Probabilități condiționate

Într-o școală cu $200$ de elevi practică un sport $130$ dintre ei. Dacă alegem un elev la întâmplare, probabilitatea ca el să fie sportiv este $\frac{130}{200} = 0, 65$ . Dar dacă aflăm, între timp, că elevul ales este băiat? Probabilitatea se schimbă: dintre cei $120$ de băieți ai școlii, $90$ practică un sport, deci acum răspunsul este $\frac{90}{120} = 0, 75$ .

Nu s-a schimbat nimic în școală. S-a schimbat doar ce știm noi. O informație suplimentară a redus lumea posibilităților de la $200$ de elevi la $120$ , iar odată cu ea s-a schimbat și raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile. Exact acest fenomen — cum se modifică o probabilitate când primim o informație în plus — se numește probabilitate condiționată și este una dintre cele mai folositoare idei din tot capitolul, pentru că descrie ceea ce facem tot timpul în viața reală: ne actualizăm estimările pe măsură ce aflăm lucruri noi.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă probabilitatea evenimentului $B$ condiționată de evenimentul $A$ și cum se notează, $P (B ∣ A)$ .
Vei ști să o calculezi prin restrângerea mulțimii cazurilor posibile la cele în care $A$ s-a produs.
Vei ști să folosești formula $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , cu condiția $P (A) > 0$ .
Vei ști să citești probabilități condiționate dintr-un tabel cu două caracteristici și dintr-o diagramă arborescentă.
Vei ști de ce $P (B ∣ A)$ și $P (A ∣ B)$ sunt, în general, numere diferite.
Vei ști să obții regula înmulțirii $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ direct din definiție.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea: informația restrânge lumea

Aruncăm un zar. Probabilitatea de a obține fața $6$ este $\frac{1}{6}$ . Presupunem acum că cineva se uită la zar înaintea noastră și ne spune: „a ieșit un număr par". Care mai este probabilitatea ca fața să fie $6$ ?

Informația primită elimină trei dintre cele șase rezultate. Lumea posibilităților s-a restrâns la ${2, 4, 6}$ , iar în această lume nouă fața $6$ este unul dintre cele trei rezultate egal probabile:

$P (6 ∣ par) = \frac{1}{3} .$

Observă mecanismul: numitorul nu mai este numărul total al cazurilor, ci numărul cazurilor în care condiția este îndeplinită. Iar numărătorul numără doar rezultatele care îndeplinesc și condiția, și evenimentul cerut.

✏️Ilustrație: două benzi orizontale suprapuse; banda de sus arată toate cele șase fețe de zar, cu fața 6 evidențiată și eticheta „P(6) = 1/6"; banda de jos arată doar fețele 2, 4, 6, cu 6 evidențiată și eticheta „P(6 | par) = 1/3", iar între ele o săgeată cu textul „informația «e par» restrânge lumea"

2. Notația și definiția

Definiție. Fie $A$ un eveniment cu $P (A) > 0$ . Probabilitatea evenimentului $B$ condiționată de $A$ , notată $P (B ∣ A)$ și citită „probabilitatea lui $B$ , știind că s-a produs $A$ ", este $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

În unele manuale se folosește notația $P_{A} (B)$ pentru aceeași mărime; înțelesul este identic.

De ce funcționează formula? În cazul rezultatelor egal probabile, cu $n$ cazuri posibile în total:

$\frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{\frac{card ( A \cap B )}{n}}{\frac{card ( A )}{n}} = \frac{card ( A \cap B )}{card ( A )} .$

Fracțiile cu $n$ se simplifică, și rămâne exact ceea ce am făcut intuitiv la zar: cazurile favorabile ambelor evenimente, împărțite la cazurile în care condiția e îndeplinită.

Verificare pe exemplul zarului: $A$ = „par", $B$ = „fața $6$ ". Avem $A \cap B = {6}$ , deci $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ și $P (A) = \frac{1}{2}$ . Formula dă

$P (B ∣ A) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{3} . ✓$

Condiția $P (A) > 0$ este esențială: nu are sens să te întrebi ce se întâmplă „știind că s-a produs" un eveniment imposibil, iar formula ar cere împărțirea la zero.

3. Cele două căi de calcul

Ai la dispoziție două drumuri, ambele corecte. Alege-l pe cel mai scurt pentru datele pe care le ai.

Calea 1 — restrângerea spațiului. Rescrii mulțimea cazurilor posibile, păstrând doar rezultatele care îndeplinesc condiția, și numeri în interiorul ei. Merge perfect când poți enumera rezultatele.

Exemplu. Se aruncă două zaruri și se știe că primul a arătat $6$ . Care este probabilitatea ca suma să fie cel puțin $10$ ? Lumea s-a restrâns la perechile $(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$ — șase cazuri. Sumele cel puțin $10$ apar la $(6, 4), (6, 5), (6, 6)$ — trei cazuri. Deci

$P (suma \geq 10 ∣ primul = 6) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$

Fără informația suplimentară, probabilitatea era doar $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ : informația a triplat șansele.

Calea 2 — formula. Când enunțul îți dă direct probabilități, folosești $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

Exemplu. Dacă $P (A \cap B) = 0, 2$ și $P (A) = 0, 5$ , atunci $P (B ∣ A) = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

4. Tabelul cu două caracteristici — cea mai comodă unealtă

Reluăm școala din deschidere și organizăm datele:

	practică sport	nu practică	total
băieți	$90$	$30$	$120$
fete	$40$	$40$	$80$
total	$130$	$70$	$200$

Într-un asemenea tabel, o probabilitate condiționată se citește pe o linie sau pe o coloană, nu pe tot tabelul. Regula e simplă: condiția îți spune ce total pui la numitor.

$P (sport) = \frac{130}{200} = \frac{13}{20} = 0, 65$ — numitor: totalul general.
$P (sport ∣ b \overset{a}{˘} iat) = \frac{90}{120} = \frac{3}{4} = 0, 75$ — numitor: totalul liniei „băieți".
$P (sport ∣ fat \overset{a}{˘}) = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} = 0, 5$ — numitor: totalul liniei „fete".
$P (b \overset{a}{˘} iat ∣ sport) = \frac{90}{130} = \frac{9}{13} \approx 0, 692$ — numitor: totalul coloanei „practică sport".

✏️Ilustrație: același tabel 2×2 desenat de trei ori; în prima copie e încadrat tot tabelul cu eticheta „P(sport) = 130/200", în a doua e încadrată doar linia băieților cu „P(sport | băiat) = 90/120", în a treia doar coloana sportivilor cu „P(băiat | sport) = 90/130"

5. Atenție: $P (B ∣ A)$ nu este $P (A ∣ B)$

Uită-te la ultimele două valori de mai sus: $P (sport ∣ b \overset{a}{˘} iat) = \frac{3}{4}$ , dar $P (b \overset{a}{˘} iat ∣ sport) = \frac{9}{13}$ . Numărătorul este același — cei $90$ de băieți sportivi —, dar numitorii sunt diferiți, pentru că cele două întrebări restrâng lumea în feluri diferite.

Cele două întrebări sună asemănător, dar înseamnă lucruri complet diferite:

„Ce parte dintre băieți fac sport?" (împărțim la numărul băieților);
„Ce parte dintre sportivi sunt băieți?" (împărțim la numărul sportivilor).

Inversarea acestor două întrebări este una dintre cele mai costisitoare confuzii de raționament, iar consecințele ei practice le vom vedea în lecția Probabilități în situații practice: jocuri, asigurări, teste, unde un test medical foarte bun poate da rezultate surprinzătoare tocmai din acest motiv.

6. Arborele: probabilitățile condiționate stau pe ramuri

La experimentele în etape, probabilitățile scrise pe ramurile de la al doilea nivel al arborelui sunt probabilități condiționate.

O urnă conține $3$ bile albe și $5$ negre; extragem două bile fără revenire. Pe ramurile din nivelul al doilea scriem:

$P (a doua alb \overset{a}{˘} ∣ prima alb \overset{a}{˘}) = \frac{2}{7}$ (au rămas $2$ albe din $7$ bile);
$P (a doua alb \overset{a}{˘} ∣ prima neagr \overset{a}{˘}) = \frac{3}{7}$ (au rămas toate cele $3$ albe, din $7$ bile).

Cele două valori diferă, semn că prima extragere chiar influențează a doua. Dacă am fi pus bila înapoi, ambele ramuri ar fi purtat $\frac{3}{8}$ — situația pe care o vom numi independență în lecția Evenimente independente.

7. Regula înmulțirii, obținută din definiție

Înmulțim ambii membri ai definiției cu $P (A)$ :

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} ⟹ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) .$

Aceasta este exact regula folosită în lecția Probabilitatea intersecției a două evenimente, acum complet justificată: nu era o rețetă, ci definiția probabilității condiționate, scrisă altfel.

Verificare pe urnă: $P (ambele albe) = P (prima alb \overset{a}{˘}) \cdot P (a doua alb \overset{a}{˘} ∣ prima alb \overset{a}{˘}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{28}$ , valoare confirmată prin numărarea celor $6$ perechi favorabile din $56$ posibile. ✓

8. O capcană de limbaj: „cel puțin unul"

Într-o familie cu doi copii, se știe că cel puțin unul este băiat. Care este probabilitatea ca amândoi să fie băieți?

Răspunsul spontan este $\frac{1}{2}$ , dar el este greșit. Rezultatele posibile, în ordinea nașterii, sunt $B B$ , $B F$ , $F B$ , $F F$ — patru cazuri egal probabile. Condiția „cel puțin un băiat" elimină doar cazul $F F$ , deci lumea se restrânge la trei cazuri: $B B$ , $B F$ , $F B$ . Dintre ele, un singur caz are ambii copii băieți:

$P (B B ∣ cel pu ț in un b \overset{a}{˘} iat) = \frac{1}{3} .$

Compară cu o condiție care sună asemănător, dar spune mai mult: „primul copil este băiat". Aceasta restrânge lumea la $B B$ și $B F$ , deci

$P (B B ∣ primul e b \overset{a}{˘} iat) = \frac{1}{2} .$

Morala: la probabilități condiționate, fiecare cuvânt din condiție contează. Scrie întotdeauna, negru pe alb, mulțimea cazurilor rămase după condiție.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Zarul, cu informație parțială

Se aruncă un zar și se știe că rezultatul este mai mare decât $3$ . Care este probabilitatea ca fața să fie pară?

Rezolvare. Condiția restrânge lumea la ${4, 5, 6}$ — trei cazuri. Dintre ele, fețele pare sunt $4$ și $6$ — două cazuri. Deci

$P (par ∣> 3) = \frac{2}{3} .$

Prin formulă: $P (A) = P (> 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P (A \cap B) = P ({4, 6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , deci $P (B ∣ A) = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$ . ✓

Exemplul 2 — Din tabel

Folosind tabelul școlii cu $200$ de elevi, calculează $P (fat \overset{a}{˘} ∣ sport)$ și $P (nu practic \overset{a}{˘} sport ∣ fat \overset{a}{˘})$ .

Rezolvare. Prima: condiția e „sportiv", deci numitorul este $130$ ; dintre sportivi, $40$ sunt fete:

$P (fat \overset{a}{˘} ∣ sport) = \frac{40}{130} = \frac{4}{13} \approx 0, 308.$

A doua: condiția e „fată", deci numitorul este $80$ ; dintre fete, $40$ nu practică sport:

$P (nu practic \overset{a}{˘} ∣ fat \overset{a}{˘}) = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} .$

Exemplul 3 — Două zaruri și o informație

Se aruncă două zaruri și se știe că suma fețelor este $8$ . Care este probabilitatea ca cel puțin unul dintre zaruri să arate $6$ ?

Rezolvare. Condiția restrânge lumea la perechile cu suma $8$ : $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ — cinci cazuri egal probabile. Dintre ele, conțin un $6$ perechile $(2, 6)$ și $(6, 2)$ — două cazuri. Deci

$P = \frac{2}{5} = 0, 4.$

Fără condiție, probabilitatea de a obține cel puțin un $6$ era $\frac{11}{36} \approx 0, 306$ ; informația despre sumă a mărit-o.

Exemplul 4 — Extrageri fără revenire

O urnă conține $4$ bile albe și $6$ negre. Se extrag două bile, fără revenire. a) Care este probabilitatea ca a doua bilă să fie albă, știind că prima a fost albă? b) Dar știind că prima a fost neagră?

Rezolvare. a) După ce s-a scos o bilă albă, în urnă rămân $3$ albe din $9$ bile:

$P (a doua alb \overset{a}{˘} ∣ prima alb \overset{a}{˘}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} .$

b) După o bilă neagră, rămân toate cele $4$ albe din $9$ bile:

$P (a doua alb \overset{a}{˘} ∣ prima neagr \overset{a}{˘}) = \frac{4}{9} .$

Cele două rezultate sunt diferite — dovada că extragerile fără revenire se influențează reciproc.

Exemplul 5 — Sondaj cu abonați

O firmă are $400$ de clienți: $150$ cu abonament și $250$ fără. În ultima lună au făcut reclamații $12$ dintre abonați și $38$ dintre ceilalți. Se alege un client la întâmplare. a) Care este probabilitatea să fi făcut reclamație? b) Dar dacă știm că este abonat? c) Dar dacă știm că nu este abonat?

Rezolvare. Organizăm datele:

	reclamație	fără reclamație	total
abonați	$12$	$138$	$150$
neabonați	$38$	$212$	$250$
total	$50$	$350$	$400$

a) $P (reclama ț ie) = \frac{50}{400} = \frac{1}{8} = 0, 125$ .

b) $P (reclama ț ie ∣ abonat) = \frac{12}{150} = \frac{2}{25} = 0, 08$ .

c) $P (reclama ț ie ∣ neabonat) = \frac{38}{250} = \frac{19}{125} = 0, 152$ .

Interpretare: abonații reclamă aproape de două ori mai rar decât ceilalți clienți, iar valoarea generală de $0, 125$ se află, firesc, între cele două.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 20}$ . Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M$ . a) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $4$ . b) Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $4$ , știind că este par. c) Comparați cele două rezultate și explicați diferența.

Rezolvare. a) Numerele divizibile cu $4$ din $M$ sunt $4, 8, 12, 16, 20$ — cinci numere. Deci

$P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} .$

b) Condiția „par" restrânge mulțimea la cele $10$ numere pare. Toate cele cinci multiple de $4$ sunt pare, deci rămân favorabile:

$P (divizibil cu 4 ∣ par) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} .$

c) Probabilitatea s-a dublat. Explicația: informația „numărul este par" a eliminat toate cele $10$ numere impare, care oricum nu puteau fi divizibile cu $4$ ; numărul cazurilor favorabile a rămas același, dar cel al cazurilor posibile s-a înjumătățit.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi mulțimea cazurilor rămase după condiție, apoi numără în interiorul ei.

1. Se aruncă un zar și se știe că rezultatul este mai mare decât $2$ . Care este probabilitatea ca fața să fie pară?

2. Se aruncă un zar și se știe că rezultatul este mai mare decât $4$ . Care este probabilitatea ca fața să fie $6$ ?

3. Folosind tabelul școlii cu $200$ de elevi, calculează $P (fat \overset{a}{˘} ∣ sport)$ .

4. Folosind tabelul cu cei $400$ de clienți, calculează $P (reclama ț ie ∣ abonat)$ .

5. Se aruncă două zaruri și se știe că primul a arătat $3$ . Care este probabilitatea ca suma să fie $8$ ?

6. O urnă conține $3$ bile albe și $5$ negre. Se extrag două bile fără revenire. Care este probabilitatea ca a doua să fie albă, știind că prima a fost neagră?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice două evenimente, $P (A ∣ B) = P (B ∣ A)$ ."

8. Se știe că $P (A \cap B) = 0, 2$ și $P (B) = 0, 5$ . Calculează $P (A ∣ B)$ .

9. Se extrage o carte dintr-un pachet de $52$ și se știe că este roșie. Care este probabilitatea ca ea să fie as?

10. (Problemă aplicată.) Într-o familie cu doi copii se știe că cel puțin unul este băiat. Care este probabilitatea ca amândoi să fie băieți? Compară cu situația în care se știe că primul copil este băiat.

11. Se aruncă un zar de două ori. Se știe că prima aruncare a dat un număr par. Care este probabilitatea ca suma celor două rezultate să fie pară?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, \dots, 20}$ . Se alege la întâmplare un element al mulțimii. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $4$ , știind că este par.

13. Se aruncă un zar și se știe că rezultatul este par. Care este probabilitatea ca el să fie mai mare decât $3$ ?

14. Se aruncă două zaruri și se știe că suma este $8$ . Care este probabilitatea ca cel puțin unul dintre zaruri să arate $6$ ?

15. O urnă conține $4$ bile albe și $6$ negre. Se extrag două fără revenire. Care este probabilitatea ca a doua să fie albă, știind că prima a fost albă?

16. Se știe că $P (A) = 0, 4$ și $P (B ∣ A) = 0, 25$ . Calculează $P (A \cap B)$ .

17. (Problemă aplicată.) Folosind tabelul școlii, compară $P (sport ∣ b \overset{a}{˘} iat)$ cu $P (b \overset{a}{˘} iat ∣ sport)$ și explică în cuvinte ce întrebare diferită răspunde fiecare.

18. (Provocare.) O urnă conține $5$ bile roșii și $3$ albastre. Se extrag două bile deodată. Se știe că cel puțin una este roșie. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?

Răspunsuri și explicații

1. Cazuri rămase: ${3, 4, 5, 6}$ — patru. Pare: $4$ și $6$ — două. $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

2. Cazuri rămase: ${5, 6}$ — două. Favorabil: unul. $P = \frac{1}{2}$ .

3. Condiția restrânge la cei $130$ de sportivi, dintre care $40$ sunt fete: $P = \frac{40}{130} = \frac{4}{13} \approx 0, 308$ .

4. Condiția restrânge la cei $150$ de abonați, dintre care $12$ au reclamat: $P = \frac{12}{150} = \frac{2}{25} = 0, 08$ .

5. Cazuri rămase: $(3, 1), (3, 2), \dots, (3, 6)$ — șase. Suma $8$ cere al doilea zar $5$ : un caz. $P = \frac{1}{6}$ .

6. După o bilă neagră rămân $3$ albe din $7$ bile: $P = \frac{3}{7}$ .

7. Fals. Cele două exprimă întrebări diferite și au numitori diferiți: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ , iar $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ . Ele coincid doar în cazul particular $P (A) = P (B)$ . Contraexemplu: în școala cu $200$ de elevi, $\frac{3}{4} \neq = \frac{9}{13}$ .

8. $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

9. Cazuri rămase: cele $26$ de cărți roșii. Ași roșii: $2$ . $P = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$ . (Interesant: exact cât era $P (as)$ și fără condiție — vom vedea de ce în lecția următoare.)

10. Cu „cel puțin un băiat", cazurile rămase sunt $B B$ , $B F$ , $F B$ , deci $P = \frac{1}{3}$ . Cu „primul e băiat", cazurile rămase sunt $B B$ și $B F$ , deci $P = \frac{1}{2}$ . A doua condiție spune mai mult decât prima, de aceea rezultatele diferă.

11. Cazuri rămase: $3 \cdot 6 = 18$ perechi cu primul zar par. Suma e pară dacă al doilea zar este tot par: $3 \cdot 3 = 9$ cazuri. $P = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ .

12. Numere pare: $10$ ; dintre ele, divizibile cu $4$ : $4, 8, 12, 16, 20$ , adică $5$ . $P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

13. Cazuri rămase: ${2, 4, 6}$ . Mai mari decât $3$ : $4$ și $6$ . $P = \frac{2}{3}$ .

14. Cazuri rămase (suma $8$ ): $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ — cinci. Cu cel puțin un $6$ : două. $P = \frac{2}{5}$ .

15. După o bilă albă rămân $3$ albe din $9$ : $P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .

16. Din regula înmulțirii: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 4 \cdot 0, 25 = 0, 1$ .

17. $P (sport ∣ b \overset{a}{˘} iat) = \frac{90}{120} = \frac{3}{4}$ răspunde la „ce parte dintre băieți fac sport?"; $P (b \overset{a}{˘} iat ∣ sport) = \frac{90}{130} = \frac{9}{13}$ răspunde la „ce parte dintre sportivi sunt băieți?". Numărătorul e același ( $90$ ), numitorii diferă, pentru că fiecare întrebare restrânge lumea altfel.

18. Perechile de bile se aleg fără ordine: $C_{8}^{2} = 28$ cazuri posibile. Condiția „cel puțin una roșie" elimină perechile formate din două bile albastre, care sunt $C_{3}^{2} = 3$ ; rămân $28 - 3 = 25$ de cazuri. Dintre acestea, perechile cu ambele bile roșii sunt $C_{5}^{2} = 10$ . Deci

$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0, 4.$

Observă că, fără condiție, probabilitatea era $\frac{10}{28} = \frac{5}{14} \approx 0, 357$ — informația a crescut-o.

De reținut

Probabilitate condiționată înseamnă probabilitatea unui eveniment calculată după ce am primit o informație suplimentară; se notează $P (B ∣ A)$ și se citește „probabilitatea lui $B$ , știind că s-a produs $A$ ".
Formula: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , definită pentru $P (A) > 0$ . În cazul echiprobabil ea devine $\frac{card ( A \cap B )}{card ( A )}$ .
Mecanismul: condiția restrânge mulțimea cazurilor posibile; numitorul nu mai este totalul, ci numărul cazurilor în care condiția e îndeplinită.
Într-un tabel, condiția îți spune pe ce linie sau coloană lucrezi; numitorul este totalul acelei linii sau coloane, nu totalul general.
$P (B ∣ A) \neq = P (A ∣ B)$ în general — au același numărător, dar numitori diferiți. Din definiție rezultă și regula înmulțirii: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

Greșeli frecvente

Păstrarea numitorului inițial. După ce apare condiția, numărul cazurilor posibile se schimbă. La zar, $P (6 ∣ par)$ este $\frac{1}{3}$ , nu $\frac{1}{6}$ .
Inversarea condiționării. „Ce parte dintre băieți fac sport" și „ce parte dintre sportivi sunt băieți" sunt întrebări diferite, cu răspunsuri diferite: $\frac{3}{4}$ față de $\frac{9}{13}$ .
Citirea greșită a condiției „cel puțin unul". Ea nu spune care anume, deci nu elimină decât un singur caz din patru la problema cu doi copii; răspunsul este $\frac{1}{3}$ , nu $\frac{1}{2}$ .
Uitarea condiției $P (A) > 0$ . Nu se poate condiționa printr-un eveniment imposibil; formula ar cere împărțirea la zero.
Confundarea lui $P (A \cap B)$ cu $P (B ∣ A)$ . Prima se raportează la toate cazurile posibile, a doua doar la cele în care $A$ s-a produs. La urnă: $\frac{3}{28}$ față de $\frac{2}{7}$ .

Aplică acasă

Tabelul clasei tale. Alege două caracteristici ale colegilor (de exemplu „învață o limbă străină în particular" și „merge la un sport") și construiește tabelul cu patru căsuțe. Calculează apoi patru probabilități condiționate diferite și formulează în cuvinte, pentru fiecare, întrebarea la care răspunde.
Zarul cu indiciu. Roagă pe cineva să arunce un zar fără să te uiți și să-ți spună doar dacă rezultatul e par sau impar. Notează, înainte de a afla răspunsul final, cât estimezi că e probabilitatea să fie $6$ — și cum se schimbă estimarea după indiciu. Repetă de $10$ ori și discută cum informația schimbă predicția.
Cuvintele din știri. Caută într-un articol o propoziție de forma „X% dintre cei care… sunt…". Rescrie-o ca probabilitate condiționată, apoi formulează întrebarea inversă și verifică dacă articolul dă suficiente date pentru a răspunde la ea. Aproape niciodată nu le dă — și tocmai asta e lecția.

Pentru părinți și profesori

Probabilitatea condiționată este noțiunea din capitol cu cel mai mare transfer în viața de zi cu zi: interpretarea rezultatelor medicale, a statisticilor din presă și a oricărei afirmații de forma „dintre cei care…". Programa cere tratarea ei doar pentru două evenimente, în contexte practice, iar lecția respectă strict acest cadru.

Ce verifică lecția: (1) înțelegerea mecanismului de restrângere a mulțimii cazurilor posibile — pasul pe care elevii îl sar cel mai des; (2) aplicarea formulei $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ și verificarea condiției $P (A) > 0$ ; (3) citirea probabilităților condiționate dintr-un tabel cu două caracteristici, cu numitorul corect; (4) distincția fermă între $P (B ∣ A)$ și $P (A ∣ B)$ ; (5) deducerea regulii înmulțirii din definiție.

Întrebări bune de control: „Care sunt cazurile rămase după condiție?", „Ce număr pui la numitor și de ce?", „La ce întrebare, formulată în română, răspunde această fracție?". Semne că elevul a înțeles: scrie explicit mulțimea restrânsă înainte de a calcula și sesizează singur că problema cu cei doi copii are răspunsul $\frac{1}{3}$ . Lecțiile Evenimente independente și Probabilitatea intersecției a două evenimente sunt legate direct de aceasta: prima descrie exact situația în care condiționarea nu schimbă nimic, a doua folosește regula demonstrată aici.

Întrebări frecvente

Ce este o probabilitate condiționată? Este probabilitatea unui eveniment calculată în ipoteza că un alt eveniment s-a produs deja. Informația suplimentară restrânge mulțimea cazurilor posibile, deci schimbă raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile.

Care este formula probabilității condiționate? Formula este $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , valabilă pentru $P (A) > 0$ . În cazul rezultatelor egal probabile, ea se reduce la raportul dintre numărul cazurilor favorabile ambelor evenimente și numărul cazurilor în care se produce $A$ .

Cum se citește notația $P (B ∣ A)$ ? Se citește „probabilitatea lui $B$ , știind că s-a produs $A$ " sau „probabilitatea lui $B$ condiționată de $A$ ". În unele manuale apare scrisă $P_{A} (B)$ , cu același înțeles.

De ce $P (A ∣ B)$ nu este egal cu $P (B ∣ A)$ ? Pentru că, deși au același numărător, $P (A \cap B)$ , numitorii sunt diferiți: unul este $P (B)$ , celălalt $P (A)$ . Ele răspund la întrebări diferite, așa cum „ce parte dintre băieți fac sport" nu e totuna cu „ce parte dintre sportivi sunt băieți".

Cum calculez o probabilitate condiționată dintr-un tabel? Identifici linia sau coloana indicată de condiție, iei numărul din căsuța care îndeplinește și evenimentul cerut și îl împarți la totalul acelei linii sau coloane — nu la totalul general.

De ce probabilitatea ca ambii copii să fie băieți, știind că cel puțin unul e băiat, este $\frac{1}{3}$ ? Pentru că cele patru cazuri posibile sunt $B B$ , $B F$ , $F B$ , $F F$ , iar condiția elimină doar cazul $F F$ . Rămân trei cazuri egal probabile, dintre care unul singur are ambii copii băieți.

Ce se întâmplă dacă evenimentul condiție are probabilitatea zero? Probabilitatea condiționată nu este definită, pentru că formula ar cere împărțirea la zero. Nu are sens nici logic: nu poți presupune că s-a produs un eveniment imposibil.

Ce legătură are probabilitatea condiționată cu regula înmulțirii? Este aceeași relație, scrisă altfel: înmulțind definiția cu $P (A)$ obții $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ , adică regula folosită pe traseele unei diagrame arborescente.