Diagrame arborescente pentru experimente (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La laboratorul de fizică, un elev trage la sorți unul dintre trei diapazoane, apoi felul în care îl lovește. Înainte de primul sunet, profesoara îi cere să scrie tot ce se poate întâmpla, iar elevul desenează trei ramuri pentru diapazoane și, din capătul fiecăreia, câte două pentru lovituri. Desenul este o diagramă arborescentă, iar lecția de față, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), arată cum se citesc din ea rezultatele și evenimentele unui experiment aleator în etape. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, pentru care arborele este unul dintre instrumentele de numărare.

Arborele de numărare îl cunoști din lecția despre diagrame arborescente și numărarea posibilităților. Acum fiecare frunză devine un rezultat, iar grupurile de frunze devin evenimente, ca în lecția despre evenimente disjuncte și diagrame Venn.

Ce vei învăța

Vei ști să desenezi diagrama arborescentă a unui experiment cu mai multe etape și să iei mulțimea $Ω$ din frunzele ei.
Vei ști să marchezi pe arbore frunzele unui eveniment și să recunoști evenimentele care depind doar de prima etapă.
Vei ști ce se schimbă pe arbore când a doua etapă depinde de rezultatul primei.
Vei ști să decizi dacă frunzele sunt egal posibile și de ce contează asta pentru numărarea cazurilor.
Vei ști să scrii pe ramurile unui arbore pe categorii numărul de obiecte și să obții, prin produse, numărul rezultatelor.
Vei ști când un tabel ajunge și când ai nevoie de arbore.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este diagrama arborescentă a unui experiment aleator?

Diagrama arborescentă a unui experiment aleator este arborele în care fiecare nivel corespunde unei etape a experimentului, fiecare ramură unui rezultat posibil al etapei, iar fiecare drum care pornește din rădăcină și ajunge la o frunză descrie un rezultat al întregului experiment. Mulțimea $Ω$ este deci mulțimea frunzelor (a drumurilor complete).

La diapazoane, prima etapă este frecvența diapazonului ales, $256$ Hz, $440$ Hz sau $512$ Hz, iar a doua este lovitura, slabă sau puternică:

Diapazoanele: 3 frecvențe × 2 lovituri = 6 frunze. Subarborele de 512 Hz este evenimentul „sunetul cel mai înalt”.

Arborele are $3 \cdot 2 = 6$ frunze, deci $card (Ω) = 6$ . Rezultatul ( $440$ Hz; puternic) este drumul care trece prin nodul „ $440$ Hz” și se termină în frunza „puternic”. Nodul „ $440$ Hz” singur nu este un rezultat: lovitura nu a fost încă aleasă.

2. Cum se citește un eveniment pe arbore?

Pe arbore, un eveniment este o mulțime de frunze marcate. Contează ce etapă privește.

Un eveniment care depinde doar de prima etapă cuprinde subarbori întregi. Înălțimea sunetului depinde de frecvență, nu de cât de tare e lovit diapazonul. „Sunetul este cel mai înalt dintre cele trei” cuprinde tot subarborele diapazonului de $512$ Hz, adică $2$ frunze.
Un eveniment care depinde doar de a doua etapă are aici câte o frunză în fiecare subarbore: „lovitura este puternică” are $3$ frunze.
Un eveniment care fixează ambele etape este un singur drum, deci un eveniment elementar: „diapazonul are $256$ Hz și lovitura este slabă”.

O condiție la prima etapă și una la a doua formează o conjuncție, ca în lecția despre propozițiile legate prin „și”: pe arbore, drumurile care trec prin ramura cerută și se termină în frunza cerută.

3. Ce se schimbă când a doua etapă depinde de prima?

O cutie are patru lame de microscop, $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , $L_{4}$ , iar pentru două ore de laborator profesorul trage la sorți câte o lamă. Dacă lama se pune înapoi după prima oră, arborele are $4 \cdot 4 = 16$ frunze; dacă rămâne pe masă, a doua tragere are doar trei variante și arborele are $4 \cdot 3 = 12$ frunze.

Fără revenire, ramurile nivelului al doilea au etichete diferite de la un nod la altul: sub $L_{2}$ stau $L_{1}$ , $L_{3}$ , $L_{4}$ , iar sub $L_{4}$ stau $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ . A doua etapă depinde de prima, iar arborele înregistrează dependența prin ce scrie pe ramuri. Un tabel $4 \times 4$ ar avea căsuțele de pe diagonală tăiate.

Dependența poate schimba și numărul ramurilor: dintr-un nod pot pleca mai multe ramuri decât din altul, sau niciuna. Arborele rămâne corect, dar nu mai este uniform.

4. Sunt toate frunzele egal posibile?

Pentru probabilități contează și dacă rezultatele au aceeași șansă. Regula de lucru: dacă la fiecare etapă alegerea se face la întâmplare între variante egal posibile și din toate nodurile aceluiași nivel pleacă același număr de ramuri, atunci toate frunzele sunt egal posibile. La diapazoane și la lame condiția e îndeplinită, chiar și fără revenire. Regula privește arborii care urmăresc alegerile făcute pe rând; când se alege direct un element dintr-o mulțime, iar arborele doar numără elementele ei, frunzele sunt egal posibile oricum ar arăta arborele.

Iată un arbore la care nu e îndeplinită. Dintre trei conductoare, unul este întrerupt ( $I$ ), iar două sunt bune ( $B_{1}$ , $B_{2}$ ). Un elev le verifică într-o ordine aleasă la întâmplare și se oprește când găsește conductorul întrerupt. Frunzele stau pe niveluri diferite: $I$ , $B_{1} I$ , $B_{2} I$ , $B_{1} B_{2} I$ , $B_{2} B_{1} I$ .

Cele cinci frunze nu sunt egal posibile, iar motivul se vede dacă arborele se completează: verificarea continuată până la capăt dă cele $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ ordini ale conductoarelor, egal posibile. Frunza $I$ corespunde la două ordini complete, $I B_{1} B_{2}$ și $I B_{2} B_{1}$ , iar fiecare dintre celelalte, la una singură. Numărul verificărilor, $1$ , $2$ sau $3$ , corespunde de fiecare dată la două ordini complete: cele trei valori sunt la fel de probabile, deși au $1$ , $2$ și $2$ frunze.

5. Ce arată un arbore desenat pe categorii?

O cutie are $8$ probe de rocă: $3$ de bazalt, $3$ de granit și $2$ de calcar. Se scot pe rând, fără revenire, două probe, deci $card (Ω) = 8 \cdot 7 = 56$ de perechi ordonate. În locul arborelui cu $56$ de frunze desenăm arborele pe categorii, cu numărul de probe scris pe fiecare ramură:

Arbore pe categorii: pe ramuri, numărul de probe disponibile; cele 9 frunze sunt perechi de categorii (BG = bazalt, apoi granit), nu rezultate.

Produsul de pe un drum este numărul rezultatelor cuprinse în frunza lui: „bazalt, apoi calcar” are $3 \cdot 2 = 6$ perechi, „calcar, apoi calcar” doar $2 \cdot 1 = 2$ . Suma celor nouă produse este

$6 + 9 + 6 + 9 + 6 + 6 + 6 + 6 + 2 = 56 = card (Ω) .$

Frunzele arborelui pe categorii sunt deci evenimente, nu rezultate. „Ambele probe sunt din aceeași rocă” adună trei drumuri: $6 + 6 + 2 = 14$ rezultate; „cel puțin o probă este de calcar” adună cinci: $6 + 6 + 6 + 6 + 2 = 26$ .

6. Când e mai bun arborele decât tabelul?

Tabelul cu două intrări, din lecția despre experimentul aleator și evenimentele lui, e cel mai clar la două etape independente. Arborele devine necesar la trei sau mai multe etape, la variante care depind de etapele anterioare și la experimente care se pot opri mai devreme.

Arborele are și un control încorporat: subarborii primului nivel nu au frunze comune și le cuprind pe toate, deci evenimentele „prima etapă a dat $x$ ” formează o partiție a lui $Ω$ , iar frunzele lor adunate dau $card (Ω)$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Materiale și teste

Un elev alege la întâmplare un material dintre cupru, fier, aluminiu, lemn și sticlă, apoi un test: conduce curentul electric sau este atras de magnet. a) Desenați arborele și aflați $card (Ω)$ . b) Scrieți evenimentele $T$ = „testul este pozitiv”, $M$ = „materialul este un metal”, $G$ = „testul cu magnetul este pozitiv”, $L$ = „materialul este lemnul și testul este pozitiv”.

Rezolvare. a) $card (Ω) = 5 \cdot 2 = 10$ .

Cinci materiale × două teste = 10 frunze; fiecare frunză este o pereche (material, test).

b) Cuprul, fierul și aluminiul conduc curentul; doar fierul este atras de magnet.

$T = {(Cu, curent), (Fe, curent), (Al, curent), (Fe, magnet)}$ : $4$ frunze.
$M$ depinde doar de prima etapă: trei subarbori, $3 \cdot 2 = 6$ frunze.
$G = {(Fe, magnet)}$ : elementar.
$L = \emptyset$ : în subarborele lemnului nu e marcată nicio frunză; imposibil.

Exemplul 2 — Rotația culturilor

Pe o parcelă se cultivă, trei ani la rând, grâu ( $G$ ), porumb ( $P$ ) sau leguminoase ( $L$ ), fără aceeași cultură în doi ani consecutivi. Un program alege la întâmplare un plan permis. a) Câte planuri există? b) Câte frunze au evenimentele $A$ = „în primul și în al treilea an e aceeași cultură”, $B$ = „leguminoasele sunt în anul al doilea”, $C$ = „leguminoasele apar cel puțin o dată”?

Rezolvare. a) Primul an are $3$ ramuri, apoi din fiecare nod pleacă $2$ (orice cultură în afară de cea de anul trecut): $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ frunze.

b) $A$ : al treilea an e fixat, egal cu primul: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ frunze.

$B$ : în subarborele $L$ nu există nicio frunză a lui $B$ ; în subarborii $G$ și $P$ , ramura $L$ din anul al doilea are sub ea câte $2$ frunze. Deci $B$ are $2 + 2 + 0 = 4$ frunze.

$C$ : fără leguminoase, culturile alternează între $G$ și $P$ : $GP G$ și $P GP$ . Deci $C$ are $12 - 2 = 10$ frunze.

Evenimentul $B$ privește doar al doilea an, dar nu are frunze în fiecare subarbore, fiindcă a doua etapă depinde de prima.

Exemplul 3 — Electrozii unei pile

Pentru o pilă galvanică, un elev ia pe rând, fără revenire, doi electrozi dintr-o cutie cu $3$ electrozi de cupru, $2$ de zinc și $1$ de fier; primul merge în stânga, al doilea în dreapta. Pila dă tensiune doar dacă electrozii sunt din metale diferite. a) Aflați $card (Ω)$ cu arborele pe categorii. b) Câte rezultate are evenimentul „pila dă tensiune”?

Rezolvare. a) Pe primul nivel scriem $3$ , $2$ , $1$ , iar pe al doilea câți electrozi din fiecare metal au rămas; sub „fier” nu mai pleacă ramura „fier”. Produsele pe drumuri sunt:

drumul	Cu, Cu	Cu, Zn	Cu, Fe	Zn, Cu	Zn, Zn	Zn, Fe	Fe, Cu	Fe, Zn
produsul	$3 \cdot 2 = 6$	$3 \cdot 2 = 6$	$3 \cdot 1 = 3$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 1 = 2$	$2 \cdot 1 = 2$	$1 \cdot 3 = 3$	$1 \cdot 2 = 2$

Suma este $30 = 6 \cdot 5$ : $card (Ω) = 30$ .

b) Pila nu dă tensiune pe drumurile „Cu, Cu” și „Zn, Zn”, cu $6 + 2 = 8$ rezultate, deci evenimentul are $30 - 8 = 22$ de rezultate.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: frunze care nu cântăresc la fel

Un centru de recuperare are două țarcuri: în primul sunt $4$ arici, în al doilea $2$ . Medicul veterinar trage la sorți, cu șanse egale, un țarc, apoi alege la întâmplare un arici din el. Un elev scrie: „Arborele are $6$ frunze, iar ariciul e din al doilea țarc în $2$ dintre ele, deci raportul favorabile/posibile este $\frac{2}{6}$ .” Găsiți greșeala.

Rezolvare. Arborele are într-adevăr $6$ frunze, dar ele nu sunt egal posibile: din cele două noduri pleacă $4$ , respectiv $2$ ramuri. Al doilea țarc e tras în aproximativ jumătate dintre repetări, deci evenimentul „ariciul e din al doilea țarc” se produce în aproximativ jumătate dintre ele, nu într-o treime; fiecare arici de acolo e ales mai des decât unul din primul țarc.

Raportul $\frac{2}{6}$ ar fi corect dacă cei $6$ arici ar fi aduși împreună și medicul ar alege direct unul: arbore cu un singur nivel și $6$ frunze egal posibile.

Exemplul 5 — Arbore sau tabel: nivelul apei din bazin

Un fermier încadrează în fiecare seară nivelul apei din bazinul de irigații al fermei în categoriile scăzut ( $S$ ), normal ( $N$ ) sau ridicat ( $R$ ). a) Pentru două zile consecutive, scrieți $Ω$ cu un tabel și cu un arbore și numărați rezultatele evenimentului „nivelul nu scade de la o zi la alta”. b) Aceeași cerință pentru trei zile.

Rezolvare. a) Tabelul are $3 \cdot 3 = 9$ căsuțe, iar arborele $9$ frunze. În ordinea $S$ , $N$ , $R$ , nivelul nu scade în $S S$ , $S N$ , $S R$ , $N N$ , $N R$ , $R R$ : $6$ rezultate, adică diagonala tabelului și căsuțele de deasupra ei.

b) Tabelul cu două intrări nu mai ajunge; arborele are $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ de frunze. Numărăm pe subarbori, după prima zi:

prima zi $S$ : ultimele două zile formează o pereche care nu scade, deci $6$ frunze;
prima zi $N$ : $N N$ , $N R$ , $R R$ , adică $3$ frunze;
prima zi $R$ : doar $R R$ , o frunză.

Evenimentul are $6 + 3 + 1 = 10$ frunze din $27$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M$ a numerelor naturale de patru cifre care au toate cifrele în mulțimea ${0, 1}$ . a) Determinați numărul elementelor mulțimii $M$ . b) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M$ , acesta să fie divizibil cu $4$ .

Rezolvare. a) Cifra miilor nu poate fi $0$ , deci din rădăcină pleacă doar ramura $1$ , apoi câte două ramuri pentru fiecare cifră: $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ frunze:

$M = {1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111} .$

b) Un număr este divizibil cu $4$ exact când ultimele lui două cifre formează un multiplu de $4$ ; dintre $00$ , $01$ , $10$ , $11$ doar $00$ convine. Favorabile sunt $1000$ și $1100$ , iar cele $8$ numere sunt egal posibile, deci probabilitatea este

$\frac{2}{8} = \frac{1}{4} .$

Raportul este probabilitatea din lecția despre definiția clasică a probabilității. Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, cu alt obiect; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Desenează arborele înainte de a număra și verifică la final numărul frunzelor pe subarbori.

1. Un elev fotografiază un copac într-un anotimp ales la întâmplare (primăvară, vară, toamnă, iarnă) și într-un moment ales la întâmplare (dimineața sau seara). a) Află $card (Ω)$ . b) Câte frunze au evenimentele „vara”, „seara” și „iarna, dimineața”? c) Sunt cele trei evenimente disjuncte două câte două?

2. Frunzele unui arbore în două etape sunt $(N, 1)$ , $(N, 2)$ , $(A, 1)$ , $(A, 2)$ , $(A, 3)$ , $(C, 3)$ . a) Câte ramuri pleacă din rădăcină și câte din fiecare nod? b) Scrie evenimentele „a doua etapă dă $3$ ” și „prima etapă dă $A$ ”.

3. Pentru două experimente consecutive se alege la întâmplare câte o temperatură dintre $20$ °C, $30$ °C și $40$ °C, a doua fiind mai mare decât prima. a) Scrie $Ω$ . b) Ce se întâmplă cu ramura $40$ °C a primului nivel? c) Scrie evenimentul „diferența temperaturilor este de $10$ °C”.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La extragerea pe rând, fără revenire, a două obiecte dintr-o colecție, arborele pe categorii are cu atât mai multe frunze cu cât colecția are mai multe obiecte.”

5. Dintr-un plic cu semințe de floarea-soarelui ( $F$ ) și de in ( $I$ ) se scot pe rând două semințe. Pe arborele pe categorii, primul nivel poartă numerele $6$ ( $F$ ) și $4$ ( $I$ ), iar ramura „ $F$ , apoi $F$ ” poartă $5$ . a) S-a pus prima sămânță înapoi? b) Completează celelalte ramuri și află numărul cazurilor posibile. c) Câte rezultate are „ambele semințe sunt de același fel”?

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M = {3, 4, 12, 18}$ . Se aleg pe rând, la întâmplare, două elemente diferite ale lui $M$ , formând perechea ordonată $(a, b)$ . Determinați probabilitatea ca $a$ să fie divizor al lui $b$ .

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea numerelor naturale de două cifre care au ambele cifre în mulțimea ${2, 3, 8}$ . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din această mulțime, acesta să fie număr prim.

8. Un șoarece de laborator este pus de două ori în centrul unui labirint în cruce și alege de fiecare dată unul dintre cele patru brațe, notate N, E, S, V. a) Află $card (Ω)$ . b) Câte rezultate are „a doua oară alege alt braț decât prima oară”? c) Dar „al doilea braț este următorul după primul în sensul acelor de ceasornic” (N spre E, E spre S, S spre V, V spre N)?

9. Sunt egal posibile frunzele arborelui? a) Un program alege la întâmplare una dintre cele $3$ parcele ale unui lot experimental, apoi unul dintre cele $2$ rânduri de plante ale ei. b) Se alege la întâmplare un elev dintr-o grupă cu $6$ fete și $4$ băieți; o fată alege apoi una dintre $2$ activități, un băiat una dintre $3$ ; primul nivel e „fată”/„băiat”. c) Doi elevi își aleg, fiecare în gând și fără să se consulte, un număr de la $1$ la $3$ ; arborele perechilor are $9$ frunze.

10. (Problemă aplicată.) La un experiment de germinare, fiecare ghiveci primește la întâmplare un sol (nisipos, argilos, lutos sau humus) și o temperatură ( $15$ °C, $20$ °C sau $25$ °C). a) Câte frunze are arborele și câte evenimentul „solul este argilos”? b) Se adaugă lumina (naturală sau artificială). Câte frunze are arborele și câte „ $25$ °C și lumină artificială”? c) Sunt disjuncte „solul este argilos” și „temperatura este $25$ °C”?

11. Reia exercițiul 1 desenând întâi momentul zilei, apoi anotimpul. Are noul arbore aceleași rezultate? Cum arată pe el evenimentul „vara”?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea numerelor naturale de două cifre care au cifra zecilor mai mică decât cifra unităților. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din această mulțime, acesta să fie divizibil cu $5$ .

13. Fiecare dintre cele $3$ lămpi de creștere ale unei sere este programată la întâmplare într-una dintre stările: stinsă, lumină albă sau lumină roșie. a) Câte frunze are arborele stărilor celor trei lămpi? b) Câte frunze are evenimentul „exact o lampă este pe lumină roșie”? c) Dar „nicio lampă nu este stinsă”?

14. Un experiment are trei etape independente, cu $3$ , $4$ , respectiv $5$ variante. Câte frunze are arborele? Câte frunze are evenimentul „prima etapă dă prima variantă și a treia etapă dă ultima variantă”? Dar evenimentul „a doua etapă dă a doua variantă”?

15. Un elev alege la întâmplare o planetă telurică (Mercur, Venus, Pământul, Marte), apoi, dacă are sateliți naturali, unul dintre ei; altfel se oprește. a) Scrie frunzele. b) Câte frunze are „a fost ales un satelit”? c) Sunt frunzele egal posibile?

16. Timpul de cădere al unei bile de la aceeași înălțime se măsoară de trei ori, iar cronometrul afișează de fiecare dată $0, 4$ s, $0, 5$ s sau $0, 6$ s. a) Câte frunze are arborele celor trei citiri și câte subarborele în care prima citire este $0, 4$ s? b) Câte frunze are evenimentul „media celor trei citiri este $0, 5$ s”?

17. Un arbore uniform cu trei niveluri are $36$ de frunze, iar din rădăcină pleacă $3$ ramuri. a) Câte frunze are fiecare subarbore al primului nivel? b) Un eveniment care depinde doar de prima etapă are $24$ de frunze. Câte ramuri ale primului nivel cuprinde? c) Dacă din nodurile nivelului al doilea pleacă câte $4$ ramuri, câte pleacă din nodurile primului nivel?

18. (Provocare.) O colecție are $n$ obiecte, împărțite în categorii cu $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ obiecte, unde $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n$ . Se scot pe rând, fără revenire, două obiecte. Arată că suma produselor de pe toate drumurile arborelui pe categorii este $n (n - 1)$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $4 \cdot 2 = 8$ . b) „Vara”: subarborele verii, $2$ frunze; „seara”: câte o frunză în fiecare subarbore, $4$ ; „iarna, dimineața”: $1$ . c) Nu: „vara” și „seara” au frunza (vara, seara) comună. Celelalte două perechi, „vara”–„iarna, dimineața” și „seara”–„iarna, dimineața”, sunt disjuncte, dar ajunge o pereche care se atinge.

2. a) Din rădăcină pleacă $3$ ramuri, $N$ , $A$ , $C$ ; din nodul $N$ pleacă $2$ ramuri, din $A$ pleacă $3$ , din $C$ una. b) „A doua etapă dă $3$ ” $= {(A, 3), (C, 3)}$ ; „prima etapă dă $A$ ” $= {(A, 1), (A, 2), (A, 3)}$ , tot subarborele lui $A$ .

3. a) $Ω = {(20, 30), (20, 40), (30, 40)}$ . b) Din nodul $40$ °C nu pleacă nicio ramură, deci niciun drum complet nu trece prin el: ramura se șterge. c) ${(20, 30), (30, 40)}$ .

4. Fals. Frunzele arborelui pe categorii sunt perechi de categorii, nu perechi de obiecte, deci numărul lor depinde de câte categorii sunt. De exemplu, $20$ de obiecte în două categorii de câte $10$ dau doar $2 \cdot 2 = 4$ frunze, pe când $6$ obiecte în trei categorii de câte $2$ dau $3 \cdot 3 = 9$ frunze. Numărul obiectelor se vede în produsele de pe ramuri, nu în numărul frunzelor.

5. a) Nu: după o sămânță $F$ rămân $6 - 1 = 5$ . b) Sub $F$ : $5$ și $4$ ; sub $I$ : $6$ și $3$ . Produsele $30$ , $24$ , $24$ , $12$ dau $90 = 10 \cdot 9$ cazuri posibile. c) $30 + 12 = 42$ .

6. Perechile ordonate de elemente diferite sunt $4 \cdot 3 = 12$ . Favorabile: $(3, 12)$ , $(3, 18)$ , $(4, 12)$ , adică $3$ ; $4$ nu divide $18$ , iar $12$ nu divide $18$ . Probabilitatea este $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .

7. Mulțimea are $3 \cdot 3 = 9$ numere: $22$ , $23$ , $28$ , $32$ , $33$ , $38$ , $82$ , $83$ , $88$ . Cele pare nu sunt prime, iar $33 = 3 \cdot 11$ . Rămân prime $23$ și $83$ , deci probabilitatea este $\frac{2}{9}$ .

8. a) $4 \cdot 4 = 16$ . b) Același braț de două ori apare în $4$ rezultate, deci alt braț în $16 - 4 = 12$ . c) Fiecare braț ales prima oară are o singură continuare potrivită: $4$ rezultate.

9. a) Da: alegeri la întâmplare, câte $2$ ramuri din fiecare nod; $6$ frunze egal posibile. b) Nu: „fată” și „băiat” nu sunt egal posibile, iar din noduri pleacă numere diferite de ramuri. c) Nu neapărat: din fiecare nod pleacă tot câte $3$ ramuri, dar un om care „alege în gând” nu alege la întâmplare, iar unele numere sunt preferate. Regula cere ca fiecare alegere să se facă la întâmplare; aici nimic nu o garantează.

10. a) $4 \cdot 3 = 12$ ; „argilos” e un subarbore cu $3$ frunze. b) $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ ; evenimentul are câte o frunză sub fiecare sol: $4$ . c) Nu: frunza (argilos, $25$ °C) le realizează pe amândouă.

11. Da: $2$ subarbori a câte $4$ frunze, iar (seara, vara) descrie același rezultat ca (vara, seara). „Vara” nu mai e un subarbore, ci câte o frunză în fiecare subarbore.

12. Pe arbore, din cifra zecilor $z$ pleacă $9 - z$ ramuri, deci mulțimea are $8 + 7 + \dots + 1 = 36$ de numere. Arborele nu e uniform, dar numărul se alege direct din mulțime, deci cele $36$ de frunze sunt egal posibile. Divizibil cu $5$ înseamnă ultima cifră $5$ (cifra $0$ nu poate fi mai mare decât zecile), cu zecile $1$ , $2$ , $3$ sau $4$ : $4$ numere. Probabilitatea este $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

13. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ . b) Lampa roșie se alege în $3$ moduri, iar celelalte două au câte $2$ stări rămase: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ . c) Fiecare lampă are $2$ stări aprinse: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

14. $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ de frunze. Primul eveniment fixează prima și a treia etapă: $1 \cdot 4 \cdot 1 = 4$ frunze. Al doilea fixează doar a doua etapă: $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15$ frunze.

15. a) Mercur și Venus nu au sateliți, Pământul are Luna, Marte are Phobos și Deimos: Mercur, Venus, (Pământ, Luna), (Marte, Phobos), (Marte, Deimos). b) $3$ . c) Nu: Mercur e ales la fel de des ca planeta Marte, dar repetările în care iese Marte se împart între Phobos și Deimos, deci Phobos apare mai rar decât Mercur.

16. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ ; subarborele are $3 \cdot 3 = 9$ frunze. b) Media e $0, 5$ s când suma e $1, 5$ s: fie toate trei citirile sunt $0, 5$ s ( $1$ frunză), fie apar o dată fiecare dintre $0, 4$ , $0, 5$ și $0, 6$ s, în orice ordine ( $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ frunze). În total, $7$ frunze.

17. a) $36 : 3 = 12$ frunze. b) $24 : 12 = 2$ ramuri. c) $3 \cdot x \cdot 4 = 36$ , deci $x = 3$ .

18. Drumul „categoria $i$ , apoi $j$ ”, cu $i \neq = j$ , are produsul $n_{i} n_{j}$ , iar „ $i$ , apoi tot $i$ ” are $n_{i} (n_{i} - 1)$ . În subarborele lui $i$ suma este $n_{i} [(n_{1} + \dots + n_{k}) - 1] = n_{i} (n - 1)$ ; adunând după $i$ obținem $n (n - 1)$ , numărul perechilor ordonate de obiecte diferite.

De reținut

Într-o diagramă arborescentă a unui experiment, fiecare nivel este o etapă, iar fiecare drum complet (o frunză) este un rezultat: $card (Ω)$ este numărul frunzelor, nu al nodurilor.
Un eveniment este o mulțime de frunze; dacă depinde doar de prima etapă, el cuprinde subarbori întregi.
Când a doua etapă depinde de prima, ramurile diferă de la un nod la altul; un eveniment despre a doua etapă nu mai are neapărat frunze în fiecare subarbore.
Pe un arbore al alegerilor făcute pe rând, frunzele sunt egal posibile când fiecare alegere e la întâmplare între variante egal posibile și din nodurile aceluiași nivel pleacă același număr de ramuri; dacă elementul se alege direct din mulțime, frunzele sunt egal posibile oricum.
Pe un arbore pe categorii se scrie pe ramuri numărul de obiecte; produsul de pe un drum dă numărul rezultatelor frunzei, iar suma produselor dă $card (Ω)$ .

Greșeli frecvente

Numeri și nodurile intermediare printre rezultate. Nodul „ $440$ Hz” nu este un rezultat: lovitura nu a fost aleasă. Rezultatele sunt doar drumurile complete.
Crezi că un eveniment despre a doua etapă are frunze sub fiecare nod. Doar la etape independente. La rotația culturilor, „leguminoasele în anul al doilea” nu are nicio frunză sub leguminoasele din primul an.
Presupui egal posibile frunzele unui arbore neuniform al alegerilor făcute pe rând. Dacă țarcul se trage la sorți primul, un arici dintr-un țarc cu doi arici are o șansă mai mare decât unul dintr-un țarc cu patru.
Scazi din categoria greșită după prima extragere. După o probă de bazalt, pe „bazalt” scrii $2$ , iar pe „granit” și „calcar” rămân $3$ și $2$ : scade doar categoria ieșită.
Citești numerele de pe ramuri ca probabilități. Pe un arbore pe categorii, $3$ înseamnă trei obiecte. Arborii cu probabilități pe ramuri apar în lecția despre probabilitatea intersecției a două evenimente.

Aplică acasă

Grădina pe trei ani. Alege trei legume pentru un strat sau un balcon și o regulă de rotație (de exemplu, nicio legumă doi ani la rând). Desenează arborele planurilor pe trei ani și marchează planurile în care o legumă apare de două ori.
Germinare în bucătărie. Alege două etape cu câte două variante: locul (lângă geam sau într-un dulap) și udarea (zilnic sau la două zile). Desenează arborele, pune câte două semințe pentru fiecare frunză și notează, după o săptămână, frunzele în care au germinat ambele.
Frunze care nu cântăresc la fel. Pune un bilețel într-un pahar și trei în altul. Aruncă o monedă ca să alegi paharul, apoi scoate un bilețel din el. Repetă de $40$ de ori și compară aparițiile bilețelului singur cu ale fiecăruia dintre celelalte trei.

Pentru părinți și profesori

Lecția face din arborele de numărare o descriere a unui experiment aleator: frunza devine rezultat, grupurile de frunze devin evenimente, subarborii primului nivel devin o partiție a lui $Ω$ . Accentul cade pe citirea evenimentelor pe subarbori, pe dependența dintre etape și pe întrebarea „sunt frunzele egal posibile?”, de care depinde numărarea cazurilor în definiția clasică a probabilității. Extragerea simultană e tratată în lecția despre cazuri favorabile și cazuri posibile.

Întrebări bune de control: „Este acest nod un rezultat?”; „Depinde a doua alegere de prima?”; „Pleacă același număr de ramuri din fiecare nod?”; „Cât dă suma produselor?”. Semn că elevul a înțeles: verifică frunzele pe subarbori înainte de răspuns. Pentru recapitulare, vezi testul de probabilități M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: diagrame arborescente pentru experimente, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Probabilități” cere „diagrame arborescente și diagrame Venn pentru reprezentarea mulțimii evenimentelor” și pentru „determinarea cazurilor posibile și a cazurilor favorabile”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține „evenimente aleatoare egal probabile” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”, precum și metodele de numărare, dar nu numește diagramele arborescente. De aceea exercițiile care cer o probabilitate calculată prin numărarea cazurilor sunt marcate „tip Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția M2 și cea de mate-info (M1) despre diagrame arborescente? Instrumentul este același: frunzele sunt rezultate, iar frunzele marcate formează evenimente. La științe ale naturii lecția insistă pe citirea evenimentelor pe subarbori, pe etapele dependente și pe întrebarea dacă frunzele sunt egal posibile. Exemplele vin din fizică, chimie, biologie și agronomie; extragerea simultană rămâne în lecția despre cazuri favorabile și posibile.

La ce subiect apar diagramele arborescente la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 cere probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, fără să numească arborii. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre, iar arborele e un mod de a număra cazurile ei. Pentru MAT_P2 din 2030, arborii sunt în programă, dar un model de subiect nu există încă.

De ce nu este un nod intermediar un rezultat al experimentului? Pentru că în acel punct experimentul nu s-a terminat: au rămas etape de făcut. Un rezultat descrie ce s-a întâmplat la toate etapele, deci corespunde unui drum care ajunge până la o frunză. Nodul intermediar reprezintă un eveniment: mulțimea tuturor frunzelor din subarborele care pornește din el.

Când pot număra frunzele ca pe niște cazuri egal posibile? Când fiecare alegere se face la întâmplare între variante egal posibile și arborele nu se oprește mai devreme pe unele ramuri și nici nu are subarbori inegali; altfel frunzele nu cântăresc la fel. Excepția: dacă elementul se alege direct dintr-o mulțime, iar arborele doar îl numără, frunzele sunt egal posibile oricum.

Ce fac când variantele celei de-a doua etape depind de prima? Desenezi ramurile celui de-al doilea nivel separat, pentru fiecare nod: scrii exact variantele rămase după rezultatul primei etape. Numărul lor poate fi același peste tot, ca la extragerea fără revenire, sau diferit de la un nod la altul. Evenimentele despre a doua etapă se citesc apoi nod cu nod, nu după un tipar comun.

Cu ce se deosebește un arbore pentru experimente de un arbore de numărare? Desenul e același, dar întrebarea e alta. Arborele de numărare răspunde la „câte posibilități?”, iar arborele unui experiment aleator spune, în plus, care sunt rezultatele, ce frunze formează un eveniment și dacă frunzele au aceeași șansă. Din al doilea se citesc atât cazurile posibile, cât și cele favorabile.