Parabola, vârful și simetria (M2, științe ale naturii)

Două puncte de pe aceeași parabolă pot avea aceeași înălțime, deși se află în părți diferite ale desenului. Pozițiile lor ne ajută să identificăm o dreaptă de simetrie și un punct care organizează forma întregului grafic: vârful. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), învățăm să citim aceste repere și să le controlăm prin calcule scurte. Lecția continuă funcția de gradul al doilea. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține vârful parabolei și simetria față de drepte de forma $x=m$. Pentru programa nouă a clasei a IX-a, graficele date sau produse digital sunt punctul de plecare; formulele confirmă pozițiile observate și permit valori exacte.

Ce vei învăța

• Vei identifica vârful unei parabole într-un reper cu scară precizată.
• Vei scrie ecuația dreptei verticale care reprezintă axa de simetrie.
• Vei găsi punctul simetric cu un punct dat, păstrând ordonata.
• Vei folosi două abscise distincte cu imagini egale pentru a localiza axa.
• Vei controla coordonatele vârfului prin formula sau forma canonică a funcției.
• Vei observa când restrângerea domeniului elimină o parte din perechile simetrice.

Hai să descoperim împreună

1. Care este punctul în jurul căruia se organizează curba?

Figura A reprezintă o parabolă completă, din care vedem o fereastră. Curba coboară până la punctul marcat, apoi urcă. Vârful parabolei este punctul în care graficul unei funcții de gradul al doilea își schimbă sensul: punctul cel mai de jos al curbei când ramurile sunt în sus și punctul cel mai de sus când ramurile sunt în jos. În figura A ramurile sunt în sus, deci vârful este punctul cel mai de jos.

Pe axa orizontală citim abscisa minus unu, iar pe cea verticală citim ordonata doi. Notăm $V(-1,2)$. Faptul că vârful nu se află pe o axă de coordonate nu schimbă rolul lui. Originea reperului și vârful sunt puncte diferite, cu definiții diferite.

Pentru o citire exactă avem nevoie de gradații sau de coordonate declarate. Un punct desenat între linii ale grilei permite o estimare, dacă nu primim altă informație. Nu presupunem că vârful are coordonate întregi numai pentru că exemplele cele mai simple folosesc numere întregi.

Vârful aparține parabolei complete. Când lucrăm numai cu o porțiune a acesteia, trebuie să verificăm dacă abscisa lui este admisă. O imagine tăiată de fereastra ecranului nu elimină matematic punctul, dar un domeniu care îl exclude chiar îl elimină din graficul funcției restrânse.

În exercițiile acestei lecții, curbele sunt declarate parabole ale unor funcții pătratice. Un arc desenat liber sau o fotografie care pare simetrică nu justifică singur toate proprietățile familiei. Putem observa o asemănare și putem propune un model, dar formulele exacte ale vârfului și simetriei se aplică obiectului matematic precizat. Această precizare este utilă mai ales când un contur dintr-o imagine este folosit ca punct de plecare pentru o discuție.

2. Ce este axa de simetrie și de ce este o dreaptă?

Dreapta verticală prin vârf împarte parabola în două părți care se corespund prin reflexie. Ea este axa de simetrie. Dacă vârful are coordonatele $V(h,k)$, ecuația axei este $x=h$. Toate punctele dreptei au aceeași abscisă, în timp ce ordonata lor poate varia.

Pentru figura A, axa este $x=-1$. Nu scriem doar perechea de coordonate a vârfului atunci când ni se cere axa: o pereche descrie un punct, pe când axa este o dreaptă întreagă. Nici relația $y=2$ nu este axa de simetrie a acestei parabole; ea descrie o orizontală.

Axa poate coincide cu axa verticală a reperului, dar numai când abscisa vârfului este zero. În celelalte cazuri, ea este paralelă cu acea axă și are altă poziție. Simetria nu înseamnă în mod automat că schimbăm semnul abscisei unui punct.

Pe desen putem verifica poziția axei cu două puncte de aceeași înălțime. Ele trebuie să se afle la distanțe orizontale egale de dreapta propusă. Un singur punct din apropierea vârfului nu oferă singur acest control, iar o fotografie deformată sau o grilă citită greșit poate induce o poziție eronată.

3. Cum găsim partenerul simetric al unui punct?

Pentru un punct $A(u,v)$ și o axă verticală $x=h$, punctul simetric este

$$A^{\prime }(2h-u,v).$$

Ordonata se păstrează. Abscisele au mijlocul în $h$, deci diferențele lor față de axă sunt opuse. Dacă punctul inițial este la trei unități în stânga axei, partenerul său este la trei unități în dreapta, la aceeași înălțime.

În figura A, punctele cu abscisele minus trei și unu au aceeași ordonată, patru. Mijlocul absciselor este minus unu, în acord cu axa citită. Putem verifica și formula: funcția desenată are regula $f(x)=\frac{1}{2}(x+1{)}^2+2$, iar distanțe orizontale egale produc același pătrat.

Dacă un punct se află chiar pe axa de simetrie, reflexia îl lasă pe loc. Pe parabolă, acesta este vârful. Nu apar două vârfuri suprapuse și nu trebuie numărat de două ori același punct atunci când enumerăm reperele distincte ale graficului.

Formula reflexiei funcționează pentru orice punct al planului. Ca să afirmăm că am obținut încă un punct al parabolei, folosim în plus faptul că punctul inițial aparține parabolei și că reflectăm față de axa ei reală. O dreaptă verticală aleasă la întâmplare nu păstrează, în general, graficul.

Un control foarte simplu al reflexiei este să o aplici încă o dată. Pornind din partenerul obținut și reflectând față de aceeași axă, trebuie să revii la punctul inițial. Acest control prinde o deplasare făcută în direcția greșită sau folosirea unei alte axe la al doilea pas. Distanța până la axă nu se dublează pentru fiecare punct; se dublează doar distanța dintre axă și punct atunci când comparăm cele două poziții între ele.

4. Ce putem deduce din două valori egale?

Dacă o funcție pătratică definită pe toate numerele reale are aceeași valoare la două intrări distincte, punctele respective sunt parteneri simetrici. Abscisa axei este media aritmetică a intrărilor. Cuvântul „distincte” contează: egalitatea unei valori cu ea însăși nu localizează axa.

Pentru abscisele $u$ și $v$, cu $u\ne v$ și $f(u)=f(v)$, avem $h=(u+v)/2$. Geometric, orizontala prin cele două puncte taie ramurile la distanțe egale de axă. Nu este necesar ca ordonata comună să fie zero; punctele pot fi deasupra sau dedesubtul axei orizontale.

Din această informație aflăm abscisa vârfului, dar nu și ordonata lui. Pentru a cunoaște întregul vârf mai avem nevoie de citirea nivelului din grafic, de o valoare suplimentară sau de formula funcției. Două puncte de aceeași înălțime nu spun singure cât de mult coboară sau urcă parabola între ele.

Dacă punctele au ordonate diferite, media absciselor nu oferă în general axa. Orice două numere au o medie, dar nu orice două puncte ale curbei formează o pereche simetrică. Înaintea operației trebuie verificată condiția care o justifică.

5. Cum confirmă formula coordonatele citite?

Forma $f(x)=a(x-h{)}^2+k$, cu $a\ne 0$, se numește formă canonică. Ea arată direct vârful $V(h,k)$ și axa $x=h$. Când intrarea este $h$, termenul pătratic devine zero, iar valoarea rămâne $k$. Pentru intrări la aceeași distanță de $h$, pătratul este același.

Dacă funcția este dată prin $a{x}^2+bx+c$, calculăm

$$h=-\frac{b}{2a},k=f(h).$$

Aceste relații oferă un control exact al unui vârf citit aproximativ. Ele pot fi înțelese și prin desfacerea formei canonice: coeficientul termenului liniar este $-2ah$. Egalarea lui cu coeficientul din formula inițială conduce la expresia lui $h$.

Nu avem nevoie să memorăm aici o a doua formulă pentru ordonată. Substituția în funcție arată direct că punctul propus se află pe grafic. Dacă după calcul obținem altă ordonată decât în citirea inițială, verificăm precizia desenului și operațiile efectuate.

Coeficientul dominant influențează orientarea și depărtarea verticală față de vârf. În aceeași scară, două parabole cu același vârf pot avea forme mai apropiate sau mai depărtate de axă. Simetria și vârful nu determină singure coeficientul dominant; un alt punct poate furniza informația lipsă.

6. Ce se păstrează dacă desenăm doar o porțiune?

Restrângerea domeniului păstrează formula, dar elimină unele puncte. Dacă intervalul ales conține pentru fiecare abscisă și partenerul său simetric, porțiunea rămâne simetrică. Dacă intervalul nu are această proprietate, graficul restricției nu mai este în întregime simetric față de aceeași dreaptă.

De exemplu, un interval centrat în abscisa vârfului, cu ambele capete incluse, păstrează perechile de puncte până la capete. Un interval mai lung într-o parte decât în cealaltă poate păstra unele perechi și poate elimina altele. Nu modificăm axa parabolei complete pentru a o potrivi artificial porțiunii rămase.

Această distincție contează și când privim un grafic pe ecran. Fereastra poate ascunde partenerul simetric, deși acesta există în domeniu. Într-un exercițiu, citim întâi dacă limitarea este doar de afișare sau face parte din definiția funcției.

Într-un model practic, intervalul admis poate fi impus de timp, de lungimi sau de datele observate. Simetria formulei nu dovedește că fenomenul este utilizabil pe ambele părți ale axei. Interpretarea modelului și alegerea unui optim admis se dezvoltă separat, în modelele cu maxim și minim.

Contează și includerea capetelor, nu numai poziția lor numerică. Un interval centrat în axă, dar închis într-un capăt și deschis în celălalt, păstrează perechile din interior și pierde perechea unui capăt. De aceea citim atât numerele, cât și parantezele domeniului. Pe desen, un cerc gol arată un punct exclus, iar unul plin un punct inclus; aceste semne nu sunt simple ornamente și nu pot fi schimbate fără să se schimbe funcția studiată.

7. Cum verificăm simetria într-o aplicație?

Afișăm parabola și dreapta verticală presupusă a fi axa. Alegem un nivel orizontal care întâlnește ambele ramuri în puncte vizibile. Citim abscisele și verificăm dacă mijlocul lor se află pe dreapta. Repetăm cu alt nivel, fără să schimbăm formula sau scara între citiri.

O verificare numerică poate folosi două intrări aflate la aceeași distanță de abscisa vârfului. Calculăm imaginile lor și le comparăm. Când aplicația rotunjește, o mică diferență în ultima zecimală afișată poate proveni din citire; formula exactă decide egalitatea matematică.

Dacă vrem să comparăm două parabole, păstrăm aceleași scări. Mărirea separată a ferestrelor poate face curbe diferite să pară identice. Coordonatele vârfului și valorile în puncte alese sunt repere mai sigure decât impresia de lățime a unui desen redimensionat.

Pentru o prezentare verificabilă, păstrează lângă captură formula folosită, domeniul declarat și unitățile axelor. Astfel, un coleg poate reproduce citirea și poate deosebi o fereastră incompletă de un domeniu restrâns. Dacă se observă o neconcordanță, verificați întâi aceste date, apoi pozițiile punctelor. O simetrie aproximativă într-o fotografie nu devine o simetrie matematică exactă fără o ipoteză de model; în schimb, pentru funcția pătratică dată exact, proprietatea este justificată de forma ei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Vârful și axa dintr-un grafic dat

Figura B reprezintă o funcție pătratică pe $\mathbb{R}$. Citește vârful, scrie axa de simetrie și precizează orientarea ramurilor.

Rezolvare. Punctul în care curba își schimbă sensul se află la abscisa trei și ordonata unu, deci $V(3,1)$. Dreapta verticală prin acest punct are ecuația $x=3$. Ramurile sunt orientate în jos.

Un control vizual îl oferă punctele de abscise unu și cinci, aflate la același nivel, minus unu. Ambele sunt la două unități de axă. Această pereche confirmă citirea fără să fie necesară determinarea tuturor coeficienților funcției.

Exemplul 2 — Reflexia păstrează înălțimea

O parabolă are axa $x=2$ și conține punctul $A(-4,7)$. Determină punctul simetric cu acesta față de axă.

Rezolvare. Distanța orizontală de la minus patru până la doi este șase. Partenerul se află la șase unități în dreapta lui doi, deci are abscisa opt. Ordonata rămâne șapte și obținem $A^{\prime }(8,7)$.

Prin formulă, abscisa este $2\cdot 2-(-4)=8$. Nu schimbăm și semnul ordonatei: aceea ar fi o altă transformare geometrică. Datele sunt suficiente pentru punctul simetric, chiar dacă nu cunoaștem vârful complet sau regula funcției.

Exemplul 3 — Axa cunoscută, vârful încă incomplet

Se știe că o funcție pătratică verifică $f(-3)=f(7)=8$. Ce parte a informației despre vârf putem determina?

Rezolvare. Abscisele sunt distincte și imaginile egale, deci axa trece prin mijlocul lor: $(-3+7)/2=2$. Axa este $x=2$, iar vârful are abscisa doi. Nu putem afirma că ordonata vârfului este opt.

Nivelul opt aparține celor două puncte date, aflate pe ramuri. Pentru ordonata vârfului este necesară informație suplimentară. Această limită a concluziei este parte a răspunsului: o valoare care nu rezultă din date nu se completează prin presupunere.

Exemplul 4 — Forma care arată imediat reperele

Pentru $p(x)=-3(x+4{)}^2+2$, precizează vârful și axa, apoi găsește imaginea punctului cu abscisa minus cinci prin simetria parabolei.

Rezolvare. Vârful este $V(-4,2)$, iar axa este $x=-4$. În minus cinci, valoarea este $-3+2=-1$, deci punctul este $P(-5,-1)$. La o unitate în dreapta axei se află abscisa minus trei, iar partenerul este $P^{\prime }(-3,-1)$.

Cele două puncte sunt mai jos decât vârful, în acord cu orientarea în jos. Controlul folosește numai un pătrat egal cu unu și distanțe egale față de axă.

Exemplul 5 — Un partener eliminat de domeniu

Se consideră $q:[-1,4]\to \mathbb{R}$, $q(x)=\frac{3}{2}(x-1{)}^2-2$. Graficul acestei funcții restrânse este simetric în întregime față de $x=1$?

Rezolvare. Parabola completă are această axă, dar intervalul declarat nu este centrat în unu. Partenerul abscisei patru este minus doi, care nu aparține domeniului. Punctul de la capătul drept nu are partener în graficul restrâns, deci porțiunea întreagă nu este simetrică.

Unele perechi rămân: abscisele zero și doi sunt amândouă admise. Existența lor nu dovedește simetria întregii porțiuni; pentru aceasta ar trebui păstrați partenerii tuturor punctelor admise.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru $r(x)=3x^2-12x+8$, un desen poartă eticheta „vârf $W(2,-3)$”. Verifică eticheta, corecteaz-o dacă este necesar și scrie axa de simetrie.

Rezolvare. Abscisa vârfului este $12/6=2$, deci prima coordonată este corectă. Valoarea în doi este $12-24+8=-4$, astfel încât vârful este $V(2,-4)$. Punctul propus nici nu aparține graficului, deoarece are altă ordonată.

Nu mutăm întreaga curbă pentru a păstra eticheta. Formula este dată, iar eticheta este afirmația verificată. Corectarea unei coordonate păstrează restul informațiilor justificate, inclusiv axa $x=2$.

Să exersăm

La exercițiile 1–4 folosește figura C, care reprezintă o funcție pătratică $f$ pe $\mathbb{R}$. Coordonatele punctelor de pe grilă se citesc exact. Pentru celelalte cerințe, toate funcțiile fără alt domeniu indicat sunt definite pe $\mathbb{R}$.

1. Citește coordonatele vârfului din figura C și scrie separat ecuația axei de simetrie.

2. Punctul $A(2,1)$ se află pe curba din figura C. Citește și verifică abscisa punctului său simetric.

3. Citește pe figura C ordonatele punctelor de abscise $-4$ și $0$. Ce confirmă această pereche despre axa găsită la exercițiul 1?

4. Compară $f(-5)$ și $f(1)$ folosind numai simetria din figura C, fără să citești ordonatele aproximative.

5. Pentru $g(x)=\frac{1}{2}(x-5{)}^2-7$, precizează vârful și orientarea ramurilor. Nu dezvolta pătratul.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină vârful și axa pentru $h(x)=-4(x+\frac{3}{2}{)}^2+8$. Explică de ce abscisa vârfului nu trebuie să fie întreagă.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verifică prin calcul vârful parabolei $p(x)=-2x^2-12x-11$ și scrie axa ei.

8. O parabolă are axa $x=4$, iar funcția verifică $f(1)=13$, $f(2)=3$, $f(4)=-5$. Completează valorile în șapte și șase folosind simetria.

9. Tabelul unei funcții pătratice definite pe $\mathbb{R}$ dă $u(-2)=5$, $u(0)=-1$ și $u(3)=-1$. Află axa de simetrie, apoi $u(5)$. Poți afla din aceste date și $u(4)$?

10. O parabolă cu axa $x=-\frac{1}{2}$ conține punctul $P(3,-6)$. Determină punctul simetric.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Parabola funcției $f(x)=\frac{2}{3}{x}^2-4x+1$ are axa de simetrie $x=3$.

12. Graficul lui $f:[-3,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3(x-1{)}^2-2$, păstrează toate perechile simetrice față de axa parabolei complete? Motivează cu poziția intervalului.

13. Se restrânge funcția $g(x)=2(x+3{)}^2-5$ la domeniul $[0,4]$. Vârful parabolei complete aparține graficului restrâns? Justifică fără să calculezi valorile în capete.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $f(x)=2x^2+6x-1$, arată că $f(-4)=f(1)$ și deduce de aici axa de simetrie. Calculează apoi ordonata vârfului.

15. Un punct $A(-6,2)$ de pe o parabolă are partenerul simetric $A^{\prime }(4,2)$. Află axa. Este $y=2$ o altă scriere a aceleiași axe?

16. Parabola lui $u(x)=2(x-3{)}^2-6$ este reprezentată într-o fereastră care arată doar $0\le x\le 2$. Poți afirma că funcția nu are vârf? Domeniul funcției este $\mathbb{R}$.

17. (Problemă aplicată.) Un model empiric descrie activitatea relativă a unei enzime, în procente, prin $A(p)=-12(p-7{)}^2+100$, unde $p$ este pH-ul soluției, cu $5\le p\le 9$. Arată că $A(6)=A(8)$ și explică prin simetrie de ce $A(5,5)=A(8,5)$. Verifică apoi că modelul dă valori pozitive în capetele intervalului.

18. Pe un desen, patru puncte sunt marcate ca aparținând aceleiași parabole: $(-1,3)$, $(5,3)$, $(1,-2)$ și $(4,-2)$. Poate fi desenul corect? Justifică prin axele pe care le indică cele două perechi.

Răspunsuri și explicații

1. Vârful este $V(-2,-3)$, iar axa este dreapta $x=-2$. Prima informație descrie un punct, a doua descrie o mulțime de puncte cu abscisă fixă.

2. Abscisa simetrică este $2\cdot (-2)-2=-6$, deci punctul este $A^{\prime }(-6,1)$. Ambele abscise sunt la patru unități de axă.

3. Ambele ordonate sunt $-2$. Intrările sunt distincte și au aceeași imagine, iar mijlocul lor este $\frac{-4+0}{2}=-2$, adică exact abscisa axei $x=-2$. Perechea citită confirmă axa fără să mai folosim vârful.

4. Valorile sunt egale. Abscisele sunt la câte trei unități de minus doi, în părți opuse. Simetria oferă o egalitate exactă fără o estimare a nivelului.

5. Vârful este $V(5,-7)$, iar ramurile sunt în sus. Coeficientul pozitiv nu schimbă coordonatele care se citesc din forma canonică.

6. Vârful este $V(-3/2,8)$ și axa $x=-3/2$. Coordonatele sunt numere reale, iar poziția vârfului poate cădea între două gradații întregi.

7. Abscisa este $-3$, iar $p(-3)=-18+36-11=7$. Vârful este $V(-3,7)$, cu axa $x=-3$ și ramurile orientate în jos.

8. $f(7)=13$ și $f(6)=3$. Perechile de abscise sunt simetrice față de patru; valoarea de la vârf nu trebuie recalculată pentru această completare.

9. Perechea cu imagini egale este formată din $0$ și $3$, deci axa este $x=\frac{3}{2}$. Partenerul lui $-2$ este $2\cdot \frac{3}{2}-(-2)=5$, așa că $u(5)=u(-2)=5$. Pentru $4$ partenerul este $-1$, iar $u(-1)$ nu apare în tabel, deci $u(4)$ nu rezultă din aceste date.

10. Partenerul este $P^{\prime }(-4,-6)$, deoarece $2(-1/2)-3=-4$. Ordonata negativă se păstrează, la fel ca o ordonată pozitivă.

11. Adevărat. Abscisa vârfului este $-\frac{b}{2a}=\frac{4}{4/3}=3$, deci axa este $x=3$. Control prin simetrie: $f(0)=1$ și $f(6)=24-24+1=1$, iar mijlocul intrărilor $0$ și $6$ este trei.

12. Da. Intervalul are centrul în unu, abscisa vârfului, iar capetele sunt la câte patru unități de el. Reflexia $x\mapsto 2-x$ păstrează toate intrările intervalului.

13. Nu. Abscisa vârfului este minus trei, care nu aparține intervalului dat. Restricția păstrează numai o porțiune dintr-o ramură.

14. $f(-4)=32-24-1=7$ și $f(1)=2+6-1=7$. Intrările sunt distincte și au aceeași imagine, deci axa trece prin mijlocul lor: $x=-\frac{3}{2}$. Ordonata vârfului este $f(-\frac{3}{2})=\frac{9}{2}-9-1=-\frac{11}{2}$, deci $V(-\frac{3}{2},-\frac{11}{2})$.

15. Axa este $x=-1$, media absciselor. Relația $y=2$ descrie o orizontală prin cele două puncte, deci nu este aceeași dreaptă.

16. Nu. Vârful $V(3,-6)$ există în graficul funcției, dar este în afara ferestrei alese. Schimbarea ferestrei îl poate face vizibil.

17. $A(6)=-12+100=88$ și $A(8)=-12+100=88$. Axa este $p=7$, iar $5,5$ și $8,5$ sunt la câte $1,5$ unități de ea, deci au aceeași activitate. În capete, $A(5)=A(9)=-48+100=52$, adică $52$ %, valoare pozitivă; modelul se folosește numai pe intervalul declarat.

18. Nu. O orizontală taie parabola în cel mult două puncte, deci fiecare pereche de la același nivel este formată din parteneri simetrici. Prima pereche indică axa $x=\frac{-1+5}{2}=2$, a doua axa $x=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$. O parabolă are o singură axă, așa că cel puțin un punct este marcat greșit.

De reținut

• Vârful este un punct al parabolei complete; ecuația axei descrie o dreaptă verticală prin el.
• Reflexia față de axa verticală păstrează ordonata și schimbă abscisa în partenerul ei simetric.
• Două intrări distincte cu imagini egale au mijlocul în abscisa vârfului.
• Formula și forma canonică pot controla exact reperele citite pe grafic.
• Un domeniu restrâns poate elimina vârful sau partenerii unor puncte, fără să schimbe formula.

Greșeli frecvente

• Scrierea unui punct în locul axei cerute. Vârful are două coordonate, în timp ce axa are o ecuație de dreaptă. Formulează separat cele două răspunsuri.
• Folosirea axei reperului pentru orice parabolă. Simetria față de axa verticală a reperului apare doar când vârful are abscisa zero; citește amplasarea reală înaintea reflexiei.
• Schimbarea ambelor coordonate la reflexia față de o verticală. Punctele simetrice rămân la același nivel. Modifică abscisa folosind distanța până la axă și păstrează ordonata.
• Media absciselor calculată pentru puncte de înălțimi diferite. Formula mijlocului localizează axa numai pentru o pereche simetrică; verifică egalitatea valorilor și distinctivitatea intrărilor.
• Atribuirea simetriei complete oricărei restricții. Controlează dacă domeniul păstrează și partenerul fiecărei abscise admise. Unele perechi păstrate nu sunt suficiente pentru întregul grafic.

Aplică acasă

1. Control cu hârtie transparentă. Desenează o parabolă dintr-un grafic dat, marchează o verticală presupusă axă și suprapune prin pliere cele două părți. Alege repere la două niveluri diferite. Compară verificarea vizuală cu mediile absciselor citite.
2. Capete care păstrează simetria. Pentru $y=\frac{1}{4}(x+2{)}^2+1$, alege un interval închis centrat în minus doi și apoi unul necentrat. Scrie pentru fiecare interval dacă orice punct admis își păstrează partenerul. În cazul negativ, prezintă o pereche concretă care explică răspunsul.
3. Eticheta lipsă. Pregătește un desen cu vârful vizibil și trei puncte etichetate doar pe una dintre ramuri. Cere unui coleg să adauge partenerii fără să calculeze formula. Verificați că în fiecare pereche ordonatele coincid și mijlocul absciselor este același.

Pentru părinți și profesori

Folosiți întrebări care cer obiecte diferite: „care sunt coordonatele vârfului?”, „care este ecuația axei?” și „care este partenerul acestui punct?”. Elevul trebuie să distingă punctul de dreaptă și să păstreze sensul fiecărei coordonate. O formulă corect memorată nu garantează această distincție.

În activitatea digitală, păstrați o versiune cu grila și axele vizibile. Dacă un elev citește doar aproximativ vârful, cereți să indice limita preciziei și să folosească formula pentru control. Nu prezentați o porțiune asimetrică decupată de ecran ca dovadă că parabola completă și-ar fi pierdut simetria.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere interpretarea geometrică a proprietăților, citite pe grafice date sau produse digital; vârful și simetria se citesc aici pe grafic. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2 (anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), tema apare în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde vârful parabolei și simetria față de drepte de forma $x=m$. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă, deci nu indicăm un anumit tip de exercițiu drept sigur.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: parabola, vârful și axa de simetrie dezvoltă și forma canonică prin calcul general. Urmează intersecțiile parabolei cu axele; recapitulează prin testul de funcții și lecturi grafice. Simetria față de o dreaptă a fost întâlnită la reprezentarea punctelor în plan, în clasa a VII-a.

Întrebări frecvente

Cum deosebesc vârful citit pe desen de axa de simetrie? Vârful este punctul unde curba își schimbă sensul, iar axa este verticala prin el. Pentru primul scrii o pereche de coordonate; pentru a doua scrii o ecuație care fixează abscisa și permite orice ordonată. Un răspuns care dă numai perechea atunci când se cere axa descrie alt obiect matematic.

Dacă două puncte au aceeași imagine, aflu întregul vârf? Pentru două abscise distincte afli poziția axei și abscisa vârfului, ca medie a lor. Nivelul vârfului nu rezultă numai din această informație, fiindcă parabole diferite pot trece prin aceleași două puncte. El trebuie citit separat pe grafic sau calculat din formula funcției.

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre vârf și axă? Noțiunile sunt aceleași, dar aici vârful și axa se citesc pe grafice date, iar formulele servesc drept control. Nu demonstrăm în general forma canonică și nu căutăm coeficienți pentru un vârf impus; în schimb, lucrăm cu domenii restrânse, ferestre de afișare și modele cu interval declarat. Tot ce îți trebuie pentru profilul tău este aici.

Vârful poate avea o abscisă fracționară? Da. Coeficienții reali pot produce orice abscisă reală pentru vârf. Dacă aceasta cade între gradații, graficul oferă o estimare, iar formula permite valoarea exactă; nu rotunji automat la cel mai apropiat număr întreg. Scrie fracția sau zecimala exactă și păstrează aproximarea doar pentru comparația cu desenul.

De ce o porțiune de parabolă poate să nu fie simetrică? Domeniul restrâns poate păstra o abscisă și poate exclude partenerul ei. Parabola completă rămâne simetrică, dar porțiunea studiată nu conține toate perechile. Verificarea se face asupra domeniului declarat, nu numai asupra formulei; un interval centrat în abscisa vârfului, cu ambele capete incluse, păstrează simetria.

Cum apar vârful și axa de simetrie la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 numește vârful parabolei și simetria față de drepte de forma $x=m$. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă, deci nu putem spune ce formă va avea o întrebare. Exersează scrierea separată a vârfului și a axei, controlul prin formulă și folosirea a două valori egale pentru a găsi axa.