Derivata a doua și curbura graficului (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un număr de cazuri dintr-o epidemie poate să crească două săptămâni la rând și totuși vestea să fie bună: important nu e doar că urcă, ci dacă urcă tot mai repede sau tot mai încet. Prima întrebare se rezolvă cu derivata, a doua cere derivata derivatei. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), noțiunea aceasta se numește derivata de ordinul al doilea, se notează $f^{''}$ și este ultima treaptă pe care o cere programa: programa de examen a bacalaureatului M2 cere explicit calculul derivatelor de ordinul I și al II-lea, iar cerințele de analiză matematică se dau la Subiectul al III-lea.

Lecția de astăzi arată cum se calculează $f^{''}$ fără greșeli de semn, ce citește semnul ei pe desen și de ce, în fizică, exact acest număr se numește accelerație. Toate calculele se fac cu formulele din lecțiile anterioare: nu apare nicio regulă nouă, ci doar aceleași reguli aplicate încă o dată.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă derivata de ordinul al doilea și în ce condiții există ea într-un punct.
Vei ști să calculezi $f^{''}$ pentru funcțiile din tabel, pentru produse, câturi și funcții compuse, simplificând între cele două derivări.
Vei ști să citești pe grafic ce spune semnul lui $f^{''}$ despre curbura unei porțiuni de curbă.
Vei ști să recunoști accelerația ca derivată a doua a legii de mișcare și să-i pui unitatea de măsură potrivită.
Vei ști să verifici un rezultat prin gradul expresiei obținute și printr-o probă numerică, înainte de a-l trece pe curat.
Vei ști să rezolvi cerințele de tip „Arătați că $f^{''} (x) = \dots$ ", pe care programa de examen le cere explicit, la „calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate".

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „derivata derivatei"?

Până acum, pornind de la derivata unei funcții într-un punct, ai obținut din fiecare funcție derivabilă o nouă funcție, $f^{'}$ . Nimic nu te împiedică să repeți operația asupra ei.

Derivata de ordinul al doilea a funcției $f$ în punctul $x_{0}$ este derivata funcției $f^{'}$ în acel punct, notată $f^{''} (x_{0})$ ; ea există numai dacă $f^{'}$ este definită pe un interval deschis din jurul lui $x_{0}$ și este, la rândul ei, derivabilă în $x_{0}$ . Când $f^{''}$ există în fiecare punct al unui interval, spunem că $f$ este de două ori derivabilă pe acel interval.

Notația se citește „f secund" și îi aparține tot lui Lagrange. Ea nu înseamnă nici pătratul funcției, nici pătratul derivatei: $f^{''} (x)$ este un alt număr decât $(f^{'} (x))^{2}$ , iar confuzia dintre ele strică rezultatul de la primul pas. Programa profilului științe ale naturii se oprește aici: ordinul al treilea și cele următoare nu se cer, așa că notația cu două liniuțe este suficientă și nu avem nevoie de altele.

2. Cum se calculează, practic?

În doi pași, și amândoi se fac cu regulile pe care le ai deja: calculezi $f^{'}$ , o simplifici, apoi o derivezi din nou.

Pasul de mijloc, simplificarea, nu este o eleganță, ci o economie reală. Ia $f (x) = x^{3} e^{x}$ . Regula produsului dă $f^{'} (x) = 3 x^{2} e^{x} + x^{3} e^{x}$ , iar derivarea ei în forma nedesfăcută cere încă două grupe de calcule și lasă patru termeni care trebuie reduși la final. Dacă scrii mai întâi $f^{'} (x) = e^{x} (x^{3} + 3 x^{2})$ , a doua derivare cere regula produsului o singură dată:

$f^{''} (x) = e^{x} (x^{3} + 3 x^{2}) + e^{x} (3 x^{2} + 6 x) = e^{x} (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) .$

Aceeași economie apare la funcțiile raționale. O derivată de forma $\frac{c}{( x - a ) ^{n}}$ se derivează mult mai ușor scrisă ca putere cu exponent negativ, $c (x - a)^{- n}$ , decât cu regula câtului: dispare și numitorul la pătrat, și jumătate din semne.

3. Derivatele de ordinul al doilea ale funcțiilor din tabel

Merită să ai sub ochi, o singură dată, ce se întâmplă cu funcțiile uzuale după două derivări.

$f (x)$	$f^{'} (x)$	$f^{''} (x)$
$x^{n}$ , $n$ natural, $n \geq 2$	$n x^{n - 1}$	$n (n - 1) x^{n - 2}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$- \frac{1}{4 x x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$ , cu $a > 0$ , $a \neq = 1$	$a^{x} ln a$	$a^{x} (ln a)^{2}$
$sin x$	$cos x$	$- sin x$
$cos x$	$- sin x$	$- cos x$

Două observații care se rețin ușor. La puteri, exponentul scade de două ori: pentru $x^{n}$ el ajunge la $n - 2$ , nu la $n - 1$ . La sinus și cosinus, două derivări readuc funcția de la care ai plecat, cu semn schimbat: $f^{''} = - f$ . Exponențiala $e^{x}$ se reproduce pe sine la fiecare derivare, oricâte ai face, iar asta explică de ce apare în aproape orice model de creștere.

4. Cum derivezi a doua oară un produs, un cât sau o compunere?

Nu există nicio regulă nouă: se aplică, încă o dată, regulile pentru sumă, produs și cât și regula lanțului pentru funcții compuse. Ce se schimbă este doar atenția cerută, pentru că a doua expresie e mai încărcată decât prima.

La compuneri, fiecare derivare adaugă câte un factor venit din interior. Pentru $f (x) = e^{5 x}$ avem $f^{'} (x) = 5 e^{5 x}$ și $f^{''} (x) = 25 e^{5 x}$ : factorul $5$ apare de două ori, deci la pătrat. Regula se generalizează imediat: la $e^{k x}$ , derivata de ordinul al doilea este $k^{2} e^{k x}$ , iar la $sin (k x)$ este $- k^{2} sin (k x)$ . Un rezultat în care factorul apare o singură dată este semn sigur că a doua derivare a fost făcută în grabă.

La câturi, cea mai frecventă greșeală nu e de formulă, ci de neatenție: elevul derivează doar numărătorul lui $f^{'}$ și copiază numitorul. Fracția obținută după prima derivare este o funcție ca oricare alta, iar la a doua derivare ea cere regula câtului în întregime — sau rescrierea ca putere, când numărătorul este constant.

5. Ce citește semnul lui $f^{''}$ pe grafic?

Aici derivata a doua devine interesantă. Semnul lui $f^{'}$ spune dacă valorile cresc sau scad; semnul lui $f^{''}$ spune același lucru despre $f^{'}$ , adică arată dacă ritmul crește sau scade.

Pe desen, deosebirea se vede ca formă a curbei. Când $f^{''}$ este pozitivă pe o porțiune, panta tangentei crește de-a lungul ei, iar graficul se curbează în sus, ca o cupă care ține apa. Când $f^{''}$ este negativă, panta scade, iar graficul se curbează în jos, ca o cupă răsturnată, care varsă apa. Numele acestor două forme — convexă și concavă — și determinarea exactă a intervalelor pe care apar sunt tema unității următoare; aici ne interesează doar legătura dintre semn și forma curbei.

Combinațiile posibile sunt patru și merită citite pe rând, pentru că elevii le confundă des. O funcție poate crește tot mai repede ( $f^{'} > 0$ și $f^{''} > 0$ ), poate crește tot mai încet ( $f^{'} > 0$ și $f^{''} < 0$ ), poate scădea tot mai repede ( $f^{'} < 0$ și $f^{''} < 0$ ) sau poate scădea tot mai încet ( $f^{'} < 0$ și $f^{''} > 0$ ). Curba unei epidemii care „încetinește" este exact al doilea caz: numărul de cazuri tot crește, dar $f^{''}$ a devenit negativă.

6. Accelerația: derivata a doua a legii de mișcare

Într-un model cinematic, dacă $x (t)$ este coordonata unui corp pe axa pe care se mișcă, atunci $v (t) = x^{'} (t)$ este viteza lui, iar $a (t) = v^{'} (t) = x^{''} (t)$ este accelerația. Aceasta este singura interpretare pe care programa profilului științe ale naturii o cere explicit, sub numele de „modelarea proceselor fizice".

Unitățile se citesc ca la orice derivată, doar că operația se face de două ori: dacă distanța e în metri și timpul în secunde, viteza iese în metri pe secundă, iar accelerația în metri pe secundă la pătrat. Nu este o convenție, ci rezultatul împărțirii: metri pe secundă, împărțit din nou la secunde.

Semnul accelerației se citește însă cu grijă, împreună cu semnul vitezei. O accelerație negativă nu înseamnă neapărat că un corp încetinește: dacă viteza este ea însăși negativă, adică dacă corpul se mișcă în sens invers axei, o accelerație negativă îl face să meargă tot mai repede în acel sens. Corpul frânează atunci și numai atunci când viteza și accelerația au semne contrare.

7. Unde se oprește programa și cum verifici rezultatul?

Programa de la științe ale naturii cere derivatele de ordinul I și al II-lea „pentru funcțiile studiate" — atât. Derivate de ordinul al treilea, formule pentru derivata de ordin $n$ sau derivate ale funcțiilor pe ramuri nu intră nici în programa clasei, nici în cea de examen a acestui profil.

Verificarea unui rezultat se face din trei direcții. La polinoame, gradul: dacă $f$ are gradul $n$ , atunci $f^{''}$ are gradul $n - 2$ , iar la o funcție de gradul al doilea derivata a doua este o constantă. La exponențiale și la funcțiile trigonometrice, forma: $e^{k x}$ se reproduce pe sine, iar sinusul și cosinusul se întorc cu semn schimbat. Și, pentru orice funcție, proba numerică: derivata a doua se estimează cu raportul $\frac{f ( x _{0} + h ) - 2 f ( x _{0} ) + f ( x _{0} - h )}{h ^{2}}$ , luând $h$ de ordinul lui $0, 01$ . Pentru $f (x) = x^{3}$ în $x_{0} = 2$ formula dă $f^{''} (2) = 12$ , iar raportul, cu $h = 0, 01$ , dă $12, 0000$ — o coincidență care nu apare din întâmplare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom, cu proba gradului

Calculați $f^{''}$ pentru funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 2 x - 7$ .

Rezolvare. Prima derivare se face termen cu termen: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2$ . A doua, la fel:

$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 36 x = 12 x (x - 3) .$

Proba gradului confirmă: funcția are gradul patru, derivata întâi gradul trei, derivata a doua gradul doi. Forma factorizată este preferabilă, pentru că arată dintr-o privire că $f^{''}$ se anulează în $0$ și în $3$ , adică exact acolo unde curbura graficului urmează să se schimbe — ceea ce vei studia în unitatea următoare.

Exemplul 2 — Viteza și accelerația unui cărucior de laborator

Un cărucior se deplasează pe o șină, iar coordonata lui pe axa șinei este $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ , măsurată în metri, cu $t$ în secunde, $t \in [0, 5]$ . a) Determinați viteza și accelerația căruciorului. b) Calculați accelerația în momentele în care viteza este nulă și interpretați semnele obținute.

Rezolvare. a) Viteza este derivata întâi, $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ , măsurată în metri pe secundă, iar accelerația este derivata a doua:

$x^{''} (t) = 6 t - 12.$

Prin urmare $a (t) = 6 t - 12$ , în metri pe secundă la pătrat.

b) Viteza se anulează când $3 t^{2} - 12 t + 9 = 0$ , adică $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ , cu soluțiile $t = 1$ și $t = 3$ , amândouă în intervalul dat. În aceste momente accelerația este $a (1) = - 6$ și $a (3) = 6$ , exprimate în metri pe secundă la pătrat.

Citirea fizică este limpede: la $t = 1$ secundă căruciorul se oprește o clipă și, cu accelerație negativă, pornește înapoi; la $t = 3$ secunde se oprește din nou și, cu accelerație pozitivă, revine în sensul inițial. Între cele două momente coordonata scade, ceea ce înseamnă că mobilul se întoarce spre punctul de plecare — un lucru care se poate întâmpla cu coordonata, dar niciodată cu distanța totală parcursă, care nu scade niciodată.

Exemplul 3 — O funcție rațională

Calculați $f^{''}$ pentru funcția $f : R ∖ {5} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 4}{x - 5}$ .

Rezolvare. Prima derivare, cu regula câtului:

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x - 5 ) - ( x + 4 ) \cdot 1}{( x - 5 ) ^{2}} = \frac{- 9}{( x - 5 ) ^{2}} .$

Acum vine pasul care economisește timp: scriem $f^{'} (x) = - 9 (x - 5)^{- 2}$ și derivăm ca pe o putere compusă, cu interiorul $x - 5$ , a cărui derivată este $1$ :

$f^{''} (x) = - 9 \cdot (- 2) (x - 5)^{- 3} = \frac{18}{( x - 5 ) ^{3}} .$

Cu regula câtului s-ar fi ajuns la același rezultat, după un calcul de două ori mai lung. Observă și semnul: pentru $x > 5$ derivata a doua este pozitivă, iar pentru $x < 5$ este negativă, deci cele două ramuri ale graficului se curbează în sensuri diferite.

Exemplul 4 — O funcție compusă

Calculați $f^{''}$ pentru funcția $f : (- \frac{1}{2}, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln (2 x + 1)$ .

Rezolvare. Interiorul este $2 x + 1$ , cu derivata $2$ , deci prima derivată este $f^{'} (x) = \frac{2}{2 x + 1}$ . Pentru a doua, scriem $f^{'} (x) = 2 (2 x + 1)^{- 1}$ și aplicăm din nou regula lanțului:

$f^{''} (x) = 2 \cdot (- 1) (2 x + 1)^{- 2} \cdot 2 = - \frac{4}{( 2 x + 1 ) ^{2}} .$

Factorul $2$ a intrat în calcul de două ori, o dată la fiecare derivare, de unde numărul $4$ de la numărător. Rezultatul este negativ pe tot domeniul, ceea ce se potrivește cu forma cunoscută a graficului logaritmului: o curbă care urcă, dar tot mai încet.

Exemplul 5 — Citește graficul

Graficul de mai jos arată numărul total de cazuri înregistrate într-un focar, zi de zi, de la începutul lui până la stingere. Curba urcă de la început până la sfârșit și se apropie, spre final, de o valoare constantă. Pe prima parte ea se curbează în sus, iar de la un moment dat se curbează în jos. a) Ce semn are $f^{'}$ pe tot intervalul și de ce? b) Pe ce porțiune este $f^{''}$ pozitivă și pe ce porțiune este negativă? c) Ce înseamnă, pentru un medic epidemiolog, momentul în care $f^{''}$ își schimbă semnul?

Rezolvare. a) Numărul total de cazuri nu poate scădea, pentru că este o sumă care se tot adaugă; deci funcția este crescătoare, iar $f^{'} > 0$ pe tot intervalul.

b) Pe prima porțiune graficul se curbează în sus, deci $f^{''} > 0$ : numărul de cazuri noi pe zi, care este chiar $f^{'}$ , crește de la o zi la alta. Pe a doua porțiune graficul se curbează în jos, deci $f^{''} < 0$ : se adaugă în continuare cazuri, dar tot mai puține pe zi.

c) Este ziua în care numărul de cazuri noi atinge valoarea cea mai mare. După ea, epidemia continuă, dar ritmul scade. Reține deosebirea de vocabular, pentru că în presă se confundă mereu: „scade numărul de cazuri" înseamnă $f^{'} < 0$ , iar „scade ritmul" înseamnă doar $f^{''} < 0$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} + \frac{8}{x}$ . a) Arătați că $f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} - 8}{x ^{2}}$ , $x \in (0, + \infty)$ . b) Arătați că $f^{''} (x) = 2 + \frac{16}{x ^{3}}$ , $x \in (0, + \infty)$ . c) Arătați că $f^{''} (x) > 2$ pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen, cu $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ :

$f^{'} (x) = 2 x - \frac{8}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 8}{x ^{2}} .$

Aducerea la același numitor este chiar forma cerută de enunț.

b) Pentru a doua derivare folosim forma nesimplificată, $f^{'} (x) = 2 x - 8 x^{- 2}$ , care se derivează fără regula câtului:

$f^{''} (x) = 2 + 16 x^{- 3} = 2 + \frac{16}{x ^{3}} .$

c) Pentru $x > 0$ avem $\frac{16}{x ^{3}} > 0$ , deci $f^{''} (x) = 2 + \frac{16}{x ^{3}} > 2$ , ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe sunt scrise în formatul probei M_șt-nat: la a) se verifică o formulă a derivatei, iar celelalte două subpuncte se sprijină pe ea — în modelul oficial publicat, o limită și o inegalitate. Observă alegerea făcută la punctul b): forma cerută la a) este bună pentru enunț, dar pentru derivarea următoare se folosește forma cu exponent negativ. A alege forma potrivită înainte de a deriva a doua oară este jumătate din rezolvare.

Să exersăm

Ordinea de lucru: derivata întâi, simplificarea, derivata a doua, proba.

1. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 3$ , $x \in R$ .

2. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ , $x \in R$ .

3. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = e^{- 4 x}$ , $x \in R$ .

4. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = cos (4 x)$ , $x \in R$ .

5. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = ln (5 x)$ , $x \in (0, + \infty)$ .

6. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = x^{3} ln x$ , $x \in (0, + \infty)$ .

7. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = 2 x + 1$ , $x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)$ .

8. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = \frac{1}{x ^{4}}$ , $x \in R^{*}$ .

9. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$ , $x \in R ∖ {- 3}$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{''} (x) > 0$ pentru orice $x$ dintr-un interval, atunci $f$ este crescătoare pe acel interval."

11. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = (4 x + 5) e^{x}$ , $x \in R$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ . Arată că $f^{''} (x) = 6 (x - 1)$ , $x \in R$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = e^{2 x}$ . Arată că $f^{''} (x) - 4 f (x) = 0$ , pentru orice $x$ real.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - 2 ln x$ . Arată că $f^{''} (x) = \frac{2}{x ^{2}}$ .

15. (Problemă aplicată.) O colonie de bacterii are, după $t$ ore, $N (t) = 500 e^{t /2}$ indivizi. Calculează $N^{'} (t)$ și $N^{''} (t)$ , apoi valorile lor la momentul inițial, și explică ce spune fiecare dintre ele.

16. Calculează $f^{''}$ pentru $f (x) = x^{2} e^{- x}$ , $x \in R$ .

17. Arată că funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x$ , verifică relația $4 x^{2} f^{''} (x) + f (x) = 0$ .

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcția $f (x) = (x^{2} + a x + b) e^{x}$ are derivata a doua $f^{''} (x) = (x^{2} + 6 x + 10) e^{x}$ , pentru orice $x$ real.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 10 x$ , deci $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 10$ . Gradul a scăzut cu două unități, cum era de așteptat.

2. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$ , deci $f^{''} (x) = 12 x - 18$ .

3. Fiecare derivare aduce factorul $- 4$ : $f^{'} (x) = - 4 e^{- 4 x}$ și $f^{''} (x) = 16 e^{- 4 x}$ . Semnul minus apare de două ori, deci dispare.

4. $f^{'} (x) = - 4 sin (4 x)$ , deci $f^{''} (x) = - 16 cos (4 x)$ . Se regăsește regula $f^{''} = - k^{2} f$ pentru $cos (k x)$ .

5. $f^{'} (x) = \frac{5}{5 x} = \frac{1}{x}$ , deci $f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ . Constanta din interior dispare încă de la prima derivare.

6. $f^{'} (x) = 3 x^{2} ln x + x^{2}$ , iar a doua derivare dă $f^{''} (x) = 6 x ln x + 3 x + 2 x = 6 x ln x + 5 x$ .

7. $f^{'} (x) = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}$ . A doua derivare se face cu regula câtului, cu numărătorul constant: $f^{''} (x) = - \frac{( 2 x + 1 ) ^{'}}{2 x + 1} = - \frac{1}{( 2 x + 1 ) 2 x + 1}$ .

8. Scriem $f (x) = x^{- 4}$ : $f^{'} (x) = - 4 x^{- 5}$ și $f^{''} (x) = 20 x^{- 6} = \frac{20}{x ^{6}}$ .

9. $f^{'} (x) = \frac{4}{( x + 3 ) ^{2}} = 4 (x + 3)^{- 2}$ , deci $f^{''} (x) = - 8 (x + 3)^{- 3} = - \frac{8}{( x + 3 ) ^{3}}$ .

10. Fals. Semnul lui $f^{''}$ vorbește despre ritm, nu despre valorile funcției. Contraexemplu: $f (x) = x^{2}$ are $f^{''} (x) = 2 > 0$ peste tot, dar pe intervalul $(- \infty, 0)$ funcția scade. Ce se poate spune corect este că derivata $f^{'}$ crește pe acel interval.

11. $f^{'} (x) = 4 e^{x} + (4 x + 5) e^{x} = e^{x} (4 x + 9)$ , iar a doua derivare dă $f^{''} (x) = e^{x} (4 x + 9) + 4 e^{x} = e^{x} (4 x + 13)$ .

12. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ , deci $f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)$ , ceea ce trebuia arătat.

13. Avem $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ și $f^{''} (x) = 4 e^{2 x}$ . Cum $4 f (x) = 4 e^{2 x}$ , diferența $f^{''} (x) - 4 f (x)$ este nulă pentru orice $x$ real.

14. $f^{'} (x) = 1 - \frac{2}{x} = 1 - 2 x^{- 1}$ , deci $f^{''} (x) = 2 x^{- 2} = \frac{2}{x ^{2}}$ .

15. Fiecare derivare aduce factorul $\frac{1}{2}$ : $N^{'} (t) = 250 e^{t /2}$ și $N^{''} (t) = 125 e^{t /2}$ . La momentul inițial, $N^{'} (0) = 250$ indivizi pe oră, adică viteza de înmulțire, și $N^{''} (0) = 125$ indivizi pe oră la pătrat, adică viteza cu care crește însăși viteza de înmulțire. Amândouă sunt pozitive: colonia nu doar că se mărește, ci se mărește tot mai repede.

16. $f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x} = e^{- x} (2 x - x^{2})$ , iar a doua derivare dă $f^{''} (x) = - e^{- x} (2 x - x^{2}) + e^{- x} (2 - 2 x) = e^{- x} (x^{2} - 4 x + 2)$ .

17. Pentru $f (x) = x$ avem $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , iar cu regula câtului $f^{''} (x) = - \frac{( 2 x ) ^{'}}{4 x} = - \frac{1}{4 x x}$ — chiar rândul din tabelul de la §3. Atunci $4 x^{2} f^{''} (x) = - \frac{x}{x} = - x$ , adică exact $- f (x)$ , deci suma cerută este nulă pe tot domeniul.

18. Derivata întâi este $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + (a + 2) x + a + b)$ , iar a doua, $f^{''} (x) = e^{x} (x^{2} + (a + 4) x + 2 a + b + 2)$ . Identificând cu $(x^{2} + 6 x + 10) e^{x}$ , obținem $a + 4 = 6$ și $2 a + b + 2 = 10$ , deci $a = 2$ și $b = 4$ . Funcția este $f (x) = (x^{2} + 2 x + 4) e^{x}$ , pentru care $f^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 4 x + 6)$ și $f^{''} (x) = e^{x} (x^{2} + 6 x + 10)$ , cum se cerea.

De reținut

Derivata de ordinul al doilea este derivata funcției $f^{'}$ ; ea există într-un punct numai dacă $f^{'}$ este definită în jurul acelui punct și derivabilă acolo, iar programa profilului științe ale naturii se oprește la acest ordin.
Calculul se face în doi pași, cu simplificarea obligatorie între ei: o derivată întâi scrisă cu factor comun sau cu exponent negativ se derivează de două ori mai repede decât una lăsată desfăcută.
La funcțiile compuse fiecare derivare adaugă factorul venit din interior, așa că pentru $e^{k x}$ derivata a doua conține $k^{2}$ , iar pentru $sin (k x)$ conține $- k^{2}$ .
Semnul lui $f^{''}$ se citește ca formă a curbei: pozitiv înseamnă grafic curbat în sus, negativ înseamnă grafic curbat în jos, iar despre creșterea sau scăderea valorilor răspunde tot semnul lui $f^{'}$ .
Într-un model cinematic, accelerația este derivata a doua a coordonatei, se măsoară în unitatea de lungime împărțită la pătratul unității de timp și se citește întotdeauna împreună cu semnul vitezei.

Greșeli frecvente

Derivezi numărul $f^{'} (x_{0})$ în loc de funcția $f^{'}$ . Ca să afli $f^{''} (2)$ nu calculezi întâi $f^{'} (2)$ și apoi îl derivezi — derivata unui număr este zero. Se derivează funcția $f^{'}$ , cu $x$ literă, și abia rezultatul se evaluează în punct.
Scazi exponentul o singură dată. Pentru $f (x) = x^{n}$ derivata a doua este $n (n - 1) x^{n - 2}$ , nu $n (n - 1) x^{n - 1}$ : fiecare derivare coboară exponentul cu o unitate, deci două derivări îl coboară cu două.
La un cât, derivezi a doua oară doar numărătorul. Din $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}}$ nu rezultă $f^{''} (x) = \frac{2 x}{( x + 2 ) ^{2}}$ : numitorul depinde și el de $x$ , deci a doua derivare cere regula câtului în întregime sau rescrierea convenabilă a fracției.
Citești „accelerație negativă" ca „mobilul frânează". Un corp frânează numai dacă viteza și accelerația au semne contrare; când amândouă sunt negative, corpul merge tot mai repede în sens invers axei.
Pui unitatea derivatei întâi la derivata a doua. Accelerația nu se măsoară în metri pe secundă, ci în metri pe secundă la pătrat; la fel, ritmul de creștere al unei populații se exprimă în indivizi pe oră la pătrat, iar un rezultat cu unitatea greșită este incomplet.

Aplică acasă

Diferențele diferențelor, la o minge care cade. Filmează cu telefonul o minge care cade de la un metru înălțime, lângă un metru de tâmplărie lipit de perete, apoi derulează filmarea cadru cu cadru și notează poziția mingii la fiecare cadru. Calculează diferențele dintre pozițiile succesive — acestea joacă rolul lui $f^{'}$ —, apoi diferențele dintre aceste diferențe, care joacă rolul lui $f^{''}$ . Ultimele trebuie să iasă aproape egale între ele: accelerația gravitațională este constantă.
Ziua în care planta a crescut cel mai repede. Pune trei boabe de fasole la încolțit pe vată și măsoară zilnic, timp de două săptămâni, înălțimea fiecărei plante. Calculează creșterile de la o zi la alta, apoi urmărește când aceste creșteri încep să se micșoreze. Ziua respectivă este cea în care ritmul a fost maxim, adică ziua în care derivata a doua trece prin zero; notează dacă cele trei plante au atins-o în aceeași zi.
Trei curburi fotografiate. Fotografiază trei curbe pe care le întâlnești prin oraș — firul de curent întins între doi stâlpi, rampa unui skatepark, arcul unui pod — și privește fiecare imagine ca pe un grafic. Decide, pentru fiecare, dacă se curbează în sus sau în jos și scrie ce semn ar avea $f^{''}$ acolo. Dacă găsești o curbă care își schimbă forma pe parcurs, marchează cu un punct locul schimbării.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.3 „Derivabilitate" — „derivatele de ordinul I și al doilea pentru funcțiile studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit „calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate", iar tema apare la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

Lecția se oprește deliberat la ordinul al doilea și la citirea semnului. Determinarea intervalelor de convexitate, punctele de inflexiune și tabelul de variație aparțin unității următoare, care se deschide cu monotonia; aici elevul câștigă doar limbajul și calculul, fără care acele lecții devin un șir de proceduri memorate. Termenii „convex" și „concav" sunt de aceea doar numiți, nu definiți formal.

Lecția verifică patru lucruri: (1) derivarea funcției $f^{'}$ , nu a valorii ei într-un punct; (2) simplificarea făcută înaintea celei de-a doua derivări; (3) factorul care se repetă la funcțiile compuse; (4) unitatea de măsură a accelerației. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce derivezi ca să obții $f^{''}$ ?"; „De ce la $e^{3 x}$ apare $9$ și nu $3$ ?"; „Ce se întâmplă cu graficul acolo unde $f^{''}$ este negativă?"; „În ce unitate se măsoară accelerația și de ce". Semne că elevul a înțeles: simplifică prima derivată fără să i se ceară, spune semnul înaintea valorii și nu confundă „scade numărul" cu „scade ritmul". Continuarea firească este lecția despre ecuația tangentei la graficul unei funcții, iar curbura pe care ai citit-o aici se vede cel mai simplu pe parabola de la funcția de gradul al doilea.

Întrebări frecvente

Derivata a doua se dă la fel la M1 și la M2? Definiția și calculul sunt identice, dar profilul matematică-informatică merge mai departe: acolo se studiază funcții definite pe ramuri, pentru care $f^{'}$ poate exista fără ca $f^{''}$ să existe, și se folosesc teoreme pe care programa de științe ale naturii nu le are. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: derivata de ordinul al doilea tratează și aceste cazuri.

La ce subiect apare derivata a doua la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, în prima problemă de analiză matematică, care are trei subpuncte de câte cinci puncte. Forma exactă se citește în modelul oficial; acolo, după derivata întâi urmează o limită. Programa de examen cere însă explicit și derivata a doua, la „calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate", așa că merită exersată în forma „Arătați că $f^{''} (x) = \dots$ ".

Se cer derivate de ordinul al treilea la profilul științe ale naturii? Nu. Atât programa clasei, cât și programa de examen a acestui profil se opresc la derivatele de ordinul I și al II-lea, „pentru funcțiile studiate". Nu se cer nici formule pentru derivata de ordinul $n$ , nici derivate ale funcțiilor definite pe ramuri. Tot ce ai de calculat se obține aplicând de două ori regulile din lecțiile anterioare.

Ce unitate de măsură are derivata a doua? Unitatea mărimii, împărțită la pătratul unității variabilei. Dacă o distanță e în metri și timpul în secunde, derivata a doua iese în metri pe secundă la pătrat; dacă numeri indivizi și măsori timpul în ore, ea iese în indivizi pe oră la pătrat. Regula vine din faptul că împărțirea la unitatea variabilei se face de două ori.

Ce este curbura unui grafic? Este felul în care curba se îndoaie față de o dreaptă: în sus, ca o cupă care ține apa, sau în jos, ca una răsturnată. Semnul derivatei a doua o decide: pozitiv înseamnă îndoire în sus, negativ înseamnă îndoire în jos. Determinarea exactă a intervalelor pe care apare fiecare formă se face în unitatea următoare.

Cum verific rapid o derivată a doua? Cu trei probe. La polinoame, gradul scade cu două unități. La exponențiale și la funcțiile trigonometrice, forma se reproduce: $e^{k x}$ rămâne el însuși înmulțit cu $k^{2}$ , iar sinusul și cosinusul revin cu semn schimbat. Pentru orice funcție merge și proba numerică, cu raportul care folosește trei valori apropiate ale funcției.

De ce se scrie $f^{''}$ și nu $f^{(2)}$ ? Pentru că la acest nivel nu este nevoie de altceva. Notația cu paranteză și cifră se folosește când se lucrează cu derivate de ordin oarecare, ceea ce nu se cere la profilul științe ale naturii. Două liniuțe sunt suficiente, se scriu repede și nu se confundă cu un exponent, cum s-ar putea întâmpla cu cifra.