Cum derivezi orice funcție de la examen (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XI-a → ·

În modelul oficial nu apare o sarcină de tipul „derivează cu regula produsului". Primești o funcție și o cerință scurtă — „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ " — iar tot ce urmează depinde de o decizie pe care o iei în primele zece secunde: cu ce regulă începi. Elevii de clasa a XI-a de la științe ale naturii (M2) știu regulile; ceea ce îi încurcă la Subiectul al III-lea este că le aplică în altă ordine decât trebuie sau că aleg regula potrivită pentru altă expresie decât cea scrisă pe foaie.

Lecția de astăzi nu aduce nicio formulă nouă. Formulele le ai deja: tabelul derivatelor funcțiilor uzuale, regulile pentru sumă, produs și cât și regula lanțului pentru funcții compuse. Aici înveți cum alegi între ele: cum citești structura unei expresii, cum recunoști din prima privire familia funcției și cum verifici, în treizeci de secunde, că rezultatul obținut nu conține o greșeală de calcul. Este lecția care leagă toate regulile într-un singur reflex.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici ultima operație dintr-o expresie și să pornești derivarea cu regula care îi corespunde.
Vei ști să deosebești un produs de o funcție compusă, cele două structuri pe care elevii le confundă cel mai des.
Vei ști să recunoști cele patru familii de funcții care apar în subiectele M2 și regula cu care începe fiecare.
Vei ști să pregătești algebric o expresie înainte de a deriva, atunci când o simplificare scurtează calculul la jumătate.
Vei ști să verifici derivata obținută, numeric și prin semn, fără să reiei tot calculul.
Vei ști să redactezi rezultatul în forma cerută de examen, cu domeniul precizat și cu expresia adusă la forma din enunț.

Hai să descoperim împreună

1. Ce operație se face ultima?

Privește expresia $f (x) = (x^{2} + 1) ln x$ și pune-ți o întrebare simplă: dacă ai înlocui litera $x$ cu numărul $2$ și ai face calculul cu creionul, care ar fi ultima apăsare de tastă? Ai calcula $2^{2} + 1 = 5$ , ai calcula $ln 2$ și abia la sfârșit le-ai înmulți. Ultima operație este deci o înmulțire — iar asta hotărăște totul.

Ultima operație dintr-o expresie este aceea care s-ar efectua la urmă dacă variabila ar fi înlocuită cu un număr, iar regula de derivare cu care începi este regula acelei operații. Nu contează cât de complicate sunt bucățile: ele se derivează după aceea, fiecare cu regula ei.

Ideea nu e nouă. Ai folosit-o deja fără să-i spui pe nume ori de câte ori ai calculat o valoare respectând ordinea operațiilor: întâi parantezele, apoi puterile și radicalii, apoi înmulțirile și împărțirile, la urmă adunările și scăderile. Derivarea parcurge exact lista aceasta, dar de la coadă spre cap. De aceea o sumă se derivează prima, termen cu termen, iar o putere sau un logaritm care stă adânc în expresie se derivează abia la sfârșit.

Urmărește-le pe patru expresii apropiate ca literă, dar total diferite ca structură:

expresia	ultima operație	regula cu care începi
$x^{3} - 5 x + x$	scădere și adunare	derivezi termen cu termen
$(2 x + 1) x$	înmulțire	regula produsului
$\frac{2 x + 1}{x}$	împărțire	regula câtului
$2 x + 1$	radical dintr-o expresie	regula lanțului

Cele patru au aceleași ingrediente. Structura, nu ingredientele, decide regula.

2. Cum recunoști suma, produsul și câtul?

Suma se vede cel mai ușor: semnele $+$ și $-$ care nu sunt închise în nicio paranteză și nu stau sub niciun radical despart expresia în termeni, iar derivata se calculează termen cu termen. Aceasta este singura situație în care ai voie să lucrezi „pe bucăți", și tocmai de aici vine capcana: mulți elevi extind licența și la produse sau la rapoarte, unde ea nu funcționează.

Produsul cere atenție la ce înmulțești. Dacă unul dintre factori este un număr, nu ai nevoie de regula produsului: constanta iese în față și derivezi doar ce rămâne, pentru că derivata unei constante este zero. Regula produsului se folosește atunci când amândoi factorii depind de $x$ : de exemplu la $(x^{2} + 1) ln x$ , unde ambii se schimbă odată cu $x$ . Scrierea corectă adună două produse, nu unul singur: derivezi primul factor și îl înmulțești cu al doilea nederivat, apoi inversezi rolurile.

Câtul se recunoaște după linia de fracție care desparte două expresii cu $x$ . Înainte de a scrie regula, merită să te uiți o secundă la numitor: dacă este un simplu număr, fracția e de fapt o constantă înmulțită cu numărătorul și regula câtului e o risipă de timp. Dacă numitorul chiar depinde de $x$ , formula se aplică integral, iar ordinea termenilor de la numărător nu poate fi schimbată: la produs adunarea e comutativă, la cât scăderea nu este.

3. Cum îți dai seama că funcția e compusă?

O funcție este compusă atunci când o operație se aplică nu lui $x$ , ci unei întregi expresii cu $x$ . Testul e mecanic: acoperă cu degetul tot ce e sub radical, în exponent, în paranteza logaritmului sau la baza puterii. Dacă sub deget e mai mult decât $x$ singur, funcția e compusă și pornești cu regula lanțului, deprinsă la compunerea funcțiilor încă din clasa a X-a: derivezi învelișul, lăsând conținutul neatins, apoi înmulțești cu derivata conținutului.

Confuzia cea mai costisitoare a capitolului este între produs și compunere. Compară $e^{x} \cdot x^{2}$ cu $e^{x^{2}}$ : în primul caz exponențiala și pătratul sunt doi factori alăturați, deci regula produsului; în al doilea, pătratul stă în exponent, deci exponențiala se aplică rezultatului lui $x^{2}$ și regula este a lanțului. Diferența de scriere e mică, diferența de rezultat e totală.

Un al doilea semnal, la fel de sigur: numără câte perechi de paranteze trebuie deschise ca să ajungi la $x$ . Nicio paranteză înseamnă funcție uzuală, o paranteză înseamnă o compunere, două paranteze una într-alta înseamnă două compuneri suprapuse — caz care la M2 apare rar și numai cu expresii scurte.

Mai rămâne o chestiune de scriere, mică, dar care se vede pe hârtie. La o funcție compusă, rezultatul are doi factori: derivata învelișului, care păstrează conținutul neschimbat, și derivata conținutului. Ordinea în care îi înmulțești nu schimbă valoarea, dar forma curentă pune în față factorul scurt, cel venit din interior; așa arată formulele din subiectele oficiale și așa se compară cel mai ușor cu expresia pe care trebuie să o „arăți". Dacă derivata ta diferă de cea din enunț doar prin ordinea factorilor sau prin faptul că nu ai dat factor comun, nu ai greșit nimic — mai ai de făcut un singur rând de calcul.

4. Ce simplifici înainte de a deriva?

Regulile se aplică la ce e scris pe foaie, nu la ce ai în cap. De aceea, înainte de prima derivată, merită întotdeauna un ochi aruncat pe expresie cu întrebarea „se poate scrie mai simplu?".

Trei prelucrări scurtează calculul de fiecare dată. Împărțirea termen cu termen, atunci când la numitor stă un singur monom: $\frac{x ^{3} + x ^{2}}{x}$ nu se derivează cu regula câtului, ci se simplifică mai întâi la $x^{2} + x$ , iar derivata iese din prima. Desfacerea unei paranteze mici, când produsul e de polinoame scurte: $(x + 1) (x - 3)$ devine $x^{2} - 2 x - 3$ și regula produsului nu mai e necesară. Și strângerea unei sume de fracții la un singur raport, ca să nu derivezi de trei ori ceea ce poți deriva o dată.

Simplificarea are însă o graniță care nu se trece: ea nu are voie să schimbe domeniul. Funcția $\frac{x ^{3} + x ^{2}}{x}$ nu este definită în $0$ , deci nici derivata ei; scrii $f^{'} (x) = 2 x + 1$ pentru $x \neq = 0$ , nu pentru orice număr real. Cine uită precizarea lasă rezolvarea incompletă, chiar dacă a calculat corect.

5. Ce familii de funcții apar la examenul M2?

Programa de examen pentru M_șt-nat (OMEN 4430/2014) numește exact funcțiile care se studiază: funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția putere și funcția radical de ordinul $2$ și $3$ , raportul a două funcții de grad cel mult $2$ , exponențiala și logaritmul. De aici vine și structura subiectelor: aproape toate funcțiile date la Subiectul al III-lea sunt combinații scurte din lista asta.

familia	cum arată	regula cu care începi
polinomială	$x^{3} - 5 x + 7$	derivare termen cu termen
rațională	$\frac{4 x - 1}{x + 3}$	regula câtului
cu radical	$3 x + 7$	regula lanțului
cu $e^{x}$ sau $ln x$	$(x^{2} - 5) e^{x}$ , $x - 4 ln x$	produs, cât sau lanț, după structură

Tabelul nu se învață pe de rost: el spune doar că, la M2, nu vei întâlni funcții exotice. Dacă expresia din enunț nu seamănă cu niciun rând, cel mai probabil ai copiat-o greșit.

6. Cum verifici derivata pe care ai obținut-o?

O derivată greșită la punctul a) strică și punctele b) și c), așa că verificarea nu e lux, ci economie. Trei controale, toate rapide.

Controlul gradului. La un polinom, derivata are gradul cu o unitate mai mic; dacă ai pornit de la gradul al treilea și ai ajuns tot la gradul al treilea, ai uitat să cobori un exponent. La un raport, numitorul derivatei este pătratul numitorului inițial — un numitor rămas la puterea întâi e semnal de alarmă.

Controlul numeric. Alege un număr comod din domeniu, de pildă $x = 1$ , și compară valoarea formulei tale cu raportul $\frac{f ( 1 , 001 ) - f ( 0 , 999 )}{0 , 002}$ . Cele două trebuie să semene pe primele două-trei zecimale, pentru că raportul acesta este chiar o rată medie pe un interval foarte scurt.

Controlul semnului. Dacă funcția crește vizibil în jurul punctului ales, derivata trebuie să iasă pozitivă acolo; dacă scade, negativă. Este verificarea cea mai ieftină și prinde greșelile de semn, cele mai frecvente la regula câtului.

Ordinea în care le faci contează pentru timpul pierdut: controlul gradului nu cere niciun calcul și se face din priviri, controlul semnului cere două valori ale funcției, iar cel numeric, trei operații pe calculator. Începe deci cu primul și coboară numai dacă ceva scârțâie. Și încă o precizare, ca să nu tragi concluzii greșite: controlul numeric nu demonstrează nimic, fiindcă un raport calculat pe un interval mic rămâne o valoare aproximativă. El infirmă, în schimb, foarte eficient — o abatere pe prima zecimală înseamnă aproape sigur o greșeală în formulă, iar un semn schimbat, cum se vede în exemplul 5, o greșeală de regulă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește structura, apoi derivează

Pentru fiecare funcție, precizați ultima operație din expresie și regula cu care începe derivarea; apoi calculați derivata ultimei funcții.

a) $f (x) = 3 x^{4} + 7 x - ln x$ ; b) $f (x) = (x^{2} - 4) x$ ; c) $f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 2}$ ; d) $f (x) = e^{3 x^{2} - x}$ .

Rezolvare. a) Ultimele operații sunt adunarea și scăderea, deci se derivează termen cu termen.

b) Ultima operație este înmulțirea a doi factori care depind amândoi de $x$ : regula produsului.

c) Ultima operație este împărțirea: regula câtului.

d) Exponentul nu este $x$ , ci expresia $3 x^{2} - x$ , deci funcția este compusă și pornim cu regula lanțului. Învelișul este exponențiala, care se derivează în ea însăși, iar conținutul $3 x^{2} - x$ are derivata $6 x - 1$ . Prin urmare

$f^{'} (x) = (6 x - 1) e^{3 x^{2} - x}, x \in R .$

Observă ordinea din scriere: factorul venit din interior se pune în față, ca expresia să arate ca în enunț.

Exemplul 2 — Un raport de două polinoame

Determinați derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{3 x - 2}{x ^{2} + 3}$ .

Rezolvare. Numitorul $x^{2} + 3$ nu se anulează niciodată, deci funcția este definită și derivabilă pe tot $R$ . Ultima operație este împărțirea, așa că aplicăm regula câtului, cu $u (x) = 3 x - 2$ , $u^{'} (x) = 3$ , și $v (x) = x^{2} + 3$ , $v^{'} (x) = 2 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 3 ) - ( 3 x - 2 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} + 9 - 6 x ^{2} + 4 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} .$

După reducerea termenilor asemenea, $f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 4 x + 9}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ pentru orice număr real $x$ .

Controlul semnului. În $x = 0$ derivata valorează $1$ , deci graficul urcă acolo — ceea ce se potrivește: $f (0) = - \frac{2}{3}$ , iar $f (1) = \frac{1}{4}$ , adică funcția chiar a crescut.

Exemplul 3 — Radical dintr-o expresie

Calculați derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Rezolvare. Mai întâi domeniul: $x^{2} - 4 x + 5 = (x - 2)^{2} + 1$ , expresie strict pozitivă pentru orice $x$ , deci radicalul are sens peste tot și nu se anulează niciodată.

Sub radical stă o expresie întreagă, nu doar $x$ : funcție compusă. Derivata învelișului este $\frac{1}{2 \cdot}$ , iar conținutul $x^{2} - 4 x + 5$ are derivata $2 x - 4$ :

$f^{'} (x) = \frac{2 x - 4}{2 x ^{2} - 4 x + 5} .$

Simplificând prin $2$ , obținem forma finală: $f^{'} (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 4 x + 5}$ .

Reține simplificarea: la orice radical de forma $a x^{2} + b x + c$ , doiul de la numitor se reduce cu factorul par din derivata interioară. Dacă rezultatul tău are încă un $2$ acolo, mai privește o dată numărătorul.

Exemplul 4 — Produs cu logaritm, pregătit algebric

Determinați derivata funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (2 x + 5) ln x$ , și scrieți rezultatul în două forme echivalente.

Rezolvare. Amândoi factorii depind de $x$ , deci regula produsului, cu $u (x) = 2 x + 5$ , $u^{'} (x) = 2$ , și $v (x) = ln x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{x}$ :

$f^{'} (x) = 2 \cdot ln x + (2 x + 5) \cdot \frac{1}{x} .$

Prin urmare $f^{'} (x) = 2 ln x + \frac{2 x + 5}{x}$ pentru orice $x > 0$ . Împărțind termen cu termen fracția, aceeași derivată se scrie $2 ln x + 2 + \frac{5}{x}$ — formă la fel de corectă și, de obicei, mai comodă la punctele următoare, unde urmează un calcul de limită sau un studiu de semn.

Controlul numeric. Pentru $x = 1$ formula dă $2 ln 1 + 7 = 7$ , iar raportul $\frac{f ( 1 , 001 ) - f ( 0 , 999 )}{0 , 002}$ valorează aproximativ $7, 0000$ . Cele două coincid.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează derivata funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} + 1}$ , și scrie: „derivez numărătorul și derivez numitorul, deci $f^{'} (x) = \frac{2 x}{4 x} = \frac{1}{2}$ ". Găsiți greșeala și calculați corect $f^{'} (1)$ .

Rezolvare. Greșeala nu este de calcul — cele două derivate sunt corecte —, ci de alegere a regulii: licența de a lucra pe bucăți o are numai suma. Un raport se derivează cu regula câtului, cu $u (x) = x^{2} + 5$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , și $v (x) = 2 x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 4 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{2 x ( 2 x ^{2} + 1 ) - ( x ^{2} + 5 ) \cdot 4 x}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 18 x}{( 2 x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Cu $x = 1$ avem $f^{'} (1) = - \frac{18}{9} = - 2$ .

Două controale demască greșeala în cinci secunde, fără să refaci nimic. Cel al gradului: derivata unui raport are la numitor pătratul numitorului inițial, iar răspunsul elevului n-are numitor deloc. Cel al semnului: $f (1) = 2$ , iar $f (1, 001) \approx 1, 998$ , deci funcția scade în jurul lui $1$ — o derivată pozitivă, cum a obținut elevul, e imposibilă acolo. Ține minte tiparul: când răspunsul iese o constantă la o funcție care nu e dreaptă, ai aplicat altă regulă decât trebuia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $x \in R$ . b) Arătați că $f^{'} (x) \leq 1$ , pentru orice număr real $x$ . c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f^{'} (x) = 0$ .

Rezolvare.

a) Ultima operație este împărțirea. Cu $u (x) = x$ , $u^{'} (x) = 1$ , și $v (x) = x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 2 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 1 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

b) Numitorul este strict pozitiv, deci inegalitatea $f^{'} (x) \leq 1$ este echivalentă cu $1 - x^{2} \leq (x^{2} + 1)^{2}$ . Desfăcând pătratul, aceasta devine $1 - x^{2} \leq x^{4} + 2 x^{2} + 1$ , adică $x^{4} + 3 x^{2} \geq 0$ — adevărat pentru orice număr real, fiindcă ambii termeni sunt pătrate înmulțite cu numere pozitive.

c) O fracție este nulă când numărătorul se anulează, iar numitorul nu: $1 - x^{2} = 0$ dă $x \in {- 1, 1}$ . Numitorul nu se anulează niciodată, deci amândouă valorile convin.

De la examen la lecție. Forma celor trei cerințe este cea din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică o formulă a derivatei, iar celelalte două subpuncte se sprijină pe ea — în modelul publicat, o limită și o inegalitate. Punctul a) se rezolvă numai cu regulile de derivare — din definiție ar dura de cinci ori mai mult —, iar la b) mutarea totului într-o singură inegalitate polinomială este pasul hotărâtor.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi ce operație se face ultima; abia apoi pornește calculul.

1. Pentru $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 7$ , precizează regula cu care începi și calculează derivata.

2. Precizează ultima operație din $f (x) = (x - 4) x$ , $x > 0$ , și derivează.

3. Calculează derivata funcției $f (x) = \frac{3}{x} + 5 x$ , $x \neq = 0$ .

4. Derivează $f (x) = e^{2 x + 1}$ , $x \in R$ .

5. Derivează $f (x) = ln (x^{2} + 4)$ , $x \in R$ .

6. Calculează derivata funcției $f (x) = (x^{2} - 1) e^{x}$ și scrie rezultatul cu $e^{x}$ dat factor comun.

7. Derivează $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 3}$ , $x \neq = 3$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Derivata unui produs de două funcții este produsul derivatelor lor."

9. Derivează $f (x) = 4 x + 5$ și precizează pe ce interval are sens formula obținută.

10. Calculează derivata funcției $f (x) = 2 x^{4} ln x$ , $x > 0$ .

11. (Problemă aplicată.) Cantitatea de produs acumulată într-un bioreactor, în miligrame, la $t$ ore de la pornire, este $N (t) = \frac{800 t}{t + 4}$ . Calculează $N^{'} (t)$ , apoi $N^{'} (0)$ , și precizează unitatea de măsură a rezultatului.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} + x) e^{x}$ . Arată că $f^{'} (x) = (x^{2} + 3 x + 1) e^{x}$ , $x \in R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - 7 ln x$ . Arată că $f^{'} (x) = \frac{x - 7}{x}$ , $x > 0$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R ∖ {- 4} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x - 3}{x + 4}$ . Arată că $f^{'} (x) = \frac{11}{( x + 4 ) ^{2}}$ .

15. Derivează $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ pe două căi — cu regula câtului și cu regula lanțului — și compară rezultatele.

16. Simplifică mai întâi, apoi derivează: $f (x) = \frac{x ^{4} + 3 x ^{3}}{x ^{2}}$ , $x \neq = 0$ . Ce precizare trebuie să însoțească rezultatul?

17. Calculează derivata funcției $f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ , $x \neq = 0$ , și scrie-o cu $e^{x}$ dat factor comun la numărător.

18. (Provocare.) Arată că funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{ln x}{x}$ , are derivata $f^{'} (x) = \frac{2 - ln x}{2 x x}$ , apoi spune pentru ce valoare a lui $x$ această derivată se anulează.

Răspunsuri și explicații

1. Sumă și scădere, deci derivare termen cu termen: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x$ .

2. Înmulțire de doi factori cu $x$ , deci regula produsului: $f^{'} (x) = x + \frac{x - 4}{2 x}$ , adică $f^{'} (x) = \frac{3 x - 4}{2 x}$ , pentru $x > 0$ .

3. Sumă; primul termen se derivează cu formula lui $\frac{1}{x}$ , al doilea e liniar: $f^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{2}} + 5$ .

4. Exponent diferit de $x$ , deci regula lanțului: $f^{'} (x) = 2 e^{2 x + 1}$ .

5. Logaritm dintr-o expresie, deci lanț; derivata interiorului este $2 x$ : $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 4}$ . Interiorul e mereu pozitiv, deci formula are sens pe tot $R$ .

6. Regula produsului dă $2 x e^{x} + (x^{2} - 1) e^{x}$ , iar cu $e^{x}$ factor comun, $f^{'} (x) = (x^{2} + 2 x - 1) e^{x}$ .

7. Regula câtului: $\frac{2 x ( x - 3 ) - x ^{2}}{( x - 3 ) ^{2}}$ , adică $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 6 x}{( x - 3 ) ^{2}}$ , pentru $x \neq = 3$ .

8. Fals. Contraexemplu: pentru $f (x) = x \cdot x$ derivata este $(x \cdot x)^{'} = 2 x$ , în timp ce produsul derivatelor factorilor ar da $1 \cdot 1 = 1$ . Regula corectă adună două produse, nu înmulțește două derivate.

9. Funcție compusă: $f^{'} (x) = \frac{4}{2 4 x + 5} = \frac{2}{4 x + 5}$ . Radicalul are sens pentru $x \geq - \frac{5}{4}$ , dar derivata cere numitor nenul, deci formula e valabilă pe $(- \frac{5}{4}, + \infty)$ .

10. Regula produsului: $8 x^{3} ln x + 2 x^{4} \cdot \frac{1}{x}$ , adică $f^{'} (x) = 8 x^{3} ln x + 2 x^{3}$ , pentru $x > 0$ .

11. Regula câtului: $N^{'} (t) = \frac{800 ( t + 4 ) - 800 t}{( t + 4 ) ^{2}} = \frac{3200}{( t + 4 ) ^{2}}$ . La momentul inițial, $N^{'} (0) = 200$ , adică un ritm de acumulare de $200$ de miligrame pe oră. Derivata este mereu pozitivă, deci cantitatea crește tot timpul, dar din ce în ce mai încet: la saturație ea se apropie de $800$ de miligrame, fără să le atingă.

12. Regula produsului: $(2 x + 1) e^{x} + (x^{2} + x) e^{x}$ ; cu $e^{x}$ factor comun rezultă $f^{'} (x) = (x^{2} + 3 x + 1) e^{x}$ , pentru orice număr real $x$ .

13. Derivare termen cu termen: $1 - \frac{7}{x}$ ; adus la același numitor, $f^{'} (x) = \frac{x - 7}{x}$ .

14. Regula câtului: $\frac{2 \cdot ( x + 4 ) - ( 2 x - 3 ) \cdot 1}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{11}{( x + 4 ) ^{2}}$ , deci $f^{'} (x) = \frac{11}{( x + 4 ) ^{2}}$ . Derivata e pozitivă peste tot: funcția crește pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului.

15. Cu regula câtului: $\frac{0 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - 1 \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ . Cu regula lanțului, derivând învelișul $\frac{1}{u}$ și înmulțind cu $u^{'} = 2 x$ , se obține același lucru. În ambele cazuri $f^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .

16. Simplificarea dă $x^{2} + 3 x$ , deci $f^{'} (x) = 2 x + 3$ . Precizarea obligatorie: rezultatul e valabil pentru $x \neq = 0$ , fiindcă funcția inițială nu este definită în $0$ .

17. Regula câtului: $\frac{e ^{x} \cdot x - e ^{x} \cdot 1}{x ^{2}}$ , adică $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) e ^{x}}{x ^{2}}$ , pentru $x \neq = 0$ .

18. Regula câtului cu $u (x) = ln x$ și $v (x) = x$ dă la numărător $\frac{1}{x} \cdot x - ln x \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{2 - ln x}{2 x}$ , iar împărțirea la $v^{2} = x$ conduce la $f^{'} (x) = \frac{2 - ln x}{2 x x}$ . Derivata se anulează când $ln x = 2$ , adică pentru $x = e^{2}$ .

De reținut

Regula cu care începi derivarea este regula ultimei operații din expresie — aceea care s-ar face la urmă dacă ai înlocui litera cu un număr; bucățile se derivează după aceea, fiecare cu regula ei.
Doar suma și scăderea se derivează „pe bucăți"; la produs, la cât și la funcția compusă, expresia se ia ca întreg, cu formula corespunzătoare.
O funcție este compusă atunci când sub radical, în exponent sau în paranteza logaritmului stă o expresie, nu simplu $x$ ; atunci derivata învelișului se înmulțește obligatoriu cu derivata conținutului.
Înainte de a deriva, verifică dacă expresia se simplifică — împărțire termen cu termen, desfacerea unei paranteze scurte, aducerea la un singur raport — dar precizează domeniul, pentru că simplificarea nu are voie să-l lărgească.
Orice derivată obținută se controlează în treizeci de secunde: gradul rezultatului, o valoare numerică într-un punct comod și semnul, comparat cu felul în care funcția crește sau scade acolo.

Greșeli frecvente

Derivezi produsul „pe bucăți". Pentru $f (x) = (x + 2) e^{x}$ răspunsul nu este $1 \cdot e^{x}$ , ci $e^{x} + (x + 2) e^{x}$ . Regula produsului adună două produse; licența de a lucra termen cu termen o are numai suma.
Confunzi produsul cu funcția compusă. La $e^{x^{2}}$ pătratul stă în exponent, deci derivata este $2 x e^{x^{2}}$ , nu $e^{x^{2}} + 2 x e^{x}$ . Testul degetului — acoperă ce e în exponent și vezi dacă rămâne mai mult decât $x$ — decide în două secunde.
Uiți derivata interiorului la funcțiile compuse. $(ln (3 x + 1))^{'}$ este $\frac{3}{3 x + 1}$ , nu $\frac{1}{3 x + 1}$ . Este greșeala care trece cel mai ușor neobservată, pentru că rezultatul „arată bine".
Inversezi termenii la regula câtului. La numărător se scade din derivata numărătorului înmulțită cu numitorul, în ordinea aceasta. Schimbarea ordinii dă derivata cu semn opus, deci un studiu de variație complet pe dos.
Simplifici fără să spui pe ce domeniu. După ce reduci $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ la $x + 1$ , derivata $1$ este valabilă doar pentru $x \neq = 1$ ; funcția inițială nu era definită acolo, iar precizarea se scrie.

Aplică acasă

Harta expresiilor. Alege din culegere zece funcții de la Subiectul al III-lea și, fără să derivezi nimic, scrie în dreptul fiecăreia doar ultima operație și regula de pornire. Verifică-ți lista cu un coleg: acolo unde nu v-ați potrivit, unul dintre voi a citit greșit structura, iar discuția de cinci minute valorează cât o oră de calcule.
Aceeași derivată, două drumuri. Ia funcția $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ și derivează-o de două ori: o dată cu regula produsului, o dată după ce desfaci paranteza. Repetă cu $\frac{x ^{2} + x}{x}$ — o dată cu regula câtului, o dată după simplificare. Notează care drum a fost mai scurt și de ce.
Proba pe telefon. Ia trei derivate calculate azi și verifică-le numeric: alege un număr din domeniu, calculează valoarea formulei tale acolo, apoi raportul dintre diferența valorilor funcției la $0, 001$ în stânga și în dreapta și numărul $0, 002$ . Dacă primele două zecimale nu coincid, greșeala e în formulă, nu în calculator.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul „Derivabilitate" — „operații cu funcții derivabile și reguli de derivare". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al III-lea: în modelul oficial al probei, prima problemă începe cu o cerință de forma „Arătați că $f^{'} (x) = \dots$ ". Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția nu predă reguli noi — le are pe toate din lecțiile precedente — ci antrenează decizia. Diferența dintre un elev care rezolvă corect la Subiectul al III-lea și unul care se împotmolește nu stă în necunoașterea formulelor: stă în citirea structurii expresiei. De aceea exercițiile cer explicit, înainte de orice calcul, numirea ultimei operații; obișnuința aceasta se formează în două săptămâni și ține tot anul.

Patru întrebări de control, de pus oral, fără creion în mână: „Care e ultima operație în $\frac{2 x + 1}{x}$ ?"; „Ce deosebește $e^{x} \cdot x^{2}$ de $e^{x^{2}}$ ?"; „Când merită să simplifici înainte de a deriva și ce trebuie spus după aceea?"; „Cum verifici, fără să reiei calculul, că derivata nu e greșită?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea numind regula, nu scriind formule; la funcțiile compuse întreabă singur „care e interiorul?"; și precizează domeniul după fiecare simplificare. Odată derivata calculată corect, urmează folosirea ei — mai întâi pentru ecuația tangentei la graficul unei funcții, apoi pentru regula lui l'Hôspital, care transformă derivata într-un instrument de calcul al limitelor.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama ce regulă de derivare să aplic prima? Te uiți la ultima operație din expresie, adică la aceea pe care ai face-o la urmă dacă ai înlocui litera cu un număr. Dacă e adunare sau scădere, derivezi termen cu termen; dacă e înmulțire, folosești regula produsului; dacă e împărțire, regula câtului; dacă e un radical, un exponent sau un logaritm aplicat unei expresii, regula lanțului.

Ce diferă la derivate între mate-info (M1) și M2? Regulile de calcul sunt aceleași, dar lista funcțiilor este mai scurtă la științe ale naturii, iar accentul cade pe aplicare, nu pe teorie: la M2 nu se cer derivate laterale, puncte unghiulare sau teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange. Lecția aceasta nu are pereche la mate-info (M1): acolo alegerea regulii nu primește o lecție proprie, ci se antrenează în recapitulările de la finalul capitolului.

La ce subiect apare derivarea la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, care cuprinde două probleme de analiză matematică, fiecare cu trei cerințe de câte cinci puncte. În modelul oficial al probei M_șt-nat, prima cerință a primei probleme este chiar verificarea unei formule de derivată, iar celelalte două se sprijină pe ea.

Cum deosebesc un produs de o funcție compusă? Acoperă cu degetul ce stă sub radical, în exponent sau în paranteza logaritmului. Dacă sub deget rămâne doar $x$ , funcția este uzuală și înmulțirea din expresie e un produs obișnuit. Dacă sub deget e o expresie întreagă, funcția e compusă, iar derivata învelișului se înmulțește cu derivata conținutului.

Trebuie să simplific expresia înainte de a deriva? Nu e obligatoriu, dar de multe ori scurtează calculul la jumătate și scade riscul de greșeală, mai ales când numitorul e un singur monom sau când parantezele se desfac ușor. Singura grijă: simplificarea nu schimbă domeniul funcției, așa că valorile excluse la început rămân excluse și în rezultat.

Cum verific rapid dacă am derivat corect? Compară valoarea formulei tale într-un punct comod cu raportul dintre diferența valorilor funcției pe un interval foarte scurt în jurul punctului și lungimea intervalului; primele zecimale trebuie să coincidă. Adaugă două controale de structură: derivata unui polinom are gradul mai mic cu unu, iar derivata unui raport are la numitor pătratul numitorului inițial.

De ce trebuie să precizez domeniul după ce derivez? Pentru că derivata există numai acolo unde funcția este definită și derivabilă, iar formula obținută poate avea sens și în afara acestui domeniu. La $3 x + 7$ , de pildă, funcția e definită pentru $x \geq - \frac{7}{3}$ , dar derivata are numitor nul în capăt, deci formula e valabilă numai pe interiorul intervalului.