Compararea probabilităților și decizii informate (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un comunicat anunță că un vaccin nou „reduce riscul de îmbolnăvire cu $95%$ ”. În studiu, din $20000$ de voluntari vaccinați s-au îmbolnăvit $8$ , iar din $20000$ de voluntari care au primit o soluție fără efect s-au îmbolnăvit $160$ . De unde vine cifra de $95%$ , ce înseamnă ea pentru o persoană anume și ce spune în plus numărul de cazuri? Ca să răspunzi, trebuie să știi să compari două probabilități, să citești un risc relativ și să deosebești o diferență în puncte procentuale de un raport. Lecția încheie capitolul de probabilități din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2) și nu adaugă formule noi. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, deci compararea probabilităților calculate prin numărare, dar nu numește riscul relativ.

Lecția folosește tot ce ai calculat în lecția despre situațiile practice și în lecția despre evenimentele independente. Acum întrebarea nu mai e „cât este probabilitatea?”, ci „care variantă e mai bună și de ce?”.

Ce vei învăța

Vei ști să compari două probabilități scrise ca fracții, zecimale sau procente, inclusiv prin produsul în cruce învățat în clasa a IX-a, fără rotunjiri înșelătoare.
Vei ști să transformi „șansele de $k$ la $m$ ” în probabilitate și invers și să nu le confunzi cu „o șansă din $n$ ”.
Vei ști să calculezi riscul absolut al unui grup, diferența de risc în puncte procentuale și riscul relativ ca raport simplu.
Vei ști să iei o decizie după un prag stabilit dinainte și să explici ce a cântărit în alegerea pragului.
Vei ști să judeci cât de sigură e o comparație făcută pe frecvențe din eșantioane mici.
Vei ști să compari probabilități calculate prin numărare, ca în exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2”.

Hai să descoperim împreună

1. Cum alegi între două probabilități apropiate?

O probabilitate e un număr din intervalul $[0, 1]$ , deci două probabilități se compară ca orice două numere reale, cu metodele din lecția despre ordonarea numerelor reale: diferența sau, la două fracții pozitive, produsul în cruce,

$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d < b \cdot c (b > 0, d > 0) .$

A compara două probabilități înseamnă a decide, pe valorile exacte, care dintre două evenimente are mai multe șanse; rotunjirea vine abia când comunici rezultatul. Pe un exemplu care nu mai apare: $\frac{7}{19}$ și $\frac{11}{30}$ . Produsele sunt $7 \cdot 30 = 210$ și $19 \cdot 11 = 209$ , deci $\frac{7}{19} > \frac{11}{30}$ . Cu zecimale, $\frac{7}{19} \approx 0, 3684$ și $\frac{11}{30} \approx 0, 3667$ : la două zecimale ambele ar fi $0, 37$ , iar comparația s-ar fi pierdut. Regula de lucru e cea din lecția despre media aritmetică și ponderată: compari valori exacte și rotunjești abia la final. Procentele sunt utile pentru comunicare, dar se calculează din fracția exactă. Un raport de laborator scrie de aceea ambele forme: fracția, din care se poate reface calculul, și procentul rotunjit, pe care îl înțelege imediat oricine citește. Dacă cele două nu se potrivesc, fracția are ultimul cuvânt.

2. Ce înseamnă „șanse de 1 la 4”?

Un ghid de pescuit scrie că „șansele să prinzi o știucă într-o după-amiază pe lacul acesta sunt de $1$ la $4$ ”. Expresia „șanse de $k$ la $m$ ” compară cazurile favorabile cu cele nefavorabile: la fiecare $k$ după-amiezi cu știucă vin, în medie, $m$ după-amiezi fără. Din $k + m$ cazuri, favorabile sunt $k$ , deci

$p = \frac{k}{k + m}, aici p = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} .$

În schimb, „o șansă din $n$ ” e chiar probabilitatea $\frac{1}{n}$ . Invers, dacă știi $p$ , șansele sunt raportul $p : (1 - p)$ : la $p = \frac{2}{7}$ ai $2$ la $5$ . Presa și ghidurile amestecă adesea cele două exprimări; când nu e clar la ce se referă, întreabă „din câte cazuri?”.

Ai întâlnit deja o exprimare prin șanse fără să-i spui așa: în genetică, „raportul fenotipic $3 : 1$ ” de la încrucișarea a doi heterozigoți înseamnă trei urmași cu fenotip dominant la unul cu fenotip recesiv. Transformat în probabilitate, dă $\frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4}$ , exact valoarea numărată pe pătratul lui Punnett în lecția precedentă. Șansele sunt comode când compari două categorii între ele, probabilitatea e comodă când compari o categorie cu întregul.

3. Cum compar riscul a două grupuri?

Într-un spital, $400$ de laboranți poartă mănuși de latex și $600$ mănuși de nitril. Într-un an, $28$ dintre primii și $12$ dintre ceilalți au avut o iritație a pielii. Riscul absolut al fiecărui grup este frecvența relativă a evenimentului în grup:

$r_{L} = \frac{28}{400} = 7%, r_{N} = \frac{12}{600} = 2%.$

Numerele $28$ și $12$ nu se compară direct, pentru că grupurile au mărimi diferite. Din cele două riscuri se obțin două mărimi diferite:

diferența de risc: $7 - 2 = 5$ puncte procentuale, adică $5$ cazuri în plus la fiecare $100$ de laboranți;
riscul relativ, raportul celor două riscuri: $\frac{r _{L}}{r _{N}} = \frac{7%}{2%} = 3, 5$ , adică riscul cu latex e de $3, 5$ ori mai mare.

Riscul de iritație a pielii într-un an, în procente: 7 la latex, 2 la nitril (diferența 5 puncte procentuale, raportul 3,5).

Deosebirea dintre puncte procentuale și procente o știi din lecția despre procente, dobânzi și TVA. Riscul relativ nu e o noțiune nouă, ci o împărțire a două probabilități; el nu apare numit ca atare în programă și îl folosim doar ca mod de a compara.

4. Ce spune un risc relativ și ce ascunde?

Revenim la vaccinul din deschidere. Riscurile sunt $\frac{8}{20 000} = 0, 04%$ la vaccinați și $\frac{160}{20 000} = 0, 8%$ la ceilalți. Riscul relativ este $\frac{8}{160} = \frac{1}{20}$ : vaccinații s-au îmbolnăvit de $20$ de ori mai rar. Cifra de $95%$ din comunicat este scăderea relativă, $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ , o observație pe care o dăm aici doar ca să înțelegi comunicatul, nu ca mărime nouă de calculat.

Diferența de risc spune altceva: $0, 8 - 0, 04 = 0, 76$ puncte procentuale, adică aproximativ $76$ de îmbolnăviri evitate la $10000$ de persoane vaccinate, în condițiile studiului. Raportul arată cât de puternic e efectul, diferența arată câți oameni sunt atinși. O decizie bună le citește pe amândouă: un raport mare la un risc foarte mic poate însemna puține cazuri, iar un raport modest la un risc mare poate însemna multe.

Mai e un detaliu pe care comunicatele îl lasă de obicei deoparte: riscurile se referă la durata studiului și la populația lui. Dacă voluntarii au fost urmăriți câteva luni, riscul de $0, 8%$ privește acele luni, nu un an întreg; iar dacă voluntarii au fost adulți sănătoși, rezultatul nu se mută automat la vârstnici sau la copii. Înainte de a compara două riscuri, verifici că ele privesc aceeași perioadă și același fel de oameni.

5. Cum decid cu un prag fixat dinainte?

Un laborator de microbiologie trebuie să aleagă între două metode de sterilizare a instrumentelor. Norma internă cere ca proporția instrumentelor rămase nesterile să fie cel mult $0, 25%$ . Metoda A lasă nesteril un instrument din $400$ , metoda B trei din $1000$ . Comparăm cu pragul: $\frac{1}{400} = 0, 25%$ îl respectă, la limită; $\frac{3}{1 000} = 0, 3%$ îl depășește. Decizia: metoda A.

Pragul se fixează înainte de a vedea datele și depinde de consecințe. Pentru instrumentele chirurgicale se cere un prag mult mai mic decât pentru sticlăria unui laborator școlar. Dacă pragul s-ar alege după ce vezi rezultatele, orice metodă ar putea fi „justificată”. După prag contează și costul, timpul, siguranța operatorului, iar aceste criterii se scriu și ele de la început.

6. De ce contează din câte cazuri vine o frecvență?

O metodă nouă de germinare a mers în $3$ cazuri din $4$ , una veche în $72$ din $100$ . Frecvențele sunt $75%$ și $72%$ , dar prima vine din patru încercări: cu încă o singură încercare nereușită ar deveni $3$ din $5$ , adică $60%$ . A doua frecvență se schimbă cu mai puțin de un punct procentual dacă mai adaugi o încercare. O comparație între o frecvență din $4$ cazuri și una din $100$ nu justifică o decizie; justifică doar un experiment mai mare cu metoda nouă.

Cât de mare? Nu există un număr magic, dar ideea se vede ușor: dacă fiecare încercare nouă poate muta frecvența cu mai mult decât diferența pe care vrei s-o observi, eșantionul e prea mic. La $100$ de încercări, un caz în plus mută frecvența cu cel mult un punct procentual; la $4$ încercări, cu aproape $20$ de puncte. Diferența de trei puncte dintre cele două metode se poate judeca abia când ambele frecvențe vin din zeci sau sute de încercări. Motivul e cel din lecția despre compararea a două seturi de date: o concluzie spune și pe câte date se sprijină.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei probabilități în trei scrieri

Un laborator estimează probabilitatea ca o probă să conțină un anumit alergen prin trei metode: $\frac{5}{13}$ , $0, 38$ și $38, 6%$ . Ordonează crescător cele trei valori.

Rezolvare. Scriem totul ca număr zecimal, cu suficiente zecimale: $\frac{5}{13} \approx 0, 3846$ , $0, 38 = 0, 3800$ , $38, 6% = 0, 386$ . Ordinea este $0, 38 < \frac{5}{13} < 38, 6%$ . Controlul exact pentru perechea apropiată: $\frac{5}{13} < \frac{386}{1 000}$ , pentru că $5 \cdot 1000 = 5000$ și $13 \cdot 386 = 5018$ . La două zecimale toate trei ar fi părut $0, 38$ sau $0, 39$ .

Exemplul 2 — Șanse și probabilitate

Pentru puii unei specii de pasăre, un atlas dă „șanse de $2$ la $5$ ” să supraviețuiască primului an; pentru altă specie, „o șansă din $3$ ”. Care specie are puii cu probabilitate mai mare de supraviețuire?

Rezolvare. Prima exprimare compară favorabile cu nefavorabile: $p_{1} = \frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7} \approx 0, 286$ . A doua e chiar o probabilitate: $p_{2} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$ . Produsul în cruce: $2 \cdot 3 = 6 < 7 = 7 \cdot 1$ , deci $\frac{2}{7} < \frac{1}{3}$ . Puii speciei a doua au șanse mai mari, deși „ $2$ la $5$ ” sună, la prima vedere, ca „ $2$ din $5$ ”, adică $0, 4$ .

Exemplul 3 — Casca de bicicletă

Într-un studiu pe bicicliști implicați în căderi, $6$ dintre cei $500$ care purtau cască și $15$ dintre cei $300$ fără cască au avut o leziune la cap. Calculează riscul absolut în fiecare grup, diferența de risc și riscul relativ al grupului cu cască față de cel fără cască, apoi formulează concluzia.

Rezolvare. Riscurile: $\frac{6}{500} = 1, 2%$ cu cască și $\frac{15}{300} = 5%$ fără cască. Diferența: $5 - 1, 2 = 3, 8$ puncte procentuale. Riscul relativ: $\frac{1 , 2%}{5%} = 0, 24$ .

Concluzia: în acest studiu, bicicliștii cu cască au avut leziuni la cap de aproximativ patru ori mai rar decât ceilalți, adică aproximativ $38$ de leziuni mai puțin la $1000$ de căderi. Concluzia privește bicicliștii din studiu; purtătorii de cască pot fi și mai prudenți, iar acest lucru nu se vede în tabel.

Exemplul 4 — Pomii stropiți

Într-o livadă, $1200$ de meri au fost stropiți împotriva unei boli, iar $800$ nu. Până în toamnă s-au îmbolnăvit $30$ dintre pomii stropiți și $100$ dintre cei nestropiți. Calculează riscurile, diferența de risc și riscul relativ și spune câți pomi bolnavi se evită, în medie, la $1000$ de pomi stropiți.

Rezolvare. Riscurile: $\frac{30}{1 200} = 2, 5%$ la pomii stropiți și $\frac{100}{800} = 12, 5%$ la cei nestropiți. Diferența de risc: $12, 5 - 2, 5 = 10$ puncte procentuale. Riscul relativ: $\frac{2 , 5%}{12 , 5%} = 0, 2$ , adică boala a apărut de $5$ ori mai rar la pomii stropiți.

La $1000$ de pomi stropiți, diferența de $10$ puncte procentuale înseamnă aproximativ $100$ de pomi bolnavi mai puțin. Fermierul compară acest număr cu costul stropirii și cu efectele ei asupra mediului; probabilitatea singură nu închide decizia.

Exemplul 5 — Două planuri de control

Un depozit primește loturi de cutii cu medicamente. Inspectorul poate: A) să deschidă $2$ cutii dintr-un lot de $8$ în care $2$ au ambalajul deteriorat; B) să deschidă $4$ cutii dintr-un lot de $16$ în care $3$ au ambalajul deteriorat. Cutiile se aleg la întâmplare. Cu care plan e mai probabil să găsească cel puțin o cutie deteriorată?

Rezolvare. Planul A: alegerile sunt $C_{8}^{2} = 28$ , cele fără cutie deteriorată $C_{6}^{2} = 15$ , deci $P_{A} = 1 - \frac{15}{28} = \frac{13}{28}$ . Planul B: alegerile sunt $C_{16}^{4} = 1820$ , cele fără cutie deteriorată $C_{13}^{4} = 715$ , deci $P_{B} = 1 - \frac{715}{1 820} = \frac{1 105}{1 820} = \frac{17}{28}$ .

Numitorii sunt egali, deci $\frac{13}{28} < \frac{17}{28}$ : planul B detectează mai des, aproximativ $60, 7%$ față de $46, 4%$ . Ambele planuri deschid un sfert din lot, $\frac{2}{8} = \frac{4}{16}$ , iar lotul B are chiar o proporție mai mică de cutii deteriorate, $\frac{3}{16} < \frac{2}{8}$ . Avantajul lui B vine din numărul mai mare de cutii deschise: fiecare cutie în plus e încă o șansă de a da peste una deteriorată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se aruncă un zar de două ori. a) Determinați probabilitatea ca suma numerelor obținute să fie egală cu $9$ . b) Determinați probabilitatea ca produsul numerelor obținute să fie egal cu $12$ . c) Comparați cele două probabilități.

Rezolvare. Rezultatele sunt perechile ordonate de fețe, $6 \cdot 6 = 36$ , egal posibile.

a) Suma $9$ se obține din $(3, 6)$ , $(4, 5)$ , $(5, 4)$ , $(6, 3)$ : $4$ cazuri, deci $p_{1} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

b) Produsul $12$ se obține din $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(6, 2)$ : $4$ cazuri, deci $p_{2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

c) $p_{1} = p_{2} = \frac{1}{9}$ : evenimentele sunt diferite, dar la fel de probabile. Comparația nu are nevoie de fracții, pentru că numitorul e același: se compară direct numerele de cazuri favorabile.

Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde se lucrează prin numărarea cazurilor; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. Compară probabilitățile $\frac{9}{22}$ și $\frac{11}{27}$ folosind produsul în cruce.

2. Ordonează crescător: $\frac{13}{20}$ , $0, 64$ și $66%$ .

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un eveniment ale cărui șanse sunt de $2$ la $3$ este mai probabil decât contrarul lui.”

4. a) Transformă „șanse de $3$ la $7$ ” într-o probabilitate. b) Un eveniment are probabilitatea $0, 35$ . Exprimă-l sub forma „șanse de … la …”.

5. Dintre $250$ de lucrători din brutării, $20$ au astm; dintre $750$ de lucrători din birouri, $15$ . Calculează riscul în fiecare grup, diferența de risc și riscul relativ al brutarilor față de lucrătorii din birouri.

6. Într-un grup netratat, riscul unei complicații este de $2%$ ; într-un grup tratat, de $0, 5%$ . Calculează riscul relativ al grupului tratat și numărul de complicații evitate, în medie, la $10000$ de persoane tratate.

7. (Problemă aplicată.) O normă cere ca un test să rateze cel mult $1%$ dintre bolnavi. Testul A a ratat $3$ dintre $250$ de bolnavi, testul B $7$ dintre $800$ . Care test respectă norma?

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Punga $A$ are $17$ nuci, dintre care $4$ viermănoase, iar punga $B$ are $14$ nuci, dintre care $5$ viermănoase. Din fiecare pungă se iau la întâmplare $2$ nuci. Determinați din care pungă este mai probabil să fie luată exact o nucă viermănoasă.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un număr este ales la întâmplare din mulțimea ${1, 2, 3, \dots, 15}$ . Comparați probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de $4$ cu probabilitatea ca el să fie o putere a lui $2$ (cu exponent natural).

10. Riscul unei reacții alergice la un medicament este $0, 3%$ , iar la altul „o șansă din $400$ ”. Câte reacții sunt de așteptat la $12000$ de pacienți pentru fiecare medicament?

11. Trei surse dau riscul unei boli profesionale ca $0, 4%$ , $3$ ‰ și „o șansă din $200$ ”. Exprimă fiecare risc ca număr de cazuri la $1000$ de persoane și ordonează-le.

12. Un articol scrie: „Riscul relativ al grupului tratat este $0, 6$ , deci tratamentul a evitat $60$ de îmbolnăviri la fiecare $100$ de persoane tratate.” Găsește greșeala și calculează corect câte îmbolnăviri se evită la $100$ de persoane tratate, știind că riscul grupului netratat este $5%$ .

13. După introducerea unei măsuri de protecție, riscul de accidentare într-o fabrică a scăzut de la $12%$ la $9%$ pe an. Cu câte puncte procentuale a scăzut riscul, care este schimbarea procentuală a riscului, calculată ca în lecția despre procente, dobânzi și TVA, și câte accidente mai puține sunt, în medie, la $2500$ de muncitori?

14. Două imprimante 3D ale unui laborator de robotică produc piese de schimb. Imprimanta A a dat $7$ piese defecte din $350$ , iar pentru imprimanta B producătorul anunță „o piesă defectă din $60$ ”. Care imprimantă are rata de defecte mai mică și cu câte puncte procentuale?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dintre cele $25$ de proiecte finanțate de o primărie într-un an, $3$ și-au depășit bugetul aprobat. Un jurnalist alege la întâmplare $2$ proiecte pentru un reportaj. Determinați probabilitatea ca cel puțin unul dintre proiectele alese să-și fi depășit bugetul și comparați-o cu $\frac{1}{4}$ .

16. În lacul $A$ , $12$ dintre $80$ de pești examinați aveau paraziți; în lacul $B$ , $20$ dintre $150$ . În care lac e mai mare riscul ca un pește să aibă paraziți și cât este riscul relativ al lacului $A$ față de lacul $B$ ?

17. Pentru o pană de curent, un spital poate folosi un singur generator de rezervă, care pornește cu probabilitatea $0, 98$ , sau două generatoare mai ieftine, independente, care pornesc fiecare cu probabilitatea $0, 86$ . Alimentarea e asigurată dacă pornește cel puțin un generator. Ce variantă e mai sigură?

18. (Provocare.) Un eveniment are șansele de $k$ la $3$ , unde $k$ este număr natural nenul. Pentru ce valori ale lui $k$ probabilitatea lui depășește $\frac{3}{5}$ ?

Răspunsuri și explicații

1. $9 \cdot 27 = 243$ și $22 \cdot 11 = 242$ , deci $\frac{9}{22} > \frac{11}{27}$ (aproximativ $0, 409$ față de $0, 407$ ).

2. $\frac{13}{20} = 0, 65$ , deci ordinea este $0, 64 < \frac{13}{20} < 66%$ .

3. Fals. „Două la trei” înseamnă $2$ cazuri favorabile la $3$ nefavorabile, deci $p = \frac{2}{5} = 0, 4$ , iar contrarul are $\frac{3}{5} = 0, 6$ . Evenimentul este mai puțin probabil decât contrarul lui.

4. a) $p = \frac{3}{3 + 7} = \frac{3}{10}$ . b) $p : (1 - p) = 0, 35 : 0, 65 = 35 : 65 = 7 : 13$ , deci „șanse de $7$ la $13$ ”.

5. Brutării: $\frac{20}{250} = 8%$ ; birouri: $\frac{15}{750} = 2%$ . Diferența: $6$ puncte procentuale. Riscul relativ: $\frac{8%}{2%} = 4$ .

6. Riscul relativ: $\frac{0 , 5%}{2%} = 0, 25$ . Diferența de risc este de $1, 5$ puncte procentuale, deci la $10000$ de persoane tratate se evită, în medie, $10000 \cdot 0, 015 = 150$ de complicații.

7. A: $\frac{3}{250} = 1, 2% > 1%$ , deci nu respectă norma. B: $\frac{7}{800} = 0, 875% \leq 1%$ , deci o respectă. Se alege testul B.

8. $A$ : $\frac{C _{4}^{1} \cdot C _{13}^{1}}{C _{17}^{2}} = \frac{52}{136} = \frac{13}{34}$ . $B$ : $\frac{C _{5}^{1} \cdot C _{9}^{1}}{C _{14}^{2}} = \frac{45}{91}$ . Produsul în cruce: $13 \cdot 91 = 1183 < 1530 = 34 \cdot 45$ , deci e mai probabil din punga $B$ .

9. Multiplii lui $4$ : $4, 8, 12$ , deci $P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ . Puterile lui $2$ : $1, 2, 4, 8$ , deci $P = \frac{4}{15}$ . Cum $\frac{3}{15} < \frac{4}{15}$ , e mai probabil să fie o putere a lui $2$ .

10. Primul: $12000 \cdot 0, 003 = 36$ de reacții. Al doilea: $\frac{12 000}{400} = 30$ de reacții. Primul medicament dă, în medie, mai multe reacții.

11. $0, 4%$ înseamnă $4$ la $1000$ ; $3$ ‰ înseamnă $3$ la $1000$ ; „o șansă din $200$ ” înseamnă $5$ la $1000$ . Ordinea crescătoare: $3$ ‰, apoi $0, 4%$ , apoi „o șansă din $200$ ”.

12. Riscul relativ este un raport și nu spune singur câte cazuri se evită; pentru asta trebuie riscul de bază. Cu $5%$ la netratați, riscul trataților este $0, 6 \cdot 5% = 3%$ , iar diferența de risc este de $2$ puncte procentuale: se evită, în medie, $2$ îmbolnăviri la $100$ de persoane tratate, nu $60$ .

13. Scăderea este de $3$ puncte procentuale; schimbarea procentuală a riscului este $\frac{3}{12} = 25%$ , adică riscul a scăzut cu $25%$ . La $2500$ de muncitori: $2500 \cdot 0, 03 = 75$ de accidente mai puțin.

14. Imprimanta A: $\frac{7}{350} = \frac{1}{50} = 2%$ . Imprimanta B: $\frac{1}{60} \approx 1, 67%$ . Produsul în cruce, $1 \cdot 60 = 60 > 50 = 50 \cdot 1$ , confirmă că $\frac{1}{50} > \frac{1}{60}$ , deci imprimanta B are rata mai mică, cu $2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \approx 0, 33$ puncte procentuale. Comparația e cinstită doar dacă cifra lui B vine și ea din măsurători, nu numai din anunțul producătorului.

15. Alegerile sunt $C_{25}^{2} = 300$ , iar cele fără proiect cu bugetul depășit $C_{22}^{2} = 231$ . $P = 1 - \frac{231}{300} = \frac{69}{300} = \frac{23}{100}$ . Cum $23 \cdot 4 = 92 < 100$ , probabilitatea este mai mică decât $\frac{1}{4}$ .

16. $A$ : $\frac{12}{80} = 15%$ ; $B$ : $\frac{20}{150} \approx 13, 3%$ . Riscul e mai mare în lacul $A$ , iar riscul relativ este $\frac{12}{80} : \frac{20}{150} = \frac{3}{20} \cdot \frac{15}{2} = \frac{9}{8} = 1, 125$ .

17. Cu două generatoare, alimentarea lipsește doar dacă niciunul nu pornește: $0, 14 \cdot 0, 14 = 0, 0196$ , deci alimentarea e asigurată cu probabilitatea $0, 9804$ . Cum $0, 9804 > 0, 98$ , cele două generatoare câștigă, dar la limită: diferența este de doar $0, 0004$ .

18. $p = \frac{k}{k + 3} > \frac{3}{5}$ înseamnă $5 k > 3 k + 9$ , adică $k > 4, 5$ . Deci $k \geq 5$ ; de exemplu, la $k = 5$ probabilitatea este $\frac{5}{8} = 0, 625$ .

De reținut

Două probabilități se compară exact prin produsul în cruce: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ exact când $a d < b c$ (numitori pozitivi).
„Șansele de $k$ la $m$ ” înseamnă probabilitatea $\frac{k}{k + m}$ , pe când „o șansă din $n$ ” înseamnă $\frac{1}{n}$ .
Riscul absolut al unui grup este frecvența evenimentului în grup; grupurile de mărimi diferite se compară prin riscuri, nu prin numere de cazuri.
Diferența de risc, în puncte procentuale, spune câți oameni sunt atinși; riscul relativ, ca raport, spune de câte ori diferă riscurile. O concluzie serioasă le dă pe amândouă.
O decizie se ia după un prag fixat dinainte, în funcție de consecințe, iar o frecvență din foarte puține cazuri nu susține singură o decizie.

Greșeli frecvente

Nu spui față de ce grup e calculat riscul relativ. La mănușile din subsecțiunea 3, $\frac{7%}{2%} = 3, 5$ (latex față de nitril), dar $\frac{2%}{7%} = \frac{2}{7} \approx 0, 29$ (nitril față de latex): același studiu dă două numere, iar unul singur, fără grupul de comparație numit, nu spune nimic.
Compari riscuri calculate pe durate diferite. Riscul măsurat într-un studiu de câteva luni nu se pune alături de un risc anual; cele două se aduc întâi la aceeași perioadă și la același fel de oameni.
Crezi că aceeași fracție din lot dă aceeași șansă de detectare. În exemplul 5, ambele planuri deschid un sfert din lot, dar probabilitățile sunt $\frac{13}{28}$ și $\frac{17}{28}$ : contează câte cutii se deschid și câte sunt deteriorate, nu doar fracția deschisă.
Scrii raportul riscurilor ca diferență. Un risc relativ de $3, 5$ nu înseamnă „cu $3, 5$ puncte procentuale mai mult”; raportul și diferența sunt două numere diferite.
Compari evenimente diferite între variante. „Metoda A reușește în $80%$ din cazuri, metoda B eșuează în $15%$ ” nu se compară direct: pentru B reușita este $85%$ , deci B e mai bună.

Aplică acasă

Prospectul unui medicament. Citește secțiunea de reacții adverse a unui prospect, unde apar exprimări ca „frecvente: până la $1$ din $10$ persoane” sau „rare: până la $1$ din $1000$ ”. Transformă fiecare categorie în procente și în cazuri la $10000$ de persoane și scrie o frază care explică unui adult ce înseamnă „rar”.
Suma sau produsul. Aruncă două zaruri de $72$ de ori și notează de câte ori ai obținut suma $9$ și de câte ori produsul $12$ . Compară frecvențele obținute cu valoarea calculată în lecție și discută dacă diferența dintre ele e mare sau poate fi întâmplătoare.
„ $99, 9%$ din bacterii”. Caută pe eticheta unui dezinfectant sau a unui săpun o afirmație de tipul „elimină $99, 9%$ din bacterii”. Calculează câte bacterii rămân dintr-un milion și de câte ori mai puține ar rămâne cu $99, 99%$ . Scrie de ce eticheta dă procentul, nu numărul rămas.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de statistică și probabilități și răspunde unei idei din programă: folosirea probabilităților pentru decizii argumentate în situații practice. Nu introduce noțiuni noi de calcul. Aduce trei deprinderi: compararea exactă a două probabilități, lectura corectă a unei informații de risc (absolut, diferență, raport) și luarea unei decizii după un criteriu fixat dinainte. Riscul relativ e tratat ca simplu raport a două probabilități. Eficacitatea calculată din el (scăderea relativă, $1$ minus riscul relativ, cifra din comunicatele despre vaccinuri) apare doar ca observație, fără exerciții; schimbarea procentuală a unui risc, din exercițiul 13 și din cardul lecției, se calculează ca orice schimbare procentuală din lecția despre procente.

De urmărit în caiet: compară elevul fracții exacte; spune la ce grup se raportează fiecare procent; dă și diferența, și raportul; scrie pragul înainte de calcul. Întrebări bune de control: „Din câte cazuri vine frecvența?”, „Cât înseamnă asta la $1000$ de oameni?”, „Care era pragul și de ce acela?”. Semn de înțelegere: elevul refuză să tragă o concluzie dintr-o frecvență din patru cazuri. Legătura cu clasa a IX-a este lecția despre creșterea și descreșterea procentuală repetată, unde s-au exersat procentele raportate la valoarea de pornire.

Cu această lecție se încheie unitatea; unitatea următoare începe cu mărginirea funcțiilor. Unitatea de probabilități se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: compararea probabilităților și decizii informate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, iar programa leagă statistica și probabilitățile de luarea unor decizii fundamentate pe date. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”: de aici marcajul „Bacalaureat M2” la exercițiile care compară probabilități calculate prin numărare. Riscul relativ și „șansele de $k$ la $m$ ” nu sunt numite în nicio programă și apar în lecție ca aplicații ale raportului. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor. Programa din 2014 cere ca aplicațiile capitolului să fie din domeniul financiar; un exercițiu marcat pleacă de la bugetul unor proiecte finanțate de o primărie, celelalte folosesc contexte de laborator și de teren.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre compararea probabilităților de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Ambele învață compararea a două probabilități. La științe ale naturii, lecția adaugă lectura informațiilor de risc din studii (riscul absolut, diferența în puncte procentuale, riscul relativ), exprimarea prin „șanse de $k$ la $m$ ” și decizia după un prag, și lasă deoparte problemele celebre de jocuri de noroc.

La ce subiect apare compararea probabilităților la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile; în modelul oficial 2026, cerința de probabilitate de la Subiectul I se rezolvă prin numărarea cazurilor, iar compararea a două astfel de rezultate folosește aceleași calcule. Riscul relativ nu apare în programă; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

De ce are nevoie un studiu de un grup de comparație? Riscul unui singur grup nu spune ce s-ar fi întâmplat fără tratament. În studiul vaccinului din deschidere, $8$ îmbolnăviri din $20000$ par puține, dar abia cele $160$ din grupul care a primit o soluție fără efect arată cât de des s-ar fi îmbolnăvit oamenii oricum. Diferența de risc și riscul relativ cer, amândouă, două grupuri urmărite în aceleași condiții.

Ce este riscul absolut al unui grup? Este frecvența relativă a evenimentului în acel grup: numărul celor la care s-a produs, împărțit la numărul celor urmăriți. Se exprimă ca fracție, procent sau număr de cazuri la $1000$ de persoane. Are sens numai împreună cu perioada și populația din care a fost calculat.

Cum aleg pragul pentru o decizie? Pragul se stabilește înainte de a vedea datele, după gravitatea consecințelor: cu cât o greșeală costă mai mult, cu atât pragul de risc acceptat e mai mic. Normele de laborator, medicale sau de siguranță alimentară fixează asemenea praguri tocmai ca decizia să nu depindă de cine citește rezultatele.

De ce nu pot compara direct o frecvență din $3$ cazuri cu una din $1000$ ? Frecvența din trei cazuri se schimbă mult la fiecare caz nou: poate trece de la $100%$ la $75%$ dintr-o singură încercare. Frecvența din o mie de cazuri e stabilă. Diferența dintre ele poate fi întâmplătoare, așa că o comparație corectă cere un eșantion mai mare și pentru prima variantă.