Pentru funcția $$f:\left(-\dfrac13,+\infty\right)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{2}\ln(3x+1)$$, ordinea corectă a regulilor de derivare este:

întâi regula produsului, apoi regula lanțului

întâi regula lanțului, apoi regula produsului

Se consideră $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=e^{x}\cdot x^{4}$$, și $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$g(x)=e^{x^{4}}$$. Atunci:

$$f'(x)=e^{x}\left(x^{4}+4x^{3}\right)$$ și $$g'(x)=4x^{3}e^{x^{4}}$$

$$f'(x)=4x^{3}e^{x}$$ și $$g'(x)=e^{x^{4}}$$

$$f'(x)=e^{x}\left(x^{4}+4x^{3}\right)$$ și $$g'(x)=e^{x^{4}}$$

$$f'(x)=4x^{3}e^{x}$$ și $$g'(x)=4x^{3}e^{x^{4}}$$

Derivata funcției $$f:\mathbb{R}^{*}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{x^{5}+10x^{3}}{x^{2}}$$, este:

$$f'(x)=3x^{2}+10$$, pentru $$x\ne0$$

$$f'(x)=3x^{2}+10$$, pentru orice $$x$$ real

$$f'(x)=5x^{4}+30x^{2}$$, pentru $$x\ne0$$

$$f'(x)=3x^{2}$$, pentru $$x\ne0$$

Cum derivez (x²+1)e^(-x) pas cu pas?

Ultima operație este produsul: (x²+1)'e^(-x)+(x²+1)(e^(-x))'. Al doilea factor cere regula lanțului: (e^(-x))'=-e^(-x). Rezultatul este e^(-x)(2x-x²-1)=-e^(-x)(x-1)², care nu este niciodată pozitiv. Factorul comun e^(-x) se scoate înainte de simplificare, ca semnul să se citească ușor.

Ce este ultima operație dintr-o expresie?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XI-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ce regulă aplici

Este operația pe care ai face-o ultima dacă ai calcula expresia pentru un număr dat. Ea decide regula de derivare cu care începi: sumă, produs, cât sau funcție aplicată unei expresii, adică regula lanțului. De exemplu, în $x sin x$ ultima operație este înmulțirea, deci pornești cu regula produsului: $sin x + x cos x$ . În $sin (x^{2})$ ultima operație este sinusul, aplicat lui $x^{2}$ , deci folosești regula lanțului: $2 x cos (x^{2})$ .

Lecția nu aduce nicio formulă nouă: antrenează decizia din primele zece secunde — cu ce regulă începi.

Ultima operație e cea pe care ai face-o la sfârșit dacă ai pune un număr în locul literei, iar de la regula ei pornești. Abia apoi vine rândul bucăților, fiecare cu regula potrivită. Derivarea parcurge ordinea operațiilor de la coadă spre cap: suma se desface prima, iar un radical sau un logaritm aflat adânc în expresie se derivează la sfârșit. Patru expresii cu aceleași ingrediente — $x^{3} - 5 x + x$ , $(2 x + 1) x$ , $\frac{2 x + 1}{x}$ , $2 x + 1$ — cer patru reguli diferite: structura decide, nu ingredientele.

Confuzia cea mai costisitoare este între produs și compunere. La $e^{x} \cdot x^{2}$ ai doi factori alăturați; la $e^{x^{2}}$ pătratul e urcat la exponent, deci exponențiala lucrează pe valoarea lui $x^{2}$ . Testul degetului decide în două secunde: acoperă ce se află sub radical, la exponent sau în paranteza logaritmului și vezi dacă a rămas mai mult decât $x$ .

Înainte de prima derivată merită o privire pe expresie: împărțirea termen cu termen, desfacerea unei paranteze scurte sau strângerea la un singur raport scurtează calculul la jumătate. Simplificarea nu are însă voie să lărgească domeniul — ce a fost exclus la început rămâne exclus și la final. Controlul final are trei trepte, de la ieftin la scump: gradul rezultatului, semnul și o probă numerică.

De reținut

ultima operație din expresie dă prima regulă de derivare
sumă: termen cu termen; produs: $f^{'} g + f g^{'}$ ; cât: $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
funcție aplicată unei expresii: regula lanțului

Greșeala tipică

Se tratează $e^{x^{2}}$ ca produs și se scrie $2 x \cdot e^{x}$ ; ultima operație este exponențiala aplicată lui $x^{2}$ , deci derivata este $2 x e^{x^{2}}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru funcția $f : (- \frac{1}{3}, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} ln (3 x + 1)$ , ordinea corectă a regulilor de derivare este:
- a) întâi regula lanțului, apoi regula produsului
- b) numai regula lanțului
- c) întâi regula produsului, apoi regula lanțului
- d) derivare termen cu termen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) întâi regula produsului, apoi regula lanțului

Dacă ai înlocui litera cu un număr, ultima operație ar fi înmulțirea dintre $x^{2}$ și logaritm, deci se pornește cu regula produsului. Abia la derivata factorului $ln (3 x + 1)$ apare o compunere, fiindcă în paranteza logaritmului stă o expresie întreagă. Varianta d) ar fi potrivită unei sume, nu unui produs.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} \cdot x^{4}$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = e^{x^{4}}$ . Atunci:
- a) $f^{'} (x) = 4 x^{3} e^{x}$ și $g^{'} (x) = e^{x^{4}}$
- b) $f^{'} (x) = e^{x} (x^{4} + 4 x^{3})$ și $g^{'} (x) = 4 x^{3} e^{x^{4}}$
- c) $f^{'} (x) = e^{x} (x^{4} + 4 x^{3})$ și $g^{'} (x) = e^{x^{4}}$
- d) $f^{'} (x) = 4 x^{3} e^{x}$ și $g^{'} (x) = 4 x^{3} e^{x^{4}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f^{'} (x) = e^{x} (x^{4} + 4 x^{3})$ și $g^{'} (x) = 4 x^{3} e^{x^{4}}$

La $f$ sunt doi factori alăturați, deci regula produsului: $f^{'} (x) = e^{x} x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3} = e^{x} (x^{4} + 4 x^{3})$ . La $g$ , puterea stă în exponent, deci funcția este compusă și regula lanțului adaugă factorul $4 x^{3}$ . Variantele a) și d) derivează produsul pe bucăți, iar a) și c) uită factorul din interior la funcția compusă.
Derivata funcției $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{5} + 10 x ^{3}}{x ^{2}}$ , este:
- a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10$ , pentru orice $x$ real
- b) $f^{'} (x) = 5 x^{4} + 30 x^{2}$ , pentru $x \neq = 0$
- c) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10$ , pentru $x \neq = 0$
- d) $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , pentru $x \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10$ , pentru $x \neq = 0$

Împărțind termen cu termen, $f (x) = x^{3} + 10 x$ , deci $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 10$ — regula câtului ar fi o risipă de timp. Simplificarea nu are însă voie să lărgească domeniul: funcția inițială nu este definită în $0$ , deci nici derivata ei, iar precizarea $x \neq = 0$ face parte din răspuns. Varianta b) derivează numai numărătorul, iar d) pierde termenul $10 x$ .

Întrebări conexe

Cum derivez o sumă în care un termen e o funcție compusă?

Derivezi termen cu termen, iar la termenul compus aplici regula lanțului. De exemplu, $(x^{3} + 2 x + 1)^{'} = 3 x^{2} + \frac{2}{2 2 x + 1} = 3 x^{2} + \frac{1}{2 x + 1}$ . Suma se desface prima, iar fiecare bucată își păstrează regula ei.

Care este ultima operație într-un radical dintr-o fracție?

În $\frac{x + 1}{x - 1}$ ultima operație este radicalul, deci începi cu regula lanțului: $\frac{u ^{'}}{2 u}$ , cu $u = \frac{x + 1}{x - 1}$ . Abia apoi derivezi fracția cu regula câtului: $u^{'} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Ordinea este inversă ordinii în care ai calcula expresia pentru un număr.

Cum derivez $(x^{2} + 1) e^{- x}$ pas cu pas?

Ultima operație este produsul: $(x^{2} + 1)^{'} e^{- x} + (x^{2} + 1) (e^{- x})^{'}$ . Al doilea factor cere regula lanțului: $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ . Rezultatul este $e^{- x} (2 x - x^{2} - 1) = - e^{- x} (x - 1)^{2}$ , care nu este niciodată pozitiv. Factorul comun $e^{- x}$ se scoate înainte de simplificare, ca semnul să se citească ușor.

Ce parte a unei funcții cu mai multe straturi se derivează ultima?

Stratul cel mai din interior. Pentru $ln x^{2} + 1$ poți simplifica întâi: $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 1)$ . Derivata este $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ; expresia $x^{2} + 1$ , aflată în interior, s-a derivat la sfârșit. Simplificarea logaritmului a eliminat un strat și a scurtat calculul.

Cum derivez logaritmul unui produs?

Transformi întâi produsul în sumă: $ln (x (x + 2)) = ln x + ln (x + 2)$ , pentru $x > 0$ . Derivata este $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}$ . Pe aceeași cale, cu regula lanțului, ar fi ieșit $\frac{2 x + 2}{x ( x + 2 )}$ , adică același lucru, după aducerea la același numitor. Transformarea cere ca ambii factori să fie pozitivi.

Oamenii mai întreabă și: ultima operație dintr-o expresie · ce regulă de derivare aplic prima · cum aleg regula de derivare · cum știu cu ce regulă încep derivarea