-3,19$; pătratele: $49,25,16,9,361$, cu suma $460$. Atunci

$$\sigma =\sqrt{\frac{460}{5}}=\sqrt{92}\approx 9,59.$$

Comentariu: o singură valoare, $29$, contribuie cu $361$ din cei $460$ — adică peste $78\%$ din toată suma. Media a fost trasă la $10$, deși patru din cinci valori sunt sub $8$, iar abaterea standard aproape că egalează valorile obișnuite ale setului. La seturi cu valori extreme, indicatorii de poziție (mediană, IQR) descriu realitatea mai fidel.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră setul de date $12,14,14,16,16,18,18,20$, reprezentând numărul de exerciții rezolvate de opt elevi. Se consideră datele drept întreaga populație.

a) Calculează media setului. b) Calculează abaterea standard $\sigma$, cu două zecimale. c) Precizează câte valori se abat de la medie cu mai puțin de $\sigma$.

Rezolvare.

a) Suma este $12+14+14+16+16+18+18+20=128$, deci $\bar{x}=\frac{128}{8}=16$.

b) Abaterile sunt $-4,-2,-2,0,0,2,2,4$ (suma $0$ ✓), iar pătratele $16,4,4,0,0,4,4,16$, cu suma $48$. Rezultă

$$\sigma =\sqrt{\frac{48}{8}}=\sqrt{6}\approx 2,45.$$

c) Valorile cu $|x_i-\bar{x}|<2,45$ sunt cele cu abaterea $-2,-2,0,0,2,2$, adică $6$ valori din $8$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare calcul, scrie întâi media, apoi tabelul abaterilor și verifică suma coloanei din mijloc: dacă nu îți dă $0$, oprește-te și caută greșeala.

1. Calculează media și abaterile față de medie pentru setul $4,5,6,7,8$ și verifică faptul că suma abaterilor este $0$.

2. Calculează abaterea standard a setului $4,5,6,7,8$, considerând datele drept întreaga populație. Dă rezultatul exact și aproximat cu două zecimale.

3. Calculează abaterea standard a setului $2,4,6,8,10$, considerând datele drept întreaga populație.

4. Calculează abaterea standard a setului $11,12,13,14,15$, considerând datele drept întreaga populație.

5. Setul $4,6,8,10,12$ este un eșantion. Calculează abaterea standard a eșantionului, cu două zecimale.

6. Pentru setul de la exercițiul $5$, calculează și $\sigma$ (ca și cum ar fi întreaga populație) și compară cele două rezultate.

7. Calculează abaterea standard a setului $5,7,9,11$, considerând datele drept întreaga populație.

8. Calculează abaterea standard a setului $1,3,3,5,5,7$, considerând datele drept întreaga populație, cu două zecimale.

9. Notele a zece elevi sunt $5,6,6,7,7,8,8,9,9,10$. Considerând datele drept întreaga populație, calculează media și abaterea standard.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Abaterea standard a unui set de date poate fi negativă."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă abaterea standard a unui set este $0$, atunci toate valorile setului sunt egale."

12. Fără să calculezi, spune care dintre seturile $A:20,20,21,21,22$ și $B:5,12,21,30,36$ are abaterea standard mai mare și de ce.

13. Setului $3,5,6,7,9$ i se adaugă $7$ la fiecare valoare. Ce se întâmplă cu media și ce se întâmplă cu abaterea standard? Justifică fără să refaci tot calculul.

14. Setul $2,3,4,6,7,8$ este considerat întreaga populație. Calculează media și abaterea standard, cu două zecimale.

15. (Problemă aplicată.) Într-o săptămână, un magazin a vândut zilnic $18,19,20,21,22$ produse, iar altul $10,15,20,25,30$. Considerând fiecare set drept întreaga populație a zilelor observate, calculează cele două abateri standard și explică ce decizie de aprovizionare sugerează diferența.

16. (Problemă aplicată.) Setul $3,5,6,7,29$ este întreaga populație. Calculează media și abaterea standard, apoi calculează-le din nou după eliminarea valorii $29$. Comentează cât de mult s-a schimbat fiecare indicator.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră setul de date $22,23,23,24,25,26,27,27,28$, considerat drept întreaga populație. a) Calculează media. b) Calculează abaterea standard. c) Precizează câte valori se află în intervalul $[\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma ]$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice set de date, are loc egalitatea $$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2,$$ apoi folosește-o pentru a calcula abaterea standard a setului $2,4,6,8,10$ (populație), fără să scrii tabelul abaterilor.

Răspunsuri și explicații

1. Media este $\frac{30}{5}=6$; abaterile sunt $-2,-1,0,1,2$, iar suma lor este $0$ ✓, așa cum prevede proprietatea generală $\sum (x_i-\bar{x})=0$.

2. Pătratele abaterilor sunt $4,1,0,1,4$, cu suma $10$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{2}\approx 1,41$.

3. Media este $6$; abaterile $-4,-2,0,2,4$; pătratele $16,4,0,4,16$, cu suma $40$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,83$.

4. Media este $13$; abaterile $-2,-1,0,1,2$; suma pătratelor $10$. Deci $\sigma =\sqrt{2}\approx 1,41$. Este același rezultat ca la exercițiul $2$, pentru că al doilea set se obține din primul adăugând $7$ la fiecare valoare — translația nu schimbă abaterea standard.

5. Media este $8$; abaterile $-4,-2,0,2,4$; suma pătratelor $40$. Fiind eșantion, împărțim la $n-1=4$: $s=\sqrt{\frac{40}{4}}=\sqrt{10}\approx 3,16$.

6. Ca populație, $\sigma =\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}\approx 2,83$. Deci $s\approx 3,16>\sigma \approx 2,83$: numitorul mai mic ($4$ în loc de $5$) dă o valoare mai mare. Diferența este consistentă la $n$ mic și devine neglijabilă la $n$ mare.

7. Media este $\frac{32}{4}=8$; abaterile $-3,-1,1,3$; suma pătratelor $20$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}\approx 2,24$.

8. Media este $\frac{24}{6}=4$; abaterile $-3,-1,-1,1,1,3$; pătratele $9,1,1,1,1,9$, cu suma $22$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{22}{6}}=\sqrt{\frac{11}{3}}\approx 1,91$.

9. Suma este $75$, deci $\bar{x}=7,5$. Abaterile sunt $-2,5;-1,5;-1,5;-0,5;-0,5;0,5;0,5;1,5;1,5;2,5$, iar suma pătratelor lor este $22,5$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{22,5}{10}}=\sqrt{2,25}=1,5$.

10. Fals. Abaterea standard este rădăcina pătrată a unei medii de pătrate, deci a unui număr nenegativ; prin definiție se ia rădăcina aritmetică, care este $\ge 0$. Un rezultat negativ înseamnă întotdeauna o greșeală de calcul.

11. Adevărat. Dacă $\sigma =0$, atunci $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=0$; fiind o sumă de numere nenegative, fiecare termen trebuie să fie nul, deci $x_i=\bar{x}$ pentru orice $i$. Reciproc, dacă toate valorile sunt egale, media este chiar valoarea comună și toate abaterile sunt nule.

12. Setul $B$ are abaterea standard mult mai mare. Valorile lui $A$ sunt toate la cel mult $1$ unitate una de alta, deci abaterile față de medie sunt sub $1$; valorile lui $B$ se întind de la $5$ la $36$, deci există abateri de peste $15$. Cum abaterile se ridică la pătrat, diferența se amplifică.

13. Media crește cu $7$ (devine $13$), iar abaterea standard rămâne neschimbată, $\sigma =2$. Motivul: fiecare abatere $x_i-\bar{x}$ devine $(x_i+7)-(\bar{x}+7)=x_i-\bar{x}$, adică exact aceeași valoare, deci suma pătratelor nu se schimbă.

14. Suma este $30$, deci $\bar{x}=5$. Abaterile: $-3,-2,-1,1,2,3$; pătratele: $9,4,1,1,4,9$, cu suma $28$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{28}{6}}=\sqrt{\frac{14}{3}}\approx 2,16$.

15. Ambele au media $20$. Primul: suma pătratelor abaterilor este $4+1+0+1+4=10$, deci ${\sigma }_1=\sqrt{2}\approx 1,41$. Al doilea: $100+25+0+25+100=250$, deci ${\sigma }_2=\sqrt{50}\approx 7,07$. Primul magazin poate fi aprovizionat cu o cantitate aproape fixă, apropiată de $20$; al doilea are nevoie de un stoc-tampon considerabil, pentru că în unele zile cererea urcă spre $30$.

16. Cu valoarea $29$: media este $10$, suma pătratelor abaterilor este $460$ și $\sigma =\sqrt{92}\approx 9,59$. Fără ea, setul $3,5,6,7$ are media $\frac{21}{4}=5,25$, abaterile $-2,25;-0,25;0,75;1,75$, suma pătratelor $8,75$ și $\sigma =\sqrt{2,1875}\approx 1,48$. Media a scăzut de aproape două ori, iar abaterea standard de peste șase ori: un singur punct depărtat schimbă radical ambii indicatori, dar îl afectează mult mai violent pe al doilea.

17. a) Suma este $225$, deci $\bar{x}=\frac{225}{9}=25$. b) Suma pătratelor abaterilor este $9+4+4+1+0+1+4+4+9=36$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{36}{9}}=2$. c) Intervalul este $[23,27]$, iar valorile din el sunt $23,23,24,25,26,27,27$, adică $7$ valori din $9$.

18. Dezvoltăm pătratul și folosim $\sum x_i=n\bar{x}$: $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\sum \left(x_i^2-2\bar{x}{x}_i+{\bar{x}}^2\right)=\sum x_i^2-2\bar{x}\sum x_i+n{\bar{x}}^2=\sum x_i^2-2n{\bar{x}}^2+n{\bar{x}}^2=\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2.$$ Aplicăm pe setul $2,4,6,8,10$: $\sum x_i^2=4+16+36+64+100=220$, $\bar{x}=6$, deci $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=220-5\cdot 36=40$, de unde $\sigma =\sqrt{\frac{40}{5}}=2\sqrt{2}\approx 2,83$ — exact rezultatul de la exercițiul $3$.

De reținut

• Abaterea standard măsoară cât de departe stau, în medie, valorile față de media setului, folosind toate datele, nu doar câteva.
• Suma abaterilor față de medie este întotdeauna $0$ — de aceea se ridică la pătrat înainte de a face media.
• Populație: $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$. Eșantion: $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$. Simbolurile nu se amestecă niciodată, iar $s>\sigma$ pe aceleași date.
• $\sigma \ge 0$, se exprimă în unitatea datelor, iar $\sigma =0$ exact când toate valorile sunt egale. Translația nu o schimbă; înmulțirea tuturor datelor cu $k>0$ o înmulțește cu $k$.
• În foaia de calcul, STDEV.P este $\sigma$ (împarte la $n$), iar STDEV.S este $s$ (împarte la $n-1$).

Greșeli frecvente

• Uitarea rădăcinii pătrate. Rezultatul împărțirii este varianța, nu abaterea standard. Fără rădăcină, numărul nu are aceeași unitate de măsură ca datele.
• Împărțirea la $n$ când datele sunt un eșantion (sau invers). Citește enunțul: dacă spune „un eșantion de…", folosești $s$ și împarți la $n-1$; dacă spune „toți elevii clasei" sau „considerând datele drept întreaga populație", folosești $\sigma$.
• Calcularea abaterilor față de mediană în loc de medie. Formula conține $\bar{x}$, media aritmetică. Mediana nu apare nicăieri în abaterea standard.
• Media abaterilor fără pătrate. Dă mereu $0$, oricare ar fi datele; dacă îți iese altceva, ai greșit media.
• Rotunjirea prea devreme. Media trebuie păstrată exactă (ca fracție, dacă e cazul) până la sfârșit. Rotunjirea ei la primul pas se propagă în toate pătratele și strică rezultatul final.

Aplică acasă

1. Cât de constant ești? Notează timp de $7$ zile câte minute ai învățat zilnic. Calculează media și abaterea standard, considerând cele șapte zile drept întreaga populație observată. Un $\sigma$ mic înseamnă un program stabil; unul mare, un program „în valuri".

2. Testul celor două funcții. Introdu aceleași șapte valori într-o foaie de calcul și calculează atât STDEV.P, cât și STDEV.S. Verifică dacă prima coincide cu rezultatul tău de mână și explică în scris de ce a doua iese mai mare.

3. Experimentul valorii extreme. Ia setul de la punctul $1$ și înlocuiește cea mai mare valoare cu una de trei ori mai mare. Recalculează media, mediana și abaterea standard și notează care dintre cei trei indicatori s-a schimbat cel mai puțin.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce indicatorul de împrăștiere cel mai folosit din statistică și, totodată, prima formulă cu sumă indexată din programa de trunchi comun. Verifică două lucruri distincte: execuția algoritmului (media, tabelul abaterilor, suma pătratelor, împărțirea, rădăcina) și alegerea corectă a formulei — competența X.CS.3.3 cere explicit calculul abaterii standard pentru un eșantion reprezentativ al unei populații, deci distincția $\sigma$ / $s$ nu este un moft, ci conținut de programă.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem face pur și simplu media abaterilor?" (dă mereu zero); „În ce unitate se măsoară abaterea standard?" (în unitatea datelor); „Când poate fi $\sigma$ egal cu zero?" (doar dacă toate valorile sunt egale); „Care dintre STDEV.P și STDEV.S corespunde formulei cu $n-1$?" (STDEV.S). Semnul că elevul a înțeles cu adevărat este că, în fața a două seturi cu aceeași medie, spune fără ezitare care este mai omogen și de ce.

La Bacalaureat, cerințele tipice sunt „calculați media și abaterea standard a setului" și „precizați câte valori se abat de la medie cu mai puțin de $\sigma$". Punctajul se pierde cel mai des la verificarea sumei abaterilor și la rotunjirea prematură a mediei. Merită exersat obiceiul de a scrie tabelul complet, cu totalul coloanei din mijloc egal cu zero.

Întrebări frecvente

Ce este abaterea standard? Este un număr care arată cât de departe stau, în medie, valorile unui set de date față de media acestuia. Se obține făcând media pătratelor abaterilor față de medie și extrăgând apoi rădăcina pătrată, ca rezultatul să fie exprimat în aceeași unitate ca datele.

Care este formula abaterii standard? Pentru o populație, $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$; pentru un eșantion, $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$. Diferența este doar numitorul, dar simbolurile și situațiile în care se folosesc sunt diferite.

Când folosesc $n$ și când folosesc $n-1$? Folosești $n$ atunci când datele reprezintă întreaga populație studiată (toți elevii clasei, toate zilele lunii). Folosești $n-1$ atunci când datele sunt un eșantion extras dintr-o populație mai mare, iar tu vrei să estimezi împrăștierea populației.

Ce înseamnă o abatere standard mare? Înseamnă că valorile sunt răsfirate, departe de medie, deci setul este neomogen. O abatere standard mică înseamnă valori strânse în jurul mediei, adică un grup uniform. Comparația are sens doar între seturi exprimate în aceeași unitate de măsură.

Poate abaterea standard să fie zero? Da, dar numai într-un singur caz: când toate valorile setului sunt egale. Atunci fiecare abatere este nulă, suma pătratelor este zero și rădăcina la fel. În orice alt caz, abaterea standard este strict pozitivă.

Care este diferența dintre STDEV.P și STDEV.S în Excel? STDEV.P calculează abaterea standard a populației (împarte la $n$) și corespunde lui $\sigma$, iar STDEV.S calculează abaterea standard a eșantionului (împarte la $n-1$) și corespunde lui $s$. Pe aceleași date, STDEV.S dă întotdeauna un rezultat puțin mai mare.

De ce se ridică abaterile la pătrat și nu se iau pur și simplu? Pentru că suma abaterilor este mereu zero: cele negative le anulează exact pe cele pozitive. Ridicarea la pătrat elimină semnele fără să piardă mărimile și, în plus, penalizează mai puternic valorile foarte depărtate de medie.