Statistica în viața de zi cu zi. Populație, eșantion, caracteristică

Deschizi telefonul dimineața și dai peste un titlu: „Șapte din zece liceeni români petrec peste trei ore pe zi pe rețelele sociale". Sub titlu scrie mărunt: studiu realizat pe 1 200 de elevi. Ceva nu se leagă. În România sunt aproape șapte sute de mii de elevi de liceu, iar cei care au făcut studiul au vorbit cu 1 200 dintre ei — adică nici doi din o mie. Și totuși își permit să spună „liceenii români". Cum e posibil? Au dreptul să facă asta? Și dacă da, cât de mult te poți baza pe cifra aceea?

Întrebarea nu e retorică, și nu e nici despre jurnalism: este exact întrebarea de la care pornește statistica matematică. Ea se ocupă cu adunarea datelor despre un grup mare, cu organizarea lor în tabele și diagrame, cu extragerea unor numere care rezumă grupul și, la final, cu decizia — pe baza acestor numere — asupra unei situații reale. Începem cu vocabularul, pentru că, în statistică, aproape toate greșelile de raționament sunt greșeli de vocabular: cine confundă grupul studiat cu grupul întrebat va trage concluzii false, oricât de corect ar calcula. Lecția aceasta îți dă cele patru cuvinte fără de care restul capitolului nu se poate citi: populație, unitate statistică, eșantion și caracteristică.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici, într-un context real, populația statistică a unui studiu și unitatea statistică din care e formată.
• Vei ști să recunoști un eșantion, să calculezi fracția de sondaj și să explici de ce, de cele mai multe ori, nu studiem toată populația.
• Vei ști să numești caracteristica urmărită și să enumeri modalitățile (valorile) pe care ea le poate lua.
• Vei ști să clasifici o caracteristică în calitativă sau cantitativă, iar pe cea cantitativă în discretă sau continuă.
• Vei ști să organizezi datele brute într-un tabel corect, în care fiecare rând este o unitate statistică și fiecare coloană o caracteristică.
• Vei ști să spui ce poate și ce nu poate afirma un studiu făcut pe eșantion despre întreaga populație.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu întrebăm pe toată lumea

Cel mai simplu ar fi, evident, să întrebăm pe toți. Uneori chiar se face: o dată la zece ani, statul organizează un recensământ. Costă însă sute de milioane de lei și durează luni întregi, deci nu poți repeta operațiunea pentru fiecare întrebare care te interesează. Sunt trei motive pentru care studiem doar o parte din grup:

• Costul și timpul. Un sondaj pe 1 000 de persoane se face într-o săptămână; unul pe zece milioane, niciodată.
• Imposibilitatea fizică. O fabrică vrea să știe cât rezistă un bec. Testul înseamnă să-l lași aprins până se arde: verificarea distruge obiectul verificat, deci testarea întregii producții ar lăsa fabrica fără marfă.
• Populația nu e complet accesibilă. Dacă studiezi calitatea apei dintr-un râu, nu poți analiza toată apa: ea curge și se schimbă. Iei probe.

Concluzia practică: culegem date de la o parte a grupului și încercăm să spunem ceva despre întregul grup. Toată statistica matematică se construiește în jurul acestei tensiuni.

2. Populația statistică și unitatea statistică

Definiție. Se numește populație statistică mulțimea tuturor elementelor despre care vrem să aflăm ceva într-un studiu. Un element al acestei mulțimi se numește unitate statistică (sau individ statistic). Numărul de unități ale populației se numește volumul populației și se notează, de obicei, cu $N$.

Cuvântul „populație" e moștenit de la primele studii de statistică, făcute pe oameni, dar în matematică el nu înseamnă neapărat oameni:

Reține rândul al patrulea: unitatea statistică e o zi, nu un termometru. Prima întrebare la orice problemă de statistică este: „un rând din tabelul meu de date ce reprezintă?" Răspunsul e unitatea statistică.

Atenție la definiția completă. „Elevii" nu e o populație; „toți elevii de clasa a X-a din liceul nostru, în anul școlar curent" este. O populație trebuie delimitată în spațiu, în timp și prin criteriu. Fără cele trei delimitări, două persoane care fac același studiu vor măsura lucruri diferite.

3. Eșantionul și fracția de sondaj

Definiție. Se numește eșantion o submulțime a populației statistice, aleasă pentru a fi efectiv studiată. Numărul de unități ale eșantionului se numește volumul eșantionului și se notează cu $n$.

Raportul dintre volumul eșantionului și volumul populației se numește fracție de sondaj:

$$\text{fracția de sondaj}=\frac{n}{N}.$$

Pentru liceul nostru cu $1200$ de elevi, dacă alegem $60$ dintre ei, iar pentru fabrica ce testează $200$ de becuri din $20000$ produse, obținem

$$\frac{60}{1200}=\frac{1}{20}=0,05=5\%,\frac{200}{20000}=\frac{1}{100}=0,01=1\%.$$

Un eșantion e util doar dacă este reprezentativ, adică dacă „seamănă" cu populația din care provine: aceleași proporții de fete și băieți, de clase, de profiluri. Cum se alege concret un astfel de eșantion — prin tragere la sorți sau pe straturi — vezi în lecția Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat; deocamdată reține că mărimea eșantionului contează mai puțin decât modul în care a fost ales.

Contraexemplul clasic: dacă întrebi despre obiceiurile de lectură numai persoanele găsite într-o librărie, vei afla că românii citesc enorm. Eșantionul e mare, ancheta e corectă, concluzia e falsă — grupul întrebat nu seamănă cu populația despre care vorbește titlul.

4. Caracteristica studiată și modalitățile ei

Definiție. Se numește caracteristică (sau variabilă statistică) proprietatea urmărită la fiecare unitate statistică. Valorile pe care caracteristica le poate lua se numesc modalitățile caracteristicii; când sunt numere, li se spune și valorile caracteristicii.

Aceeași populație poate fi studiată din mai multe puncte de vedere, adică prin mai multe caracteristici. Pentru populația „cei 25 de elevi ai clasei a X-a B":

Notația uzuală: dacă eșantionul are $n$ unități, valorile citite pe ele se notează $x_1,x_2,\dots ,x_n$ și formează setul de date (sau seria statistică). Numărul de unități la care caracteristica ia o anumită valoare se numește frecvență absolută — este noțiunea centrală a lecției următoare, Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute.

5. Caracteristici calitative și cantitative

Împărțirea aceasta decide, mai târziu, ce ai voie să calculezi și ce diagramă poți desena. Merită învățată exact.

Caracteristică calitativă (sau nenumerică): modalitățile sunt cuvinte, nu numere. Exemple: mijlocul de transport, culoarea ochilor, disciplina preferată, județul de proveniență, răspunsul „da / nu / nu știu". Pe ele nu se calculează medii — nu are sens „media mijloacelor de transport". Se numără doar câte unități au fiecare modalitate.

Caracteristică cantitativă (sau numerică): modalitățile sunt numere, iar operațiile cu ele au sens. Se împarte în două:

• discretă, când valorile posibile pot fi enumerate una câte una, de obicei numere întregi: numărul de frați, numărul de goluri într-un meci, numărul de zile de absență, nota la teză. Între $2$ frați și $3$ frați nu există nimic;
• continuă, când caracteristica poate lua, în principiu, orice valoare dintr-un interval: înălțimea, masa, temperatura, timpul, prețul. Între $170$ cm și $171$ cm există o infinitate de înălțimi posibile; faptul că măsurăm cu o singură zecimală ține de instrumentul de măsură, nu de caracteristică.

Un test rapid și onest: are sens să faci media? Dacă da, caracteristica e cantitativă.

Atenție la o capcană foarte răspândită: cifrele care sunt de fapt etichete. Numărul de pe tricoul unui jucător, codul poștal sau numărul clasei ($9$, $10$, $11$, $12$) arată ca niște numere, dar sunt etichete: media codurilor poștale nu înseamnă nimic. Astfel de caracteristici sunt calitative, chiar dacă sunt scrise cu cifre.

6. Datele brute: cum arată corect un set de date

Înainte de orice tabel de frecvențe și de orice diagramă există datele brute: lista răspunsurilor, exact așa cum au fost culese. Forma standard e un tabel în care fiecare rând este o unitate statistică (un elev, un bec, o zi) și fiecare coloană este o caracteristică (nota, transportul, timpul); prima linie conține numele coloanelor, iar fiecare celulă o singură informație. Iată primele patru rânduri, pentru cei 25 de elevi ai clasei a X-a B:

Trei reguli de igienă a datelor, care par mărunte și care strică studii întregi:

1. Scrie identic aceeași modalitate. „autobuz", „Autobuz" și „autobuz " (cu spațiu la final) vor fi numărate ca trei categorii diferite de orice program de calcul.
2. Nu amesteca unități de măsură în aceeași coloană: ori toate timpurile în minute, ori toate în ore.
3. Marchează explicit datele lipsă. Dacă un elev n-a răspuns, celula rămâne goală; nu se pune $0$, pentru că $0$ este un răspuns, nu o absență de răspuns.

7. Cum se face în foaia de calcul

Programa cere explicit utilizarea instrumentelor digitale, iar statistica este exact locul unde ele îți economisesc ore. Într-o foaie de calcul (Google Sheets sau Excel), datele brute se scriu chiar în forma de mai sus: capul de tabel pe primul rând, apoi câte un rând pe unitate statistică.

Câteva funcții care îți sunt de folos din prima zi (scriu numele în engleză, forma în care apar în Google Sheets și în majoritatea instalărilor de Excel; dacă ai interfața în limba română, numele pot apărea traduse, dar rolul lor e același):

• =COUNTA(B2:B26) — numără câte celule nu sunt goale, adică volumul eșantionului $n$. Pe coloana notelor va da $25$.
• =COUNT(B2:B26) — numără doar celulele care conțin numere. Diferența față de rezultatul anterior îți arată câte răspunsuri au fost text sau greșit introduse.
• =COUNTBLANK(B2:B26) — numără celulele goale, adică datele lipsă.
• =UNIQUE(C2:C26) — listează modalitățile distincte ale unei caracteristici calitative. Dacă îți apar și „autobuz", și „Autobuz", ai găsit exact greșeala de la punctul 1 de mai sus.
• =MIN(D2:D26) și =MAX(D2:D26) — cea mai mică și cea mai mare valoare a unei caracteristici cantitative.

Un obicei bun: după introducerea datelor, compară COUNTA cu numărul de chestionare pe care le ai pe hârtie. Dacă cele două numere diferă, ai pierdut sau ai dublat un rând — e mult mai ieftin să afli acum decât după ce ai desenat toate diagramele.

8. Ce poate și ce nu poate spune un studiu pe eșantion

Un studiu pe eșantion îți dă un număr calculat pe eșantion, nu adevărul despre populație. Numerele calculate pe eșantion se numesc caracteristici de sondaj; cele adevărate, ale populației, se numesc parametri ai populației. Aproape întotdeauna, primele diferă puțin de ultimele — diferența se numește eroare de eșantionare și nu e o greșeală, ci un fapt inevitabil.

Distincția se vede cel mai clar la măsurarea împrăștierii datelor. Când setul tău de date este toată populația studiată, împrăștierea se măsoară cu abaterea standard a populației,

$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}},$$

iar când setul e doar un eșantion extras dintr-o populație mai mare, se folosește abaterea standard de eșantion,

$$s=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}.$$

Nu calculăm nimic acum — formulele apar doar ca să vezi că deosebirea populație/eșantion nu e o subtilitate de vocabular, ci schimbă efectiv formula. Le studiem în lecția Abaterea standard: formulă și interpretare.

Trei propoziții pe care nu ai voie să le spui după un studiu pe eșantion: „exact $63\%$ dintre liceeni fac asta" (pe eșantion ai găsit $63\%$; despre populație poți spune doar „aproximativ"); „studiul dovedește că…" (un sondaj estimează, nu demonstrează); „rezultatul e valabil pentru toți elevii din țară" (dacă eșantionul e dintr-un singur oraș, concluzia se oprește acolo).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea completă a unui studiu

Directorul unui liceu cu $1200$ de elevi vrea să afle cât timp petrec elevii zilnic pe drumul până la școală. Alege $60$ de elevi, câte $15$ din fiecare an de studiu, și le măsoară timpul de deplasare. Precizați populația, unitatea statistică, volumul populației, eșantionul, volumul eșantionului, fracția de sondaj și caracteristica studiată, cu tipul ei.

Rezolvare.

• Populația: toți cei $1200$ de elevi ai liceului, în anul școlar curent. Volumul: $N=1200$.
• Unitatea statistică: un elev al liceului.
• Eșantionul: cei $60$ de elevi aleși. Volumul: $n=60$.
• Fracția de sondaj: $\frac{60}{1200}=\frac{1}{20}=5\%$.
• Caracteristica: timpul de deplasare până la școală, măsurat în minute. Este cantitativă continuă (poate lua orice valoare dintr-un interval; faptul că o rotunjim la minut ține de instrumentul de măsură).

Observație: eșantionul are $15$ elevi din fiecare an de studiu, deci a fost construit ca să semene cu populația pe criteriul „an de studiu" — un început bun de reprezentativitate.

Exemplul 2 — Populație sau eșantion?

Profesoara notează notele la teză ale tuturor celor $25$ de elevi ai clasei a X-a B și calculează media clasei. Este vorba despre o populație sau despre un eșantion?

Rezolvare. Depinde de întrebarea la care vrea să răspundă, nu de mărimea grupului.

• Dacă vrea să caracterizeze clasa a X-a B („cum a mers teza la clasa mea?"), atunci cei $25$ de elevi sunt întreaga populație: $N=25$, iar media calculată e chiar media populației.
• Dacă vrea să tragă o concluzie despre toți elevii de clasa a X-a din liceu („cât de greu a fost subiectul?"), atunci cei $25$ formează un eșantion dintr-o populație mai mare, iar media e doar o estimare.

Concluzie de reținut: același set de date poate fi populație într-un studiu și eșantion în altul. Ce decide este întrebarea, nu numărul de rânduri.

Exemplul 3 — Clasificarea caracteristicilor

Clasificați fiecare caracteristică în calitativă, cantitativă discretă sau cantitativă continuă: (a) grupa sanguină; (b) numărul de frați; (c) masa corporală; (d) numărul de pe tricoul unui fotbalist; (e) prețul unui produs; (f) nota la teză.

Rezolvare. (a) Calitativă — modalitățile sunt etichete (0, A, B, AB), iar media lor n-ar însemna nimic. (b) Cantitativă discretă — valori întregi $0,1,2,\dots$; nu există „$1,5$ frați". (c) Cantitativă continuă — o cântărim cu zecimale doar din cauza cântarului. (d) Calitativă, deși e scrisă cu cifre: numărul $10$ de pe tricou nu e „de două ori mai mult" decât numărul $5$. (e) Cantitativă continuă — prețul se rotunjește la bani, dar între $12$ și $13$ lei există o infinitate de valori posibile. (f) Cantitativă discretă — notele întregi $1,2,\dots ,10$ pot fi enumerate.

Exemplul 4 — Fracția de sondaj

O fabrică produce zilnic $20000$ de becuri. Controlul de calitate testează durata de funcționare pentru $200$ dintre ele. (a) Care e fracția de sondaj? (b) De ce nu se testează toate becurile? (c) Dacă fabrica ar vrea o fracție de sondaj de $2\%$, câte becuri ar trebui testate?

Rezolvare. (a) $\frac{200}{20000}=\frac{1}{100}=0,01=1\%$. (b) Pentru că testul e distructiv: becul e ținut aprins până se arde, deci nu mai poate fi vândut; testarea întregii producții ar însemna zero marfă. (c) $2\%\cdot 20000=\frac{2}{100}\cdot 20000=400$ de becuri.

Exemplul 5 — Un eșantion care minte

Un site de știri publică pe pagina sa un chestionar: „Sunteți mulțumit de transportul public din oraș?". Răspund $3500$ de cititori, dintre care $2800$ spun „nu". Titlul de a doua zi: „$80\%$ dintre locuitorii orașului sunt nemulțumiți de transportul public". Ce e greșit?

Rezolvare. Calculul procentului e corect: $\frac{2800}{3500}=\frac{4}{5}=80\%$. Greșeala e în extinderea concluziei, din trei motive:

1. Populația din titlu este „locuitorii orașului", dar eșantionul e format din cititorii site-ului care au ales să răspundă — cu totul altceva.
2. Răspunsul e voluntar, iar la chestionarele voluntare răspund cu precădere cei nemulțumiți; mulțumitul trece mai departe fără să dea clic.
3. Nu știm nimic despre structura respondenților: vârstă, cartier, dacă folosesc măcar transportul public.

Formularea corectă ar fi: „$80\%$ dintre cei $3500$ de cititori care au răspuns se declară nemulțumiți". Volumul mare nu repară un eșantion prost ales — îl face doar mai convingător la prima vedere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Într-un liceu cu $450$ de elevi se realizează un studiu privind numărul de cărți citite în vacanță. Sunt chestionați $45$ de elevi. Determinați fracția de sondaj și precizați tipul caracteristicii studiate. Dacă dintre cei $45$ de elevi chestionați $18$ au citit cel puțin trei cărți, ce procent reprezintă aceștia din eșantion și ce se poate estima despre populație?

Rezolvare. Fracția de sondaj și procentul din eșantion:

$$\frac{n}{N}=\frac{45}{450}=\frac{1}{10}=10\%,\frac{18}{45}=\frac{2}{5}=0,4=40\%.$$

Caracteristica „numărul de cărți citite în vacanță" este cantitativă discretă (valori întregi $0,1,2,\dots$).

Estimarea pentru populație: dacă eșantionul e reprezentativ, se poate estima că aproximativ $40\%$ dintre cei $450$ de elevi, adică în jur de $0,4\cdot 450=180$ de elevi, au citit cel puțin trei cărți. Cuvântul „aproximativ" nu e o formulă de politețe: numărul exact poate fi $170$ sau $195$, iar studiul nu are cum să-l precizeze.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă cu context, scrie mai întâi cele patru elemente — populație, unitate statistică, eșantion, caracteristică — și abia apoi răspunde la întrebare.

1. Un profesor înregistrează notele la teză ale tuturor celor $25$ de elevi ai clasei sale, ca să caracterizeze clasa. Precizați populația, unitatea statistică și volumul populației.

2. Într-o școală cu $600$ de elevi sunt chestionați $75$. Calculați fracția de sondaj și exprimați-o în procente.

3. Precizați tipul fiecărei caracteristici (calitativă, cantitativă discretă sau cantitativă continuă): (a) culoarea ochilor; (b) numărul de frați; (c) înălțimea; (d) disciplina preferată; (e) numărul de zile de absență; (f) timpul de rezolvare a unui exercițiu.

4. O fabrică produce $8000$ de piese pe zi și verifică $160$ dintre ele. Calculați fracția de sondaj.

5. Pentru studiul „temperatura maximă zilnică din luna martie, în București", precizați populația, unitatea statistică, volumul populației și tipul caracteristicii.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un eșantion de $3000$ de persoane este întotdeauna mai bun decât unul de $1000$ de persoane."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul de pe tricoul unui jucător de fotbal este o caracteristică cantitativă, pentru că e un număr."

8. Într-un studiu, populația are $2500$ de unități, iar fracția de sondaj este $4\%$. Câte unități are eșantionul?

9. Un eșantion are $n=120$ de unități, iar fracția de sondaj este $\frac{1}{25}$. Care este volumul populației?

10. (Problemă aplicată.) Un lanț de magazine vrea să afle cât cheltuiește un client la o vizită. Timp de o zi, este notată valoarea a $250$ de bonuri, dintr-un total de $4000$ emise. Precizați toate elementele studiului și calculați fracția de sondaj.

11. Enumerați modalitățile posibile ale caracteristicii „mijlocul de transport spre școală" și explicați de ce pe această caracteristică nu se poate calcula o medie.

12. (Problemă aplicată.) Un elev vrea să afle care e sportul preferat în liceul său, cu $800$ de elevi. Îi întreabă pe cei $28$ de colegi din echipa de baschet. Explicați de ce eșantionul nu e reprezentativ și propuneți o corectare.

13. Într-un tabel de date brute cu $40$ de rânduri și $5$ coloane, ce reprezintă un rând și ce reprezintă o coloană? Câte unități statistice și câte caracteristici avem?

14. Ce funcție dintr-o foaie de calcul folosești ca să afli câte celule nu sunt goale pe o coloană? Dar ca să vezi ce modalități distincte apar într-o coloană cu răspunsuri text?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Într-un liceu cu $900$ de elevi sunt chestionați $90$ de elevi, dintre care $27$ declară că fac sport zilnic. Determinați fracția de sondaj și procentul elevilor din eșantion care fac sport zilnic. Estimați câți elevi din liceu fac sport zilnic.

16. Aceleași date pot fi populație într-un studiu și eșantion în altul. Dați un exemplu propriu, cu două întrebări diferite puse pe același set de date.

17. (Problemă aplicată.) La introducerea datelor unui chestionar, funcția COUNTA aplicată coloanei „vârstă" dă $198$, iar COUNT pe aceeași coloană dă $195$. Ce s-a întâmplat și cum verifici?

18. (Provocare.) Un institut anunță: „$52\%$ dintre români preferă produsul A, cu o marjă de eroare de $3$ puncte procentuale". Un al doilea institut anunță, în aceeași săptămână, $49\%$, cu aceeași marjă. Presa titrează „studiile se contrazic". Explicați de ce cele două rezultate sunt, de fapt, compatibile, și ce ar însemna cu adevărat o contradicție.

Răspunsuri și explicații

1. Populația: toți cei $25$ de elevi ai clasei, la teza respectivă. Unitatea statistică: un elev. Volumul: $N=25$. Cum profesorul vrea să caracterizeze chiar clasa lui, grupul studiat este întreaga populație, nu un eșantion.

2. $\frac{75}{600}=\frac{1}{8}=0,125=12,5\%$.

3. (a) calitativă; (b) cantitativă discretă; (c) cantitativă continuă; (d) calitativă; (e) cantitativă discretă; (f) cantitativă continuă.

4. $\frac{160}{8000}=\frac{1}{50}=0,02=2\%$.

5. Populația: toate zilele lunii martie, la București. Unitatea statistică: o zi. Volumul: $N=31$. Caracteristica e cantitativă continuă. Nu există eșantion: se măsoară toate zilele, deci lucrăm pe întreaga populație.

6. Fals. Ce contează întâi e modul de alegere, nu mărimea. Un eșantion de $3000$ de persoane luate toate dintr-un singur cartier e mai prost decât unul de $1000$ alese aleator din tot orașul. Mărimea ajută doar dacă eșantionul este deja reprezentativ.

7. Fals. Numărul de pe tricou este o etichetă: nu are sens să faci media numerelor de pe tricouri și nici să spui că jucătorul cu $10$ „are de două ori mai mult" decât cel cu $5$. Caracteristica e calitativă, deși modalitățile sunt scrise cu cifre.

8. $n=4\%\cdot 2500=\frac{4}{100}\cdot 2500=100$ de unități.

9. Din $\frac{n}{N}=\frac{1}{25}$ rezultă $N=25n=25\cdot 120=3000$ de unități.

10. Populația: toate cele $4000$ de bonuri emise în ziua respectivă ($N=4000$). Unitatea statistică: un bon (adică o vizită a unui client). Eșantionul: cele $250$ de bonuri notate ($n=250$). Caracteristica: valoarea bonului, în lei — cantitativă continuă. Fracția de sondaj: $\frac{250}{4000}=\frac{1}{16}=0,0625=6,25\%$.

11. Modalitățile: pe jos, autobuz, mașină, bicicletă, altul. Media nu are sens pentru că modalitățile sunt cuvinte: nu poți aduna „autobuz" cu „bicicletă". Singura prelucrare posibilă e numărarea unităților din fiecare categorie.

12. Eșantionul e format numai din jucători de baschet, deci răspunsul „baschet" va fi sigur supra-reprezentat: grupul întrebat nu seamănă cu populația liceului. Corectare: alege elevii aleator, câte doi-trei trași la sorți din fiecare clasă, astfel încât structura eșantionului să o urmeze pe cea a liceului.

13. Un rând = o unitate statistică; o coloană = o caracteristică. Avem $40$ de unități statistice și $5$ caracteristici măsurate pe fiecare.

14. Pentru numărul de celule care nu sunt goale: COUNTA. Pentru lista modalităților distincte: UNIQUE. A doua e utilă mai ales ca să prinzi aceeași modalitate scrisă în două feluri („autobuz" și „Autobuz").

15. Fracția de sondaj: $\frac{90}{900}=\frac{1}{10}=10\%$. Procentul din eșantion: $\frac{27}{90}=\frac{3}{10}=30\%$. Estimare pentru populație: aproximativ $30\%$ din $900$, adică în jur de $0,3\cdot 900=270$ de elevi. Formularea trebuie să conțină „aproximativ" — este o estimare pe baza unui eșantion, nu o numărătoare.

16. Notele celor $25$ de elevi ai clasei a X-a B: întrebarea „cum a scris clasa a X-a B la teză?" le tratează ca populație, iar întrebarea „cât de greu a fost subiectul pentru elevii de clasa a X-a din liceu?" le tratează ca eșantion dintr-o populație mai mare.

17. COUNTA numără celulele care nu sunt goale, COUNT doar pe cele cu numere. Diferența de $3$ înseamnă că trei celule conțin text: probabil „$17$ ani" sau „șaptesprezece". Verificare: sortezi coloana ori aplici un filtru care arată valorile nenumerice, apoi corectezi cele trei celule.

18. Fiecare institut a lucrat pe alt eșantion, deci a obținut altă estimare a aceleiași mărimi necunoscute. Primul spune că valoarea reală e, cu mare probabilitate, între $49\%$ și $55\%$; al doilea, între $46\%$ și $52\%$. Cele două intervale se suprapun pe porțiunea de la $49\%$ la $52\%$, deci există valori compatibile cu ambele studii: nu e nicio contradicție, ci eroarea de eșantionare la lucru. O contradicție adevărată ar apărea dacă intervalele ar fi disjuncte — de pildă $52\%\pm 3$ față de $40\%\pm 3$ —, iar atunci ar trebui căutată cauza: eșantioane construite diferit, întrebări formulate diferit sau perioade diferite de culegere.

De reținut

• Populația statistică este mulțimea tuturor elementelor studiate, iar un element al ei se numește unitate statistică. Populația se definește prin loc, timp și criteriu — altfel nu e definită.
• Eșantionul este o submulțime a populației, efectiv studiată; raportul $\frac{n}{N}$ se numește fracție de sondaj. Studiem pe eșantion din motive de cost, de timp sau pentru că verificarea e distructivă.
• Caracteristica este proprietatea urmărită la fiecare unitate, iar valorile ei se numesc modalități. Aceeași populație poate fi studiată prin mai multe caracteristici.
• Caracteristicile sunt calitative (cuvinte, nu se face media) sau cantitative, iar cele cantitative sunt discrete (valori care se pot enumera) sau continue (orice valoare dintr-un interval). Cifrele folosite ca etichete rămân caracteristici calitative.
• Un rezultat obținut pe eșantion estimează, nu demonstrează. Reprezentativitatea eșantionului contează mai mult decât mărimea lui.

Greșeli frecvente

• Confundarea populației cu eșantionul. „Am întrebat $200$ de oameni, deci populația e de $200$" este fals: populația e grupul despre care vrei să afli ceva, eșantionul e grupul pe care îl întrebi. Verificare: citește concluzia studiului și vezi despre cine vorbește ea.
• Definirea vagă a populației. „Tinerii" sau „elevii" nu delimitează nimic. Scrie mereu cine, unde și când: „elevii de clasa a X-a din liceul X, în semestrul curent".
• Tratarea etichetelor numerice ca date cantitative. Codul poștal, numărul clasei sau numărul de pe tricou sunt caracteristici calitative; media lor nu înseamnă nimic, chiar dacă foaia de calcul o afișează fără să se plângă.
• Confuzia discret/continuu. Nu numărul de zecimale afișate decide, ci natura caracteristicii: înălțimea rămâne continuă chiar dacă o scrii rotunjită la centimetru, iar numărul de frați rămâne discret oricâte zecimale ar avea media lui.
• Extinderea concluziei dincolo de eșantion. Un chestionar cu răspuns voluntar, pus pe un site, descrie doar pe cei care au ales să răspundă. Volumul mare al eșantionului nu corectează felul greșit în care a fost adunat.

Aplică acasă

1. Studiul clasei tale. Alege trei caracteristici — una calitativă, una cantitativă discretă și una cantitativă continuă — și culege datele de la toți colegii. Construiește tabelul de date brute cu un rând pe elev și o coloană pe caracteristică. Scrie explicit, sub tabel, care e populația și de ce în cazul acesta nu ai un eșantion.

2. Vânătoarea de titluri. Caută în presă trei titluri care conțin un procent („$6$ din $10$ români…"). Pentru fiecare, notează populația din titlu, eșantionul menționat în text și dacă cele două se potrivesc. La cel puțin unul, nu se vor potrivi.

3. Prima foaie de calcul. Introdu datele de la punctul 1 într-o foaie de calcul. Verifică volumul cu COUNTA, listează modalitățile caracteristicii calitative cu UNIQUE și află minimul și maximul celei continue cu MIN și MAX. Dacă în listă apare de două ori același răspuns scris diferit, corectează-l — e prima ta operație de curățare a datelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de statistică matematică și este, în întregime, o lecție de limbaj precis. Nu conține calcule dificile — singurele operații sunt împărțiri și procente —, dar pune bazele fără de care restul capitolului devine o colecție de rețete. Programa de trunchi comun cere explicit abordarea prin contexte practice și menționează utilizarea foilor de calcul digitale, de unde secțiunea dedicată funcțiilor de bază.

Ce verificați în caietul elevului: (1) la orice problemă cu context, scrie explicit populația, unitatea statistică și caracteristica înainte de a calcula ceva; (2) clasifică corect caracteristica, mai ales în cazurile-capcană cu etichete numerice; (3) folosește cuvântul „aproximativ" când extinde un rezultat de la eșantion la populație. Întrebări bune de control: „Un rând din tabelul tău ce reprezintă?"; „De ce nu putem calcula media culorilor ochilor?"; „Dacă mărim eșantionul de trei ori, dar îl luăm tot dintr-un singur cartier, se îmbunătățește studiul?".

La Bacalaureat, noțiunile apar într-un enunț scurt care descrie un studiu, urmat de cerințe de calcul simplu — fracție de sondaj, procent, estimare a unui număr din populație. Punctajul se pierde cel mai des la ultimul pas, când elevul afirmă un rezultat exact pentru populație în loc de o estimare. Semne că elevul a înțeles: identifică singur unitatea statistică, sesizează când o cifră e de fapt o etichetă și explică de ce un chestionar cu răspuns voluntar nu descrie o populație întreagă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă populație în statistică? Mulțimea tuturor elementelor despre care vrem să aflăm ceva într-un studiu, nu neapărat oameni: pot fi becuri, zile, meciuri sau bonuri de casă. Populația trebuie definită prin loc, timp și criteriu de includere; altfel, doi cercetători ar studia lucruri diferite.

Care e diferența dintre populație și eșantion? Populația este grupul întreg despre care tragem concluzia; eșantionul este partea din el pe care o studiem efectiv. Raportul dintre volume se numește fracție de sondaj: pentru $60$ de elevi dintr-un liceu cu $1200$, ea este $\frac{60}{1200}=5\%$.

Ce este o caracteristică statistică și ce sunt modalitățile ei? Caracteristica este proprietatea măsurată la fiecare unitate statistică — nota, înălțimea, mijlocul de transport. Modalitățile sunt valorile pe care le poate lua: pentru transport, „pe jos", „autobuz", „mașină", „bicicletă".

Cum îmi dau seama dacă o caracteristică e calitativă sau cantitativă? Întreabă-te dacă are sens media valorilor. Media notelor are sens, deci nota e cantitativă; media culorilor ochilor nu are sens, deci culoarea e calitativă. Atenție la etichetele scrise cu cifre — codul poștal sau numărul de pe tricou sunt calitative.

Care e diferența dintre o caracteristică discretă și una continuă? Cea discretă ia valori care se pot enumera una câte una, de obicei întregi (numărul de frați, numărul de goluri). Cea continuă poate lua orice valoare dintr-un interval (înălțimea, timpul, prețul), chiar dacă instrumentul de măsură ne obligă să o rotunjim.

De ce nu se studiază toată populația, ci doar un eșantion? Costul și timpul unui studiu complet sunt adesea prohibitive; unele verificări sunt distructive, deci ar consuma tot ce testează; iar unele populații nu sunt complet accesibile. Recensământul este excepția care confirmă regula — se face o dată la zece ani tocmai pentru că e enorm de scump.

Un eșantion mai mare înseamnă un studiu mai bun? Nu neapărat. Contează întâi ca eșantionul să fie reprezentativ. Unul mare, dar prost ales — de pildă doar cititorii unui site, care aleg singuri să răspundă — dă un rezultat fals, doar cu un aer mai convingător.