Evenimente disjuncte. Diagrame Venn (M2, științe ale naturii)

Termostatul unui acvariu are un bec roșu, care se aprinde când apa are sub $24$ °C, și un bec albastru, care se aprinde când apa are peste $28$ °C. Nimeni n-a văzut vreodată ambele becuri aprinse: apa nu poate fi, în același moment, și sub $24$, și peste $28$ de grade. Cele două situații se exclud, iar matematica le dă un nume: evenimente disjuncte. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), arată cum se combină evenimentele și cum se văd aceste combinații pe o diagramă Venn. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține „operații cu evenimente”, adică tocmai reuniunea, intersecția și contrarul de azi.

Din lecția despre evenimentul sigur, imposibil și elementar știi că, la fiecare efectuare a unui experiment, se produce exact un eveniment elementar. Acum evenimentele se așază pe un desen și se combină între ele.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști evenimentele disjuncte și să arăți, cu un argument, că două evenimente nu se pot produce împreună.
• Vei ști să reprezinți evenimentele pe o diagramă Venn: dreptunghiul $\Omega$, cercurile și fiecare rezultat în regiunea lui.
• Vei ști să traduci „și”, „sau”, „dar nu”, „nu” în intersecție, reuniune, diferență și eveniment contrar.
• Vei ști ce înseamnă evenimente disjuncte două câte două și când formează ele o partiție a lui $\Omega$.
• Vei ști să citești pe diagramă incluziunea unui eveniment în altul și să negi corect o propoziție cu „și”.
• Vei ști să treci datele dintr-un tabel cu două intrări într-o diagramă Venn și să numeri pe regiuni.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că două evenimente sunt disjuncte?

Evenimentele disjuncte sunt două evenimente $A$ și $B$ care nu au niciun rezultat comun, adică $A\cap B=\varnothing$ (se mai numesc incompatibile); ele nu se pot produce la aceeași efectuare a experimentului.

Nebulozitatea, partea din cer acoperită de nori, se notează în optimi: un număr întreg de la $0$ (cer senin) la $8$ (cer acoperit), deci pentru o observație $\Omega =\{0,1,\dots ,8\}$. Evenimentele $A$ = „cerul este senin sau puțin noros” $=\{0,1,2\}$ și $B$ = „cerul este în mare parte noros sau acoperit” $=\{6,7,8\}$ nu au niciun număr comun: sunt disjuncte. În schimb, $A$ și $C$ = „nebulozitatea este cel mult $4$” $=\{0,\dots ,4\}$ nu sunt disjuncte: o observație de $1$ le realizează pe amândouă.

Testul e mereu același: cauți un rezultat care să le realizeze pe amândouă. Dacă găsești unul, evenimentele nu sunt disjuncte; dacă arăți că nu poate exista, sunt.

2. Cum se desenează evenimentele pe o diagramă Venn?

Un dreptunghi reprezintă $\Omega$; fiecare rezultat este un punct din dreptunghi; fiecare eveniment este un cerc care încercuiește rezultatele lui. Pentru o cifră aleasă la întâmplare, $\Omega =\{0,1,\dots ,9\}$, cu $A$ = „cifra este multiplu de $3$” $=\{0,3,6,9\}$ și $B$ = „cifra este mai mică decât $4$” $=\{0,1,2,3\}$. Două cercuri împart dreptunghiul în patru regiuni, și fiecare cifră intră în exact una:

• în ambele cercuri: $0$, $3$;
• numai în $A$: $6$, $9$;
• numai în $B$: $1$, $2$;
• în afara cercurilor: $4$, $5$, $7$, $8$.

Control: $2+2+2+4=10=\mathrm{card}(\Omega )$. Cifra $0$ stă în zona comună: $0=3\cdot 0$ și $0<4$. Dreptunghiul nu e un ornament: fără el, cifrele $4$, $5$, $7$, $8$ n-ar avea unde să stea.

3. Ce înseamnă „și”, „sau”, „dar nu” în limbajul evenimentelor?

Fiecare legătură dintre propoziții are o operație cu mulțimi și o regiune pe desen:

Intersecția $A\cap B$ se produce când se produc amândouă; reuniunea $A\cup B$ se produce când se produce cel puțin unul. Pentru orice două evenimente, $A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B$, iar desenul arată de ce: zona comună e în cerc, cercul e în reuniune.

4. Cum recunoști pe diagramă evenimentele disjuncte?

Pe diagramă, disjuncția se vede imediat: cercurile a două evenimente disjuncte stau separat, fără nicio zonă comună. La nebulozitate, cercurile lui $A$ și $B$ stau separat, iar valorile $3$, $4$, $5$ rămân în afara amândurora.

Cu trei sau mai multe evenimente, cerința se pune pentru fiecare pereche. Evenimentele $A_1,A_2,\dots ,A_k$ sunt disjuncte două câte două dacă oricare două dintre ele sunt disjuncte. Dacă, în plus, reuniunea lor este $\Omega$, ele formează o partiție a lui $\Omega$: fiecare rezultat se află în exact unul dintre ele. $A$, „cerul este parțial noros” $=\{3,4,5\}$ și $B$ formează o partiție a observațiilor: fiecare observație cade într-o singură categorie.

5. Ce arată un cerc desenat în interiorul altuia?

Dacă $A\subseteq B$, cercul lui $A$ se desenează în interiorul cercului lui $B$: orice rezultat care realizează $A$ realizează și $B$. Spunem că $A$ implică $B$. La nebulozitate, „cerul este senin” $=\{0\}$ este inclus în $A$: un cer senin este, sigur, și „senin sau puțin noros”.

Incluziunea și disjuncția nu se împacă: dacă $A\subseteq B$ și $A$ nu e imposibil, atunci $A\cap B=A\ne \varnothing$, deci $A$ și $B$ nu pot fi disjuncte. Un cerc nevid, desenat în interiorul altuia, atinge cu toată suprafața lui cercul mare.

6. Cum se vede pe diagramă evenimentul contrar?

Contrarul lui $A$, notat $\overline{A}=\Omega \setminus A$, ocupă restul dreptunghiului: toate rezultatele pe care cercul lui $A$ nu le cuprinde. Din desen se citesc două proprietăți:

$$A\cap \overline{A}=\varnothing ,A\cup \overline{A}=\Omega .$$

Un eveniment și contrarul lui sunt deci disjuncte și, împreună, acoperă totul. La nebulozitate, contrarul lui $A$ este $\{3,4,\dots ,8\}$, adică „cel puțin parțial noros”. $A$ și $B$ sunt disjuncte, dar nu contrare: valorile $3$, $4$, $5$ nu intră în niciunul. Probabilitatea evenimentului contrar are o lecție a ei, mai târziu în unitate; aici ne oprim la mulțime.

7. Cum folosești diagrama ca să numeri?

Când regiunile au numere în loc de rezultate scrise, numărul elementelor unei reuniuni se obține adunând regiunile ei. Formula pentru două mulțimi, dedusă în lecția despre principiul includerii și al excluderii, se aplică direct evenimentelor:

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

La cifre, $4+4-2=6$, exact cât are $\{0,1,2,3,6,9\}$. Pentru evenimente disjuncte, termenul scăzut e zero și cardinalele se adună: $A\cup B$ are $3+3=6$ valori din $9$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește diagrama: animale care zboară și mamifere

Se alege la întâmplare un animal din lista: broasca, vipera, balena, pinguinul, liliacul, rechinul, crocodilul, vulturul. Fie $A$ = „animalul zboară” și $B$ = „animalul este mamifer”. a) Așezați cele opt animale pe o diagramă Venn. b) Scrieți $A\cap B$, $A\cup B$ și $\overline{A\cup B}$. c) Fie $C$ = „animalul este pește”. Este $C$ disjunct de $A\cup B$?

Rezolvare. a) Zboară liliacul și vulturul; pinguinul e pasăre, dar nu zboară. Mamifere sunt balena și liliacul. Regiunile: în ambele cercuri, liliacul; numai în $A$, vulturul; numai în $B$, balena; în afara cercurilor, broasca, vipera, pinguinul, rechinul, crocodilul.

b) $A\cap B=\{\text{liliacul}\}$; $A\cup B=\{\text{liliacul},\text{vulturul},\text{balena}\}$; $\overline{A\cup B}$ = celelalte cinci animale. Control: $1+1+1+5=8=\mathrm{card}(\Omega )$.

c) $C=\{\text{rechinul}\}$. Rechinul nu zboară și nu e mamifer, deci stă în afara ambelor cercuri: $C\cap (A\cup B)=\varnothing$. Da, $C$ este disjunct de $A\cup B$.

Exemplul 2 — Disjuncte fără să scrii listele

Din mulțimea $\{1,2,\dots ,200\}$ se extrage la întâmplare un număr. Notăm $A$ = „numărul dă restul $2$ la împărțirea cu $4$”, $B$ = „numărul este pătrat perfect” și $C$ = „numărul dă restul $1$ la împărțirea cu $3$”. a) Arătați că $A$ și $B$ sunt disjuncte. b) Sunt $B$ și $C$ disjuncte? c) Aflați $\mathrm{card}(A\cup B)$.

Rezolvare. a) Un pătrat perfect este $k^2$. Dacă $k=2m$ este par, $k^2=4m^2$ dă restul $0$ la împărțirea cu $4$. Dacă $k=2m+1$ este impar, $k^2=4m^2+4m+1$ dă restul $1$. Un pătrat perfect nu dă niciodată restul $2$, deci $A\cap B=\varnothing$.

b) Nu: $4=3\cdot 1+1$ este pătrat perfect și dă restul $1$ la împărțirea cu $3$, deci $4\in B\cap C$. Un singur rezultat comun ajunge.

c) $A=\{2,6,10,\dots ,198\}$, cu $\frac{198-2}{4}+1=50$ de elemente. Pătratele perfecte din mulțime sunt $1^2,2^2,\dots ,14^2$, pentru că $14^2=196\le 200<225=15^2$; deci $\mathrm{card}(B)=14$. Evenimentele fiind disjuncte, $\mathrm{card}(A\cup B)=50+14=64$.

Exemplul 3 — De la tabel la diagramă

Un catalog folosit la cercul de astronomie conține $48$ de exoplanete, clasificate după rază și după poziția față de stea:

Se alege la întâmplare o exoplanetă din catalog. Fie $R$ = „raza este mai mare decât a Pământului” și $L$ = „exoplaneta se află în zona locuibilă”. Aflați $\mathrm{card}(R)$, $\mathrm{card}(L)$, $\mathrm{card}(R\cap L)$, $\mathrm{card}(R\cup L)$, numărul exoplanetelor care au exact una dintre proprietăți și numărul celor care nu au niciuna.

Rezolvare. Fiecare căsuță a tabelului este o regiune a diagramei: $R\cap L$ are $3$ exoplanete, numai $R$ are $26$, numai $L$ are $6$, iar în afara cercurilor sunt $13$. Control: $3+26+6+13=48$.

• $\mathrm{card}(R)=3+26=29$ și $\mathrm{card}(L)=3+6=9$.
• $\mathrm{card}(R\cap L)=3$.
• $\mathrm{card}(R\cup L)=29+9-3=35$, adică $3+26+6$.
• Exact una: $26+6=32$. Niciuna: $13$, adică $48-35$.

Tabelul cu două intrări și diagrama Venn cu două cercuri poartă aceeași informație: patru căsuțe, patru regiuni.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: negația lui „și”

Un adăpost pentru animale are $20$ de câini: $7$ sunt și sterilizați, și microcipați, $4$ sunt doar sterilizați, $3$ sunt doar microcipați, iar $6$ nu au niciuna dintre cele două intervenții. Se alege la întâmplare unul dintre câini; fie $S$ = „câinele este sterilizat” și $M$ = „câinele este microcipat”. Un elev scrie: „Contrarul lui «este sterilizat și microcipat» este «nu este sterilizat și nu este microcipat», deci are $6$ câini.” Găsiți greșeala și numărați corect.

Rezolvare. Evenimentul „este sterilizat și microcipat” este $S\cap M$, zona comună, cu $7$ câini. Contrarul lui e tot ce se află în afara zonei comune: câinii doar sterilizați, cei doar microcipați și cei fără niciuna. În limbaj de evenimente,

$$\overline{S\cap M}=\overline{S}\cup \overline{M}:$$

„nu este sterilizat sau nu este microcipat”. Are $4+3+6=13$ câini, adică $20-7$. Elevul a scris $\overline{S}\cap \overline{M}$, contrarul lui „cel puțin una dintre intervenții”, care are doar $6$ câini. Este legea lui De Morgan din lecția despre regulile de negare, citită pe diagramă.

Exemplul 5 — Clasele spectrale ale stelelor

Astronomii împart stelele în clasele spectrale O, B, A, F, G, K, M, de la cele mai fierbinți la cele mai reci; Soarele este în clasa G. Se alege la întâmplare o stea dintr-un catalog și se notează clasa ei, deci $\Omega =\{O,B,A,F,G,K,M\}$. Fie $H$ = „steaua este fierbinte (clasele O, B, A)”, $S$ = „steaua este din clasa Soarelui” și $R$ = „steaua este mai rece decât Soarele”. a) Arătați că $H$, $S$, $R$ sunt disjuncte două câte două. b) Formează ele o partiție a lui $\Omega$? c) Ce eveniment trebuie adăugat ca să se obțină o partiție?

Rezolvare. $H=\{O,B,A\}$, $S=\{G\}$, $R=\{K,M\}$.

a) $H\cap S=\varnothing$, $H\cap R=\varnothing$ și $S\cap R=\varnothing$: nicio clasă nu apare în două liste.

b) Nu: $H\cup S\cup R=\{O,B,A,G,K,M\}\ne \Omega$, pentru că lipsește clasa F.

c) Evenimentul $\{F\}$ = „steaua este din clasa F”. Cele patru evenimente $H$, $\{F\}$, $S$, $R$ sunt disjuncte două câte două și au reuniunea $\Omega$: o partiție.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Fie $A$ = „numărul este cub perfect”, $B$ = „numărul este divizibil cu $9$” și $C$ = „numărul este prim”. a) Determinați $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$, $\mathrm{card}(A\cap B)$ și $\mathrm{card}(A\cup B)$. b) Arătați că $B$ și $C$ sunt disjuncte. c) Calculați raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului $A\cup B$ și numărul cazurilor posibile.

Rezolvare. a) Cuburile de două cifre sunt $27=3^3$ și $64=4^3$, deci $\mathrm{card}(A)=2$. Multiplii lui $9$ de două cifre sunt $18,27,\dots ,99$, adică $9\cdot 2,\dots ,9\cdot 11$, deci $\mathrm{card}(B)=10$. Singurul cub divizibil cu $9$ este $27$: $\mathrm{card}(A\cap B)=1$. Atunci

$$\mathrm{card}(A\cup B)=2+10-1=11.$$

b) Un număr divizibil cu $9$ și mai mare decât $9$ are divizorul $9$ diferit de $1$ și de el însuși, deci nu e prim: $B\cap C=\varnothing$.

c) Numerele de două cifre sunt $90$, deci raportul este

$$\frac{11}{90}.$$

Raportul este probabilitatea lui $A\cup B$, în sensul lecției despre definiția clasică a probabilității. Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, cu alt obiect; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de a răspunde, desenează dreptunghiul $\Omega$ și cercurile, apoi așază fiecare rezultat într-o singură regiune.

1. Se alege la întâmplare una dintre substanțele: apa, mercurul, bromul, oxigenul, fierul, sulful. Fie $A$ = „substanța este lichidă la $25$ °C” și $B$ = „substanța este un element chimic”. Scrie $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$ și $\overline{A}$.

2. Din mulțimea $\{1,2,\dots ,40\}$ se extrage la întâmplare un număr. Pentru fiecare pereche, spune dacă evenimentele se pot produce împreună: a) „multiplu de $7$” și „pătrat perfect”; b) „divizor al lui $30$” și „multiplu de $4$”; c) „cub perfect” și „număr par”; d) „are cifra unităților $9$” și „număr prim”.

3. O probă de apă se testează pentru ioni de fier ($F$) și pentru ioni de cupru ($C$). Scrie cu operații cu evenimente: a) „proba conține fier, dar nu cupru”; b) „proba conține cel puțin unul dintre ioni”; c) „proba nu conține niciunul dintre ioni”; d) „proba conține exact unul dintre ioni”.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ și $B$ sunt disjuncte, iar $B$ și $C$ sunt disjuncte, atunci $A$ și $C$ sunt disjuncte.”

5. Din mulțimea $\{1,2,\dots ,50\}$ se extrage la întâmplare un număr. Notăm $A$ = „pătrat perfect impar”, $B$ = „număr impar” și $C$ = „pătrat perfect”. Care dintre incluziunile $A\subseteq B$, $A\subseteq C$, $B\subseteq C$, $C\subseteq B$ sunt adevărate? Sunt $B$ și $C$ disjuncte? Ce eveniment este $B\cap C$?

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dintre numerele $1,2,\dots ,40$ se alege unul la întâmplare. Evenimentele sunt $A$: „numărul se divide cu $5$” și $B$: „numărul dă restul $1$ la împărțirea cu $8$”. Determină $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$, $\mathrm{card}(A\cap B)$, $\mathrm{card}(A\cup B)$ și numărul cazurilor favorabile evenimentului „exact unul dintre $A$ și $B$”.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un număr este ales la întâmplare din mulțimea $\{1,2,\dots ,70\}$. Fie $A$ = „cifra unităților numărului este $3$” și $B$ = „numărul este multiplu de $3$”. Determină $\mathrm{card}(A\cap B)$, $\mathrm{card}(A\cup B)$ și raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului $A\cup B$ și numărul cazurilor posibile.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un număr natural de trei cifre. Arată că evenimentele „suma cifrelor numărului este $5$” și „numărul este divizibil cu $3$” sunt disjuncte. Câte cazuri favorabile are al doilea eveniment?

9. Un aparat raportează indicele de masă corporală (IMC) cu o zecimală. Organizația Mondială a Sănătății folosește, pentru adulți, categoriile: subponderal (IMC sub $18,5$), greutate normală ($18,5$–$24,9$), supraponderal ($25,0$–$29,9$), obezitate ($30,0$ și peste). a) Arată că cele patru categorii, privite ca evenimente, formează o partiție a valorilor raportate. b) Scrie evenimentul „IMC-ul este cel puțin $25,0$” cu ajutorul categoriilor. c) Care este contrarul evenimentului de la b)?

10. (Problemă aplicată.) Un pădurar a examinat $70$ de fagi dintr-o parcelă: $26$ aveau ciuperci pe trunchi, $19$ aveau găuri făcute de ciocănitori, iar $11$ aveau și ciuperci, și găuri. a) Completează o diagramă Venn cu numărul de fagi din fiecare regiune. b) Câți fagi aveau exact una dintre cele două caracteristici? Câți nu aveau niciuna? c) Sunt evenimentele „fagul are ciuperci” și „fagul are găuri de ciocănitoare” disjuncte?

11. Într-o diagramă Venn cu evenimentele $A$ și $B$, rezultatele sunt așezate astfel: numai în $A$ — $2$ și $5$; în zona comună — $7$; numai în $B$ — $1$, $4$, $9$; în afara cercurilor — $3$, $6$, $8$. Scrie $\Omega$, $A$, $B$, $A\cup B$, $\overline{A}$ și $B\setminus A$.

12. Din mulțimea $\{1,2,\dots ,28\}$ se extrage la întâmplare un număr. Notăm $A$ = „multiplu de $10$”, $B$ = „număr prim mai mare decât $15$” și $C$ = „cub perfect”. Arată că $A$, $B$, $C$ sunt disjuncte două câte două și află $\mathrm{card}(A\cup B\cup C)$ și numărul rezultatelor care nu realizează niciunul dintre ele.

13. Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Fie $A$ = „numărul se termină cu $0$ sau cu $5$”. Descrie în cuvinte evenimentul $\overline{A}$ și află $\mathrm{card}(A)$ și $\mathrm{card}(\overline{A})$.

14. Arată, folosind o diagramă Venn și apoi un raționament cu elemente, că dacă $A\subseteq B$ și $B\cap C=\varnothing$, atunci $A\cap C=\varnothing$.

15. Fie $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1,2\}$ și $B=\{5,6\}$. a) Câte evenimente $C$ sunt disjuncte și de $A$, și de $B$? b) Pentru câte dintre ele $A$, $B$, $C$ formează o partiție a lui $\Omega$?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Din mulțimea $\{1,2,\dots ,45\}$ se extrage la întâmplare un număr. Notăm $A$ = „numărul este prim” și $B$ = „numărul dă restul $1$ la împărțirea cu $6$”. Determină $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$, $\mathrm{card}(A\cap B)$, $\mathrm{card}(A\cup B)$ și scrie mulțimea $A\setminus B$.

17. Din mulțimea $\{1,2,\dots ,12\}$ se extrage la întâmplare un număr. Notăm $A$ = „număr par”, $B$ = „multiplu de $3$” și $C$ = „divizor al lui $12$”. Așază cele $12$ numere pe o diagramă Venn cu trei cercuri, precizează care regiuni rămân goale și arată că $A\cap B\subseteq C$.

18. (Provocare.) Un experiment are $\Omega =\{a,b,c\}$. Câte perechi ordonate $(A,B)$ de evenimente disjuncte există? (Evenimentele pot fi și vide.)

Răspunsuri și explicații

1. $A=\{\text{apa},\text{mercurul},\text{bromul}\}$ și $B=\{\text{mercurul},\text{bromul},\text{oxigenul},\text{fierul},\text{sulful}\}$; apa e un compus, nu un element. $A\cap B=\{\text{mercurul},\text{bromul}\}$; $A\cup B=\Omega$, toate cele $6$ substanțe; $A\setminus B=\{\text{apa}\}$; $B\setminus A=\{\text{oxigenul},\text{fierul},\text{sulful}\}$; $\overline{A}=\{\text{oxigenul},\text{fierul},\text{sulful}\}$.

2. a) Disjuncte: multiplii lui $7$ sunt $7,14,21,28,35$, iar pătratele perfecte $1,4,9,16,25,36$. b) Disjuncte: divizorii lui $30$ sunt $1,2,3,5,6,10,15,30$ și niciunul nu e multiplu de $4$, fiindcă $4$ nu divide $30$. c) Nu: $8$ este cub perfect și par. d) Nu: $19$ și $29$ se termină cu $9$ și sunt prime.

3. a) $F\setminus C$. b) $F\cup C$. c) $\overline{F\cup C}=\overline{F}\cap \overline{C}$. d) $(F\setminus C)\cup (C\setminus F)$.

4. Fals. Contraexemplu: $\Omega =\{1,2\}$, $A=C=\{1\}$ și $B=\{2\}$. Atunci $A\cap B=\varnothing$ și $B\cap C=\varnothing$, dar $A\cap C=\{1\}\ne \varnothing$. Disjuncția se verifică separat pentru fiecare pereche.

5. $A=\{1,9,25,49\}$, $B=\{1,3,5,\dots ,49\}$, $C=\{1,4,9,16,25,36,49\}$. Un pătrat perfect impar este și impar, și pătrat perfect: $A\subseteq B$ și $A\subseteq C$ sunt adevărate. $B\subseteq C$ e falsă ($3\notin C$), $C\subseteq B$ e falsă ($4\notin B$). $B$ și $C$ nu sunt disjuncte: $B\cap C=\{1,9,25,49\}=A$.

6. $A=\{5,10,\dots ,40\}$, $\mathrm{card}(A)=8$; $B=\{1,9,17,25,33\}$, $\mathrm{card}(B)=5$; $A\cap B=\{25\}$, $\mathrm{card}(A\cap B)=1$; $\mathrm{card}(A\cup B)=8+5-1=12$. Exact unul: $12-1=11$.

7. $A=\{3,13,23,33,43,53,63\}$, deci $\mathrm{card}(A)=7$. Multiplii lui $3$ până la $70$ sunt $3,6,\dots ,69$, adică $23$, fiindcă $3\cdot 23=69$. Dintre numerele lui $A$, sunt multipli de $3$ doar $3$, $33$ și $63$, deci $\mathrm{card}(A\cap B)=3$ și $\mathrm{card}(A\cup B)=7+23-3=27$. Cazurile posibile sunt $70$, deci raportul este $\frac{27}{70}$.

8. Un număr e divizibil cu $3$ exact când suma cifrelor lui e divizibilă cu $3$. Suma $5$ nu e divizibilă cu $3$, deci niciun număr cu suma cifrelor $5$ nu e divizibil cu $3$: evenimentele sunt disjuncte. Numerele de trei cifre divizibile cu $3$ sunt $102,105,\dots ,999$, adică $\frac{999-102}{3}+1=300$.

9. a) Orice valoare cu o zecimală este fie sub $18,5$, fie între $18,5$ și $24,9$, fie între $25,0$ și $29,9$, fie cel puțin $30,0$, și nu poate fi în două intervale deodată: categoriile sunt disjuncte două câte două și acoperă toate valorile. b) „Supraponderal” $\cup$ „obezitate”. c) Contrarul este „subponderal” $\cup$ „greutate normală”, adică „IMC-ul este sub $25,0$”.

10. a) Ambele: $11$; doar ciuperci: $26-11=15$; doar găuri: $19-11=8$; niciuna: $70-(15+11+8)=36$. Control: $15+11+8+36=70$. b) Exact una: $15+8=23$; niciuna: $36$. c) Nu: $11$ fagi aveau ambele, deci intersecția nu e vidă.

11. $\Omega =\{1,2,\dots ,9\}$; $A=\{2,5,7\}$; $B=\{1,4,7,9\}$; $A\cup B=\{1,2,4,5,7,9\}$; $\overline{A}=\{1,3,4,6,8,9\}$; $B\setminus A=\{1,4,9\}$.

12. $A=\{10,20\}$, $B=\{17,19,23\}$, $C=\{1,8,27\}$. Multiplii lui $10$ nu sunt primi, iar dintre cuburi $1$ nu e prim și $8$, $27$ sunt compuse; $10$ și $20$ nu sunt cuburi. Deci evenimentele sunt disjuncte două câte două, iar $\mathrm{card}(A\cup B\cup C)=2+3+3=8$. Nu realizează niciunul: $28-8=20$ de rezultate.

13. $\overline{A}$ = „numărul nu este divizibil cu $5$”. Numerele de două cifre terminate cu $0$ sau $5$ sunt $9\cdot 2=18$, deci $\mathrm{card}(A)=18$ și $\mathrm{card}(\overline{A})=90-18=72$.

14. Pe diagramă, cercul lui $A$ stă în interiorul cercului lui $B$, iar cercul lui $C$ nu atinge cercul lui $B$, deci nu îl poate atinge nici pe al lui $A$. Cu elemente: dacă ar exista $x\in A\cap C$, atunci $x\in A\subseteq B$, deci $x\in B\cap C$, contradicție cu $B\cap C=\varnothing$.

15. a) $C$ nu poate conține $1$, $2$, $5$, $6$, deci $C\subseteq \{3,4\}$: evenimentele $\varnothing$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{3,4\}$, adică $4$ evenimente. b) O partiție cere $A\cup B\cup C=\Omega$, deci $C=\{3,4\}$: un singur eveniment.

16. Numerele prime până la $45$ sunt $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43$, deci $\mathrm{card}(A)=14$. $B=\{1,7,13,19,25,31,37,43\}$, $\mathrm{card}(B)=8$. $A\cap B=\{7,13,19,31,37,43\}$, $\mathrm{card}(A\cap B)=6$, iar $\mathrm{card}(A\cup B)=14+8-6=16$. $A\setminus B=\{2,3,5,11,17,23,29,41\}$.

17. $A=\{2,4,6,8,10,12\}$, $B=\{3,6,9,12\}$, $C=\{1,2,3,4,6,12\}$. Regiunile: toate trei — $6$, $12$; numai $A$ și $C$ — $2$, $4$; numai $B$ și $C$ — $3$; numai $A$ — $8$, $10$; numai $B$ — $9$; numai $C$ — $1$; în afara cercurilor — $5$, $7$, $11$. Rămâne goală regiunea „$A$ și $B$, dar nu $C$”. Asta înseamnă chiar $A\cap B\subseteq C$: $A\cap B=\{6,12\}$, iar $6$ și $12$ divid $12$.

18. Fiecare dintre cele trei rezultate are trei posibilități: intră în $A$, intră în $B$ sau nu intră în niciunul; nu poate intra în ambele. Prin regula produsului, $3\cdot 3\cdot 3=27$ de perechi.

De reținut

• Două evenimente sunt disjuncte când $A\cap B=\varnothing$: nu se pot produce la aceeași efectuare. Ca să arăți că nu sunt, ajunge un singur rezultat comun.
• Pe o diagramă Venn, dreptunghiul este $\Omega$, cercurile sunt evenimentele, iar fiecare rezultat stă în exact o regiune; regiunile însumate dau $\mathrm{card}(\Omega )$.
• „Și” $\to$ $A\cap B$, „sau” $\to$ $A\cup B$, „dar nu” $\to$ $A\setminus B$, „nu” $\to$ $\overline{A}=\Omega \setminus A$; negația lui „și” este $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$.
• Evenimentele disjuncte două câte două, cu reuniunea $\Omega$, formează o partiție: fiecare rezultat e în exact unul dintre ele.
• Un cerc în interiorul altuia înseamnă $A\subseteq B$; pentru numărare, $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$, cu termenul scăzut zero la evenimente disjuncte.

Greșeli frecvente

• Desenezi cercurile separat pentru că descrierile par fără legătură. „Zboară” și „este mamifer” sună ca lucruri diferite, dar liliacul le are pe amândouă. Decizia de a separa cercurile se ia după rezultate, nu după cuvinte.
• Negi „și” ca „nici…, nici…”. Contrarul lui „câinele este sterilizat și microcipat” este „nu este sterilizat sau nu este microcipat”, cu trei regiuni, nu doar regiunea exterioară.
• Crezi că „disjuncte două câte două” înseamnă doar că nu există un rezultat comun tuturor. Trei evenimente pot avea intersecția triplă vidă și totuși două dintre ele să se atingă. Verifică fiecare pereche.
• Pui același rezultat în două regiuni. Regiunile unei diagrame Venn nu se suprapun; dacă un rezultat pare să aparțină a două regiuni, una dintre descrieri a fost citită greșit.
• Uiți dreptunghiul. Fără el, rezultatele care nu realizează niciun eveniment dispar din desen, iar contrarul reuniunii nu mai are unde să fie citit.

Aplică acasă

1. Etichetele din bucătărie. Alege zece produse și citește-le etichetele. Desenează o diagramă Venn pentru „conține gluten” și „conține lapte” și așază fiecare produs, cu numele lui, în regiunea potrivită. Verifică la final că ai zece nume în dreptunghi.
2. Stelele de pe cer. Cu o aplicație de astronomie, alege zece stele strălucitoare și notează clasa spectrală a fiecăreia. Împarte-le în „mai fierbinți decât Soarele”, „din clasa Soarelui” și „mai reci”. Formează cele trei grupe o partiție a listei tale?
3. Regulile laboratorului. Găsește în regulamentul laboratorului de chimie sau de biologie trei reguli formulate cu „și” (de exemplu, „porți halat și ochelari de protecție”). Scrie, după regula de pe diagramă, când este încălcată fiecare și verifică împreună cu un coleg că ați găsit toate situațiile.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă operațiile cu mulțimi de la clasa a IX-a, din lecția despre mulțimi și operații cu mulțimi, de limbajul evenimentelor. La profilul științe ale naturii accentul cade pe trei deprinderi: așezarea rezultatelor în regiuni, argumentul prin care arăți că două evenimente sunt disjuncte fără să scrii listele, trecerea de la un tabel cu două intrări la o diagramă. Numărarea pe regiuni folosește formula din lecția despre principiul includerii și al excluderii, fără s-o reia.

Întrebări bune de control: „Există un rezultat care le realizează pe amândouă?”; „În ce regiune stă acest rezultat?”; „Care este negația propoziției cu «și»?”; „Acoperă evenimentele toate rezultatele?”. Semn că elevul a înțeles: desenează întâi dreptunghiul și verifică suma regiunilor. Pasul următor din traseu este lecția despre diagrame arborescente pentru experimente. Pentru recapitulare, vezi testul de probabilități M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: evenimente disjuncte și diagrame Venn, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Probabilități” numește explicit „evenimente disjuncte” și „diagrame Venn pentru reprezentarea mulțimii evenimentelor”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține „operații cu evenimente”, dar nu numește diagramele Venn. De aceea exercițiile care cer operații cu evenimente și numărarea cazurilor sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, iar desenul rămâne un instrument de lucru. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția M2 și cea de mate-info (M1) despre evenimente disjuncte? Noțiunile sunt aceleași: reuniune, intersecție, contrar, evenimente disjuncte, diagrame Venn. La științe ale naturii lecția pune rezultatele cu numele lor în regiuni, arată disjuncția prin argument, fără liste, și pornește de la tabele cu două intrări din date reale. Formula reuniunii se folosește din lecția despre includere și excludere.

La ce subiect apar operațiile cu evenimente la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 conține „operații cu evenimente” la capitolul de probabilități, iar modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre. Reuniunea și intersecția apar ca pas al numărării cazurilor favorabile. Pentru MAT_P2 din 2030 tema e în programă, dar un model de subiect nu există încă.

Cum arăt că două evenimente sunt disjuncte fără să scriu toate rezultatele? Presupui că un rezultat le realizează pe amândouă și arăți că asta duce la o contradicție. Un pătrat perfect dă restul $0$ sau $1$ la împărțirea cu $4$, deci nu poate da restul $2$: evenimentele sunt disjuncte oricât de mare ar fi mulțimea. Pentru a arăta contrariul, ajunge un singur rezultat comun.

Ce înseamnă că trei evenimente sunt disjuncte două câte două? Înseamnă că fiecare dintre cele trei perechi posibile are intersecția vidă, nu doar că nu există un rezultat comun tuturor trei. Pe diagramă, niciun cerc nu atinge alt cerc. Dacă, în plus, cercurile acoperă tot dreptunghiul, evenimentele formează o partiție: fiecare rezultat cade în exact unul dintre ele.

Ce reprezintă zona din afara cercurilor unei diagrame Venn? Reprezintă rezultatele care nu realizează niciunul dintre evenimentele desenate, adică contrarul reuniunii lor. La două evenimente, zona aceasta este $\overline{A}\cap \overline{B}$. Ea există doar dacă desenezi dreptunghiul $\Omega$; fără el, rezultatele de acolo se pierd, iar suma regiunilor nu mai dă numărul cazurilor posibile.

Cum trec de la un tabel cu două intrări la o diagramă Venn? Fiecare căsuță a tabelului devine o regiune: căsuța „da–da” este zona comună, cele două căsuțe „da–nu” sunt părțile proprii ale cercurilor, iar căsuța „nu–nu” este zona exterioară. Numărul din căsuță trece neschimbat în regiune. Suma celor patru numere trebuie să fie totalul tabelului.