Probabilitatea intersecției a două evenimente (M2, științe ale naturii)

La un control medical al angajaților unei fabrici au fost consultați $500$ de adulți. Medicul de medicina muncii a notat pentru fiecare două lucruri: dacă fumează și dacă are tuse cronică. Cât de probabil este ca un adult ales la întâmplare din acest grup să fie fumător și, în același timp, să tușească de cel puțin trei luni? Răspunsul se citește dintr-o singură căsuță a unui tabel, dar trebuie să știi pe care și la ce număr o împarți. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde operațiile cu probabilități sunt cerute explicit. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: printre conținuturile clasei a X-a sunt numite operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile.

În lecția despre probabilitatea reuniunii, termenul $P(A\cap B)$ era dat în enunț. Aici înveți să-l obții: prin numărare, dintr-un tabel sau, la experimentele în două etape, prin produsul fracțiilor de pe diagrama arborescentă.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi probabilitatea ca două evenimente să aibă loc împreună, numărând rezultatele comune.
• Vei ști să numeri perechile favorabile la un experiment în două etape, chiar și atunci când condiția leagă cele două etape.
• Vei ști să citești probabilitatea intersecției dintr-un tabel cu dublă intrare și să faci proba căsuțelor.
• Vei ști de unde vine produsul fracțiilor de pe un traseu al arborelui și cum se recalculează a doua fracție când obiectul nu se pune la loc.
• Vei ști să obții intersecția din probabilitatea părții „numai $A$” sau din probabilitatea reuniunii.
• Vei ști ce controale arată rapid că o probabilitate a intersecției e greșită.

Hai să descoperim împreună

1. Evenimentul „amândouă” și probabilitatea lui

Probabilitatea intersecției a două evenimente $A$ și $B$ este probabilitatea evenimentului $A\cap B$, care are loc atunci când au loc amândouă. Când rezultatele experimentului sunt egal posibile, ea se calculează ca orice probabilitate clasică:

$$P(A\cap B)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(\Omega )}.$$

Un exemplu: un laborator de pedologie a primit $50$ de probe de sol, dintre care $20$ au fost luate dintr-o pădure, iar $12$ dintre acestea conțin râme. Pentru o probă aleasă la întâmplare, fie $A$ = „proba vine din pădure” și $B$ = „proba conține râme”. Rezultatele favorabile lui $A\cap B$ sunt cele $12$ probe din pădure cu râme, deci $P(A\cap B)=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}$.

Fiecare rezultat al intersecției aparține și lui $A$, și lui $B$. Prin urmare intersecția nu poate avea mai multe rezultate decât oricare dintre ele:

$$P(A\cap B)\le P(A)\text{și}P(A\cap B)\le P(B).$$

Pe probele de sol, $\frac{12}{50}\le \frac{20}{50}$. Cuvântul „și” din probabilități este același „și” pe care l-ai folosit în clasa a IX-a la conjuncția propozițiilor: o propoziție compusă cu „și” e adevărată numai când sunt adevărate ambele părți.

2. Ce este un caz favorabil când experimentul are două etape?

Un laborator de microbiologie planifică un test de incubare. Un program alege la întâmplare o temperatură dintre $25$, $30$, $35$ și $40$ °C și o durată dintre $12$, $24$ și $48$ de ore. Un rezultat al experimentului este o pereche (temperatură, durată), iar după regula produsului există $4\cdot 3=12$ perechi, toate egal posibile.

Fie $A$ = „temperatura este cel puțin $35$ °C” și $B$ = „durata este cel puțin $24$ de ore”. O pereche e favorabilă intersecției dacă îndeplinește ambele condiții, deci trebuie să aibă una dintre cele $2$ temperaturi mari și una dintre cele $2$ durate lungi: $(35,24)$, $(35,48)$, $(40,24)$, $(40,48)$. Sunt $4$ perechi din $12$:

$$P(A\cap B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.$$

Aici fiecare condiție privea o singură etapă, așa că perechile favorabile s-au obținut tot printr-un produs, $2\cdot 2$. Când o condiție leagă cele două etape, de exemplu „temperatura înmulțită cu durata depășește o valoare”, produsul nu mai funcționează și perechile se scriu una câte una, într-un tabel cu o linie pentru fiecare temperatură și o coloană pentru fiecare durată.

3. Tabelul cu dublă intrare: căsuța, rândul și totalul

Datele din deschidere au fost organizate astfel:

Fiecare adult apare într-o singură căsuță din interiorul tabelului. Evenimentul „fumător și cu tuse cronică” corespunde căsuței aflate la încrucișarea liniei „fumători” cu coloana „tuse cronică”, iar numitorul este totalul general, $500$, pentru că adultul se alege din tot grupul:

$$P(\text{fuma˘tor}\cap \text{tuse})=\frac{60}{500}=\frac{3}{25}.$$

Totalurile de la marginea tabelului răspund la alte întrebări: $\frac{150}{500}$ este probabilitatea ca adultul ales să fie fumător, oricum ar sta cu tusea, iar $\frac{95}{500}$ probabilitatea să aibă tuse, fumător sau nu. Proba tabelului este dublă: cele patru căsuțe interioare au suma $60+90+35+315=500$, deci probabilitățile lor au suma $1$, iar fiecare linie și fiecare coloană se adună la totalul ei.

4. Produsul de pe ramuri, verificat prin numărarea perechilor

O stație de tratare a apei păstrează într-o cutie $13$ cartușe de filtrare, dintre care $9$ sunt saturate și $4$ sunt bune. Un tehnician scoate la întâmplare un cartuș, îl lasă pe masă, apoi scoate încă unul. Care este probabilitatea ca amândouă să fie saturate?

Numărăm întâi. Un rezultat este o pereche ordonată de cartușe diferite: $13\cdot 12=156$ de perechi egal posibile. Perechile cu ambele cartușe saturate sunt $9\cdot 8=72$. Deci probabilitatea este $\frac{72}{156}=\frac{6}{13}$.

Același număr se poate scrie ca produs a două fracții:

$$\frac{9\cdot 8}{13\cdot 12}=\frac{9}{13}\cdot \frac{8}{12}=\frac{72}{156}=\frac{6}{13}.$$

Prima fracție, $\frac{9}{13}$, este probabilitatea ca primul cartuș să fie saturat. A doua, $\frac{8}{12}$, descrie a doua etapă în situația lăsată de prima: au rămas $12$ cartușe, dintre care $8$ saturate. Pe arbore, fiecare ramură primește fracția calculată în nodul din care pleacă, iar probabilitatea unui traseu complet este produsul fracțiilor de pe ramurile lui.

Fracțiile de pe ramurile nivelului al doilea diferă de la un nod la altul, pentru că prima extragere a schimbat compoziția cutiei. Numărul care stă pe a doua ramură are un nume propriu, pe care îl primește în lecția despre probabilități condiționate; aici îl citești simplu, ca fracția recalculată după prima etapă. Proba arborelui: cele patru trasee au probabilitățile $\frac{72}{156}$, $\frac{36}{156}$, $\frac{36}{156}$, $\frac{12}{156}$, cu suma $1$, pentru că fiecare pereche posibilă urmează exact un traseu.

5. Aceeași cutie, cu cartușul pus la loc

Să schimbăm protocolul: după prima extragere, tehnicianul pune cartușul înapoi în cutie. Acum un rezultat este o pereche ordonată în care același cartuș poate apărea de două ori, deci perechile sunt $13\cdot 13=169$, iar cele cu ambele cartușe saturate sunt $9\cdot 9=81$:

$$\frac{9}{13}\cdot \frac{9}{13}=\frac{81}{169}.$$

A doua fracție este acum aceeași cu prima, pentru că cutia a revenit la compoziția inițială. Pe arbore, ambele ramuri ale nivelului al doilea poartă $\frac{9}{13}$ spre „saturat”. Situația în care a doua fracție nu depinde de ce s-a întâmplat la prima etapă primește un nume în lecția despre evenimente independente. Indiferent de protocol, regula de lucru rămâne una singură: scrii pe fiecare ramură fracția corectă pentru nodul din care pleacă și înmulțești pe traseu.

6. Ce legătură are intersecția cu partea „numai $A$”?

Evenimentul $A$ se împarte în două părți disjuncte: partea comună cu $B$ și partea „numai $A$”. Adunându-le,

$$P(A)=P(\text{numai }A)+P(A\cap B),\text{deci}P(A\cap B)=P(A)-P(\text{numai }A).$$

Dacă, de exemplu, $P(A)=0,6$ și partea „numai $A$” are probabilitatea $0,45$, intersecția are $0,6-0,45=0,15$. Relația e utilă când datele vin sub forma regiunilor unei diagrame Venn.

Un al doilea drum trece prin reuniune: formula din lecția precedentă se poate rezolva în raport cu termenul scăzut, $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$. Când enunțul dă probabilitatea regiunii „niciunul”, afli întâi reuniunea, scăzând din $1$, și apoi intersecția.

7. Ce controale prind o intersecție greșită?

Patru verificări rapide, pe care le poți face fără să refaci calculul:

1. Rezultatul nu depășește niciuna dintre probabilitățile $P(A)$ și $P(B)$.
2. Într-un tabel, căsuțele interioare au suma egală cu totalul general, deci probabilitățile lor au suma $1$.
3. Pe un arbore, probabilitățile tuturor traseelor au suma $1$.
4. Produsul de pe un traseu nu depășește niciuna dintre fracțiile care îl compun, fiindcă fiecare fracție este cel mult $1$.

Dacă o verificare pică, greșeala este de obicei în datele citite, nu în operații: o căsuță luată din alt rând, o fracție de pe ramura vecină sau un total copiat greșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Perechi legate printr-o lege din fizică

La un experiment de electricitate, un program alege la întâmplare o rezistență $R$ dintre $10$, $22$, $47$ și $100$ Ω, apoi, separat, o tensiune $U$ dintre $3$, $6$, $9$ și $12$ V. Toate cele $16$ perechi $(R,U)$ sunt egal posibile. Calculați probabilitatea ca intensitatea curentului, $I=\frac{U}{R}$, să fie cel puțin $0,2$ A și, în același timp, rezistența să fie cel puțin $22$ Ω.

Rezolvare. Condiția pe $I$ leagă cele două etape, așa că perechile se verifică una câte una. $I\ge 0,2$ A înseamnă $U\ge 0,2\cdot R$:

• pentru $R=10$ Ω trebuie $U\ge 2$ V: toate cele $4$ tensiuni;
• pentru $R=22$ Ω trebuie $U\ge 4,4$ V: tensiunile $6$, $9$, $12$ V;
• pentru $R=47$ Ω trebuie $U\ge 9,4$ V: numai $12$ V;
• pentru $R=100$ Ω trebuie $U\ge 20$ V: nicio tensiune.

Perechile favorabile intersecției sunt cele cu $R\ge 22$ Ω din listă: $3+1+0=4$. Deci

$$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.$$

Observă că evenimentul „$I\ge 0,2$ A” singur are $4+3+1=8$ perechi, iar intersecția are jumătate din ele.

Exemplul 2 — Citește tabelul: grinzile după uscare

Un depozit de cherestea a verificat $400$ de grinzi după uscare. Dintre cele $160$ de grinzi de pin, $24$ au crăpat; dintre cele $240$ de grinzi de fag, $42$ au crăpat. Se alege la întâmplare una dintre cele $400$ de grinzi. Calculați probabilitatea ca: a) grinda să fie de pin și crăpată; b) grinda să fie de fag și necrăpată.

Rezolvare. Completăm tabelul:

a) $P=\frac{24}{400}=\frac{3}{50}$.

b) $P=\frac{198}{400}=\frac{99}{200}$.

Proba: $24+136+42+198=400$. Căsuța de la punctul a) este mult mai mică decât cea de la punctul b), dar asta nu spune încă nimic despre riscul de crăpare al fiecărui tip de lemn; comparația corectă se face în interiorul fiecărui rând și e tema lecției următoare.

Exemplul 3 — Două conserve, verificate pe rând

Dintr-un lot de $14$ conserve, $4$ sunt bombate (semn de contaminare). Un inspector ia la întâmplare o conservă, o pune deoparte, apoi ia încă una. Calculați probabilitatea ca: a) prima conservă să fie normală, iar a doua bombată; b) ambele conserve să fie normale.

Rezolvare. a) Prima e normală cu probabilitatea $\frac{10}{14}$. După ea rămân $13$ conserve, dintre care toate cele $4$ bombate, deci a doua ramură poartă $\frac{4}{13}$:

$$P=\frac{10}{14}\cdot \frac{4}{13}=\frac{40}{182}=\frac{20}{91}.$$

b) După o conservă normală rămân $9$ normale din $13$:

$$P=\frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}=\frac{90}{182}=\frac{45}{91}.$$

Verificare prin numărare pentru b): perechile ordonate sunt $14\cdot 13=182$, iar cele cu două conserve normale sunt $10\cdot 9=90$.

Exemplul 4 — Intersecția dintr-o reuniune, apoi tabelul de probabilități

Pentru un lot de semințe de fasole se știe că $85\%$ germinează, $20\%$ au tegumentul crăpat, iar $88\%$ germinează sau au tegumentul crăpat. Calculați probabilitatea ca o sămânță aleasă la întâmplare să germineze și să aibă tegumentul crăpat, apoi completați tabelul cu cele patru probabilități.

Rezolvare. Din formula reuniunii, scrisă pentru termenul scăzut:

$$P(G\cap T)=0,85+0,2-0,88=0,17.$$

Celelalte căsuțe se obțin prin scădere, pornind de la ea:

Căsuța „nu germinează, tegument întreg” este regiunea „niciunul”: $1-0,88=0,12$. Proba: $0,17+0,68+0,03+0,12=1$.

Exemplul 5 — Un aparat bun și unul decalibrat, în orice ordine

Un laborator are $13$ multimetre, dintre care $5$ sunt decalibrate. Un elev ia la întâmplare un multimetru, îl păstrează, apoi colegul lui ia altul. Calculați probabilitatea ca: a) primul multimetru să fie decalibrat, iar al doilea bun; b) cei doi elevi să aibă un multimetru decalibrat și unul bun, în orice ordine.

Rezolvare. a) Pe traseul „decalibrat, apoi bun”:

$$P=\frac{5}{13}\cdot \frac{8}{12}=\frac{40}{156}=\frac{10}{39}.$$

b) Evenimentul se realizează pe două trasee: „decalibrat, apoi bun” și „bun, apoi decalibrat”. Al doilea are probabilitatea $\frac{8}{13}\cdot \frac{5}{12}=\frac{40}{156}$, la fel ca primul, deși fracțiile de pe ramuri sunt altele. Cele două trasee nu pot avea loc simultan, deci sunt evenimente disjuncte, iar probabilitatea reuniunii lor este suma:

$$P=\frac{40}{156}+\frac{40}{156}=\frac{80}{156}=\frac{20}{39}.$$

Fiecare traseu este o intersecție („primul e… și al doilea e…”); întrebarea „în orice ordine” le reunește.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,75\}$. a) Arătați că mulțimea $M$ are $25$ de elemente care sunt multipli de $3$. b) Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $M$, acesta să fie multiplu de $3$ și număr impar.

Rezolvare. a) Multiplii lui $3$ din $M$ sunt $3\cdot 1,3\cdot 2,\dots ,3\cdot 25=75$, iar $3\cdot 26=78>75$, deci sunt $25$.

b) Un multiplu impar al lui $3$ este de forma $3k$ cu $k$ impar: $k=1,3,5,\dots ,25$, adică $13$ valori. Cele $75$ de elemente sunt egal posibile, deci

$$P=\frac{13}{75}.$$

Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde se numără cazurile pe o mulțime de numere; aici cazurile favorabile trebuie să îndeplinească simultan două proprietăți. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. Un catalog astronomic cuprinde $64$ de comete: $28$ sunt periodice, iar $12$ dintre cometele periodice au perioada orbitală sub $20$ de ani. Se alege la întâmplare o cometă din catalog. Calculează probabilitatea ca ea să fie periodică și cu perioada sub $20$ de ani.

2. Pentru o serie de prelevări, un program alege la întâmplare o zi a săptămânii și una dintre orele $8$, $10$, $12$, $14$, $16$. Calculează probabilitatea ca prelevarea să cadă într-o zi de sâmbătă sau duminică și la o oră de cel puțin $14$.

3. Într-o cutie sunt $17$ fotorezistori, dintre care $2$ sunt defecți. Un tehnician scoate la întâmplare doi fotorezistori, unul după altul, fără să-l pună înapoi pe primul. a) Calculează probabilitatea ca ambii să fie defecți. b) A doua zi, în cutie sunt tot $17$ fotorezistori, dar $3$ dintre ei sunt defecți. Cu cât a crescut probabilitatea de la punctul a)?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe un arbore în două etape, fără punere înapoi, fracțiile de pe ramurile care pleacă din același nod al nivelului al doilea au suma $1$.”

5. (Problemă aplicată.) Un laborator a testat la tracțiune $180$ de cabluri electrice: $110$ din cupru, dintre care $88$ au trecut testul, și $70$ din aluminiu, dintre care $35$ au trecut testul. a) Completează tabelul cu dublă intrare. b) Calculează probabilitatea ca un cablu ales la întâmplare să fie din cupru și să fi trecut testul. c) Calculează probabilitatea ca un cablu ales la întâmplare să fie din aluminiu și să nu fi trecut testul.

6. Se știe că $P(A)=\frac{3}{5}$, $P(B)=\frac{1}{3}$ și $P(A\cup B)=\frac{4}{5}$. Calculează $P(A\cap B)$.

7. Două plante dintr-un experiment primesc fiecare, la întâmplare, o doză de îngrășământ de $1$, $2$, $3$ sau $4$ g. Toate cele $16$ perechi de doze sunt egal posibile. Calculează probabilitatea ca prima plantă să primească o doză mai mare decât a doua și produsul celor două doze să fie un număr par.

8. Pentru două evenimente, $P(A)=0,45$, $P(B)=0,3$, iar probabilitatea ca niciunul să nu aibă loc este $0,4$. Calculează $P(A\cap B)$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,45\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $A$, acesta să fie divizor al lui $90$ și număr par.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Din mulțimea $\{1,2,3,\dots ,20\}$ se aleg, pe rând, două numere diferite. Determinați probabilitatea ca ambele numere alese să fie prime.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă prima cifră pară și ultima cifră impară.

12. Un tabel cu dublă intrare are în interior căsuțele $41$, $26$, $19$ și $x$, iar totalul general este $120$. Află $x$ și probabilitatea ca un element ales la întâmplare din tabel să fie în căsuța necunoscută.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un fond de investiții are în portofoliu acțiuni la $28$ de companii, dintre care $6$ au plătit anul trecut un dividend de peste $5\%$. Un analist alege la întâmplare, pe rând, două companii diferite din portofoliu. Determinați probabilitatea ca ambele companii alese să fie dintre cele cu dividend de peste $5\%$.

14. Un inventar al insectelor observate pe florile unei livezi arată că $42\%$ dintre ele sunt albine sălbatice, iar $31\%$ din toate insectele observate sunt albine sălbatice fără polen pe picioare. Calculează probabilitatea ca o insectă observată, aleasă la întâmplare, să fie o albină sălbatică încărcată cu polen.

15. Într-un cartier, $60\%$ dintre locuințe au centrală pe gaz, $30\%$ au panouri solare pentru apa caldă, iar $22\%$ au ambele. Completează tabelul cu probabilitățile celor patru categorii de locuințe și precizează probabilitatea ca o locuință aleasă la întâmplare să aibă numai panouri solare.

16. Un arbore în două etape are patru trasee. Trei dintre ele au probabilitățile $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{3}$. Care este probabilitatea celui de-al patrulea traseu?

17. Într-o pădure-parc trăiesc $200$ de veverițe, dintre care $40$ poartă un mic emițător radio. Un cercetător observă, una după alta, două veverițe diferite, alese la întâmplare. Calculează probabilitatea ca ambele să poarte emițător și compară-o cu valoarea $\frac{1}{25}$, cea obținută dacă aceeași veveriță ar putea fi observată de două ori.

18. (Provocare.) O cutie are $n$ obiecte, dintre care $k$ au o anumită proprietate, cu $1\le k<n$. Se extrag două obiecte, unul după altul. Arată că probabilitatea ca ambele să aibă proprietatea este mai mică atunci când primul obiect nu se pune înapoi decât atunci când se pune înapoi.

Răspunsuri și explicații

1. Cometele favorabile sunt cele $12$ periodice cu perioada sub $20$ de ani: $P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}$.

2. Perechile (zi, oră) sunt $7\cdot 5=35$. Favorabile: $2$ zile de weekend și $2$ ore ($14$, $16$), adică $2\cdot 2=4$ perechi. $P=\frac{4}{35}$.

3. a) $P=\frac{2}{17}\cdot \frac{1}{16}=\frac{2}{272}=\frac{1}{136}$. b) Acum $P=\frac{3}{17}\cdot \frac{2}{16}=\frac{6}{272}=\frac{3}{136}$. Creșterea este $\frac{6}{272}-\frac{2}{272}=\frac{4}{272}=\frac{1}{68}$: un singur fotorezistor defect în plus a triplat probabilitatea, pentru că perechile de defecți au crescut de la $2\cdot 1=2$ la $3\cdot 2=6$.

4. Adevărat. Un nod al nivelului al doilea descrie situația lăsată de prima etapă: au rămas $m$ obiecte, iar ramurile lui acoperă toate variantele celei de-a doua extrageri, fără suprapuneri. Fracțiile au același numitor $m$, iar numărătorii lor adună toate cele $m$ obiecte. La cartușele din subsecțiunea 4, sub „saturat”: $\frac{8}{12}+\frac{4}{12}=1$.

5. a) Cupru: $88$ trecute, $22$ picate, total $110$; aluminiu: $35$ trecute, $35$ picate, total $70$; pe coloane, $123$ trecute și $57$ picate. b) $P=\frac{88}{180}=\frac{22}{45}$. c) $P=\frac{35}{180}=\frac{7}{36}$.

6. $P(A\cap B)=\frac{9}{15}+\frac{5}{15}-\frac{12}{15}=\frac{2}{15}$.

7. Perechile cu prima doză mai mare: $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)$. Dintre ele, cu produsul par: $(2,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)$, adică $5$ perechi; $(3,1)$ are produsul $3$, impar. $P=\frac{5}{16}$.

8. Reuniunea este contrarul lui „niciunul”: $P(A\cup B)=1-0,4=0,6$. Apoi $P(A\cap B)=0,45+0,3-0,6=0,15$.

9. Divizorii lui $90$ din $A$ sunt $1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45$. Dintre ei, pari sunt $2,6,10,18,30$, adică $5$. $P=\frac{5}{45}=\frac{1}{9}$.

10. Numerele prime până la $20$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19$, adică $8$. Pe traseu: $P=\frac{8}{20}\cdot \frac{7}{19}=\frac{56}{380}=\frac{14}{95}$. Prin numărare: perechile ordonate sunt $20\cdot 19=380$, iar cele cu ambele numere prime, $8\cdot 7=56$.

11. Numerele de trei cifre sunt $900$. Prima cifră pară: $2,4,6,8$ ($4$ variante); cifra din mijloc oricare ($10$); ultima impară ($5$). Favorabile: $4\cdot 10\cdot 5=200$. $P=\frac{200}{900}=\frac{2}{9}$.

12. Căsuțele interioare au suma egală cu totalul general (al doilea control din subsecțiunea 7): $x=120-41-26-19=34$. Probabilitatea este $\frac{34}{120}=\frac{17}{60}$.

13. Perechile ordonate de companii diferite sunt $28\cdot 27=756$, iar cele cu ambele companii cu dividend de peste $5\%$ sunt $6\cdot 5=30$. $P=\frac{6}{28}\cdot \frac{5}{27}=\frac{30}{756}=\frac{5}{126}$.

14. Evenimentul „albină sălbatică” se împarte în „cu polen” și „fără polen”, deci, cu relația din subsecțiunea 6, $P(\text{albina˘}\cap \text{polen})=P(\text{albina˘})-P(\text{numai albina˘, fa˘ra˘ polen})=0,42-0,31=0,11$.

15. Gaz și panouri: $0,22$; numai gaz: $0,6-0,22=0,38$; numai panouri: $0,3-0,22=0,08$; niciuna: $1-(0,6+0,3-0,22)=0,32$. Proba: $0,22+0,38+0,08+0,32=1$. Probabilitatea cerută este $0,08$.

16. Toate traseele au împreună probabilitatea $1$: $1-\frac{2}{12}-\frac{3}{12}-\frac{4}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

17. $P=\frac{40}{200}\cdot \frac{39}{199}=\frac{1560}{39800}=\frac{39}{995}\approx 0,0392$, față de $\frac{1}{25}=0,04$. Diferența este mică pentru că populația e mare: scoaterea unei veverițe schimbă foarte puțin compoziția.

18. Fără punere înapoi, $P_1=\frac{k}{n}\cdot \frac{k-1}{n-1}$; cu punere înapoi, $P_2=\frac{k}{n}\cdot \frac{k}{n}$. Ambele au primul factor $\frac{k}{n}>0$, deci compar $\frac{k-1}{n-1}$ cu $\frac{k}{n}$. Aducând la același numitor, $n(k-1)<k(n-1)$ revine la $-n<-k$, adică $k<n$, adevărat. Deci $P_1<P_2$.

De reținut

• Probabilitatea intersecției este probabilitatea ca ambele evenimente să aibă loc; la rezultate egal posibile, $P(A\cap B)=\frac{\mathrm{card}(A\cap B)}{\mathrm{card}(\Omega )}$, și nu depășește nici $P(A)$, nici $P(B)$.
• La un experiment în două etape, rezultatele sunt perechi; o pereche e favorabilă numai dacă îndeplinește ambele condiții, iar condițiile care leagă etapele se verifică pereche cu pereche.
• Într-un tabel cu dublă intrare, probabilitatea intersecției este căsuța corespunzătoare împărțită la totalul general; căsuțele interioare au suma egală cu totalul.
• Probabilitatea unui traseu din arbore este produsul fracțiilor de pe ramuri; fără punere înapoi, a doua fracție se recalculează în situația lăsată de prima etapă.
• Intersecția se poate obține și din $P(A)-P(\text{numai }A)$ sau din $P(A)+P(B)-P(A\cup B)$.

Greșeli frecvente

• Citești „$40\%$ dintre fumători tușesc” ca probabilitate a intersecției. Procentul acesta e calculat în interiorul rândului fumătorilor; intersecția se raportează la tot grupul și se obține din căsuță împărțită la totalul general.
• Aduni fracțiile de pe un traseu. Un traseu înseamnă „prima etapă și a doua etapă”, deci fracțiile se înmulțesc; suma lor poate trece chiar de $1$, semn sigur de greșeală.
• Crezi că toate frunzele arborelui au aceeași probabilitate. Arborele cartușelor are patru frunze, dar traseul „saturat, saturat” are $\frac{72}{156}$, nu $\frac{1}{4}$; probabilitatea unei frunze se calculează pe traseu, nu prin numărarea frunzelor.
• Copiezi a doua fracție de pe o ramură pe cealaltă. Sub „saturat” corect este $\frac{8}{12}$, dar sub „bun” compoziția e alta, deci fracția spre „saturat” este $\frac{9}{12}$; fiecare nod își are fracțiile lui.
• Aduni numerele de variante ale celor două etape. Un experiment cu $4$ temperaturi și $3$ durate are $4\cdot 3=12$ perechi, nu $4+3=7$ rezultate.

Aplică acasă

1. Un tabel din date publice. Caută pe site-ul Institutului Național de Statistică un tabel care împarte populația unui județ după două criterii (de exemplu, mediul urban sau rural și grupa de vârstă). Alege două categorii, calculează probabilitatea ca o persoană aleasă la întâmplare să aparțină ambelor și fă proba sumei căsuțelor.
2. Calendarul anului. Pe calendarul anului în curs, numără zilele de sâmbătă și duminică din lunile iunie, iulie și august. Calculează probabilitatea ca o zi aleasă la întâmplare din tot anul să fie o zi de weekend dintr-o lună de vară, apoi compară rezultatul cu probabilitatea unei zile de weekend și cu cea a unei zile de vară, luate separat, și verifică primul control din subsecțiunea 7.
3. O problemă pentru un coleg. Scrie o problemă cu o cutie din care se scot, pe rând și fără punere înapoi, două obiecte de două feluri, desenează arborele și calculează probabilitatea unui traseu. Dă-i colegului doar enunțul: el rezolvă prin numărarea perechilor ordonate, tu prin produsul de pe ramuri. Comparați rezultatele și verificați că fracțiile de pe ramurile nivelului al doilea diferă de la un nod la altul.

Pentru părinți și profesori

Lecția adună trei drumuri spre aceeași mărime: numărarea directă a rezultatelor comune, citirea unei căsuțe dintr-un tabel cu dublă intrare și produsul fracțiilor de pe un traseu al arborelui. Produsul nu e introdus ca regulă de memorat: el apare din numărarea perechilor ordonate, iar a doua fracție e citită ca „fracția recalculată după prima etapă”. Numele ei propriu vine în lecția următoare.

Ce merită urmărit în caiet: elevul scrie ce înseamnă „amândouă” în problema dată; la tabel, alege totalul general ca numitor; la arbore, scrie pe fiecare ramură fracția calculată în nodul ei și face proba sumei traseelor; la final, verifică faptul că rezultatul nu depășește probabilitatea niciunuia dintre evenimente. Întrebări bune de control: „Ce a rămas în cutie după prima etapă?”, „Din ce total face parte această căsuță?”, „Cât dă suma tuturor traseelor?”. Semn de înțelegere: elevul explică, pe un exemplu cu populație mare, de ce punerea înapoi aproape nu mai contează.

Lecția următoare, despre probabilități condiționate, numește fracția de pe a doua ramură și arată cum se compară rândurile unui tabel. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probabilitatea intersecției a două evenimente.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, la capitolul de probabilități al clasei a X-a, care numește explicit „probabilitatea intersecției” printre operațiile cu probabilități și cere diagramele arborescente pentru determinarea cazurilor. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „operații cu evenimente” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”; de aceea exercițiile rezolvate prin numărarea cazurilor egal posibile sunt marcate „tip Bacalaureat M2”. Aceeași programă cere ca aplicațiile capitolului „Matematici financiare”, din care fac parte și probabilitățile, să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiul 13 al lecției are context financiar (dividendele companiilor din portofoliul unui fond de investiții), exercițiile 9, 10 și 11 sunt pe mulțimi de numere, iar celelalte exerciții au contexte din științe sau sunt calcule directe cu probabilități. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, pe numerele naturale de două cifre.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre intersecție de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Conținutul matematic e același: numărarea rezultatelor comune și produsul de pe arbore. La științe ale naturii, produsul este justificat prin numărarea perechilor ordonate, perechile pot fi legate printr-o lege din fizică, iar tabelele vin din date medicale sau de laborator. Numele fracției de pe a doua ramură e lăsat lecției următoare.

La ce subiect apare probabilitatea intersecției la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de probabilitate stă la Subiectul I și se rezolvă numărând cazurile pe o mulțime de numere; exemplul 6 al lecției cere tot o numărare, cu două proprietăți simultan. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce legătură are „și” din probabilități cu conjuncția din logică? Un eveniment e descris de o propoziție despre rezultat. Intersecția a două evenimente e descrisă de conjuncția celor două propoziții, adevărată numai când ambele sunt adevărate. De aceea un rezultat intră în $A\cap B$ doar dacă îndeplinește simultan ambele condiții, exact ca la tabelul de adevăr al conjuncției.

Pot aplica regula produsului de pe arbore când a doua etapă are alt număr de variante? Da. Fiecare ramură poartă fracția calculată în nodul din care pleacă, oricâte ramuri ar avea nodul. La programul de incubare din subsecțiunea 2, prima etapă are $4$ temperaturi, a doua $3$ durate, iar fiecare traseu are $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$, cât dă și numărarea celor $12$ perechi. Extragerea simultană, în care ordinea nu contează, se numără altfel.

De ce trebuie ca perechile să fie egal posibile? Pentru că probabilitatea se calculează ca raport între numărul perechilor favorabile și numărul tuturor perechilor, iar raportul are sens doar dacă fiecare pereche are aceeași șansă. Când o alegere nu e la întâmplare, de exemplu o temperatură preferată de program, numărarea perechilor nu mai dă probabilitatea.

Pot calcula intersecția din procente, fără numere de cazuri? Da. Procentele se folosesc ca probabilități, iar tabelul cu dublă intrare se completează cu probabilități în loc de numere: pornești de la căsuța cunoscută sau o afli din formula reuniunii, apoi obții celelalte căsuțe prin scădere. Proba este că cele patru căsuțe au suma $1$.