Experiment aleator și evenimente (M2, științe ale naturii)

Un contor Geiger pus lângă o probă radioactivă țăcăne neregulat: uneori de trei ori într-o secundă, alteori deloc. Fizica spune exact cât de repede scade, în medie, activitatea probei, dar nu poate spune ce nucleu se va dezintegra în secunda următoare. Studiul unor asemenea situații începe cu doi pași simpli: faci lista tuturor lucrurilor care se pot întâmpla și traduci fiecare întrebare într-o submulțime a acestei liste. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), deschide partea de probabilități a unității. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține „evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente”, iar modelul oficial publicat are, la Subiectul I, o cerință de probabilitate.

În lecțiile despre sondaje ai folosit întâmplarea ca unealtă, la alegerea eșantionului. Acum întâmplarea devine chiar obiectul de studiu.

Ce vei învăța

• Vei putea spune, pentru o situație din laborator, dacă experimentul este aleator sau determinist.
• Vei scrie mulțimea rezultatelor posibile $\Omega$ fără rezultate lipsă și fără rezultate care se suprapun.
• Vei scrie evenimentele ca submulțimi ale lui $\Omega$, trecând de la propoziție la mulțime și înapoi.
• Vei ști să scrii $\Omega$ pentru un experiment în două etape, cu un tabel cu două intrări.
• Vei ști să calculezi frecvența relativă a unui eveniment dintr-o serie de repetări.
• Vei ști câte evenimente are un experiment cu $n$ rezultate posibile.

Hai să descoperim împreună

1. Ce deosebește un experiment aleator de unul determinist?

Dacă diluezi $10$ mL de soluție cu concentrația de $2$ mol/L până la $100$ mL, obții de fiecare dată concentrația de $0,2$ mol/L. Un asemenea experiment, în care aceleași condiții dau mereu același rezultat, se numește determinist.

Un experiment aleator este un experiment care poate fi repetat în aceleași condiții, pentru care lista rezultatelor posibile e cunoscută dinainte, dar la care nu știi ce rezultat va apărea la o efectuare anume. Un anumit nucleu de iod-131 se poate dezintegra sau nu în următoarea oră: știm cele două rezultate posibile, dar nu pe cel care va apărea.

Toate trei condițiile contează. Dacă lipsește repetarea, nu avem o situație pe care s-o putem studia prin frecvențe. Dacă rezultatul se poate prevedea, experimentul e determinist. Dacă lista rezultatelor nu e cunoscută, nu avem de unde porni.

2. Cum scrii mulțimea rezultatelor posibile?

Mulțimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleator se notează cu $\Omega$. Pentru un zar cu opt fețe, numerotate de la $1$ la $8$, avem $\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Numărul elementelor ei se notează $\mathrm{card}(\Omega )$; aici $\mathrm{card}(\Omega )=8$.

Lista are două cerințe:

• este completă: orice rezultat care poate apărea se află în ea;
• rezultatele se exclud reciproc: la o efectuare a experimentului apare exact unul dintre ele.

A doua cerință e mai ușor de încălcat decât pare. Dacă amesteci în aceeași listă două criterii diferite de descriere, un singur rezultat poate bifa două elemente ale listei, iar lista nu mai e o mulțime a rezultatelor posibile.

3. Ce este un eveniment?

Un eveniment asociat unui experiment aleator este o submulțime $A\subseteq \Omega$. Spunem că $A$ s-a realizat dacă rezultatul obținut aparține lui $A$.

La zarul cu opt fețe, propoziția „a apărut un număr mai mare decât $5$” descrie evenimentul $\{6,7,8\}$. Traducerea funcționează exact ca la predicate: evenimentul este mulțimea rezultatelor pentru care propoziția e adevărată, adică mulțimea de adevăr a predicatului, ca în lecția despre predicate și variabile. Un singur rezultat poate realiza, în același timp, mai multe evenimente.

Numărul elementelor lui $A$ îl notăm $\mathrm{card}(A)$. În lecția despre probabilitatea unui eveniment, elementele lui $\Omega$ și cele ale lui $A$ vor primi nume speciale și vor intra într-un raport; aici doar le scriem corect.

4. Cum traduci o propoziție într-o mulțime?

Cuvintele care fixează capetele decid traducerea. „Cel puțin $k$” include valoarea $k$ și tot ce e peste ea; „cel mult $k$” include $k$ și tot ce e sub ea; „mai mare decât $k$” îl lasă pe $k$ afară. Când enunțul spune „între”, trebuie precizat dacă valorile de la capete intră.

Drumul invers este la fel de important: pornești de la o mulțime și cauți o propoziție care o descrie exact, nici mai mult, nici mai puțin. Verificarea se face element cu element: fiecare element al mulțimii face propoziția adevărată, iar fiecare rezultat din afara ei o face falsă.

5. Cum scrii Ω când experimentul are două etape?

Dacă arunci o monedă și apoi un zar cu patru fețe (un tetraedru cu fețele numerotate de la $1$ la $4$), un rezultat este o pereche ordonată: întâi fața monedei, apoi numărul de pe zar. Toate perechile se așază într-un tabel cu două intrări: liniile sunt rezultatele primei etape, coloanele rezultatele celei de-a doua.

Tabelul are $2$ linii și $4$ coloane, deci $\mathrm{card}(\Omega )=2\cdot 4=8$, exact regula din lecția despre regula produsului. Tabelul are un avantaj față de o listă: nu poți uita o pereche și nu poți scrie aceeași pereche de două ori. Reprezentarea aceleiași situații printr-un arbore are lecția ei, despre diagrame arborescente pentru experimente.

6. Ce spun repetările despre un eveniment?

Dacă repeți un experiment de $n$ ori și evenimentul $A$ se realizează de $k$ ori, raportul $\frac{k}{n}$ se numește frecvența relativă a lui $A$ în seria de repetări. Ea este un număr între $0$ și $1$ și se poate schimba de la o serie la alta.

Frecvența relativă e singurul drum atunci când rezultatele nu au motive de simetrie, cum se întâmplă la o piuneză aruncată pe masă sau la o sămânță pusă la germinat. Programa cere tocmai această comparație între ce se observă la repetări și ce se calculează teoretic; calculul teoretic vine în lecțiile următoare.

7. Câte evenimente are un experiment?

Orice submulțime a lui $\Omega$ este un eveniment, deci numărul evenimentelor este numărul submulțimilor lui $\Omega$. Pentru $\mathrm{card}(\Omega )=n$, acesta este $2^n$: fiecare rezultat ori intră în submulțime, ori nu, iar cele $n$ decizii se combină prin regula produsului. La zarul cu opt fețe există $2^8=256$ de evenimente. Printre ele se află mulțimea vidă și $\Omega$ însăși; ce înseamnă ele ca evenimente vei vedea în lecția despre evenimentul sigur, imposibil și elementar.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinist sau aleator?

Spune care experimente sunt deterministe și care aleatoare; pentru cele aleatoare, scrie $\Omega$: a) calculezi tensiunea la bornele unui rezistor de $10\Omega$ prin care trece un curent de $0,5$ A; b) numeri particulele înregistrate de un contor Geiger într-un minut, știind că aparatul nu poate număra mai mult de $500$ pe minut; c) lași o bilă să cadă în vid de la $20$ m și măsori durata căderii; d) notezi sexul unui vițel la naștere.

Rezolvare. a) Determinist: legea lui Ohm dă de fiecare dată $U=10\cdot 0,5=5$ V. b) Aleator: numărul variază de la un minut la altul; $\Omega =\{0,1,2,\dots ,500\}$, cu $\mathrm{card}(\Omega )=501$. c) Determinist, în modelul căderii libere: durata depinde numai de înălțime și de accelerația gravitațională. d) Aleator: $\Omega =\{\text{mascul},\text{femela˘}\}$.

Exemplul 2 — Instrumentele din trusa de fizică

Se alege la întâmplare un instrument din trusa de laborator: ampermetru, voltmetru, ohmmetru, termometru, dinamometru, cronometru, riglă, balanță. Scrie $\Omega$ și evenimentele: $A$ = „instrumentul măsoară o mărime electrică”, $B$ = „mărimea măsurată este o mărime fundamentală a Sistemului Internațional”, $C$ = „mărimea măsurată este vectorială”.

Rezolvare. $\Omega$ are opt elemente, câte unul pentru fiecare instrument: $\mathrm{card}(\Omega )=8$.

• Mărimile electrice sunt intensitatea curentului, tensiunea și rezistența: $A=\{\text{ampermetru},\text{voltmetru},\text{ohmmetru}\}$.
• Mărimile fundamentale ale SI prezente în trusă sunt intensitatea curentului, temperatura, timpul, lungimea și masa; tensiunea, rezistența și forța sunt mărimi derivate. Deci $B=\{\text{ampermetru},\text{termometru},\text{cronometru},\text{rigla˘},\text{balanța˘}\}$.
• Dintre mărimile măsurate, doar forța are direcție și sens: $C=\{\text{dinamometru}\}$.

Traducerea a cerut aici cunoștințe de fizică, nu de matematică: matematica spune doar că fiecare eveniment e o submulțime a lui $\Omega$, iar fizica spune care.

Exemplul 3 — Un experiment în două etape: rezistorul și sursa

Pentru un montaj se alege la întâmplare un rezistor, dintre cele cu rezistențele $2$, $3$, $4$ și $6$ Ω, apoi o sursă, dintre cele cu tensiunile $6$, $9$, $12$ și $24$ V. Un rezultat este perechea (rezistență, tensiune). Scrie $\Omega$ și numără elementele evenimentelor: $E_1$ = „intensitatea curentului este de $3$ A”, $E_2$ = „intensitatea curentului este un număr întreg de amperi”, $E_3$ = „tensiunea sursei depășește $10$ V”.

Rezolvare. Tabelul cu două intrări are $4$ linii (rezistențele) și $4$ coloane (tensiunile), deci $\mathrm{card}(\Omega )=4\cdot 4=16$.

Intensitatea este $I=\frac{U}{R}$. Pentru $E_1$ trebuie $U=3R$: perechile $(2,6)$, $(3,9)$ și $(4,12)$; pentru $R=6$ ar trebui $18$ V, care nu există. Deci $\mathrm{card}(E_1)=3$.

Pentru $E_2$, tensiunea trebuie să se împartă exact la rezistență. Pe linii: la $2$ Ω merg $6$, $12$, $24$ ($3$ perechi); la $3$ Ω toate patru; la $4$ Ω doar $12$ și $24$; la $6$ Ω merg $6$, $12$, $24$. Deci $\mathrm{card}(E_2)=3+4+2+3=12$.

Pentru $E_3$ contează doar coloana: tensiunile $12$ și $24$ V, pe toate cele $4$ linii, deci $\mathrm{card}(E_3)=4\cdot 2=8$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: rezultate care nu se exclud

O picătură de apă de râu este examinată la microscop. Un elev scrie: „$\Omega =\{\text{conține alge},\text{conține bacterii},\text{nu conține nimic}\}$, deci experimentul are trei rezultate posibile.” Unde greșește și care este mulțimea corectă?

Rezolvare. Rezultatele listate nu se exclud reciproc: o picătură poate conține și alge, și bacterii, iar atunci bifează două elemente ale listei deodată. Lista amestecă două întrebări de tip „da/nu”.

Corect, un rezultat este o pereche de răspunsuri: (conține alge?, conține bacterii?). Notând cu $a$ și $\bar{a}$ prezența și absența algelor, cu $b$ și $\bar{b}$ pe cele ale bacteriilor:

$$\Omega =\{(a,b),(a,\bar{b}),(\bar{a},b),(\bar{a},\bar{b})\},\mathrm{card}(\Omega )=4.$$

Acum fiecare picătură produce exact un rezultat, iar „nu conține nimic” este chiar rezultatul $(\bar{a},\bar{b})$.

Exemplul 5 — Frecvența relativă a unui eveniment

O piuneză este aruncată pe masă de $80$ de ori; de $52$ de ori cade cu vârful în sus. Scrie $\Omega$ și calculează frecvența relativă a evenimentului „vârful în sus”. Se mai fac $120$ de aruncări, în care vârful e în sus de $81$ de ori. Care este frecvența relativă pe toate aruncările?

Rezolvare. $\Omega =\{\text{vaˆrful ıˆn sus},\text{pe o parte}\}$. După primele aruncări, frecvența relativă este $\frac{52}{80}=0,65$.

Pe toate cele $80+120=200$ de aruncări, evenimentul s-a realizat de $52+81=133$ de ori, deci frecvența relativă este $\frac{133}{200}=0,665$.

Cele două rezultate nu au aceeași șansă: piuneza nu are simetria unei monede. Nicio formulă nu dă aici valoarea teoretică; ea se poate doar estima din repetări.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea numerelor naturale de trei cifre scrise numai cu cifrele $1$, $5$ și $9$, cifrele putându-se repeta. Un număr al acestei mulțimi este ales la întâmplare. Determină numărul elementelor lui $\Omega$ și numărul elementelor evenimentelor: $A$ = „numărul este divizibil cu $3$”, $B$ = „numărul are cifrele distincte”.

Rezolvare. Fiecare dintre cele trei cifre se alege în $3$ moduri, deci $\mathrm{card}(\Omega )=3\cdot 3\cdot 3=27$.

Un număr e divizibil cu $3$ dacă suma cifrelor e divizibilă cu $3$. Resturile împărțirii cifrelor la $3$ sunt: $1$ dă restul $1$, $5$ dă restul $2$, $9$ dă restul $0$. Suma a trei resturi, fiecare dintre $0$, $1$, $2$, e divizibilă cu $3$ fie când toate trei sunt egale, fie când sunt toate diferite. Toate egale: $111$, $555$, $999$, adică $3$ numere. Toate diferite: cifrele $1$, $5$, $9$ în orice ordine, adică $3\cdot 2\cdot 1=6$ numere. Deci $\mathrm{card}(A)=3+6=9$.

Numerele cu cifrele distincte sunt exact cele $6$ de mai sus, deci $\mathrm{card}(B)=6$.

Să exersăm

Scrie întâi $\Omega$ și $\mathrm{card}(\Omega )$, apoi evenimentul cerut, ca mulțime.

1. Spune dacă experimentul este determinist sau aleator: a) calculezi masa de sare rămasă după evaporarea completă a $200$ g de soluție cu concentrația de $5\%$; b) extragi, fără să te uiți, o bilă dintr-un săculeț cu bile colorate; c) calculezi durata alunecării unei bile pe un plan înclinat fără frecare, pornind din repaus de la o înălțime dată; d) numeri fotonii detectați într-o secundă de un senzor, la lumină foarte slabă.

2. Scrie $\Omega$ și $\mathrm{card}(\Omega )$ pentru: a) alegerea la întâmplare a unei zile lucrătoare din săptămână pentru o excursie; b) culoarea unui LED RGB aprins aleator în roșu, verde sau albastru; c) numărul de răspunsuri corecte ale unui elev la un test cu $4$ întrebări.

3. Se alege la întâmplare unul dintre primele $20$ de elemente ale tabelului periodic, identificat prin numărul atomic, $\Omega =\{1,2,\dots ,20\}$. Scrie ca mulțimi evenimentele: $A$ = „elementul este gaz nobil”, $B$ = „elementul este metal alcalin”, $C$ = „elementul se află în perioada a 3-a”.

4. Se alege la întâmplare o structură celulară din lista: nucleu, mitocondrie, ribozom, cloroplast, perete celular, membrană celulară. Descrie printr-o propoziție evenimentele $\{\text{cloroplast},\text{perete celular}\}$ și $\{\text{nucleu},\text{mitocondrie},\text{cloroplast}\}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Evenimentul «rezultatul este un număr prim» este aceeași mulțime, oricare ar fi experimentul cu rezultate numerice.”

6. Într-o cameră de creștere a plantelor se alege la întâmplare culoarea luminii (albă, roșie sau albastră) și temperatura ($20$ °C sau $25$ °C). Scrie $\Omega$ ca tabel și numără elementele evenimentelor „lumina este roșie” și „temperatura este de $25$ °C”.

7. Se aruncă două zaruri tetraedrice, unul roșu și unul albastru, cu fețele numerotate de la $1$ la $4$. Determină $\mathrm{card}(\Omega )$ și scrie evenimentele „suma fețelor este $6$” și „produsul fețelor este impar”.

8. La sortarea dovleceilor dintr-o seră se notează lungimea (sub $15$ cm, între $15$ și $20$ cm, peste $20$ cm), dacă fructul este curbat (da/nu) și dacă are pete (da/nu). Câte elemente are $\Omega$? Câte elemente are evenimentul „dovlecelul are peste $20$ cm și nu este curbat”?

9. Într-un sertar sunt $6$ pipete de $10$ mL și $3$ pipete de $25$ mL, identice la pipăit. Se scot, fără a privi, două pipete, una după alta, fără a o pune la loc pe prima. Numerotând pipetele, determină $\mathrm{card}(\Omega )$ pentru perechile ordonate și scrie evenimentul „ambele pipete scoase sunt de $25$ mL”.

10. Un detector a fost citit în $120$ de intervale de câte zece secunde; în $87$ dintre ele a înregistrat cel puțin o particulă. Calculează frecvența relativă a evenimentului „cel puțin o particulă într-un interval”.

11. Câte evenimente ale experimentului de la exercițiul 2 a conțin ziua de vineri, dar nu conțin ziua de luni?

12. (Problemă aplicată.) Un program de control al calității alege la întâmplare o oră fixă de inspecție, din orele $8,9,\dots ,16$, și una dintre cele trei linii de producție, $L_1$, $L_2$, $L_3$. Determină $\mathrm{card}(\Omega )$ și numărul elementelor evenimentului „inspecția are loc după-amiaza, la ora $12$ sau mai târziu, pe linia $L_2$”.

13. Se alege la întâmplare o cifră, $\Omega =\{0,1,2,\dots ,9\}$. Găsește o propoziție care descrie exact evenimentul $\{0,1,4,9\}$.

14. Un jucător aruncă de $6$ ori la coș și se notează numărul de aruncări reușite. Scrie $\Omega$ și evenimentele „cel puțin $4$ aruncări reușite”, „cel mult o aruncare reușită” și „între $2$ și $4$ aruncări reușite, inclusiv”.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Polițele încheiate într-o lună de o societate de asigurări sunt numerotate de la $100$ la $199$. Un auditor alege la întâmplare o poliță. Determină numărul elementelor lui $\Omega$ și numărul elementelor evenimentului „cifra zecilor numărului poliței este mai mare decât cifra unităților”.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un element al mulțimii $M=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{30}\}$. Determină numărul elementelor evenimentului „numărul ales este natural”.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) O aplicație simulează de $400$ de ori un experiment, iar evenimentul $A$ se realizează de $148$ de ori. Calculează frecvența relativă a lui $A$ și estimează de câte ori s-ar realiza $A$ în $1000$ de repetări.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare o cifră pară, $\Omega =\{0,2,4,6,8\}$. Câte evenimente are acest experiment? Câte dintre ele au exact două elemente?

Răspunsuri și explicații

1. Deterministe: a) (se obțin mereu $0,05\cdot 200=10$ g de sare) și c) (durata depinde doar de înălțime, de unghi și de accelerația gravitațională). Aleatoare: b) și d), unde rezultatul se schimbă de la o repetare la alta.

2. a) $\Omega =\{\text{luni},\text{marți},\text{miercuri},\text{joi},\text{vineri}\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=5$. b) $\Omega =\{\text{roșu},\text{verde},\text{albastru}\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=3$. c) $\Omega =\{0,1,2,3,4\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=5$.

3. Gazele nobile de până la $Z=20$ sunt heliul, neonul și argonul: $A=\{2,10,18\}$. Metalele alcaline sunt litiul, sodiul și potasiul: $B=\{3,11,19\}$; hidrogenul, deși stă în grupa 1, nu e metal. Perioada a 3-a începe cu sodiul și se încheie cu argonul: $C=\{11,12,\dots ,18\}$, cu $8$ elemente.

4. $\{\text{cloroplast},\text{perete celular}\}$ = „structura aleasă se găsește în celula vegetală, dar nu și în cea animală”. $\{\text{nucleu},\text{mitocondrie},\text{cloroplast}\}$ = „structura aleasă este delimitată de o membrană dublă”.

5. Fals. Un eveniment este o submulțime a lui $\Omega$, deci depinde de experiment. Dacă $\Omega =\{1,2,3,4\}$, evenimentul este $\{2,3\}$; dacă $\Omega =\{1,2,\dots ,12\}$, este $\{2,3,5,7,11\}$. Aceeași propoziție descrie mulțimi diferite în experimente diferite.

6. Tabelul are $3$ linii (lumina) și $2$ coloane (temperatura), deci $\mathrm{card}(\Omega )=3\cdot 2=6$. „Lumina este roșie” are $2$ elemente: (roșie, $20$ °C) și (roșie, $25$ °C). „Temperatura este de $25$ °C” are $3$ elemente: (albă, $25$ °C), (roșie, $25$ °C), (albastră, $25$ °C).

7. $\mathrm{card}(\Omega )=4\cdot 4=16$. Suma $6$: $\{(2,4),(3,3),(4,2)\}$, cu $3$ elemente. Produsul e impar doar dacă ambele fețe sunt impare: $\{(1,1),(1,3),(3,1),(3,3)\}$, cu $4$ elemente.

8. Un rezultat este un triplet (lungime, curbat, pete), deci $\mathrm{card}(\Omega )=3\cdot 2\cdot 2=12$. Pentru evenimentul cerut, lungimea și forma sunt fixate, iar petele rămân libere: $1\cdot 1\cdot 2=2$ elemente, (peste $20$ cm, nu, da) și (peste $20$ cm, nu, nu).

9. Notăm pipetele de $10$ mL cu $D_1,\dots ,D_6$ și pe cele de $25$ mL cu $V_1$, $V_2$, $V_3$. Prima pipetă se alege în $9$ moduri, a doua în $8$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=9\cdot 8=72$. Evenimentul cerut conține perechile ordonate de pipete mari diferite: $3\cdot 2=6$ elemente, $(V_1,V_2)$, $(V_2,V_1)$, $(V_1,V_3)$, $(V_3,V_1)$, $(V_2,V_3)$, $(V_3,V_2)$.

10. $\frac{87}{120}=0,725=72,5\%$.

11. Vineri e obligatoriu în submulțime, luni e obligatoriu în afara ei, iar pentru fiecare dintre celelalte trei zile (marți, miercuri, joi) decizia e liberă, cu două variante. Rezultă $2^3=8$ evenimente, de la $\{\text{vineri}\}$ până la $\{\text{marți},\text{miercuri},\text{joi},\text{vineri}\}$.

12. Orele de la $8$ la $16$ sunt $9$, liniile $3$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=9\cdot 3=27$. Orele $12$, $13$, $14$, $15$, $16$ pe linia $L_2$ dau $5$ elemente.

13. „Cifra aleasă este pătratul unui număr natural” ($0=0^2$, $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$). Atenție: $0$ intră, iar formularea „pătrat al unei cifre nenule” l-ar pierde.

14. $\Omega =\{0,1,2,3,4,5,6\}$. „Cel puțin $4$” $=\{4,5,6\}$; „cel mult una” $=\{0,1\}$; „între $2$ și $4$, inclusiv” $=\{2,3,4\}$.

15. Sunt $199-100+1=100$ de polițe, deci $\mathrm{card}(\Omega )=100$. Numerele cerute au forma $1ab$, cu cifra zecilor $a$ mai mare decât cifra unităților $b$. Pentru $a=1$ merge doar $b=0$, pentru $a=2$ merg două cifre, …, pentru $a=9$ merg nouă: $1+2+\dots +9=45$ de polițe.

16. $\sqrt{n}$ este natural exact când $n$ este pătrat perfect. Între $1$ și $30$, pătratele perfecte sunt $1,4,9,16,25$, deci evenimentul are $5$ elemente: $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$.

17. Frecvența relativă este $\frac{148}{400}=0,37$. La $1000$ de repetări, estimarea este $0,37\cdot 1000=370$ de realizări; numărul real poate diferi, pentru că frecvența se schimbă de la o serie la alta.

18. $\mathrm{card}(\Omega )=5$, deci există $2^5=32$ de evenimente. Evenimentele cu exact două elemente sunt submulțimile cu două elemente ale lui $\Omega$: $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

De reținut

• Aleator înseamnă repetabil în aceleași condiții, cu lista rezultatelor știută dinainte, dar fără ca rezultatul unei efectuări să poată fi prezis; determinist înseamnă că aceleași condiții dau același rezultat.
• Mulțimea rezultatelor posibile $\Omega$ trebuie să fie completă, iar rezultatele ei să se excludă reciproc: la fiecare efectuare apare exact unul.
• Evenimentele sunt submulțimile lui $\Omega$; spui că $A$ a avut loc când rezultatul obținut e unul dintre elementele lui $A$. Traducerea unei propoziții se verifică element cu element.
• La un experiment în două etape, rezultatele sunt perechi ordonate, așezate într-un tabel cu două intrări; $\mathrm{card}(\Omega )$ este produsul numerelor de rezultate ale etapelor.
• Frecvența relativă a lui $A$ în $n$ repetări este $\frac{k}{n}$; un experiment cu $\mathrm{card}(\Omega )=n$ are $2^n$ evenimente.

Greșeli frecvente

• Două criterii amestecate în aceeași listă. O listă ca „conține alge / conține bacterii / nu conține nimic” lasă un rezultat să bifeze două elemente; fiecare criteriu devine o componentă a unei perechi.
• Ω scris pentru alt experiment decât cel din enunț. La „se aruncă trei zaruri și se numără fețele pare”, rezultatul este un număr de la $0$ la $3$, nu lista fețelor; citește ce se notează la fiecare efectuare.
• Capătul „între” tratat după obicei. Enunțul care nu spune dacă valorile de la capete intră trebuie clarificat înainte de a scrie mulțimea; altfel doi elevi scriu mulțimi diferite și amândoi cred că au dreptate.
• Frecvența relativă luată drept certitudine. După $80$ de aruncări cu $65\%$ de realizări, următoarea serie poate da alt procent; frecvența descrie seria făcută, nu fixează viitorul.
• Media frecvențelor a două serii de lungimi diferite. Frecvența relativă pe două serii puse cap la cap se calculează din totaluri, realizări adunate supra repetări adunate; media aritmetică a celor două frecvențe dă aceeași greutate unei serii scurte și uneia lungi.

Aplică acasă

1. Piuneza, capacul, dopul. Aruncă de $50$ de ori un obiect fără simetrie (o piuneză, un dop de plută, capacul unui pix) și notează de câte ori cade într-o anumită poziție. Scrie $\Omega$ și frecvența relativă după $10$, $25$ și $50$ de aruncări.
2. Verifică o listă. Roagă pe cineva din familie să scrie, fără ajutor, toate rezultatele posibile când scoți la întâmplare un nasture dintr-o cutie cu nasturi de mai multe culori și mărimi. Verifică lista: e completă? Poate un nasture să bifeze două rânduri? Dacă da, rescrie-o ca listă de perechi (culoare, mărime).
3. Jurnalul vremii. Timp de două săptămâni, notează la aceeași oră cerul (senin, noros, ploaie) și dacă bate vântul (da/nu). Scrie $\Omega$ ca tabel, alege un eveniment și calculează frecvența lui relativă la finalul fiecărei săptămâni.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide partea de probabilități a unității de statistică și acoperă rândul din programa clasei a X-a „evenimente, mulțimea evenimentelor posibile ale unui experiment”, împreună cu competența de transpunere a unei situații concrete „în limbajul probabilităților (experiment aleator, mulțimea evenimentelor, eveniment, probabilitate, comparație empirică/teoretică)”. Probabilitatea propriu-zisă nu apare încă; lecția pregătește cele două numere de care va avea nevoie: $\mathrm{card}(\Omega )$ și $\mathrm{card}(A)$. Contextele sunt alese din fizică, chimie și biologie, iar frecvența relativă a repetărilor pregătește comparația empiric–teoretic cerută de programă.

Întrebări bune de control: „Ce se notează la fiecare efectuare a experimentului?”; „Poate un rezultat să bifeze două elemente ale listei tale?”; „Ce elemente are evenimentul și de ce niciun alt rezultat nu îl realizează?”. Pasul următor este lecția despre evenimentul sigur, imposibil și elementar. Exercițiile de recapitulare sunt în testul de probabilități M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: experiment aleator și evenimente, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul de probabilități începe cu „evenimente, mulțimea evenimentelor posibile ale unui experiment”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține „evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”, deci exercițiile cu numărarea elementelor lui $\Omega$ și ale unui eveniment sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, iar cel despre frecvența relativă dintr-o simulare „MAT_P2 2030”. Aceeași programă cere ca aplicațiile capitolului „Matematici financiare”, din care fac parte și probabilitățile, să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiul 15 are context financiar (polițele unei societăți de asigurări), exercițiile 16 și 18 sunt pe mulțimi de numere, iar Exemplul 6 e pe numere formate cu cifre date. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre, pentru care scrierea mulțimii rezultatelor și a evenimentului este primul pas; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre un experiment aleator și unul determinist? Un experiment determinist dă mereu același rezultat în aceleași condiții, ca diluarea unei soluții sau calculul tensiunii cu legea lui Ohm. Un experiment aleator se repetă în aceleași condiții, dar rezultatul lui nu se poate prevedea, deși lista rezultatelor posibile e cunoscută dinainte, ca la dezintegrarea unui nucleu.

Ce înseamnă că rezultatele din Ω se exclud reciproc? Înseamnă că, la o singură efectuare a experimentului, apare exact un element al lui $\Omega$. Dacă un rezultat real poate bifa două elemente ale listei, cum se întâmplă la o picătură care conține și alge, și bacterii, lista amestecă două criterii și trebuie rescrisă, de obicei ca mulțime de perechi.

Cum știu dacă am tradus corect o propoziție într-un eveniment? Verifici element cu element: fiecare element al mulțimii scrise face propoziția adevărată, iar fiecare rezultat din $\Omega$ lăsat pe dinafară o face falsă. Atenție la „cel puțin”, „cel mult” și la capetele lui „între”, unde apar cele mai multe confuzii.

La ce folosește frecvența relativă dacă nu e o probabilitate? Ea este ce observi când repeți experimentul și singurul mod de a estima șansele atunci când rezultatele nu au simetrie, ca la o piuneză. Programa cere compararea ei cu valoarea calculată teoretic, pe care o vei învăța în lecțiile următoare.

Ce diferă față de lecția de mate-info (M1) despre experimentul aleator? Lecția M2 folosește contexte din fizică, chimie și biologie, scrie experimentele în două etape cu tabelul cu două intrări, discută rezultatele care nu se exclud și introduce frecvența relativă a repetărilor, cerută de programa de științe. Lecția M1 lucrează în principal cu zaruri, monede, urne și cărți de joc.

La ce subiect apar evenimentele la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 conține evenimentele aleatoare egal probabile și operațiile cu evenimente, iar modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de probabilitate. Scrierea corectă a lui $\Omega$ și a evenimentului este primul pas al unei astfel de cerințe.