Eveniment sigur, imposibil, elementar (M2, științe ale naturii)

Trusa laboratorului de biologie are câte un preparat din fiecare dintre cele patru tipuri de țesuturi animale, iar profesoara pune unul la întâmplare sub microscop. Un elev spune liniștit: „Sigur vedem celule.” Colegul lui glumește: „Dacă vedem stomate, scriem un articol.” Nu vor scrie nimic: stomatele sunt ale epidermei frunzelor, nu ale țesuturilor animale, iar rezultatul acesta nu face parte din lista celor posibile. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), dă nume acestor situații și le leagă de mulțimea rezultatelor posibile. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține evenimentele aleatoare egal probabile și probabilitatea unui eveniment compus din ele, adică exact evenimentele elementare și compuse de azi.

Din lecția despre experimentul aleator și evenimentele lui știi că un eveniment este o submulțime a mulțimii rezultatelor posibile $\Omega$. Acum sortăm aceste submulțimi: care se produc mereu, care niciodată, care conțin un singur rezultat și care sunt alcătuite din mai multe.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști evenimentul sigur $\Omega$ și evenimentul imposibil $\varnothing$ într-un experiment din științe.
• Vei înțelege ce este un eveniment elementar și de ce, la fiecare efectuare a experimentului, se produce exact unul.
• Vei ști să scrii un eveniment compus ca reuniune de evenimente elementare și să numeri cazurile lui favorabile.
• Vei ști să verifici că tipul unui eveniment depinde de modelul ales (de mulțimea $\Omega$), nu doar de cuvintele enunțului.
• Vei ști să citești evenimente dintr-un tabel de observații și să numeri rezultatele, nu categoriile.
• Vei ști să deosebești rezultatul „$0$” de evenimentul imposibil și să recunoști același eveniment sub două descrieri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un eveniment elementar?

Evenimentul elementar este evenimentul format dintr-un singur rezultat posibil al experimentului: dacă $\omega \in \Omega$, evenimentul elementar corespunzător este mulțimea cu un singur element $\{\omega \}$.

Pentru preparatul pus sub microscop, notăm tipurile de țesut cu inițialele lor: $E$ (epitelial), $K$ (conjunctiv), $M$ (muscular), $N$ (nervos). Mulțimea rezultatelor posibile este

$$\Omega =\{E,K,M,N\},$$

cu $\mathrm{card}(\Omega )=4$. Evenimentele elementare sunt patru: $\{E\}$, $\{K\}$, $\{M\}$, $\{N\}$. Regula se vede imediat: un experiment are exact atâtea evenimente elementare câte rezultate posibile are, adică $\mathrm{card}(\Omega )$.

Deosebirea dintre rezultat și eveniment elementar e mică, dar reală: $N$ este un tip de țesut, iar $\{N\}$ este mulțimea care îl conține. În vorbire spunem „evenimentul $N$”; în scris păstrăm acoladele, pentru că mai departe vom face reuniuni și intersecții, iar acestea se fac între mulțimi.

2. Evenimentul sigur și evenimentul imposibil

Două submulțimi ale lui $\Omega$ există la orice experiment, oricât de simplu: $\Omega$ însăși și mulțimea vidă.

Evenimentul sigur este evenimentul care se produce la orice efectuare a experimentului; el este $\Omega$. La microscop, „preparatul este alcătuit din celule” este sigur: orice țesut este format din celule, deci evenimentul are toate cele $4$ rezultate.

Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se produce la nicio efectuare; el este $\varnothing$. La microscop, „pe preparat se văd stomate” nu are niciun rezultat favorabil, pentru că stomatele aparțin epidermei plantelor și niciun țesut animal nu le are. Același lucru pentru „preparatul este și țesut nervos, și țesut epitelial”: pe lamă e un singur preparat.

Un detaliu de limbaj ajută mult: evenimentul imposibil nu este „un eveniment care nu ne interesează”, ci o mulțime precisă, cea fără elemente. Îl scriem $\varnothing$, niciodată $\{\varnothing \}$ și nici $\{0\}$: ultimele două au câte un element.

3. Ce este un eveniment compus și cum se descompune?

Un eveniment care conține cel puțin două rezultate posibile se numește eveniment compus. La microscop, „țesutul este excitabil” înseamnă $\{M,N\}$, pentru că țesutul muscular și cel nervos răspund la stimuli prin excitație, iar „țesutul nu este nervos” înseamnă $\{E,K,M\}$. Fiecare dintre ele se scrie, într-un singur fel, ca reuniune de evenimente elementare:

$$\{M,N\}=\{M\}\cup \{N\},\{E,K,M\}=\{E\}\cup \{K\}\cup \{M\}.$$

Numărul cazurilor favorabile ale unui eveniment compus este, prin urmare, numărul evenimentelor elementare din reuniune. Evenimentul sigur este și el compus, îndată ce experimentul are cel puțin două rezultate; când clasificăm, îi spunem însă „sigur”, eticheta cea mai precisă.

4. De ce depinde tipul unui eveniment de mulțimea $\Omega$ aleasă?

Aruncăm o monedă. Modelul obișnuit este ${\Omega }_1=\{S,B\}$ (stema sau banul): în el, „moneda nu arată nici stema, nici banul” este imposibil, iar „moneda arată stema sau banul” este sigur. O monedă groasă, aruncată pe o suprafață moale, poate rămâne însă pe muchie. Dacă modelul admite și acest rezultat, ${\Omega }_2=\{S,B,M\}$, iar aceleași două propoziții își schimbă tipul: prima devine evenimentul elementar $\{M\}$, a doua devine compusă, $\{S,B\}$, fără să mai fie sigură.

Moneda nu s-a schimbat; s-a schimbat modelul. De aceea, înainte de a spune „sigur” sau „imposibil”, scrii $\Omega$.

5. Cum recunoști tipul unui eveniment fără să scrii toată lista?

O bandă de analiză a apei are trei zone reactive, iar fiecare zonă ia o culoare codificată cu un număr de la $1$ la $5$. Rezultatul este tripletul celor trei coduri, deci $\mathrm{card}(\Omega )=5\cdot 5\cdot 5=125$. Nimeni nu scrie $125$ de triplete ca să clasifice evenimente despre suma $s$ a codurilor. Ajung extremele:

• suma minimă este $1+1+1=3$, iar cea maximă $5+5+5=15$, deci „$s\ge 3$” este sigur, iar „$s=16$” este imposibil;
• suma $15$ se obține doar din $(5,5,5)$, deci „$s=15$” este elementar;
• suma $14$ cere două coduri $5$ și un cod $4$, iar codul $4$ poate sta pe oricare dintre cele trei zone, deci „$s=14$” are $3$ rezultate și este compus.

Raționamentul pe extreme înlocuiește lista: la capetele domeniului, rezultatele devin rare și pot fi numărate cu mâna.

6. Când se produce un eveniment compus?

La o efectuare a experimentului apare un singur rezultat; lista $\Omega$ e scrisă tocmai astfel, cu rezultate care se exclud, cum ai văzut în lecția despre experimentul aleator. Tradus în evenimente elementare: la fiecare efectuare se produce exact unul dintre ele. Dacă sub microscop e țesut muscular, s-a produs $\{M\}$ și nu s-a produs niciun alt eveniment elementar. Două consecințe se folosesc mereu:

• două evenimente elementare diferite nu se pot produce împreună;
• un eveniment compus se produce exact atunci când se produce unul dintre evenimentele elementare din care e alcătuit: $\{M,N\}$ se produce dacă preparatul e muscular sau dacă e nervos.

Prima consecință pregătește lecția următoare, despre evenimente disjuncte și diagrame Venn, unde evenimentele elementare devin punctele unei diagrame.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Culorile spectrului vizibil

O prismă descompune lumina albă în cele șapte culori ale spectrului vizibil: roșu, oranj, galben, verde, albastru, indigo, violet. Se alege la întâmplare una dintre ele. Precizați tipul fiecărui eveniment și numărul cazurilor favorabile: $A$ = „culoarea are lungimea de undă mai mare decât a verdelui”, $B$ = „culoarea este violetul”, $C$ = „culoarea este o radiație ultravioletă”, $D$ = „culoarea apare la descompunerea luminii albe”.

Rezolvare. $\Omega =\{\text{roșu},\text{oranj},\text{galben},\text{verde},\text{albastru},\text{indigo},\text{violet}\}$, cu $\mathrm{card}(\Omega )=7$.

• Lungimea de undă scade de la roșu spre violet, deci $A=\{\text{roșu},\text{oranj},\text{galben}\}=\{\text{roșu}\}\cup \{\text{oranj}\}\cup \{\text{galben}\}$: compus, $3$ cazuri.
• $B=\{\text{violet}\}$: elementar, un caz.
• $C=\varnothing$: radiația ultravioletă nu e vizibilă și nu e printre cele șapte culori; imposibil, $0$ cazuri.
• $D=\Omega$: toate cele șapte culori apar în spectru; sigur, $7$ cazuri.

Exemplul 2 — Termometrul serei și mesajul de eroare

Termometrul digital al unei sere afișează temperatura în grade întregi, de la $5$ °C la $40$ °C; în afara acestui interval afișează mesajul ERR. a) Scrieți $\Omega$ și aflați $\mathrm{card}(\Omega )$. b) Precizați tipul evenimentelor: $E_1$ = „afișajul arată $3$ °C”, $E_2$ = „afișajul arată ERR”, $E_3$ = „afișajul arată cel puțin $38$ °C”, $E_4$ = „afișajul arată un număr sau mesajul ERR”. c) Un tehnician păstrează în registru doar citirile numerice și le ignoră pe celelalte. Cum se schimbă tipul lui $E_2$ și al evenimentului „afișajul arată un număr”?

Rezolvare. a) $\Omega =\{5,6,\dots ,40,\mathrm{ERR}\}$. Numerele de la $5$ la $40$ sunt $40-5+1=36$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=36+1=37$.

b) $E_1=\varnothing$: valoarea $3$ nu se poate afișa; o temperatură reală de $3$ °C produce mesajul ERR. Imposibil. $E_2=\{\mathrm{ERR}\}$, elementar. $E_3=\{38,39,40\}$, compus, $3$ cazuri. $E_4=\Omega$, sigur.

c) În registrul tehnicianului, ${\Omega }^{\prime }=\{5,6,\dots ,40\}$, cu $\mathrm{card}({\Omega }^{\prime })=36$. Evenimentul „afișajul arată ERR” devine imposibil, iar „afișajul arată un număr”, care în primul model era compus, cu $36$ de cazuri din $37$, devine sigur. Aparatul e același; s-a schimbat mulțimea rezultatelor reținute.

Exemplul 3 — Evenimente citite dintr-un tabel de observații

La o excursie s-au cules $12$ frunze, notate F1–F12, și s-au clasificat după margine și după nervațiune:

Se alege la întâmplare una dintre cele $12$ frunze. Precizați tipul evenimentelor: $A$ = „frunza are margine întreagă și nervațiune palmată”, $B$ = „frunza are margine dințată și nervațiune paralelă”, $C$ = „frunza are nervațiune palmată”, $D$ = „frunza are margine întreagă sau dințată”.

Rezolvare. Rezultatele sunt frunzele, nu căsuțele tabelului: $\Omega =\{F1,F2,\dots ,F12\}$, cu $\mathrm{card}(\Omega )=12$.

• $A=\{F7\}$: elementar.
• $B=\varnothing$: nicio frunză din colecție nu are această combinație; imposibil în acest experiment. Într-o altă colecție combinația ar putea apărea — evenimentul e imposibil pentru că $\Omega$ este colecția aceasta.
• $C=\{F6,F7,F10\}$: compus, $3$ cazuri. Căsuța „dințată, palmată” e o singură categorie, dar conține două rezultate.
• $D=\Omega$: sigur.

Control: căsuțele tabelului au $3+1+2+4+2+0=12$ frunze, adică $\mathrm{card}(\Omega )$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: zero senzori în alarmă

O rețea are $5$ senzori de fum. După un test, se notează câți senzori au dat alarma. Un elev scrie: „$\Omega =\{0,1,2,3,4,5\}$; evenimentul «niciun senzor nu dă alarma» este imposibil, pentru că atunci nu se întâmplă nimic.” Găsiți greșeala și clasificați corect evenimentele: $A$ = „niciun senzor nu dă alarma”, $B$ = „dau alarma șase senzori”, $C$ = „dau alarma cel mult cinci senzori”, $D$ = „dau alarma cel puțin trei senzori”.

Rezolvare. Mulțimea $\Omega$ e scrisă corect, cu $\mathrm{card}(\Omega )=6$. Greșeala e în clasificarea lui $A$: „niciun senzor” înseamnă rezultatul $0$, care aparține lui $\Omega$. Faptul că niciun senzor nu sună este un rezultat al testului, nu lipsa unui rezultat.

• $A=\{0\}$: elementar, nu imposibil.
• $B=\varnothing$: rețeaua are doar cinci senzori; imposibil.
• $C=\Omega$: sigur.
• $D=\{3,4,5\}$: compus, $3$ cazuri.

Exemplul 5 — Același eveniment, două descrieri

Se alege la întâmplare una dintre cele cinci clase de vertebrate studiate la biologie: pești, amfibieni, reptile, păsări, mamifere. Se consideră evenimentele $A$ = „animalele clasei au temperatura corpului constantă”, $B$ = „animalele clasei au pene sau glande mamare”, $C$ = „animalele clasei au pene și glande mamare”, $D$ = „animalele clasei au coloană vertebrală”, $E$ = „animalele clasei au pene”. Care dintre evenimente sunt egale? Precizați tipul fiecăruia.

Rezolvare. Scriem mulțimile. $A=\{\text{pa˘sa˘ri},\text{mamifere}\}$: sunt singurele vertebrate homeoterme. $B=\{\text{pa˘sa˘ri},\text{mamifere}\}$: penele sunt ale păsărilor, glandele mamare ale mamiferelor. Deci $A=B$: două descrieri diferite, un singur eveniment, compus, cu $2$ cazuri.

$C=\varnothing$: nicio clasă nu are ambele caractere; imposibil. $D=\Omega$: toate sunt vertebrate; sigur. $E=\{\text{pa˘sa˘ri}\}$: elementar.

Un eveniment este o mulțime; cuvintele cu care îl descriem se pot schimba, mulțimea nu.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se alege la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre. a) Precizați tipul fiecărui eveniment și numărul cazurilor favorabile: $A$ = „produsul cifrelor numărului este $0$”, $B$ = „suma cifrelor numărului este $18$”, $C$ = „suma cifrelor numărului este $20$”, $D$ = „numărul este mai mic decât $100$”. b) Calculați raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentului $A$ și numărul cazurilor posibile.

Rezolvare. a) Numerele de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=99-10+1=90$.

• Cifra zecilor nu poate fi $0$, deci produsul cifrelor e $0$ doar când cifra unităților e $0$: $A=\{10,20,\dots ,90\}$, compus, $9$ cazuri.
• Suma a două cifre este cel mult $9+9=18$, atinsă doar de $99$: $B=\{99\}$, elementar.
• Suma $20$ depășește maximul: $C=\varnothing$, imposibil.
• Orice număr de două cifre e mai mic decât $100$: $D=\Omega$, sigur, $90$ de cazuri.

b) Raportul este

$$\frac{9}{90}=\frac{1}{10}.$$

Acest raport este probabilitatea evenimentului $A$, în sensul pe care îl fixează lecția despre definiția clasică a probabilității. Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, cu alt obiect; pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de a pune o etichetă, scrie $\Omega$ și mulțimea evenimentului. Numără rezultatele, nu cuvintele din enunț.

1. Se alege la întâmplare unul dintre halogenii fluor, clor, brom, iod. Precizează tipul evenimentelor și numărul cazurilor favorabile: a) „elementul este gaz în condiții normale”; b) „elementul este lichid în condiții normale”; c) „atomul are $7$ electroni pe ultimul strat”; d) „elementul este un metal”.

2. Se alege la întâmplare una dintre enzimele digestive amilaza salivară, pepsina, tripsina, lipaza pancreatică. a) Scrie evenimentul „enzima descompune proteine” ca reuniune de evenimente elementare. b) Precizează tipul evenimentelor „enzima acționează în stomac”, „enzima descompune celuloza în tubul digestiv uman” și „enzima este o proteină cu rol de catalizator”.

3. Câte evenimente elementare are fiecare experiment? a) Se alege un cromozom din setul haploid uman. b) Se alege o zi a anului 2028. c) Se aleg, pe rând, două dintre cele șapte zile ale săptămânii, diferite, pentru două măsurători, contând ordinea.

4. Se alege la întâmplare una dintre cele patru interacțiuni fundamentale din fizică: gravitațională, electromagnetică, nucleară tare, nucleară slabă. Precizează tipul evenimentelor și numărul cazurilor favorabile: a) „interacțiunea acționează doar la distanțe de ordinul dimensiunii nucleului”; b) „interacțiunea este cea gravitațională”; c) „interacțiunea este o a cincea interacțiune fundamentală, confirmată experimental”; d) „interacțiunea acționează între particule”.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La alegerea la întâmplare a unui număr natural de două cifre, evenimentul «numărul este pătrat perfect și cub perfect» este un eveniment elementar.”

6. a) Se alege la întâmplare o zi din luna februarie a anului 2027. Precizează tipul evenimentelor „data zilei este $29$” și „ziua este o duminică”, cu numărul cazurilor favorabile. b) Reia întrebarea pentru februarie 2028, cu evenimentele „data zilei este $29$” și „ziua este o marți”.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{30,31,32,\dots ,45\}$. Precizează tipul și numărul cazurilor favorabile pentru evenimentele: „numărul este pătrat perfect”, „numărul este cub perfect”, „numărul este divizibil cu $7$”, „cifra zecilor este $3$ sau $4$”.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un divizor natural al numărului $42$. Precizează tipul și numărul cazurilor favorabile pentru evenimentele: „divizorul este număr prim”, „divizorul este impar și mai mare decât $20$”, „divizorul este divizibil cu $4$”, „divizorul divide numărul $84$”.

9. Un experiment are $7$ rezultate posibile, $\Omega =\{a,b,c,d,e,f,g\}$. Mulțimea rezultatelor care nu realizează evenimentul $A$ este un eveniment elementar. Ce tip are $A$ și câte rezultate are? Ce tipuri poate avea $A$ dacă această mulțime este, în schimb, un eveniment compus? Dă câte un exemplu pentru fiecare tip posibil.

10. (Problemă aplicată.) La un minut după naștere, medicul neonatolog dă nou-născutului scorul Apgar: pentru fiecare dintre cinci semne (culoarea pielii, pulsul, reflexele, tonusul muscular și respirația) acordă $0$, $1$ sau $2$ puncte, iar scorul este suma lor. Un scor între $7$ și $10$ este considerat normal, unul între $4$ și $6$ moderat scăzut, iar unul între $0$ și $3$ scăzut. a) Scrie $\Omega$ pentru scor și află $\mathrm{card}(\Omega )$. b) Precizează tipul evenimentelor „scorul este normal”, „scorul este $11$”, „scorul este cel mult $10$” și „scorul este $0$”, cu numărul cazurilor favorabile. c) Dacă rezultatul notat este lista celor cinci valori acordate semnelor, nu suma lor, câte rezultate are experimentul? Ce tip au, în acest model, evenimentele „scorul este $10$” și „scorul este $9$”?

11. Un elev primește un gaz necunoscut, oxigen sau dioxid de carbon, și îl încearcă cu unul dintre trei teste: apa de var, bețișorul cu jar sau hârtia de turnesol umedă. Rezultatul experimentului este perechea (gaz, test). Află $\mathrm{card}(\Omega )$ și precizează tipul evenimentelor: „gazul este oxigenul”, „gazul este dioxidul de carbon, încercat cu apa de var”, „gazul este azotul”.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare o submulțime cu două elemente a mulțimii $\{3,5,7,11,17\}$. Precizează tipul și numărul cazurilor favorabile pentru evenimentele: „suma elementelor este pară”, „suma elementelor este $28$”, „suma elementelor este $6$”, „produsul elementelor este divizibil cu $5$”.

13. Se alege la întâmplare un organ din lista: inima, plămânii, ficatul, rinichii, stomacul. Precizează tipul evenimentelor: a) „organul aparține sistemului digestiv”; b) „organul aparține sistemului circulator”; c) „organul este un os”; d) „organul se află în cutia toracică sau în cavitatea abdominală”.

14. Se alege la întâmplare unul dintre acizii $\mathrm{HCl}$, ${\mathrm{H}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4$, $\mathrm{HN}{\mathrm{O}}_3$, ${\mathrm{H}}_3\mathrm{P}{\mathrm{O}}_4$, ${\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3$. Precizează tipul evenimentelor și numărul cazurilor favorabile: a) „acidul este un acid tare”; b) „molecula acidului nu conține oxigen”; c) „molecula acidului conține sodiu”; d) „molecula acidului conține cel puțin un atom de hidrogen”.

15. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,n\}$, unde $n$ este un număr natural cu $20\le n\le 40$. Pentru ce valori ale lui $n$ este elementar evenimentul „numărul ales este pătrat perfect mai mare decât $10$”?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,50\}$. Precizează tipul și numărul cazurilor favorabile pentru evenimentele: „numărul are exact trei divizori naturali”, „numărul are exact un divizor natural”, „numărul are exact doi divizori naturali”, „numărul are cel puțin un divizor natural”.

17. Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Arată că evenimentele „numărul este divizibil cu $11$” și „numărul are cifrele egale” sunt același eveniment și precizează tipul lui.

18. (Provocare.) Un cântar de laborator afișează masa în grame întregi, rotunjind la cel mai apropiat întreg (o masă cu partea zecimală $0,5$ se rotunjește în sus). În modelul afișajului, „afișajul arată $250$ g” este un eveniment elementar. Ce mulțime de mase reale îi corespunde? Poate un eveniment elementar al unui model să corespundă unei infinități de valori ale mărimii măsurate?

Răspunsuri și explicații

1. $\Omega =\{\mathrm{F},\mathrm{Cl},\mathrm{Br},\mathrm{I}\}$. a) $\{\mathrm{F},\mathrm{Cl}\}$, compus, $2$ cazuri. b) $\{\mathrm{Br}\}$, elementar, $1$ caz. c) Toți halogenii au $7$ electroni de valență: sigur, $4$ cazuri. d) $\varnothing$, imposibil, $0$ cazuri; iodul solid are luciu, dar e nemetal.

2. a) Pepsina și tripsina descompun proteine: $\{\text{pepsina},\text{tripsina}\}=\{\text{pepsina}\}\cup \{\text{tripsina}\}$, eveniment compus, cu $2$ cazuri favorabile. b) În stomac acționează doar pepsina: elementar. Omul nu are o enzimă care să descompună celuloza, deci al doilea eveniment este imposibil. Toate cele patru sunt enzime, adică proteine cu rol de catalizator: sigur, $4$ cazuri.

3. a) Setul haploid uman are $23$ de cromozomi: $23$ de evenimente elementare. b) Anul 2028 este bisect: $366$ de evenimente elementare. c) Prima zi în $7$ moduri, a doua în $6$: $7\cdot 6=42$ de evenimente elementare.

4. a) Interacțiunile nucleare, tare și slabă, au rază de acțiune foarte scurtă: compus, $2$ cazuri. b) Elementar, $1$ caz. c) Lista are patru interacțiuni, iar alta nu e confirmată: $\varnothing$, imposibil, $0$ cazuri. d) Toate patru acționează între particule: sigur, $4$ cazuri.

5. Adevărat. Un număr care e și pătrat perfect, și cub perfect este o putere a șasea: $1$, $64$, $729$, … Dintre ele, singurul număr de două cifre este $64=8^2=4^3$, deci evenimentul este $\{64\}$, cu un singur rezultat.

6. a) Anul 2027 nu e bisect, deci februarie are $28$ de zile: „data $29$” este imposibil. Pe 1 februarie 2027 este luni, deci duminicile sunt pe $7$, $14$, $21$, $28$: eveniment compus, $4$ cazuri. b) Anul 2028 este bisect: „data $29$” devine elementar. Pe 1 februarie 2028 este marți, deci marțile sunt pe $1$, $8$, $15$, $22$, $29$: compus, $5$ cazuri. Același enunț are alt tip în alt an, pentru că $\Omega$ s-a schimbat.

7. $\mathrm{card}(\Omega )=45-30+1=16$. Pătrat perfect: $\{36\}$, elementar. Cub perfect: $27<30$ și $64>45$, deci $\varnothing$, imposibil. Divizibil cu $7$: $\{35,42\}$, compus, $2$ cazuri. Cifra zecilor $3$ sau $4$: toate numerele mulțimii, deci sigur, $16$ cazuri.

8. Divizorii lui $42=2\cdot 3\cdot 7$ sunt $1,2,3,6,7,14,21,42$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=8$. Prim: $\{2,3,7\}$, compus, $3$ cazuri. Impar și mai mare decât $20$: $\{21\}$, elementar. Divizibil cu $4$: $\varnothing$, imposibil, pentru că $4$ nu divide $42$. Divide $84=2\cdot 42$: orice divizor al lui $42$ divide și $84$, deci sigur, $8$ cazuri.

9. Rezultatele lui $A$ și cele rămase sunt, împreună, toate rezultatele lui $\Omega$. Dacă cele rămase formează un eveniment elementar, $A$ are $7-1=6$ rezultate: compus, de exemplu $A=\Omega \setminus \{g\}$. Dacă ele formează un eveniment compus, cu cel puțin două rezultate, $A$ are cel mult $5$ rezultate: poate fi compus (de exemplu $\{a,b\}$), elementar ($\{a\}$) sau imposibil ($\varnothing$, când rămâne tot $\Omega$). Sigur nu poate fi: n-ar mai rămâne niciun rezultat.

10. a) Scorul ia valorile întregi de la $0$ la $5\cdot 2=10$: $\Omega =\{0,1,\dots ,10\}$, $\mathrm{card}(\Omega )=11$. b) Normal: $\{7,8,9,10\}$, compus, $4$ cazuri; scorul $11$: imposibil; cel mult $10$: sigur, $11$ cazuri; scorul $0$: elementar. c) Sunt $3^5=243$ de liste. Scorul $10$ are o singură listă, cu $2$ la toate semnele: elementar. Scorul $9$ are $5$ liste, după semnul care primește $1$ punct: compus, deși în primul model era elementar.

11. $\mathrm{card}(\Omega )=2\cdot 3=6$. „Gazul este oxigenul” are $3$ rezultate (oxigenul cu fiecare test): compus. „Dioxid de carbon, apa de var” este o singură pereche: elementar. Azotul nu este în $\Omega$: imposibil.

12. Submulțimile cu două elemente sunt $C_5^2=10$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=10$. Toate elementele sunt impare, iar suma a două numere impare este pară: sigur, $10$ cazuri. Suma $28$ se obține doar din $11+17$: numai submulțimea $\{11,17\}$, elementar. Suma $6$ ar cere $3+3$, dar elementele unei submulțimi sunt distincte: imposibil. Produsul e divizibil cu $5$ exact când submulțimea îl conține pe $5$: $\{3,5\}$, $\{5,7\}$, $\{5,11\}$, $\{5,17\}$, compus, $4$ cazuri.

13. a) $\{\text{ficatul},\text{stomacul}\}$, compus, $2$ cazuri. b) $\{\text{inima}\}$, elementar. c) $\varnothing$, imposibil. d) Inima și plămânii sunt în cutia toracică, ficatul, stomacul și rinichii în cavitatea abdominală: sigur, $5$ cazuri.

14. a) $\{\mathrm{HCl},{\mathrm{H}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4,\mathrm{HN}{\mathrm{O}}_3\}$, compus, $3$ cazuri; acidul fosforic e de tărie medie, iar acidul carbonic e slab. b) $\{\mathrm{HCl}\}$, singurul hidracid din listă: elementar. c) $\varnothing$, imposibil. d) Toate cele cinci molecule conțin hidrogen: sigur, $5$ cazuri.

15. Pătratele perfecte mai mari decât $10$ sunt $16$, $25$, $36$, … Evenimentul are un singur rezultat exact când $16\le n$ și $25>n$. Cu $20\le n\le 40$, rămân $n\in \{20,21,22,23,24\}$. Pentru $25\le n\le 35$ evenimentul are $2$ rezultate, iar pentru $36\le n\le 40$ are $3$.

16. Exact trei divizori au pătratele numerelor prime: $\{4,9,25,49\}$, compus, $4$ cazuri. Exact un divizor are doar $1$: $\{1\}$, elementar. Exact doi divizori au numerele prime: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$, deci compus, $15$ cazuri. Orice număr natural nenul are divizorul $1$: sigur, $50$ de cazuri.

17. Numărul $\overline{ab}$ se scrie $10a+b=11a+(b-a)$, deci e divizibil cu $11$ exact când $11$ divide $b-a$. Cum $-9\le b-a\le 9$, asta înseamnă $b=a$. Ambele descrieri dau mulțimea $\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}$: un singur eveniment, compus, cu $9$ cazuri.

18. Afișajul arată $250$ g exact pentru masele reale $m$ cu $249,5\le m<250,5$ (în grame): un interval, cu o infinitate de valori. Da: un rezultat al modelului grupează toate valorile pe care instrumentul nu le poate deosebi. Tipul unui eveniment e o proprietate a modelului ales, nu a mărimii fizice.

De reținut

• Evenimentul sigur este $\Omega$, iar evenimentul imposibil este $\varnothing$; ambele există la orice experiment.
• Un eveniment elementar conține un singur rezultat, $\{\omega \}$; un experiment are $\mathrm{card}(\Omega )$ evenimente elementare, iar la fiecare efectuare se produce exact unul dintre ele.
• Un eveniment compus are două sau mai multe rezultate; el este reuniunea, unic determinată, a evenimentelor elementare pe care le conține, iar numărul lor dă cazurile favorabile.
• Tipul unui eveniment depinde de mulțimea $\Omega$ aleasă: instrumentul, colecția sau modelul fixează ce rezultate sunt posibile, de aceea $\Omega$ se scrie înaintea etichetei.
• Rezultatul „$0$” nu este evenimentul imposibil, iar două descrieri care dau aceeași mulțime sunt același eveniment.

Greșeli frecvente

• Confunzi rezultatul zero cu mulțimea vidă. Când se numără ceva, „zero” este un rezultat ca oricare altul. „Nicio alarmă” la cinci senzori este $\{0\}$, un eveniment elementar, nu $\varnothing$.
• Numeri căsuțele unui tabel în loc de obiecte. Într-un tabel cu categorii, un eveniment elementar este un obiect ales, nu o căsuță. O căsuță cu două frunze dă un eveniment compus.
• Declari un eveniment imposibil fără să fi fixat modelul. Valoarea $60$ lipsește de pe afișajul unui cronometru care numără secundele de la $0$ la $59$, dar e un rezultat obișnuit pe unul care numără până la $99$. Scrie întâi $\Omega$, apoi decide.
• Crezi că alte cuvinte înseamnă alt eveniment. „Temperatură constantă” și „pene sau glande mamare” descriu aceeași mulțime de clase de vertebrate. Compară mulțimile, nu formulările.
• Declari un eveniment sigur după ce l-ai verificat pe câteva rezultate. La banda cu trei zone reactive, „suma codurilor este cel puțin $4$” pare sigură pe primele încercări, dar tripletul $(1,1,1)$ are suma $3$. Sigur înseamnă toate rezultatele lui $\Omega$, fără excepție.

Aplică acasă

1. Mulțimea unui aparat din casă. Alege un termometru, un cântar sau un ceas digital și caută în instrucțiuni intervalul pe care îl afișează și mesajul pe care îl dă în afara lui. Scrie $\Omega$ pentru afișaj și găsește un eveniment imposibil în acest model, deși mărimea respectivă poate lua în realitate acea valoare.
2. Planetele Sistemului Solar. Pentru experimentul „se alege la întâmplare o planetă a Sistemului Solar”, formulează, cu date din manualul de geografie sau de fizică (inele, sateliți, distanța față de Soare), câte un eveniment sigur, imposibil, elementar și compus. Verifică fiecare etichetă scriind mulțimea.
3. Colecția ta de frunze. Adună zece frunze din parc, fă un tabel după margine și nervațiune și caută o combinație care lipsește din colecția ta. Explică de ce evenimentul corespunzător e imposibil pentru colecția ta, dar nu și pentru a unui coleg.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează vocabularul probabilităților pe mulțimea rezultatelor posibile: sigur $=\Omega$, imposibil $=\varnothing$, elementar $=\{\omega \}$, compus $=$ cel puțin două rezultate. La profilul științe ale naturii, accentul cade pe două lucruri: clasificarea se face în raport cu un model (instrumentul, colecția, lista de rezultate), iar datele reale se citesc corect din tabele, numărând obiectele, nu categoriile. Legătura cu clasa a IX-a este mulțimea de adevăr a unui predicat, din lecția despre predicate și variabile: un eveniment este mulțimea rezultatelor pentru care propoziția lui e adevărată.

Întrebări bune de control: „Ce este $\Omega$ aici?”; „Este zero un rezultat sau lipsa unui rezultat?”; „S-ar schimba eticheta cu un alt aparat?”; „Câte obiecte conține căsuța aceasta?”. Semn că elevul a înțeles: scrie mulțimea înainte de etichetă și numără elementele ei. Pentru recapitulare, vezi testul de probabilități M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: eveniment sigur, imposibil, elementar, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Probabilități” numește explicit „eveniment sigur/imposibil, eveniment elementar”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține „evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”, fără să numească separat evenimentul sigur sau pe cel imposibil. De aceea exercițiile care cer tipul unui eveniment și numărul cazurilor lui favorabile sunt marcate „tip Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția M2 și cea de mate-info (M1) despre evenimente? Definițiile sunt aceleași: sigur, imposibil, elementar, compus. La științe ale naturii lecția insistă pe model: tipul unui eveniment se decide pe mulțimea rezultatelor fixată de un aparat, de o colecție sau de un tabel de observații. Exemplele vin din chimie, biologie și fizică, iar rezultatul zero și evenimentele egale au exemple proprii.

La ce subiect apare această temă la bacalaureatul M2? În programa M2 pentru 2027–2029, evenimentele intră în capitolul de probabilități, iar în modelul oficial publicat pentru 2026 Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre. Clasificarea evenimentelor e un pas al unor astfel de cerințe, nu o cerință separată. Pentru MAT_P2 din 2030 tema e în programă, dar un model de subiect nu există încă.

Depinde tipul unui eveniment de felul în care aleg mulțimea rezultatelor? Da. Aceeași propoziție poate fi imposibilă într-un model și elementară în altul, după cum lista rezultatelor o cuprinde sau nu. De aceea scrii întâi $\Omega$, apoi pui eticheta: aparatul de măsură, colecția studiată sau lista din enunț fixează ce rezultate sunt posibile.

Câte evenimente are un experiment cu $n$ rezultate posibile? Atâtea câte submulțimi are $\Omega$, adică $2^n$, fiindcă fiecare rezultat poate fi inclus sau nu într-un eveniment. La preparatul pus sub microscop, cu patru rezultate, sunt $2^4=16$ evenimente: unul imposibil, patru elementare și unsprezece compuse, printre care și evenimentul sigur. Numărul crește repede: la zece rezultate posibile sunt peste o mie de evenimente.

De ce se socotește mulțimea vidă un eveniment, dacă nu se produce niciodată? Evenimentele sunt submulțimile lui $\Omega$, iar mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. Păstrând-o printre evenimente, operațiile cu evenimente dau mereu tot un eveniment: intersecția dintre „țesutul este muscular” și „țesutul nu este excitabil” este $\{M\}\cap \{E,K\}=\varnothing$, adică exact faptul că cele două nu se pot produce împreună. Fără ea, această intersecție n-ar avea nume.

Ce legătură au evenimentele elementare cu cazurile din probabilități? Cazurile posibile ale unui experiment sunt tocmai evenimentele elementare, iar cazurile favorabile unui eveniment sunt evenimentele elementare din care e alcătuit. Când evenimentele elementare sunt egal posibile, raportul dintre cele două numere devine probabilitatea evenimentului, cum vei vedea în lecția despre definiția clasică a probabilității.