Funcția afină ca model: costuri, tarife, viteze (M2, științe ale naturii)

Un resort se lungește când îi atârni mase tot mai mari, o bicicletă închiriată costă mai mult cu fiecare minut început, iar un lift urcă cu viteză constantă. Toate trei pot fi descrise de aceeași formă, $f(x)=ax+b$, dar fiecare cere alte unități, alt domeniu și altă prudență. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), învățăm să construim și să citim un model afin complet. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă cuprinde funcția de gradul I; în modelul oficial 2026, cerința cu funcții afine este formulată fără context.

Folosim funcția afină la M2 și panta ca raport la M2. Situații practice cu funcții liniare ai întâlnit în aplicațiile funcției liniare din clasa a VIII-a. Aici accentul cade pe ce reprezintă fiecare număr și pe intervalul în care modelul are sens.

Ce vei învăța

• Vei scrie un model afin complet: variabila cu unitatea ei, regula și domeniul de valabilitate.
• Vei deduce unitatea fiecărui coeficient din unitățile celor două mărimi.
• Vei citi coeficienții dintr-un grafic sau dintr-un tabel și vei verifica datele suplimentare.
• Vei lucra cu variabile discrete, rotunjind în sensul cerut de situație.
• Vei deosebi poziția de distanța parcursă într-o mișcare uniformă.
• Vei compara două modele afine și vei spune pe ce interval este avantajos fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce conține un model afin complet?

Un model afin al unei situații este o funcție $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, în care variabila $x$ și valoarea $f(x)$ au sens precizat și unități declarate, iar domeniul $D$ conține numai valorile pentru care descrierea este acceptată. Fără oricare dintre aceste părți, formula rămâne un calcul fără interpretare.

Un exemplu din fizică este presiunea din apa unui lac. Cu aproximarea $g\approx 10$ m/s², presiunea la adâncimea $h$ metri poate fi scrisă $p(h)=100+10h$, în kilopascali. Primul termen este presiunea atmosferică de la suprafață, iar al doilea este contribuția apei, zece kilopascali pentru fiecare metru. Domeniul poate fi $[0,40]$ metri, pentru o scufundare de agrement.

Graficul este un segment, nu o dreaptă întreagă: nu există adâncimi negative în acest model, iar dincolo de limita declarată nu ne-am propus să descriem nimic. Dacă am uita domeniul, formula ar produce presiuni pentru „adâncimi” fără sens. Orice model lasă deoparte unele detalii: aici am neglijat variația densității apei cu temperatura și am rotunjit accelerația gravitațională. Precizia rezultatelor nu poate fi mai bună decât aceste simplificări, așa că răspunsurile se dau cu atâtea cifre câte susține modelul.

2. Ce unități au coeficienții?

Unitatea lui $b$ este unitatea valorii, deoarece $b=f(0)$. Unitatea lui $a$ este unitatea valorii împărțită la unitatea variabilei, deoarece $a$ arată cu cât se schimbă valoarea la creșterea variabilei cu o unitate. În modelul presiunii, $b$ se măsoară în kilopascali, iar $a$ în kilopascali pe metru.

Această regulă permite un control rapid. Dacă variabila este timpul în secunde și valoarea este o poziție în metri, rata se exprimă în metri pe secundă, adică o viteză. Dacă un model propune o rată în metri pe minut, dar variabila este măsurată în secunde, formula conține o nepotrivire care trebuie corectată înaintea oricărui calcul.

Schimbarea unității variabilei modifică numărul care exprimă rata, nu fenomenul. O rată de o sută douăzeci de kilometri pe oră devine doi kilometri pe minut. Rescriem formula cu noua unitate, apoi calculăm; nu amestecăm o variabilă în minute cu o rată pe oră.

3. De unde vin coeficienții?

Uneori enunțul îi dă direct: un tarif fix și un preț pe unitate. Alteori îi citim de pe un grafic dat: $b$ este ordonata punctului de pe axa verticală, dacă zero aparține domeniului, iar $a$ este raportul variațiilor dintre două puncte exacte, ca la ecuația dreptei prin două puncte la M2.

Dintr-un tabel luăm două rânduri cu argumente diferite și împărțim diferența valorilor la diferența argumentelor. Rândurile rămase devin probe: dacă se potrivesc, datele sunt compatibile cu modelul afin; dacă nu, modelul trebuie respins sau declarat aproximativ. Nu alegem doar rândurile convenabile.

Diferența valorilor dintre două rânduri nu este rata decât dacă argumentele diferă cu o unitate. Când pasul tabelului este de patru ore, diferența valorilor se împarte la patru.

4. Ce facem când variabila numără obiecte sau minute?

Unele mărimi iau numai valori naturale: numărul de piese, de persoane, de minute începute. Graficul modelului este atunci o mulțime de puncte izolate situate pe o dreaptă ajutătoare. Formula se aplică doar acestor argumente.

Rezultatele intermediare pot ieși fracționare. Dacă un buget permite cel mult $23,4$ obiecte, răspunsul este $23$: rotunjim în jos, pentru că al douăzeci și patrulea obiect ar depăși bugetul. Dacă tariful se calculează pe minut început, o cursă de opt minute și cinci secunde se plătește pentru nouă minute: rotunjim în sus. Sensul rotunjirii vine din situație, nu dintr-o regulă generală.

5. Cum comparăm două modele?

Două modele afine ale aceleiași mărimi pot fi comparate pe grafic: unde este un grafic sub celălalt, prima valoare este mai mică. Punctul comun, dacă există în domeniu, separă cele două situații. Citirea lui este cea din rezolvarea grafică a ecuațiilor la M2.

Când comparăm costuri, partea fixă mai mică avantajează la valori mici ale variabilei, iar rata mai mică avantajează la valori mari. Concluzia completă spune intervalul pe care fiecare model dă valoarea mai mică și ce se întâmplă în punctul comun. O singură probă numerică nu decide pentru toate valorile.

Când variabila este discretă, punctul comun poate cădea între două valori permise. Dacă două tarife se egalează la $12,5$ minute începute, niciun număr real de minute începute nu produce costuri egale. Răspunsul se formulează atunci pe numere naturale: până la douăsprezece minute este mai avantajos un tarif, de la treisprezece minute celălalt. Graficele ajută la orientare, dar concluzia trebuie scrisă pentru valorile pe care variabila le poate lua efectiv.

Comparația are sens numai pe domeniul comun al celor două modele. Dacă un tarif este oferit doar până la o anumită cantitate, dincolo de ea nu mai putem compara, oricât de simplu ar fi să prelungim dreapta. Scriem domeniul comun înainte de a enunța concluzia.

6. Ce descrie viteza într-un model afin?

Poziția unui corp care se mișcă uniform pe o dreaptă se scrie $x(t)=x_0+vt$, unde $x_0$ este poziția la momentul zero, iar $v$ este viteza, cu semn. Poziția se măsoară față de un reper ales, deci poate fi negativă: un punct aflat sub nivelul de referință sau la stânga lui.

Distanța parcursă este altă mărime. Ea pornește de la zero, nu scade niciodată și, la mișcare uniformă, crește cu $|v|$ pe unitatea de timp. Dacă poziția trece de la minus trei metri la nouă metri, fără întoarcere, distanța parcursă este de doisprezece metri, nu de nouă.

Semnul vitezei spune direcția față de sensul ales pe axă. O viteză negativă nu înseamnă o mișcare „mai lentă decât zero”, ci o mișcare în sensul opus.

Pe graficul poziției în funcție de timp, viteza este panta segmentului. Un segment care urcă arată mișcare în sensul pozitiv, unul care coboară arată mișcare în sensul negativ, iar un segment orizontal arată un corp în repaus. Viteza se citește din două puncte exacte ale graficului, cu unitatea obținută din unitățile axelor: metri pe secundă dacă poziția este în metri și timpul în secunde. O înclinare mai mare pe desen nu garantează o viteză mai mare dacă scările axelor diferă.

7. Până unde poate fi folosit un model?

Un model afin descrie de multe ori un fenomen doar pe un anumit interval. Legea lui Hooke, de exemplu, spune că alungirea unui resort este proporțională cu forța, dar numai cât timp resortul rămâne elastic. Peste o anumită sarcină, resortul se deformează permanent și relația afină nu mai este valabilă.

Lungimea resortului este lungimea naturală plus alungirea, deci funcția care dă lungimea este afină, iar cea care dă alungirea este chiar de proporționalitate. Deosebirea contează la citirea graficului: una trece prin origine, cealaltă nu.

Domeniul de valabilitate se scrie în enunț și se păstrează în răspuns. Dacă o întrebare cere o valoare din afara lui, răspunsul corect este că modelul nu o poate furniza, nu un număr obținut prin prelungirea dreptei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește modelul unui resort de pe grafic

Graficul arată lungimea $L$ a unui resort, în centimetri, în funcție de masa $m$ atârnată, în grame, pe domeniul de elasticitate $[0,300]$. Segmentul trece prin punctele $(0;12)$ și $(200;22)$. Scrie modelul, calculează lungimea pentru $150$ g și masa care produce lungimea de $25$ cm.

Rezolvare. Ordonata de la masa zero este lungimea naturală: $b=12$ cm. Între cele două puncte lungimea crește cu $10$ cm pe o creștere a masei de $200$ g, deci rata este $10/200=1/20$ cm/g. Modelul este $L(m)=12+m/20$, cu $m\in [0,300]$.

Pentru $150$ g, $L(150)=12+150/20=39/2$, adică $19,5$ cm. Pentru lungimea de $25$ cm, din $12+m/20=25$ rezultă $m=260$ g. Masa găsită aparține domeniului de elasticitate, deci răspunsul este acceptat. Lungimea maximă descrisă de model este $L(300)=27$ cm.

Exemplul 2 — Găsește greșeala: minute în locul secundelor

O mașină de tras sârmă înfășoară pe un tambur sârmă de cupru cu $5$ m/s. La pornirea cronometrului, pe tambur se aflau deja $150$ m de sârmă. Un elev scrie $s(t)=150+5t$ și calculează lungimea de pe tambur după zece minute: „$s(10)=200$ m”. Găsește greșeala și corectează.

Rezolvare. Rata de cinci metri pe secundă cere ca $t$ să fie măsurat în secunde. Elevul a introdus numărul de minute. Zece minute înseamnă $600$ s, deci $s(600)=150+5\cdot 600=3150$ m.

Controlul prin unități arată greșeala imediat: $5$ m/s înmulțit cu minute nu produce metri. Varianta alternativă este să rescriem modelul cu $t$ în minute: rata devine $300$ m/min, iar $150+300\cdot 10=3150$ m. Ambele drumuri dau același rezultat, pentru că descriu același fenomen.

Exemplul 3 — Tarif pe minut început

O bicicletă închiriată costă $2$ lei la deblocare și $2/5$ lei pentru fiecare minut început. Scrie costul în funcție de numărul $n$ de minute începute, află costul unei curse de $12$ min și $20$ s și compară costurile a două curse, de $5$ min și $59$ s, respectiv de $6$ min și $1$ s.

Rezolvare. Modelul este $C(n)=2+2n/5$, în lei, cu $n$ număr natural nenul. O cursă de douăsprezece minute și douăzeci de secunde a început treisprezece minute, deci $n=13$ și $C(13)=36/5$, adică $7,2$ lei.

Cursa de cinci minute și cincizeci și nouă de secunde a început șase minute, iar cea de șase minute și o secundă a început șapte. Costurile sunt $C(6)=22/5$ lei și $C(7)=24/5$ lei, deci două secunde în plus aduc o diferență de $2/5$ lei. Graficul este format din puncte izolate: între două minute începute nu există alte valori ale costului.

Exemplul 4 — Liftul care pornește din subsol

Un lift pornește de la $5$ m sub nivelul intrării și urcă uniform cu $5/2$ m/s timp de $12$ s. Poziția față de nivelul intrării este $y(t)=5t/2-5$, în metri. Când trece liftul prin dreptul intrării? Ce distanță parcurge?

Rezolvare. Liftul trece prin dreptul intrării când poziția este zero: $5t/2-5=0$ dă $t=2$ s. Poziția finală este $y(12)=25$ m.

Distanța parcursă este diferența dintre poziția finală și cea inițială, pentru că liftul urcă tot timpul: $25-(-5)=30$ m. Poziția negativă de la început arată doar că liftul se afla sub reper, nu o distanță negativă. Distanța parcursă după $t$ secunde este $5t/2$ metri, o mărime care nu scade.

Exemplul 5 — Două resorturi comparate

Revenim la resorturi, contextul care leagă Exemplul 1 și legea lui Hooke din descoperire. Două resorturi au, pe domeniul de elasticitate comun $[0,200]$ grame, lungimile $L_1(m)=10+m/10$ și $L_2(m)=14+m/25$, în centimetri. Pentru ce masă au aceeași lungime? Care este mai lung pe fiecare porțiune a domeniului?

Rezolvare. Egalăm modelele: $10+m/10=14+m/25$, deci $3m/50=4$ și $m=200/3$ g. Lungimea comună este $L_1(200/3)=50/3$ cm. Aproximativ, masa este $200/3\approx 66,67$ g, iar lungimea $50/3\approx 16,67$ cm.

Primul resort pornește mai scurt, dar se lungește mai repede. Pentru $m\in [0,200/3)$ al doilea este mai lung, iar pentru $m\in (200/3,200]$ primul este mai lung. Probele $L_1(0)=10<14=L_2(0)$ și $L_1(200)=30>22=L_2(200)$ confirmă concluzia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Știind că $f(2)=3$ și $f(6)=13$, determină numerele $a$ și $b$, apoi calculează $f(10)$.

Rezolvare. Diferența valorilor este $10$, pe o diferență a argumentelor de $4$, deci $a=5/2$. Din $f(2)=3$ obținem $5+b=3$, adică $b=-2$. Funcția este $f(x)=5x/2-2$, iar $f(10)=23$. Proba $f(6)=15-2=13$ confirmă datele.

Enunțul este abstract, ca cerința cu funcții afine de la Subiectul I din modelul oficial 2026. Dacă aceleași numere ar descrie o mărime în timp, $a$ ar fi rata de creștere pe unitatea de timp, iar $b$ valoarea formulei la momentul zero. Un singur model publicat nu fixează însă forma cerințelor viitoare.

Să exersăm

La fiecare model, scrie variabila cu unitatea ei, regula și domeniul. Verifică unitatea coeficienților și rotunjește numai în sensul cerut de situație.

1. Temperatura de fierbere a apei scade cu altitudinea după modelul aproximativ $T(h)=100-h/300$, în grade Celsius, pentru altitudini $h\in [0,3000]$ metri. Precizează ce reprezintă termenul liber, rata cu unitatea ei și temperatura de fierbere la $1500$ m.

2. Lungimea unei bare de oțel este $L(T)=200+3T/1250$, în centimetri, pentru temperaturi $T\in [0,100]$ grade Celsius. Ce unități au cei doi coeficienți? Cu cât se lungește bara când temperatura crește de la $20$ la $70$ grade?

3. Viteza sunetului în aer este $331$ m/s la $0$ grade Celsius și $343$ m/s la $20$ de grade. Presupunând un model afin valabil între $-20$ și $40$ de grade, scrie formula și calculează viteza la $35$ de grade.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) În timpul unei ninsori de șase ore, grosimea stratului de zăpadă de pe o terasă este modelată prin $h(t)=3+5t/4$, în centimetri, pentru $t\in [0,6]$ ore. În intervalul modelului, stratul ajunge la înălțimea de $12$ cm.

5. O comandă de lame de microscop costă $25$ lei transportul și $3/2$ lei fiecare lamă. Câte lame se pot comanda cu un buget de $110$ lei?

6. Două oferte de energie electrică au costurile lunare $A(E)=24+4E/5$ și $B(E)=11E/10$, în lei, unde $E$ este consumul în kilowați-oră, $E\in [0,500]$. La ce consum costă la fel? Care ofertă este mai avantajoasă pe fiecare porțiune a domeniului?

7. Un scafandru urcă uniform, iar adâncimea lui este $d(t)=21-t/5$, în metri, pentru $t\in [0,105]$ secunde. Când ajunge la $6$ m adâncime? Cu ce viteză urcă, exprimată în metri pe minut?

8. Un cărucior se mișcă uniform pe o șină. La $t=2$ s poziția lui este $5$ m, iar la $t=6$ s este $19$ m. Determină viteza, modelul poziției și poziția la momentul zero.

9. Graficul din figură arată costul expedierii unui colet, în lei, în funcție de masa lui, în kilograme, pentru mase între $0$ și $20$ kg. Segmentul trece prin punctele $(0;7)$ și $(10;22)$. Scrie modelul și calculează costul pentru $4$ kg.

10. (Problemă aplicată.) Nivelul de încărcare al bateriei unui aparat, în procente, este $Q(t)=100-8t$, unde $t$ este timpul de funcționare, în ore. După cât timp se descarcă bateria? Care este domeniul de valabilitate al modelului?

11. Temperatura dintr-un cuptor electric pornit la temperatura camerei crește uniform: $T(t)=20+15t$, în grade Celsius, cu $t$ în minute, până când termostatul oprește încălzirea, la $200$ °C. Pe ce interval de timp este valabil modelul? Ce poți spune despre temperatura după $20$ de minute?

12. Un tabel de închiriere arată costul în funcție de numărul de ore: $2$ ore – $18$ lei, $5$ ore – $33$ lei, $8$ ore – $48$ lei. Verifică dacă datele sunt compatibile cu un model afin, scrie modelul și calculează costul pentru $6$ ore.

13. Doi alergători pornesc în același moment, în același sens, pe o pistă dreaptă. Poziția primului este $9t/2$ metri, iar a celui de-al doilea, care pornește cu $45$ m în față, este $45+3t$ metri, cu $t$ în secunde. Când și unde îl ajunge primul pe al doilea?

14. Poziția unui autobuz electric pe o autostradă dreaptă este $x(t)=4+84t$, în kilometri, cu $t$ în ore. Rescrie modelul cu timpul exprimat în minute și calculează poziția după $25$ de minute.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $f(1)+f(3)=4$ și $f(3)-f(1)=-5$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x/4+20$. Determină numărul real $a$ pentru care $f(a)=41$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=18+x/2$ și $g(x)=x+6$. Determină numărul real $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

18. (Provocare.) Două tarife afine au aceeași valoare, $100$ lei, pentru $40$ de unități consumate. Primul are partea fixă de $20$ lei, iar al doilea are prețul de $3/2$ lei pe unitate. Determină prețul pe unitate al primului tarif și partea fixă a celui de-al doilea. Care tarif este mai avantajos peste $40$ de unități?

Răspunsuri și explicații

1. Termenul liber este temperatura de fierbere la nivelul mării, $T(0)=100$ °C. Rata este $-1/300$ grade Celsius pe metru: la fiecare trei sute de metri de urcare, apa fierbe cu un grad mai jos. La $1500$ m, $T(1500)=100-5=95$ °C, altitudine aflată în domeniul declarat.

2. Termenul liber, $200$, se măsoară în centimetri: este lungimea la zero grade. Rata, $3/1250$, se măsoară în centimetri pe grad Celsius. Pentru o creștere de cincizeci de grade, lungimea crește cu $3\cdot 50/1250=3/25$ cm, adică $0,12$ cm.

3. Rata este $(343-331)/20=3/5$ m/s pe grad, iar valoarea la zero grade este $331$ m/s. Modelul este $v(T)=331+3T/5$, iar $v(35)=331+21=352$ m/s. Temperatura de $35$ de grade este în intervalul declarat.

4. Fals. Din $3+5t/4=12$ rezultă $t=36/5$ ore, adică $7,2$ ore, moment aflat în afara intervalului $[0,6]$. Cea mai mare grosime descrisă de model este $h(6)=21/2$ cm, adică $10,5$ cm. Modelul nu spune nimic despre ce se întâmplă după ora a șasea.

5. Condiția este $25+3n/2\le 110$, deci $n\le 170/3$, iar $170/3\approx 56,67$. Numărul de lame este natural, deci răspunsul este $56$: comanda costă $109$ lei, iar a cincizeci și șaptea lamă ar depăși bugetul.

6. Din $24+4E/5=11E/10$ rezultă $3E/10=24$, deci $E=80$ kWh, cu costul comun de $88$ lei. Oferta $B$ nu are parte fixă, deci este mai ieftină pentru $E\in [0,80)$; oferta $A$ are rata mai mică și este mai ieftină pentru $E\in (80,500]$.

7. Din $21-t/5=6$ rezultă $t=75$ s, moment din domeniul declarat. Adâncimea scade cu $1/5$ m în fiecare secundă, adică cu $12$ m pe minut, deoarece un minut are șaizeci de secunde.

8. Viteza este $(19-5)/(6-2)=7/2$ m/s. Poziția la momentul zero este $5-7=-2$ m, deci modelul este $x(t)=7t/2-2$. Poziția negativă arată că la început căruciorul se afla de cealaltă parte a reperului.

9. Partea fixă este $7$ lei, iar rata este $(22-7)/10=3/2$ lei/kg. Modelul este $C(x)=7+3x/2$, pentru $x\in [0,20]$, iar costul pentru patru kilograme este $13$ lei.

10. Din $100-8t=0$ rezultă $t=25/2$, adică douăsprezece ore și jumătate. Domeniul de valabilitate este $[0,25/2]$ ore: după descărcare formula ar da procente negative, fără sens.

11. Termostatul intervine când $20+15t=200$, adică la $t=12$ min, deci modelul este valabil pe $[0,12]$ minute. După douăzeci de minute formula ar da $320$ °C, dar termostatul menține temperatura în jurul valorii fixate; modelul afin nu mai descrie situația, iar prelungirea dreptei nu are sens fizic.

12. Între primele două rânduri costul crește cu $15$ lei în $3$ ore, deci rata este $5$ lei/h, iar partea fixă este $18-10=8$ lei. Modelul $C(h)=8+5h$ dă pentru opt ore $48$ lei, ca în tabel, deci datele sunt compatibile. Pentru șase ore, costul este $38$ de lei.

13. Egalăm pozițiile: $9t/2=45+3t$, deci $3t/2=45$ și $t=30$ s. Poziția comună este $135$ m. Primul aleargă cu $3/2$ m/s mai repede, deci diferența de patruzeci și cinci de metri dispare în treizeci de secunde.

14. O oră are șaizeci de minute, deci rata devine $84/60=7/5$ km/min, iar modelul este $x(t)=4+7t/5$, cu $t$ în minute. După douăzeci și cinci de minute, poziția este $4+7\cdot 25/5=39$ km.

15. Diferența $f(3)-f(1)$ este $2a$, deci $2a=-5$ și $a=-5/2$. Suma este $f(1)+f(3)=4a+2b=-10+2b$, iar $-10+2b=4$ dă $b=7$. Funcția este $f(x)=-5x/2+7$; verificare: $f(1)=9/2$, $f(3)=-1/2$, suma lor este $4$, iar diferența $-5$.

16. Ecuația $3a/4+20=41$ dă $3a/4=21$, deci $a=28$.

17. Ecuația $18+a/2=a+6$ dă $a/2=12$, deci $a=24$. Valoarea comună este $f(24)=30$.

18. Pentru primul tarif, $20+40p=100$ dă $p=2$ lei pe unitate. Pentru al doilea, $q+(3/2)\cdot 40=100$ dă $q=40$ de lei. Peste patruzeci de unități este mai avantajos al doilea tarif, fiindcă are prețul pe unitate mai mic.

De reținut

• Un model afin complet are variabila cu unitatea ei, regula $f(x)=ax+b$ și domeniul de valabilitate.
• Termenul liber are unitatea valorii, iar rata are unitatea valorii împărțită la unitatea variabilei.
• Rata dintr-un tabel se obține împărțind diferența valorilor la diferența argumentelor; celelalte rânduri sunt probe.
• La variabile discrete, graficul este format din puncte, iar rotunjirea se face în sensul impus de situație.
• Poziția poate fi negativă și poate scădea; distanța parcursă pornește de la zero și nu scade.

Greșeli frecvente

• Rotunjești după regula obișnuită un număr care trebuie rotunjit într-un sens anume. La buget rotunjești în jos, la minute începute rotunjești în sus.
• Confunzi poziția cu distanța parcursă. Distanța se calculează din variația poziției și nu poate fi negativă.
• Iei diferența a două rânduri de tabel drept rată. Împarte diferența valorilor la diferența argumentelor, dacă pasul nu este unu.
• Decizi ce ofertă este mai bună dintr-o singură probă. Găsește punctul comun și scrie concluzia pe intervale.
• Confunzi lungimea resortului cu alungirea lui. Lungimea include lungimea naturală; alungirea pornește de la zero.

Aplică acasă

1. Resortul din elastic. Atârnă de un elastic sau de un resort mic un pahar în care adaugi, pe rând, monede identice. Măsoară lungimea după fiecare monedă, scrie lungimea naturală și rata în centimetri pe monedă și notează de la ce număr de monede punctele nu mai stau pe o dreaptă.
2. Graficul cu puncte. Caută un tarif real calculat pe minut sau pe oră începută. Desenează costul pentru duratele de la unu la zece minute sau ore și explică de ce nu unești punctele printr-o linie continuă.
3. Un tabel din manual. Alege din manualul de fizică sau de chimie un tabel cu două mărimi măsurate. Verifică dacă un model afin se potrivește pe un interval, calculează rata cu unitatea ei și scrie intervalul în care ai folosi modelul.

Pentru părinți și profesori

Un răspuns complet la o problemă de modelare conține unitățile, domeniul și interpretarea fiecărui coeficient, nu doar valoarea calculată. Cereți elevului să explice de ce a rotunjit în sus sau în jos și de ce o poziție negativă nu este o distanță negativă. Legătura cu fizica este directă: legea lui Hooke, mișcarea uniformă și presiunea hidrostatică sunt modele afine pe domenii precizate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: nota unității IX.6 cere exemplificări în contexte practice, iar competența IX.CS.6.6 cere modelarea unor fenomene prin funcții. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă (OMEN 4430/2014) cuprinde funcția de gradul I; contextele practice din această lecție pregătesc interpretarea, iar cerințele de examen marcate aici sunt formulate abstract. Modelul oficial 2026 conține la Subiectul I, cerința 2, o relație între două funcții afine; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcția afină ca model. La științe ale naturii, accentul cade pe unități, pe variabile discrete și pe modelele din fizică. Unitatea continuă cu funcția de gradul al doilea la M2, iar verificarea se face prin testul M2 despre funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de varianta M1 despre funcția afină ca model?

Forma modelului este aceeași, dar aici lucrăm mai mult cu contexte din fizică, cu unitatea fiecărui coeficient, cu variabile care numără minute sau obiecte și cu diferența dintre poziție și distanță. Lecția este completă pentru profilul de științe; varianta mate-info rămâne o comparație opțională.

La ce parte a bacalaureatului M2 îmi folosește modelarea afină?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde funcția de gradul I, iar în modelul oficial 2026 cerința cu funcții afine de la Subiectul I este formulată abstract. Modelarea te ajută să interpretezi coeficienții și să verifici rezultatele. Pentru MAT_P2 din 2030, programa cere explicit exemplificări în contexte practice, în domeniul „Algebră”.

De ce graficul unui tarif pe minut început este format din puncte?

Costul se calculează numai pentru un număr întreg de minute începute. Între două asemenea valori nu există alt cost posibil, deci graficul are puncte izolate pe o dreaptă ajutătoare. Dacă ai uni punctele, ai sugera costuri pentru fracțiuni de minut, pe care tariful nu le folosește.

Cum aflu unitatea ratei fără să o memorez?

Rata arată cu cât se schimbă valoarea când variabila crește cu o unitate. Împarte deci unitatea valorii la unitatea variabilei: centimetri pe gram, lei pe kilowatt-oră, metri pe secundă. Termenul liber are unitatea valorii. Dacă o înmulțire a unităților nu produce unitatea rezultatului, formula conține o greșeală.

Poate o poziție să fie negativă, dacă distanța nu poate fi?

Da. Poziția se măsoară față de un reper cu sens ales, deci un punct aflat sub reper sau de cealaltă parte a lui are poziție negativă. Distanța parcursă măsoară drumul făcut și pornește de la zero. Cele două mărimi coincid numai dacă mișcarea începe din reper și merge în sensul pozitiv.

Legea lui Hooke dă o funcție afină sau una de proporționalitate?

Depinde de mărimea urmărită. Alungirea este proporțională cu forța, deci graficul ei trece prin origine. Lungimea totală este lungimea naturală plus alungirea, deci este afină, cu termenul liber egal cu lungimea naturală. Ambele descrieri sunt valabile numai în domeniul de elasticitate al resortului.