Probabilități în situații practice: jocuri, asigurări, teste

Un test medical are o acuratețe foarte bună: depistează boala la $99$ din $100$ de bolnavi. O persoană se testează, primește rezultat pozitiv și, firesc, se sperie. Care este, de fapt, probabilitatea ca ea să fie bolnavă? Cei mai mulți oameni — inclusiv, arată studiile, mulți absolvenți de facultate — răspund „cam $99\%$". Vom calcula în această lecție răspunsul exact, cu numere concrete și fără nicio formulă nouă, și vom obține ceva cu totul altceva: aproximativ $17\%$.

Nu e o eroare a testului și nici un truc. Este consecința directă a unei idei pe care ai întâlnit-o deja în lecția Probabilități condiționate: „ce parte dintre bolnavi ies pozitivi" și „ce parte dintre cei pozitivi sunt bolnavi" sunt două întrebări diferite, cu răspunsuri diferite. Lecția de față adună la un loc situațiile practice în care probabilitățile chiar decid lucruri — jocuri, loterie, asigurări, teste, controlul calității — și arată cum se face fiecare calcul, cu grijă și până la capăt.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi probabilitatea de câștig la loterie și la jocurile cu premii, folosind combinările.
• Vei ști să analizezi un joc cu taxă și premiu, comparând banii încasați cu cei plătiți pe un număr mare de partide.
• Vei ști cum se construiește o primă de asigurare pornind de la probabilitatea unei daune.
• Vei ști să interpreteți corect un rezultat pozitiv la un test, folosind un tabel de frecvențe naturale.
• Vei ști să calculezi probabilități în controlul calității, prin evenimentul contrar.
• Vei ști să deosebești „probabilitate mică" de „imposibil" și să tragi concluzii prudente.

Hai să descoperim împreună

1. Loteria: numere care nu încap în imaginație

La loteria $6$ din $49$ se extrag $6$ numere dintre $49$, iar ordinea nu contează. Numărul variantelor posibile este dat de combinări:

$$C_{49}^6=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=13983816.$$

Un bilet cu o singură variantă are, prin urmare, probabilitatea de câștig

$$P(\text{6 numere})=\frac{1}{13983816}\approx 0,00000007.$$

Cum arată acest număr în viața reală? Dacă ai completa un bilet în fiecare săptămână, ar trebui, în medie, peste $260000$ de ani ca să nimerești o dată toate cele șase numere. Iar dacă ai cumpăra $100$ de bilete în fiecare săptămână, tot ar fi nevoie de peste $2600$ de ani.

Categoriile mai mici se calculează la fel, alegând separat numerele nimerite și cele nenimerite. Pentru exact $4$ numere corecte: alegi $4$ dintre cele $6$ câștigătoare și $2$ dintre celelalte $43$:

$$P(\text{exact 4 numere})=\frac{C_6^4\cdot C_{43}^2}{C_{49}^6}=\frac{15\cdot 903}{13983816}=\frac{13545}{13983816}\approx \frac{1}{1032}.$$

Chiar și această categorie, mult mai modestă, apare în medie o dată la aproximativ $1000$ de bilete.

2. Loz în plic și roata norocului

Nu toate jocurile au probabilități atât de mici. La un pachet de $500$ de lozuri, dintre care $20$ sunt câștigătoare, un loz cumpărat la întâmplare are

$$P(\text{caˆștig})=\frac{20}{500}=\frac{1}{25}=0,04=4\%.$$

Dacă la o roată cu $20$ de sectoare egale exact $3$ sunt câștigătoare, atunci $P(\text{caˆștig})=\frac{3}{20}=0,15$. Probabilitatea de a câștiga cel puțin o dată din două învârtiri se calculează prin evenimentul contrar, ca în lecția Evenimentul contrar și probabilitatea lui:

$$P(\text{cel puțin o data˘})=1-{\left(\frac{17}{20}\right)}^2=1-\frac{289}{400}=\frac{111}{400}=0,2775.$$

3. Jocul de bâlci: cine câștigă pe termen lung

Un joc de bâlci funcționează astfel: plătești $5$ lei, arunci două zaruri și primești $25$ de lei dacă obții un „dublu" (aceeași față pe amândouă). Probabilitatea unui dublu este

$$P(\text{dublu})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$$

Pare atrăgător: $25$ de lei pentru $5$ lei investiți. Ca să vedem cine iese în câștig, nu ne uităm la o singură partidă, ci la un număr mare de partide — să zicem $600$.

Organizatorul păstrează, în medie, aproximativ $500$ de lei la $600$ de jocuri, adică vreo $0,83$ lei din fiecare taxă de $5$ lei. Jocul nu e „corect", dar nici nu e o înșelătorie ascunsă: pur și simplu premiul, $25$ de lei, e mai mic decât $30$ de lei, cât ar fi trebuit să fie pentru ca cele două coloane să se echilibreze (fiindcă $600\cdot 5=3000$ și $100\cdot 30=3000$).

Reține metoda: ca să judeci un joc, înmulțește probabilitatea cu numărul mare de partide, află câte câștiguri apar și compară banii dintr-o parte cu cei din cealaltă. Este exact raționamentul pe care îl folosesc și companiile de asigurări.

4. Asigurările: probabilitatea devine preț

O companie asigură $10000$ de locuințe împotriva unui anumit tip de avarie. Din datele anilor trecuți, probabilitatea ca o locuință să sufere avaria într-un an este $0,02$, iar despăgubirea plătită într-un asemenea caz este de $6000$ de lei.

Numărul aproximativ de daune într-un an:

$$10000\cdot 0,02=200\text{ daune}.$$

Banii plătiți ca despăgubiri:

$$200\cdot 6000=1200000\text{ lei}.$$

Ca să acopere doar despăgubirile, compania trebuie să încaseze cel puțin această sumă de la cei $10000$ de clienți, adică

$$\frac{1200000}{10000}=120\text{ lei de la fiecare}.$$

Aceasta este prima „de echilibru". În realitate, compania cere mai mult — să zicem $150$ de lei —, pentru cheltuieli de funcționare, pentru anii mai răi decât media și pentru profit:

$$10000\cdot 150=1500000\text{ lei ıˆncasați},1500000-1200000=300000\text{ lei diferența˘}.$$

Observă logica întregii industrii: fiecare client plătește puțin și sigur, ca să nu plătească mult și pe neașteptate. Iar prețul poliței se calculează pornind de la o probabilitate.

5. Testele: de ce un rezultat pozitiv nu înseamnă certitudine

Revenim la întrebarea din deschidere. Iată datele complete, așa cum apar ele în practică:

• boala apare la $1\%$ din populație;
• testul depistează boala la $99\%$ dintre bolnavi (deci ratează $1\%$ dintre ei);
• testul dă rezultat pozitiv și la $5\%$ dintre oamenii sănătoși (aceștia sunt „fals pozitivii").

Cel mai simplu mod de a înțelege situația este să lucrăm nu cu procente, ci cu oameni. Luăm o populație de $10000$ de persoane și numărăm.

• Bolnavi: $1\%$ din $10000=100$ de persoane. Sănătoși: $9900$.
• Dintre cei $100$ de bolnavi, testul iese pozitiv la $99\%$, adică la $99$ de persoane (una singură scapă nedepistată).
• Dintre cei $9900$ de sănătoși, testul iese pozitiv la $5\%$, adică la $495$ de persoane.

Acum întrebarea „ce probabilitate am să fiu bolnav, dacă testul a ieșit pozitiv?" devine o simplă citire pe coloana testelor pozitive:

$$P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{99}{594}=\frac{1}{6}\approx 0,167=16,7\%.$$

De unde vine surpriza? Din faptul că sănătoșii sunt mult mai numeroși decât bolnavii. Chiar dacă doar $5\%$ dintre ei ies pozitivi din greșeală, acel $5\%$ se aplică la $9900$ de oameni și dă $495$ de rezultate pozitive false — de cinci ori mai multe decât cele $99$ corecte.

Compară cele două întrebări, care sună aproape la fel:

• $P(\text{pozitiv}\mid \text{bolnav})=\frac{99}{100}=99\%$ — cât de bun este testul la depistare;
• $P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{99}{594}\approx 17\%$ — ce înseamnă pentru mine un rezultat pozitiv.

Pe de altă parte, un rezultat negativ este foarte liniștitor: dintre cei $9406$ negativi, doar unul singur e bolnav, deci $P(\text{sa˘na˘tos}\mid \text{negativ})=\frac{9405}{9406}\approx 99,99\%$.

Concluzia practică, aceeași pe care o dau și medicii: un test pozitiv la o boală rară nu este un diagnostic, ci un motiv de a face o a doua investigație, mai precisă.

6. Controlul calității

Un lot de $20$ de piese conține $3$ piese defecte. Controlorul extrage la întâmplare $4$ piese și respinge întregul lot dacă găsește măcar una defectă. Care este probabilitatea ca lotul să fie respins?

Cazuri posibile: $C_{20}^4=\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=4845$.

Trecem la evenimentul contrar — „nicio piesă defectă" — care înseamnă că toate cele $4$ piese sunt alese dintre cele $17$ bune:

$$C_{17}^4=\frac{17\cdot 16\cdot 15\cdot 14}{24}=2380⟹P(\text{lot acceptat})=\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}.$$

Prin urmare

$$P(\text{lot respins})=1-\frac{28}{57}=\frac{29}{57}\approx 0,509.$$

Cu alte cuvinte, un control pe patru piese descoperă problema în puțin peste jumătate dintre cazuri. Dacă producătorul vrea o siguranță mai mare, trebuie să verifice mai multe piese — și exact așa se stabilesc, în practică, planurile de control.

7. Ce înseamnă și ce nu înseamnă o probabilitate mică

Trei precizări care merită reținute, pentru că se folosesc greșit foarte des:

• Probabilitate mică nu înseamnă imposibil. Cineva câștigă totuși la loterie; doar că, dintre milioanele de jucători, acela e rareori cel care se aștepta.
• Probabilitate mare nu înseamnă sigur. Un eveniment cu probabilitatea $0,95$ nu se produce în una din douăzeci de situații.
• Rezultatele pe termen scurt pot arăta oricum. Calculele de tipul „la $600$ de jocuri" descriu tendința pe multe repetări, nu ce se întâmplă în seara asta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Loz în plic

Dintr-un pachet de $400$ de lozuri, $16$ sunt câștigătoare. Care este probabilitatea de câștig la un loz cumpărat la întâmplare? Dar probabilitatea de a nu câștiga la niciunul dintre două lozuri, dacă pachetul este atât de mare încât compoziția lui practic nu se schimbă?

Rezolvare. $P(\text{caˆștig})=\frac{16}{400}=\frac{1}{25}=0,04$.

Probabilitatea de a nu câștiga la un loz este $1-0,04=0,96$, deci la două lozuri:

$$0,96\cdot 0,96=0,9216,P(\text{cel puțin un caˆștig})=1-0,9216=0,0784.$$

Exemplul 2 — Un joc cu zarul

La un joc plătești $2$ lei și arunci un zar; primești $10$ lei dacă apare fața $6$. Analizează jocul pe $600$ de partide.

Rezolvare. $P(6)=\frac{1}{6}$, deci la $600$ de partide apar aproximativ $100$ de câștiguri.

• Încasat de organizator: $600\cdot 2=1200$ lei.
• Plătit ca premii: $100\cdot 10=1000$ lei.
• Diferența: $200$ lei rămân organizatorului.

Pentru ca jocul să fie echilibrat, premiul ar trebui să fie de $12$ lei, pentru că $100\cdot 12=1200$.

Exemplul 3 — Prima de asigurare

O companie asigură $5000$ de mașini. Probabilitatea unui accident cu despăgubire este $0,03$ pe an, iar despăgubirea medie este de $8000$ de lei. Ce primă anuală trebuie să ceară compania ca să acopere exact despăgubirile? Dar dacă vrea să încaseze $1500000$ de lei?

Rezolvare. Număr de daune: $5000\cdot 0,03=150$. Bani plătiți: $150\cdot 8000=1200000$ lei. Prima de echilibru:

$$\frac{1200000}{5000}=240\text{ lei}.$$

Pentru un total încasat de $1500000$ de lei, prima trebuie să fie $\frac{1500000}{5000}=300$ lei, iar diferența de $300000$ de lei acoperă cheltuielile și riscul anilor mai grei.

Exemplul 4 — Alt test, alte cifre

Un test pentru o boală care apare la $2\%$ din populație depistează boala la $95\%$ dintre bolnavi și dă rezultat pozitiv la $4\%$ dintre sănătoși. Care este probabilitatea ca o persoană cu test pozitiv să fie bolnavă?

Rezolvare. Lucrăm pe $10000$ de persoane.

• Bolnavi: $2\%$ din $10000=200$; sănătoși: $9800$.
• Pozitivi dintre bolnavi: $95\%$ din $200=190$.
• Pozitivi dintre sănătoși: $4\%$ din $9800=392$.
• Total pozitivi: $190+392=582$.

$$P(\text{bolnav}\mid \text{pozitiv})=\frac{190}{582}=\frac{95}{291}\approx 0,326=32,6\%.$$

Mai mult decât în exemplul din lecție — pentru că boala e de două ori mai frecventă, iar testul greșește mai rar la sănătoși —, dar tot departe de $95\%$.

Exemplul 5 — Control de calitate

Un lot de $15$ piese conține $2$ piese defecte. Se extrag $3$ piese la întâmplare. Care este probabilitatea de a găsi cel puțin o piesă defectă?

Rezolvare. Cazuri posibile: $C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Contrariul „nicio piesă defectă" înseamnă $3$ piese alese dintre cele $13$ bune: $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$.

$$P(\text{niciuna defecta˘})=\frac{286}{455}=\frac{22}{35},P(\text{cel puțin una})=1-\frac{22}{35}=\frac{13}{35}\approx 0,371.$$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Într-o cutie sunt $12$ becuri, dintre care $4$ sunt defecte. Se aleg la întâmplare, simultan, $2$ becuri. a) Determinați numărul modurilor în care se pot alege cele $2$ becuri. b) Calculați probabilitatea ca ambele becuri alese să fie bune. c) Calculați probabilitatea ca cel puțin unul dintre becurile alese să fie defect.

Rezolvare. a) Alegerea se face fără ordine, deci

$$C_{12}^2=\frac{12\cdot 11}{2}=66.$$

b) Becurile bune sunt $12-4=8$, deci numărul alegerilor favorabile este $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$ și

$$P(\text{ambele bune})=\frac{28}{66}=\frac{14}{33}.$$

c) Evenimentul este contrarul celui de la b):

$$P(\text{cel puțin unul defect})=1-\frac{14}{33}=\frac{19}{33}\approx 0,576.$$

Să exersăm

1. Dintr-un pachet de $500$ de lozuri, $20$ sunt câștigătoare. Care este probabilitatea de câștig la un loz? Exprimă rezultatul și în procente.

2. Câte variante posibile există la loteria $6$ din $49$? Care este probabilitatea de a nimeri toate cele șase numere cu un singur bilet?

3. (Problemă aplicată.) O companie asigură $5000$ de mașini; probabilitatea unei daune este $0,03$, iar despăgubirea medie $8000$ de lei. Câte daune sunt de așteptat într-un an și ce sumă trebuie plătită?

4. Pentru un test aplicat unei boli care apare la $2\%$ din populație, cu depistare de $95\%$ la bolnavi și $4\%$ rezultate pozitive la sănătoși, completează tabelul pe $10000$ de persoane și calculează probabilitatea ca o persoană cu test pozitiv să fie bolnavă.

5. Un lot de $15$ piese conține $2$ defecte. Se extrag $3$ piese. Care este probabilitatea de a găsi cel puțin una defectă?

6. La un joc plătești $3$ lei și primești $15$ lei dacă zarul arată $6$. Ce se întâmplă, în bani, la $600$ de partide?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un test depistează boala la $99\%$ dintre bolnavi, atunci o persoană cu rezultat pozitiv are $99\%$ șanse să fie bolnavă."

8. O roată are $20$ de sectoare egale, dintre care $3$ sunt câștigătoare. Care este probabilitatea de a câștiga cel puțin o dată din două învârtiri?

9. Care este probabilitatea de a nimeri exact $4$ numere din $6$ la loteria $6$ din $49$? Exprimă rezultatul sub forma „aproximativ $1$ din …".

10. (Problemă aplicată.) O companie asigură $10000$ de locuințe, cu probabilitatea de daună $0,02$ și despăgubirea de $6000$ de lei. Ce primă minimă trebuie să ceară pentru a acoperi exact despăgubirile?

11. Un lot de $20$ de piese conține $3$ defecte. Se extrag $4$ piese. Care este probabilitatea ca lotul să fie respins, dacă respingerea are loc la găsirea a cel puțin unei piese defecte?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O probabilitate de $0,001$ înseamnă că evenimentul este imposibil."

13. Într-o cutie sunt $12$ becuri, dintre care $4$ defecte. Se aleg simultan $2$ becuri. Care este probabilitatea ca amândouă să fie bune?

14. La același test din lecție (boală la $1\%$, depistare $99\%$, fals pozitive $5\%$), calculează probabilitatea ca o persoană cu rezultat negativ să fie totuși bolnavă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Într-o urnă sunt $10$ bile, dintre care $4$ roșii. Se extrag simultan $3$ bile. a) Determinați numărul modurilor de alegere. b) Calculați probabilitatea ca niciuna dintre bilele extrase să nu fie roșie.

16. Reia calculul testului din lecție, dar pentru o boală care apare la $10\%$ din populație (celelalte date rămân aceleași). Ce probabilitate obții pentru „bolnav, dat fiind test pozitiv"? Compară cu $16,7\%$ și explică diferența.

17. Un lot de $100$ de piese conține $5$ defecte. Se extrag $2$ piese. Care este probabilitatea de a găsi cel puțin una defectă?

18. (Provocare.) La jocul cu două zaruri din lecție (taxă $5$ lei, premiu $25$ de lei la dublu), ce premiu ar trebui oferit pentru ca, la $600$ de partide, organizatorul să încaseze exact cât plătește? Dar ce taxă ar trebui cerută dacă premiul rămâne $25$ de lei?

Răspunsuri și explicații

1. $P=\frac{20}{500}=\frac{1}{25}=0,04=4\%$.

2. Variante: $C_{49}^6=13983816$. Probabilitatea de câștig cu un bilet: $\frac{1}{13983816}$, adică aproximativ $0,00000007$.

3. Daune: $5000\cdot 0,03=150$. Sumă plătită: $150\cdot 8000=1200000$ lei.

4. Bolnavi $200$, sănătoși $9800$; pozitivi dintre bolnavi $190$, fals pozitivi $392$, total pozitivi $582$. Deci $P=\frac{190}{582}=\frac{95}{291}\approx 32,6\%$.

5. $P(\text{niciuna defecta˘})=\frac{C_{13}^3}{C_{15}^3}=\frac{286}{455}=\frac{22}{35}$, deci $P(\text{cel puțin una})=\frac{13}{35}\approx 0,371$.

6. Încasat: $600\cdot 3=1800$ lei. Câștiguri: aproximativ $100$, deci plătit $100\cdot 15=1500$ lei. Organizatorului îi rămân $300$ de lei; jocul ar fi echilibrat la un premiu de $18$ lei.

7. Fals. Cele două întrebări sunt diferite: „ce parte dintre bolnavi ies pozitivi" nu e totuna cu „ce parte dintre pozitivi sunt bolnavi". Cu datele din lecție, prima valoare este $99\%$, a doua doar $\frac{99}{594}\approx 16,7\%$, din cauza numărului mare de rezultate fals pozitive.

8. $P(\text{niciun caˆștig})={\left(\frac{17}{20}\right)}^2=\frac{289}{400}$, deci $P(\text{cel puțin unul})=1-\frac{289}{400}=\frac{111}{400}=0,2775$.

9. $P=\frac{C_6^4\cdot C_{43}^2}{C_{49}^6}=\frac{15\cdot 903}{13983816}=\frac{13545}{13983816}$, adică aproximativ $1$ din $1032$.

10. Daune: $10000\cdot 0,02=200$; plătit: $200\cdot 6000=1200000$ lei; prima minimă: $\frac{1200000}{10000}=120$ lei.

11. $P(\text{acceptat})=\frac{C_{17}^4}{C_{20}^4}=\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$, deci $P(\text{respins})=\frac{29}{57}\approx 0,509$.

12. Fals. Probabilitatea $0$ înseamnă imposibil; $0,001$ înseamnă rar, adică aproximativ o dată la o mie de repetări. Evenimentele foarte rare chiar se produc atunci când experimentul se repetă de foarte multe ori.

13. $P=\frac{C_8^2}{C_{12}^2}=\frac{28}{66}=\frac{14}{33}\approx 0,424$.

14. Din tabel, cei cu rezultat negativ sunt $9406$, dintre care un singur bolnav: $P=\frac{1}{9406}\approx 0,0001$, adică aproximativ $0,01\%$. Un rezultat negativ este, așadar, foarte liniștitor.

15. a) $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. b) Bilele nerosii sunt $6$, deci alegerile favorabile sunt $C_6^3=20$ și $P=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$.

16. Bolnavi: $1000$; sănătoși: $9000$. Pozitivi dintre bolnavi: $990$; fals pozitivi: $5\%$ din $9000=450$. Total pozitivi: $1440$. Deci $P=\frac{990}{1440}=\frac{11}{16}=0,6875$, adică aproape $69\%$ — mult mai mult decât $16,7\%$. Explicația: cu cât boala este mai frecventă, cu atât un rezultat pozitiv are mai multe șanse să fie real, pentru că numărul bolnavilor crește, iar cel al sănătoșilor (deci și al fals pozitivilor) scade.

17. $C_{100}^2=4950$ și $C_{95}^2=4465$, deci $P(\text{niciuna defecta˘})=\frac{4465}{4950}$ și

$$P(\text{cel puțin una defecta˘})=1-\frac{4465}{4950}=\frac{485}{4950}=\frac{97}{990}\approx 0,098.$$

18. La $600$ de partide se încasează $600\cdot 5=3000$ de lei și apar aproximativ $100$ de dubluri. Pentru echilibru, premiul trebuie să fie $\frac{3000}{100}=30$ de lei. Dacă premiul rămâne $25$ de lei, banii plătiți sunt $2500$, deci taxa de echilibru ar fi $\frac{2500}{600}\approx 4,17$ lei. Orice taxă mai mare decât atât (cum e cea reală, de $5$ lei) înseamnă avantaj pentru organizator.

De reținut

• La loterie, numărul variantelor se calculează cu combinări: $C_{49}^6=13983816$, deci un bilet are probabilitatea de câștig $\frac{1}{13983816}$.
• Un joc se judecă pe multe partide: înmulțește probabilitatea cu numărul de partide, află câte câștiguri apar și compară banii încasați cu cei plătiți.
• Prima de asigurare pornește de la probabilitatea unei daune: numărul de daune ori despăgubirea, împărțit la numărul de clienți, dă prima de echilibru.
• Un test pozitiv nu înseamnă diagnostic. La o boală rară, majoritatea rezultatelor pozitive sunt false; se lucrează cu un tabel de frecvențe naturale, pe $10000$ de persoane.
• La controlul calității, probabilitatea de a găsi „cel puțin o piesă defectă" se calculează prin evenimentul contrar, cu combinări.

Greșeli frecvente

• Inversarea condiționării la teste. „$99\%$ dintre bolnavi ies pozitivi" nu înseamnă „$99\%$ dintre pozitivi sunt bolnavi". Diferența dintre $99\%$ și $17\%$ vine exact din această inversare.
• Ignorarea fals pozitivilor. Un procent mic de erori aplicat unui grup foarte mare (sănătoșii) produce mai multe rezultate pozitive decât grupul mic al bolnavilor.
• Judecarea unui joc după o singură partidă. Concluzia „am câștigat, deci jocul e bun" nu spune nimic; calculul se face pe sute de partide.
• Confundarea probabilității mici cu imposibilul. $\frac{1}{13983816}$ nu este zero — cineva chiar câștigă la loterie, doar că foarte rar și rareori cel care se aștepta.
• Uitarea evenimentului contrar la controlul calității. „Cel puțin una defectă" se calculează scăzând din $1$ probabilitatea ca toate piesele extrase să fie bune, nu adunând cazuri separate.

Aplică acasă

1. Prețul unui bilet. Caută prețul unui bilet de loterie și calculează câți bani ar trebui cheltuiți, în medie, pentru a acoperi toate cele $13983816$ de variante. Compară suma cu premiul anunțat și discută cu un părinte ce înseamnă rezultatul.

2. Un joc corect, inventat de tine. Propune un joc simplu cu un zar sau cu o monedă, stabilește taxa de participare și premiul astfel încât, la $600$ de partide, banii încasați să fie egali cu cei plătiți. Testează-l cu cineva din familie de $30$ de ori și vezi cât de aproape ești de echilibru.

3. Tabelul unui test. Alege un procent oarecare pentru frecvența unei „probleme" (de exemplu $5\%$ dintre becurile dintr-un magazin sunt defecte) și un „test" imperfect (care depistează $90\%$ dintre becurile defecte, dar semnalează greșit și $10\%$ dintre cele bune). Construiește tabelul pe $10000$ de becuri și calculează ce parte dintre becurile semnalate sunt cu adevărat defecte.

Pentru părinți și profesori

Programa cere explicit abordarea conținuturilor de probabilități prin contexte practice, iar această lecție adună situațiile cu cea mai mare valoare formativă: jocuri de noroc, asigurări, teste medicale, controlul calității. Este, probabil, lecția din capitol cu cel mai direct efect asupra deciziilor de mai târziu ale elevului.

Ce verifică lecția: (1) calculul probabilităților de câștig cu ajutorul combinărilor; (2) analiza unui joc pe un număr mare de partide, prin compararea sumelor încasate și plătite; (3) construirea unei prime de asigurare pornind de la probabilitatea daunei; (4) interpretarea corectă a unui test pozitiv, cu tabel de frecvențe naturale — pe oameni, nu pe procente; (5) folosirea evenimentului contrar la controlul calității.

Un detaliu metodic important: la partea despre teste se lucrează numai cu tabelul construit pe $10000$ de persoane și cu definiția probabilității condiționate din lecția anterioară. Această abordare, numită „a frecvențelor naturale", este și cea mai ușor de înțeles, și cea mai greu de greșit.

Întrebări bune de control: „Din câți oameni și câți dintre ei?", „Cine e mai numeros, grupul cu problema sau cel fără?", „Ce se întâmplă la $600$ de partide, nu la una singură?". Semne că elevul a înțeles: construiește singur tabelul pe $10000$ de persoane și explică de ce un test foarte bun poate da majoritar rezultate pozitive false la o boală rară. Continuarea firească este lecția Compararea probabilităților și decizii informate.

Întrebări frecvente

Care este probabilitatea de a câștiga la loteria $6$ din $49$? Numărul variantelor posibile este $C_{49}^6=13983816$, deci un bilet cu o singură variantă are probabilitatea de câștig $\frac{1}{13983816}$, adică aproximativ $0,00000007$.

De ce un test pozitiv nu înseamnă că sunt sigur bolnav? Pentru că, la o boală rară, sănătoșii sunt mult mai numeroși, iar chiar și un procent mic de rezultate fals pozitive produce multe pozitive greșite. În exemplul din lecție, dintre $594$ de rezultate pozitive, doar $99$ aparțin unor bolnavi, adică aproximativ $17\%$.

Ce este un rezultat fals pozitiv? Este un rezultat pozitiv obținut de o persoană care, de fapt, nu are boala. Frecvența lui se aplică întregului grup de oameni sănătoși, care e de obicei mult mai mare decât grupul bolnavilor.

Cum se calculează prima unei asigurări? Se estimează numărul de daune (numărul de clienți înmulțit cu probabilitatea unei daune), se calculează suma totală de plătit și se împarte la numărul de clienți. Rezultatul este prima de echilibru; prima reală este mai mare, pentru cheltuieli și pentru anii mai grei decât media.

Cum îmi dau seama dacă un joc este corect? Compari, pe un număr mare de partide, banii încasați de organizator cu cei plătiți ca premii. Dacă premiul înmulțit cu numărul de câștiguri este mai mic decât taxa înmulțită cu numărul de partide, jocul avantajează organizatorul.

Ce înseamnă că un eveniment are probabilitatea $0,001$? Înseamnă că, la aproximativ o mie de repetări ale experimentului, evenimentul apare cam o dată. Nu înseamnă că este imposibil — doar că este rar.

Cum calculez probabilitatea ca într-un lot să existe cel puțin o piesă defectă? Calculezi întâi, cu ajutorul combinărilor, probabilitatea ca toate piesele extrase să fie bune, apoi o scazi din $1$. Este strategia evenimentului contrar, mult mai scurtă decât numărarea pe cazuri.

Contează cât de răspândită este o boală pentru interpretarea testului? Da, decisiv. Cu aceleași performanțe ale testului, la o boală care apare la $1\%$ din populație un rezultat pozitiv înseamnă aproximativ $17\%$ șanse de îmbolnăvire, iar la una care apare la $10\%$ ajunge la aproximativ $69\%$.