Reuniune, intersecție, evenimente disjuncte: pe scurt

Reuniunea $A\cup B$ traduce „$A$ sau $B$” (cel puțin unul) și intersecția $A\cap B$ traduce „$A$ și $B$” (amândouă); în matematică „sau” este neexclusiv. Două evenimente sunt disjuncte (incompatibile) dacă $A\cap B=\varnothing$, adică nu se pot realiza simultan — în diagrama Venn, cercurile lor nu se ating. Formula de numărare a reuniunii este $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$: se scade intersecția pentru că elementele ei au fost numărate de două ori; la evenimente disjuncte, termenul scăzut este zero, deci cazurile se adună direct.

O diagramă Venn are dreptunghiul $\Omega$ și două cercuri, cu patru regiuni: doar $A$, $A\cap B$, doar $B$, „nici, nici” — suma lor trebuie să dea $\mathrm{card}(\Omega )$, cel mai bun control. Regula de completare: se pornește din intersecție, apoi se scade spre exterior. Capcană importantă: disjunct nu înseamnă contrar — evenimentele contrare sunt disjuncte și, în plus, reuniunea lor acoperă tot $\Omega$ ($A\cup \overline{A}=\Omega$); două evenimente disjuncte pot lăsa rezultate neacoperite. La fel, disjunct nu înseamnă independent — sunt noțiuni complet diferite.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage una. $A$=„carte neagră” și $B$=„damă”. Câte cazuri favorabile are $A\cup B$?

   • a) $28$
   • b) $30$
   • c) $26$
   • d) $32$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $28$

   $\mathrm{card}(A)=26$ (cărțile negre), $\mathrm{card}(B)=4$ (damele), iar intersecția este formată din cele $2$ dame negre. Deci $\mathrm{card}(A\cup B)=26+4-2=28$.

2. La aruncarea unui zar, evenimentele «număr impar» și «multiplu de $4$» sunt:

   • a) Nu sunt disjuncte, pentru că $4$ e par
   • b) Disjuncte, pentru că $\{1,3,5\}\cap \{4\}=\varnothing$
   • c) Sunt evenimente contrare
   • d) Sunt independente
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) Disjuncte, pentru că $\{1,3,5\}\cap \{4\}=\varnothing$

   „Impar”$=\{1,3,5\}$ și „multiplu de $4$”$=\{4\}$ nu au niciun element comun, deci sunt disjuncte. Nu sunt contrare, pentru că reuniunea lor $\{1,3,4,5\}$ nu acoperă tot $\Omega$ (lipsesc $2$ și $6$).

3. Într-o clasă de $32$ de elevi, $20$ fac sport, $15$ fac muzică, iar $9$ fac amândouă. Câți elevi nu fac niciuna dintre cele două activități?

   • a) $12$
   • b) $9$
   • c) $6$
   • d) $26$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $6$

   Cel puțin o activitate: $20+15-9=26$. Niciuna: $32-26=6$.