Formulele cu π/2 − x (M2, științe ale naturii)

Un geograf descrie poziția unui oraș prin latitudine, unghiul măsurat de la planul ecuatorului. Un fizician care lucrează cu coordonate sferice măsoară, pentru același oraș, unghiul de la axa de rotație a Pământului. Cele două unghiuri împreună fac un unghi drept, iar raza cercului pe care orașul îl parcurge într-o zi se scrie la unul cu cosinus, la celălalt cu sinus. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), explicăm de ce rezultatul este același, prin formulele cu $\frac{\pi }{2}-x$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă de examen conține „Reducerea la primul cadran”, în capitolul „Elemente de trigonometrie”; modelul oficial publicat are la Subiectul I o cerință de trigonometrie într-un triunghi dreptunghic.

După formulele pentru π + x și 2π − x, unde fiecare coordonată își păstra rolul și se putea schimba doar semnul, trecem la o reducere de alt tip: aici sinusul și cosinusul își schimbă rolurile. Ne sprijinim pe valorile sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază și pe punctele simetrice din lecția despre punctele asociate. Toate argumentele rămân pe cercul trigonometric, cum cere programa, iar formulele se aplică arcelor din primul cadran.

Ce vei învăța

• Vei recunoaște două arce complementare și vei calcula complementul unui arc dat în radiani sau în grade.
• Vei explica de ce oglindirea față de dreapta $y=x$ transformă punctul lui $x$ în punctul lui $\frac{\pi }{2}-x$.
• Vei trece de la sinus la cosinus și invers, fără să schimbi vreun semn, prin formulele cu $\frac{\pi }{2}-x$.
• Vei aduce întâi în primul cadran un arc din alt cadran și abia apoi vei schimba funcția.
• Vei folosi formulele în triunghiul dreptunghic și pe graficele funcțiilor sinus și cosinus.
• Vei aplica formulele în modele din geografie și din tehnică, cu unitățile și aproximările potrivite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că două arce sunt complementare?

Două arce $x$ și $y$ sunt complementare dacă suma lor este un sfert de tură, adică $x+y=\frac{\pi }{2}$. Complementul arcului $x$ este numărul $\frac{\pi }{2}-x$; în grade, complementul unui unghi $\alpha$ este $90^{\circ }-\alpha$.

În gimnaziu ai întâlnit unghiurile complementare ca perechi de unghiuri care alcătuiesc împreună un unghi drept. Definiția pentru arce păstrează exact această idee: dacă $x$ este în primul cadran, adică $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, și complementul lui este tot în primul cadran. Un arc mai mare decât $\frac{\pi }{2}$ se tratează altfel, în secțiunea 5.

Pentru arcele date ca fracții de $\pi$, complementul se calculează aducând $\frac{\pi }{2}$ la același numitor. De exemplu, $\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{10}$, deci complementul lui $\frac{\pi }{10}$ este $\frac{4\pi }{10}=\frac{2\pi }{5}$. Controlul se face adunând: cele două arce trebuie să dea exact $\frac{\pi }{2}$.

2. Ce face oglindirea față de prima bisectoare?

Prima bisectoare, $y=x$, trece prin origine și prin toate punctele cu cele două coordonate egale, de exemplu $(2,2)$ sau $(-1,-1)$. Oglindirea față de ea schimbă între ele coordonatele: din $(a,b)$ obținem $(b,a)$. Motivul este simplu: segmentul care unește cele două puncte este perpendicular pe dreapta $y=x$, iar mijlocul lui, $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)$, se află pe ea.

Distanța de la origine la $(b,a)$ este aceeași cu distanța la $(a,b)$, fiindcă $a^2+b^2=b^2+a^2$. Un punct aflat pe cercul de rază $1$ are, așadar, oglinditul tot pe acest cerc. Cele două capete ale primului sfert de tură, $(1,0)$ și $(0,1)$, își schimbă locurile. În lecția despre valorile de bază ai întâlnit deja o pereche oglindită astfel: punctele arcelor $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{3}$.

Regula schimbului de coordonate funcționează pentru orice punct din plan, nu doar pentru cele de pe cerc. Punctul $(3,1)$, aflat sub bisectoare, are oglinditul $(1,3)$, aflat deasupra ei; distanța lor până la origine este aceeași, $\sqrt{10}$. Pe cerc, regula are o consecință specială: dacă un punct are coordonatele $(\cos x,\sin x)$, oglinditul lui are pe primul loc sinusul și pe al doilea cosinusul aceluiași arc. Rămâne de aflat cărui număr îi corespunde acest punct nou.

3. Unde ajunge punctul lui x prin oglindire?

Pentru un arc $x$ din primul cadran, raza $OM$ face unghiul $x$ cu semiaxa pozitivă $Ox$. Oglinda $y=x$ schimbă între ele cele două semiaxe pozitive, așa că raza oglindită, $ON$, face același unghi $x$, dar cu semiaxa pozitivă $Oy$, măsurat de la ea spre $Ox$. Semiaxa $Oy$ corespunde arcului $\frac{\pi }{2}$, iar a te depărta de ea cu $x$ către axa $Ox$ înseamnă a scădea $x$. Punctul $N$ este deci punctul arcului $\frac{\pi }{2}-x$.

Cele două capete ale intervalului verifică citirea: pentru $x=0$ punctul $M$ este $(1,0)$, iar oglinditul lui este $(0,1)$, punctul arcului $\frac{\pi }{2}$; pentru $x=\frac{\pi }{2}$ rolurile se inversează. Construcția punctelor simetrice vine din lecția despre cercul trigonometric și punctele asociate.

Așadar oglinditul lui $M(x)$ față de dreapta $y=x$ este $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. Figura arată perechea $\frac{\pi }{10}$ și $\frac{2\pi }{5}$: cele două puncte sunt la aceeași distanță de dreapta punctată, iar coordonatele lor apar în ordine inversă.

Cu valori aproximative, $M\left(\frac{\pi }{10}\right)\approx (0,9511;0,3090)$, iar $M\left(\frac{2\pi }{5}\right)\approx (0,3090;0,9511)$. Aceleași două numere, în ordine inversă, cum cere oglindirea.

4. Care sunt formulele cu π/2 − x?

Punctul $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ are, pe de o parte, coordonatele $\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right),\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)$, prin definiția sinusului și cosinusului. Pe de altă parte, fiind oglinditul lui $(\cos x,\sin x)$, are coordonatele $(\sin x,\cos x)$. Comparăm abscisele, apoi ordonatele:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x,\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.$$

Oglinda $y=x$ nu înmulțește nicio coordonată cu $-1$, ci doar le schimbă locul; de aceea în formule nu intră niciun semn nou, iar sinusul și cosinusul își iau unul altuia locul. Controlul pe punctele de pe axe confirmă: pentru $x=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1=\cos 0$, iar $\cos \frac{\pi }{2}=0=\sin 0$.

Formulele se citesc în ambele sensuri. Uneori ai un cosinus și vrei un sinus, alteori invers; aceeași egalitate servește ambelor situații. În grade, ele devin $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ și $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$.

Un rezultat obținut cu formula se controlează în trei feluri. Primul control este suma: arcul inițial și complementul trebuie să dea exact un sfert de tură. În radiani, adună fracțiile după ce le aduci la același numitor; în grade, suma trebuie să fie $90^{\circ }$. Dacă obții altceva, ai scăzut greșit sau ai amestecat unitățile.

Al doilea control este semnul. Formula nu adaugă niciun minus, deci semnul rezultatului este semnul valorii de pornire. Dacă ai plecat de la un cosinus pozitiv, trebuie să obții un sinus pozitiv. Un semn apărut „de nicăieri” semnalează o confuzie cu formulele pentru $\pi +x$ sau $2\pi -x$.

Al treilea control este un caz cunoscut. Înlocuiește în formula scrisă de tine arcul $0$ sau arcul $\frac{\pi }{2}$ și vezi dacă obții valorile de pe axe. Formula corectă trece testul în ambele puncte; o formulă cu funcția păstrată sau cu un minus în plus cade imediat. Controalele acestea durează câteva secunde și se fac înainte de a folosi rezultatul mai departe.

5. Ce faci cu un arc care nu este în primul cadran?

La clasa a IX-a, formulele cu $\frac{\pi }{2}-x$ se folosesc pentru $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Motivul este intervalul de studiu: sinusul și cosinusul se studiază pe $[0,2\pi ]$, iar numărul $\frac{\pi }{2}-x$ aparține acestui interval numai când $x$ nu depășește $\frac{\pi }{2}$. În capetele intervalului, formula leagă cele două puncte de pe axe, $(1,0)$ și $(0,1)$.

Un arc din alt cadran nu se complementează direct. Întâi îl aduci în primul cadran, cu formulele pentru $\pi -x$, $\pi +x$ sau $2\pi -x$ din reducerea la primul cadran și din lecția precedentă, și abia apoi schimbi funcția. Drumul pe arcul $\frac{8\pi }{5}$: el este $2\pi -\frac{2\pi }{5}$, în cadranul al patrulea, deci $\sin \frac{8\pi }{5}=-\sin \frac{2\pi }{5}$. Arcul $\frac{2\pi }{5}$ este în primul cadran, iar complementul lui este $\frac{\pi }{10}$, perechea din figură, așa că $\sin \frac{8\pi }{5}=-\cos \frac{\pi }{10}\approx -0,9511$.

Ordinea pașilor contează. Reducerea hotărăște semnul, după cadranul arcului dat; complementul schimbă numai numele funcției și nu mai adaugă niciun semn. Dacă ai inversat pașii, controlul prin sumă te oprește: arcul pe care îl complementezi trebuie să fie între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, iar suma lui cu complementul trebuie să dea exact $\frac{\pi }{2}$.

Formularea fără această restricție aparține clasei a X-a, când funcțiile trigonometrice se studiază pe toată axa. Până atunci, pașii de mai sus acoperă orice arc din $[0,2\pi ]$.

6. Cum se vede formula în triunghiul dreptunghic?

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, unghiurile $B$ și $C$ adunate dau un unghi drept, fiindcă suma unghiurilor triunghiului este $180^{\circ }$. Deci $C=90^{\circ }-B$: unghiurile ascuțite sunt complementare.

Latura $AC$ se află față în față cu unghiul $B$ și lângă unghiul $C$. Prin definițiile din gimnaziu ale sinusului și cosinusului unui unghi ascuțit, raportul $\frac{AC}{BC}$ este sinusul lui $B$ și, în același timp, cosinusul lui $C$. La fel, $\frac{AB}{BC}$ este cosinusul lui $B$ și sinusul lui $C$.

Observația ajută și la verificarea unei figuri: dacă ai calculat sinusul unui unghi ascuțit din laturi, cosinusul celuilalt unghi ascuțit trebuie să iasă același număr, fără alt calcul. Triunghiul oferă o imagine intuitivă, dar acoperă doar unghiurile ascuțite, fără capetele $0$ și $\frac{\pi }{2}$, pentru care nu există triunghi. Programa cere argumentul pe cerc, care funcționează pe tot intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, capete incluse. Cele două explicații nu se contrazic: pentru unghiurile ascuțite ele spun același lucru.

7. Ce arată graficele pe primul sfert de tură?

Pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, graficul cosinusului este imaginea în oglindă a graficului sinusului față de dreapta verticală $x=\frac{\pi }{4}$. Motivul este chiar formula: punctul $(x,\cos x)$ al cosinusului are aceeași înălțime ca punctul $\left(\frac{\pi }{2}-x,\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)$ al sinusului, iar abscisele $x$ și $\frac{\pi }{2}-x$ sunt așezate simetric față de $\frac{\pi }{4}$.

Mecanismul se vede urmărind o dreaptă orizontală care taie ambele grafice. Dacă dreapta este sub nivelul $\frac{\sqrt{2}}{2}$, punctul de pe sinusoidă este la stânga lui $\frac{\pi }{4}$, iar cel de pe cosinusoidă la aceeași distanță, dar la dreapta; deasupra acestui nivel, rolurile se inversează. Dacă împăturești desenul după dreapta verticală $x=\frac{\pi }{4}$, cele două curbe se suprapun.

Cele două grafice se intersectează exact în $x=\frac{\pi }{4}$, unde arcul este propriul complement, iar valoarea comună este $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pe acest interval sinusul crește, iar cosinusul scade, așa cum ai văzut la graficele funcțiilor sinus și cosinus. De aici rezultă ce poți compara: la stânga lui $\frac{\pi }{4}$ cosinusul este mai mare, la dreapta sinusul.

8. La ce folosește formula în științe?

Pentru un Pământ considerat sferic, cu raza $R$, un oraș aflat la latitudinea $\phi$ parcurge într-o zi un cerc, paralelul lui, cu raza $r=R\cos \phi$. Latitudinea se măsoară de la planul ecuatorului. În coordonatele sferice folosite în fizică se măsoară însă unghiul polar $\theta$, de la axa de rotație spre oraș. Cele două unghiuri sunt complementare: $\theta =\frac{\pi }{2}-\phi$.

Cu unghiul polar, raza paralelului se scrie $r=R\sin \theta$. Formula lecției garantează că cele două scrieri dau același număr, oricare ar fi orașul din emisfera nordică. Este un exemplu în care convenția de măsurare schimbă funcția folosită, dar nu și rezultatul.

Modelul are limitele lui. Pământul este ușor turtit la poli, deci raza reală a paralelului diferă puțin de cea calculată. Pentru calcule de clasă, sfera este o aproximare bună, iar rezultatele se scriu cu $\approx$ și cu numărul de zecimale potrivit datelor.

Același tipar apare oriunde un unghi se poate măsura fie de la o direcție, fie de la direcția perpendiculară pe ea: de la orizontală sau de la verticală, de la o suprafață sau de la normala ei. O formulă scrisă cu un unghi se rescrie cu celălalt schimbând sinusul cu cosinusul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași valoare, cealaltă funcție

Scrie $\cos \frac{3\pi }{8}$ și $\sin \frac{4\pi }{9}$ folosind cealaltă funcție trigonometrică.

Rezolvare. Complementul lui $\frac{3\pi }{8}$ este $\frac{4\pi }{8}-\frac{3\pi }{8}=\frac{\pi }{8}$, deci $\cos \frac{3\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{8}$. Complementul lui $\frac{4\pi }{9}$ este $\frac{9\pi }{18}-\frac{8\pi }{18}=\frac{\pi }{18}$, deci $\sin \frac{4\pi }{9}=\cos \frac{\pi }{18}$.

Regula de lucru are doi pași: calculezi complementul arcului, apoi schimbi numele funcției. Semnul rămâne neschimbat, iar controlul se face adunând arcul și complementul său.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev afirmă: „$\sin 61^{\circ }$ este mai mare decât $\cos 29^{\circ }$, pentru că $61^{\circ }$ este mai mare decât $29^{\circ }$.” Unde greșește?

Rezolvare. Elevul compară arcele, deși valorile provin din funcții diferite. Cele două unghiuri sunt complementare, fiindcă $61^{\circ }+29^{\circ }=90^{\circ }$. Prin formula lecției, $\cos 29^{\circ }=\sin (90^{\circ }-29^{\circ })=\sin 61^{\circ }$, deci valorile sunt egale.

O aplicație confirmă: ambele sunt aproximativ $0,8746$. Compararea după mărimea arcelor are sens numai pentru aceeași funcție și pe un interval pe care ea este monotonă.

Exemplul 3 — Latitudine și unghi polar

Un oraș din sudul României se află la latitudinea de aproximativ $44^{\circ }$. Un geograf calculează raportul dintre raza paralelului și raza Pământului cu $\cos 44^{\circ }$, iar un fizician folosește unghiul polar și $\sin 46^{\circ }$. Arată că obțin același rezultat și calculează-l cu patru zecimale.

Rezolvare. Unghiul polar este complementul latitudinii: $90^{\circ }-44^{\circ }=46^{\circ }$. Prin formula lecției, $\sin 46^{\circ }=\sin (90^{\circ }-44^{\circ })=\cos 44^{\circ }$, deci cele două rapoarte coincid. Aplicația dă $\cos 44^{\circ }\approx 0,7193$.

Interpretare: la această latitudine, un punct de pe suprafața Pământului se rotește zilnic pe un cerc cu raza de aproximativ $72\%$ din raza Pământului. Modelul presupune Pământul sferic; turtirea reală schimbă doar ultimele zecimale.

Exemplul 4 — Triunghiul dreptunghic cu laturi date

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=51$, $AC=140$ și $BC=149$. Calculează $\sin B$ și $\cos B$, apoi, cu formulele lecției, $\sin C$ și $\cos C$. Verifică rezultatul direct, cu laturile.

Rezolvare. Mai întâi controlăm că triunghiul este dreptunghic: $51^2+140^2=2601+19600=22201=149^2$. Latura opusă lui $B$ este $AC$, deci $\sin B=\frac{140}{149}$ și $\cos B=\frac{51}{149}$.

Unghiul $C$ este complementul lui $B$, deci $\sin C=\cos B=\frac{51}{149}$ și $\cos C=\sin B=\frac{140}{149}$. Direct: latura opusă lui $C$ este $AB$, iar $\frac{AB}{BC}=\frac{51}{149}$, același număr. Formula a înlocuit o nouă citire a figurii.

Exemplul 5 — Citește graficul

Figura arată graficele funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Punctul $P$ al graficului sinusului are abscisa $0,35$, iar dreapta orizontală prin $P$ întâlnește graficul cosinusului în $Q$. Explică de ce $P$ și $Q$ sunt simetrice față de dreapta punctată și calculează abscisa lui $Q$.

Rezolvare. Punctul $Q$ are aceeași înălțime ca $P$, adică $\sin 0,35\approx 0,3429$. Formula lecției spune că $\cos \left(\frac{\pi }{2}-0,35\right)=\sin 0,35$, deci abscisa lui $Q$ este complementul lui $0,35$: $\frac{\pi }{2}-0,35\approx 1,2208$. Pe acest interval cosinusul scade, deci $Q$ este singurul punct al graficului cosinusului cu această înălțime.

Mijlocul absciselor lui $P$ și $Q$ este $\frac{\pi }{4}$, adică punctele sunt simetrice față de dreapta verticală punctată. Figura confirmă calculul, dar valoarea exactă a abscisei vine din formulă, nu din citirea pe grilă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $\frac{\sin \frac{3\pi }{10}}{\cos \frac{\pi }{5}}=1$. b) Arătați că $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin (\pi +x)=0$, pentru orice $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

Rezolvare. a) Arcele $\frac{3\pi }{10}$ și $\frac{\pi }{5}=\frac{2\pi }{10}$ sunt complementare, deci $\sin \frac{3\pi }{10}=\cos \frac{\pi }{5}$. Numitorul este nenul, fiind cosinusul unui arc din primul cadran, iar raportul a două numere egale este $1$.

b) Prin formula lecției, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, iar din lecția precedentă, $\sin (\pi +x)=-\sin x$. Suma este $\sin x-\sin x=0$. Enunțul este construit în stilul cerințelor de la Subiectul I, fără a fi preluat dintr-un subiect oficial.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, calculează întâi complementul și verifică suma cu $\frac{\pi }{2}$, apoi schimbă funcția. Rezultatele digitale se rotunjesc la patru zecimale.

1. Scrie $\sin \frac{2\pi }{9}$ și $\cos \frac{2\pi }{17}$ folosind cealaltă funcție trigonometrică.

2. Calculează complementul lui $\frac{3\pi }{11}$ și complementul lui $0,6$ radiani, cu patru zecimale.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă în triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, are loc $\sin B=3\sin C$, atunci $\mathrm{tg}B=3$.

4. Calculează $2\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)$.

5. Simplifică $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-\sin x+\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, pentru $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

6. Pentru un arc $x$ din primul cadran se știe că $\cos x=\frac{57}{185}$ și $\sin x=\frac{176}{185}$. Scrie $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

7. Care număr este mai mare, $\cos \frac{3\pi }{7}$ sau $\sin \frac{\pi }{9}$? Justifică fără calculator.

8. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $\cos B=\frac{17}{145}$ și $\sin B=\frac{144}{145}$. Scrie $\sin C$ și $\cos C$.

9. (Problemă aplicată.) Un stâlp vertical este ancorat cu un cablu întins de $20$ m, fixat în sol și pe stâlp. Un tehnician măsoară unghiul dintre cablu și sol, $64^{\circ }$, și calculează înălțimea punctului de prindere cu $20\sin 64^{\circ }$. Colegul lui măsoară unghiul dintre cablu și stâlp și scrie $20\cos 26^{\circ }$. Explică de ce rezultatele coincid și calculează înălțimea și distanța de la baza stâlpului la punctul din sol, știind $\sin 64^{\circ }\approx 0,8988$ și $\cos 64^{\circ }\approx 0,4384$.

10. Pe graficul cosinusului pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, punctul de ordonată $\frac{\sqrt{3}}{2}$ are abscisa $\frac{\pi }{6}$. Fără tabel, la ce abscisă din același interval are graficul sinusului aceeași ordonată? Verifică apoi cu valoarea exactă.

11. Află arcul $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ pentru care $\sin t=\cos \frac{4\pi }{11}$ și explică de ce este unic.

12. Un oraș se află la latitudinea de aproximativ $47^{\circ }$. Scrie unghiul polar al orașului și raportul dintre raza paralelului și raza Pământului, cu $\cos 47^{\circ }\approx 0,6820$, în ambele scrieri.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin \frac{5\pi }{16}-\cos \frac{3\pi }{16}=0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\sin }^2\frac{2\pi }{13}+{\sin }^2\frac{9\pi }{26}=1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cos x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin x=0$, pentru orice $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

16. Scrie $\sin \frac{16\pi }{15}$ ca opusul cosinusului unui arc din primul cadran. Precizează ce formulă ai folosit la fiecare pas.

17. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$. Arată că ${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=1$.

18. (Provocare.) Pentru $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right)$, arată că triunghiul cu vârfurile $O$, $M(x)$ și $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ este isoscel, află unghiul lui din $O$ și arată că $M(x)M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sqrt{2}(\cos x-\sin x)$. Arată apoi că pentru $x=\frac{\pi }{12}$ triunghiul este echilateral. De ce am exclus arcul $\frac{\pi }{4}$?

Răspunsuri și explicații

1. Complementul lui $\frac{2\pi }{9}$ este $\frac{9\pi }{18}-\frac{4\pi }{18}=\frac{5\pi }{18}$, deci $\sin \frac{2\pi }{9}=\cos \frac{5\pi }{18}$. Complementul lui $\frac{2\pi }{17}$ este $\frac{17\pi }{34}-\frac{4\pi }{34}=\frac{13\pi }{34}$, deci $\cos \frac{2\pi }{17}=\sin \frac{13\pi }{34}$.

2. $\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{11}=\frac{11\pi -6\pi }{22}=\frac{5\pi }{22}$. Pentru arcul fără $\pi$: $\frac{\pi }{2}-0,6\approx 0,9708$. Controlul prin adunare: $0,6+0,9708=1,5708$, adică aproximativ $\frac{\pi }{2}$.

3. Adevărat. Unghiurile ascuțite sunt complementare, $C=\frac{\pi }{2}-B$, deci $\sin C=\cos B$. Relația devine $\sin B=3\cos B$; cosinusul unui unghi ascuțit este nenul, iar împărțind obținem $\mathrm{tg}B=\frac{\sin B}{\cos B}=3$. Cu laturile: $\frac{AC}{BC}=3\cdot \frac{AB}{BC}$, adică $AC=3AB$, iar tangenta lui $B$ este chiar $\frac{AC}{AB}$.

4. Complementul lui $\frac{\pi }{6}$ este $\frac{\pi }{3}$, deci expresia este $2\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Același rezultat se obține cu formulele lecției: $2\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{6}$.

5. Primul termen devine $\sin x$, iar ultimul devine $\cos x$. Expresia este $\sin x-\sin x+\cos x$, deci $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-\sin x+\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$.

6. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=\frac{57}{185}$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=\frac{176}{185}$. Datele sunt compatibile, fiindcă $57^2+176^2=185^2$.

7. Aducem totul la aceeași funcție: $\cos \frac{3\pi }{7}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{7}\right)=\sin \frac{\pi }{14}$. Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul crește, iar $\frac{\pi }{14}<\frac{\pi }{9}$, deci $\sin \frac{\pi }{14}<\sin \frac{\pi }{9}$. Mai mare este $\sin \frac{\pi }{9}$, deși arcul $\frac{3\pi }{7}$ din primul număr este mult mai mare decât $\frac{\pi }{9}$.

8. Unghiul $C$ este complementul lui $B$, deci $\sin C=\cos B=\frac{17}{145}$ și $\cos C=\sin B=\frac{144}{145}$. Controlul: $17^2+144^2=145^2$.

9. Unghiul dintre cablu și stâlp este complementul unghiului dintre cablu și sol, fiindcă stâlpul este perpendicular pe sol: $90^{\circ }-64^{\circ }=26^{\circ }$. Prin formula lecției, $\cos 26^{\circ }=\sin 64^{\circ }$, deci cele două expresii sunt egale. Înălțimea este $20\cdot 0,8988\approx 17,98$ m, iar distanța pe sol este $20\cdot 0,4384\approx 8,77$ m. Modelul presupune cablul drept și stâlpul perfect vertical.

10. Punctele celor două grafice aflate la aceeași înălțime au abscisele simetrice față de $\frac{\pi }{4}$, deci abscisa căutată este complementul lui $\frac{\pi }{6}$: $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$. Verificarea: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, aceeași ordonată. Pe acest interval sinusul crește, deci $\frac{\pi }{3}$ este singura abscisă potrivită.

11. $\cos \frac{4\pi }{11}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{4\pi }{11}\right)=\sin \frac{3\pi }{22}$, fiindcă $\frac{11\pi }{22}-\frac{8\pi }{22}=\frac{3\pi }{22}$, deci $t=\frac{3\pi }{22}$ convine. Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul este strict crescător, deci ia fiecare valoare o singură dată: arcul găsit este unic.

12. Unghiul polar este $90^{\circ }-47^{\circ }=43^{\circ }$. Raportul este $\cos 47^{\circ }\approx 0,6820$ în scrierea cu latitudinea și $\sin 43^{\circ }\approx 0,6820$ în scrierea cu unghiul polar: același număr, prin formula lecției.

13. Complementul lui $\frac{5\pi }{16}$ este $\frac{8\pi }{16}-\frac{5\pi }{16}=\frac{3\pi }{16}$, deci $\sin \frac{5\pi }{16}=\cos \frac{3\pi }{16}$, iar diferența este $\sin \frac{5\pi }{16}-\cos \frac{3\pi }{16}=0$.

14. Arcele $\frac{2\pi }{13}=\frac{4\pi }{26}$ și $\frac{9\pi }{26}$ sunt complementare, deci $\sin \frac{9\pi }{26}=\cos \frac{2\pi }{13}$. Suma devine ${\sin }^2\frac{2\pi }{13}+{\cos }^2\frac{2\pi }{13}$, adică $1$, după formula fundamentală.

15. Primul produs este $\sin x\cos x$, al doilea este $\cos x\sin x$. Diferența lor este zero pentru orice $x$ din interval: $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cos x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin x=0$.

16. Arcul $\frac{16\pi }{15}=\pi +\frac{\pi }{15}$ este în cadranul al treilea, deci, cu formula pentru $\pi +x$, $\sin \frac{16\pi }{15}=-\sin \frac{\pi }{15}$. Apoi, cu formula lecției, $\sin \frac{\pi }{15}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{15}\right)=\cos \frac{13\pi }{30}$, fiindcă $\frac{15\pi }{30}-\frac{2\pi }{30}=\frac{13\pi }{30}$. Rezultatul: $\sin \frac{16\pi }{15}=-\cos \frac{13\pi }{30}$, negativ, cum cere cadranul al treilea.

17. Unghiul $C$ este complementul lui $B$, deci $\sin C=\cos B$. Suma devine ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B$, egală cu $1$ după formula fundamentală. Se poate verifica și cu laturile: $\frac{A{C}^2+A{B}^2}{B{C}^2}=1$, după teorema lui Pitagora.

18. Ambele puncte sunt pe cercul de rază $1$, deci $OM(x)=OM\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$: triunghiul este isoscel. Razele fac cu semiaxa $Ox$ unghiurile $x$ și $\frac{\pi }{2}-x$, deci unghiul din $O$ este $\frac{\pi }{2}-2x$, pozitiv pentru $x<\frac{\pi }{4}$. Cu formulele lecției, $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=(\sin x,\cos x)$, iar $M(x)=(\cos x,\sin x)$; diferențele coordonatelor sunt $\cos x-\sin x$ și $\sin x-\cos x$, deci distanța este $\sqrt{2(\cos x-\sin x{)}^2}=\sqrt{2}(\cos x-\sin x)$, fiindcă pe acest interval $\cos x>\sin x$. Pentru $x=\frac{\pi }{12}$ unghiul din $O$ este $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$, iar un triunghi isoscel cu unghiul din vârf de $\frac{\pi }{3}$ este echilateral: latura a treia are tot lungimea $1$. Pentru $x=\frac{\pi }{4}$ cele două puncte coincid, iar triunghiul nu mai există.

De reținut

• Pentru $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$; oglinda $y=x$ schimbă locul coordonatelor și nu aduce semne noi.
• Complementul unui arc dat ca fracție de $\pi$ se află aducând $\frac{\pi }{2}$ la același numitor; suma arcului cu complementul lui este controlul.
• Un arc din alt cadran se aduce întâi în primul cadran, cu formulele pentru $\pi -x$, $\pi +x$ sau $2\pi -x$, care dau semnul; abia apoi schimbi funcția prin complement.
• Pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, graficele sinusului și cosinusului sunt oglindite față de dreapta verticală de abscisă $\frac{\pi }{4}$; două valori se compară după ce le aduci la aceeași funcție.
• Un unghi măsurat de la o direcție și unul măsurat de la direcția perpendiculară sunt complementare, deci o formulă cu sinus se rescrie cu cosinus: latitudine și unghi polar, cablu cu solul și cu stâlpul.

Greșeli frecvente

• Funcția schimbată, arcul păstrat. Se scrie $\cos \frac{3\pi }{8}=\sin \frac{3\pi }{8}$. Formula cere ambele schimbări: cealaltă funcție și arcul complementar.
• Complementul valorii în loc de complementul arcului. Se scrie $\cos 35^{\circ }=1-\sin 35^{\circ }$, ca și cum „complementar” ar privi numerele obținute. Complementul se ia arcului: $\cos 35^{\circ }=\sin 55^{\circ }$; valorile se leagă numai prin pătrate, în formula fundamentală.
• Oglindirea făcută față de cealaltă diagonală. Dreapta $y=-x$ duce $(a,b)$ în $(-b,-a)$, nu în $(b,a)$. Verifică pe figură că punctul $(1,0)$ ajunge în $(0,1)$.
• Valori de funcții diferite comparate după mărimea arcelor. Din faptul că un arc e mai mare nu rezultă că sinusul lui depășește cosinusul altui arc; adu întâi totul la aceeași funcție.
• Latitudinea pusă sub sinus. Raza paralelului este $R\cos \phi$ pentru latitudinea $\phi$ și $R\sin \theta$ pentru unghiul polar; amestecul dă raza de la o altă latitudine.

Aplică acasă

1. Într-o aplicație de geometrie dinamică, desenează graficele funcțiilor sinus și cosinus pe intervalul de la $0$ la $\frac{\pi }{2}$ și dreapta verticală $x=\frac{\pi }{4}$. Folosește instrumentul de oglindire față de o dreaptă pentru graficul sinusului și observă peste ce curbă se așază imaginea. Explică în două propoziții ce ai văzut, folosind formula lecției.
2. Alege trei orașe din atlas, cu latitudini diferite. Pentru fiecare, calculează cu calculatorul $\cos \phi$ și sinusul unghiului polar $90^{\circ }-\phi$ și notează-le într-un tabel. Pe un glob, măsoară cu o ață lungimea paralelelor lor și verifică dacă se ordonează la fel ca numerele din tabel.
3. Decupează dintr-un carton un triunghi dreptunghic cu catetele de $7$ cm și $10$ cm. Măsoară cu raportorul cele două unghiuri ascuțite și verifică suma lor. Calculează sinusul unuia și cosinusul celuilalt din laturi și compară-le.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie formulele de reducere pentru sinus și cosinus cerute de programa de științe, cu perechea $\frac{\pi }{2}-x$. Noutatea față de formulele cu $\pi$ și $2\pi$ este că reducerea schimbă funcția, nu semnul. Programa cere argumentarea pe cercul trigonometric; triunghiul dreptunghic este folosit doar ca imagine intuitivă pentru arcele ascuțite și ca aplicație în geometrie.

Merită urmărită ordinea pașilor la arcele din afara primului cadran: formulele se aplică pentru $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, iar un arc din alt cadran se reduce întâi, cu formulele pentru $\pi -x$, $\pi +x$ și $2\pi -x$, și abia apoi i se schimbă funcția. Întrebări utile: „Care este complementul acestui arc?”, „Unde ajunge punctul $(1,0)$ prin oglindire?”, „Ce funcție ai înlocuit și cu ce arc?”. Exercițiul-provocare rămâne în primul cadran și leagă formula de un triunghi isoscel cu vârful în origine.

Programa și examenul. Formulele $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ sunt cerute explicit în programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (OMEC nr. 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030, cu nota că toate formulele se argumentează pe cercul trigonometric. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 (programa din anexa 4.2 la OMEC nr. 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN nr. 4430/2014) conține „Reducerea la primul cadran” în capitolul „Elemente de trigonometrie”. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I un triunghi dreptunghic cu un unghi dat în radiani; exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect, nu preluate dintr-un subiect oficial.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formulele cu π/2 are alt parcurs și alte exemple; tot ce trebuie pentru exercițiile de aici se află pe această pagină. Următoarea lecție a unității tratează formulele pentru tangentă. Pentru antrenament la nivelul unității, folosiți testul M2 de trigonometrie și aplicații în geometrie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la formulele cu π/2 − x între M2 și M1?

Formulele sunt aceleași, dar la științe ale naturii programa le cere argumentate pe cercul trigonometric, pentru arce din $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, și le leagă de aplicații. Lecția M1 le deduce și în triunghi, discută cofuncțiile și le extinde la toate numerele reale. Aici găsești tot ce îți trebuie pentru M2; pagina M1 este o comparație opțională.

La ce subiect de bacalaureat M2 pot apărea formulele cu π/2 − x?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține reducerea la primul cadran în capitolul de trigonometrie, iar în modelul oficial publicat trigonometria apare la Subiectul I, într-un triunghi dreptunghic. Nu putem spune ce cerință exactă va apărea într-o sesiune. La proba MAT_P2 din 2030, formulele aparțin domeniului „Geometrie. Trigonometrie”.

De ce funcția se numește cosinus?

Numele vine din latina matematicienilor de acum câteva secole, unde cosinusul era „sinusul complementului”, prescurtat apoi în „co-sinus”. Formula lecției spune exact acest lucru: cosinusul unui arc este sinusul arcului care îl completează până la un sfert de tură. Numele păstrează deci chiar formula, iar prefixul „co” amintește de complement.

Pot folosi formulele cu unghiuri date în grade?

Da. În grade, complementul unui unghi $\alpha$ este $90^{\circ }-\alpha$, iar formulele devin $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ și $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Nu amesteca însă unitățile: dacă unghiul este în radiani, scazi din $\frac{\pi }{2}$, nu din $90$. În problemele de geometrie din triunghi, unde unghiurile sunt date adesea în grade, forma cu $90^{\circ }$ este cea mai comodă.

Cum verific repede că am aplicat corect o formulă cu π/2 − x?

Fă trei controale. Adună arcul și complementul: trebuie să obții $\frac{\pi }{2}$. Compară semnele: formula nu adaugă niciun minus, deci rezultatul are semnul valorii de pornire. Înlocuiește apoi $x=0$ în formula scrisă: dacă nu obții $\sin \frac{\pi }{2}=\cos 0$, formula e greșit transcrisă și trebuie refăcută înainte de a merge mai departe.

Unde întâlnesc formulele cu π/2 − x în științe?

Oriunde un unghi se poate măsura de la două direcții perpendiculare: latitudinea și unghiul polar în geografie și fizică, unghiul unui cablu cu solul sau cu stâlpul, unghiul unei raze cu o suprafață sau cu normala ei. Formula îți permite să treci de la o convenție la cealaltă schimbând sinusul cu cosinusul.