Evenimentul contrar și probabilitatea lui (M2, științe ale naturii)

Un program de laborator dă fiecărei probe un cod de patru cifre, ales la întâmplare dintre toate cele zece mii de coduri posibile. Cât de probabil este ca un cod să conțină măcar o cifră $0$? Răspunsul vine repede dacă numeri codurile care nu conțin niciun zero, dintr-o singură înmulțire, și le scazi din total. Trecerea la evenimentul contrar transformă o problemă lungă într-una scurtă. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde operațiile cu evenimente sunt cerute explicit. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile sunt trecute la conținuturile clasei a X-a.

În lecția precedentă ai numărat cazurile favorabile și posibile cu combinatorica. Aici câștigi o scurtătură: uneori e mai ușor să numeri cazurile care nu te interesează.

Ce vei învăța

• Vei ști să formulezi evenimentul contrar în cuvinte și ca mulțime, pornind de la enunțul unei situații din științe.
• Vei ști să folosești relația $P(\overline{A})=1-P(A)$ și să o justifici prin numărarea cazurilor.
• Vei ști să negi corect enunțuri cu „cel puțin”, „cel mult”, „toate”, „exact” și „niciunul”, schimbând și cuantificatorul, nu doar proprietatea.
• Vei ști să decizi, înainte de calcul, dacă e mai scurt drumul direct sau cel prin contrar.
• Vei ști să combini contrarul cu regula produsului și cu combinările, la coduri, șiruri și alegeri simultane.
• Vei ști să rezolvi cerințe scurte de tipul celor de la Subiectul I al bacalaureatului M2 în care contrarul scurtează numărarea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este evenimentul contrar?

Evenimentul contrar lui $A$ este evenimentul realizat de toate rezultatele experimentului la care $A$ nu are loc. Notația lui este $\overline{A}$ (citit „non $A$”), iar ca mulțime el cuprinde toate rezultatele lui $\Omega$ care nu aparțin lui $A$:

$$\overline{A}=\Omega \setminus A.$$

Operația cu mulțimi o cunoști din lecția despre evenimentele disjuncte și diagramele Venn. Două fapte decurg imediat din definiție: $A\cup \overline{A}=\Omega$, adică la orice probă se produce unul dintre cele două evenimente, și $A\cap \overline{A}=\varnothing$, adică nu se pot produce amândouă. Contrarul contrarului este evenimentul inițial: $\overline{\overline{A}}=A$.

În limbaj obișnuit, evenimentul contrar se obține negând propoziția care descrie evenimentul. De aceea tot ce ai învățat în clasa a IX-a despre negarea propozițiilor cu cuantificatori se folosește aici direct: „există o probă pozitivă” are ca negație „toate probele sunt negative”.

2. De ce $P(\overline{A})=1-P(A)$?

Fie un experiment cu $n$ rezultate egal posibile și un eveniment $A$ cu $k$ cazuri favorabile. Cazurile favorabile ale lui $\overline{A}$ sunt exact celelalte $n-k$ rezultate, deci

$$P(\overline{A})=\frac{n-k}{n}=1-\frac{k}{n}=1-P(A).$$

Relația se scrie și $P(A)+P(\overline{A})=1$. Un exemplu pe un obiect care nu mai apare: crescătoria de laborator a unei facultăți are $30$ de cobai, dintre care $11$ au blana albă. Probabilitatea ca un cobai luat la întâmplare să nu aibă blana albă este $1-\frac{11}{30}=\frac{19}{30}$, adică exact raportul celor $19$ cobai rămași.

Aceeași relație e adevărată și pentru frecvențele relative: dacă într-o serie de observații evenimentul a apărut în $f$ dintre ele, contrarul lui a apărut în restul, iar frecvențele lor adunate dau tot $1$. Așa că poți scădea din $1$ și atunci când probabilitatea a fost estimată din date, nu calculată prin numărare.

3. Când e mai scurt drumul prin contrar?

Revenim la codurile de patru cifre din deschidere. Un rezultat este un șir de patru cifre, fiecare de la $0$ la $9$, deci $\mathrm{card}(\Omega )=10^4=10000$. Evenimentul $A$ = „codul conține cel puțin o cifră $0$” are contrarul $\overline{A}$ = „codul nu conține nicio cifră $0$”. Pentru $\overline{A}$ fiecare poziție are nouă variante, deci, după regula produsului, $9^4=6561$ de coduri:

$$P(A)=1-\frac{6561}{10000}=\frac{3439}{10000}=0,3439.$$

Numărarea prin contrar o cunoști din lecția despre regula sumei și combinarea regulilor, unde ai numărat astfel secvențele de ADN cu cel puțin o guanină; aici numărul obținut se împarte la numărul tuturor cazurilor și devine probabilitate. Regula de decizie e simplă: calculezi evenimentul care are mai puține cazuri de numărat. Enunțurile cu „cel puțin unul” au, de cele mai multe ori, un contrar cu un singur caz, „niciunul”.

4. Cum neg corect un enunț?

Negarea schimbă atât proprietatea, cât și cuantificatorul. Câteva perechi pe care le vei întâlni în laborator:

• „Cel puțin o probă e pozitivă” are contrarul „toate probele sunt negative”, adică „nicio probă nu e pozitivă”.
• „Toate cele cinci probe de apă sunt potabile” are contrarul „cel puțin o probă nu e potabilă”, nu „toate sunt nepotabile”.
• „Cel mult două plante sunt bolnave” are contrarul „cel puțin trei plante sunt bolnave”.
• „Exact o eprubetă s-a spart” are contrarul „nicio eprubetă nu s-a spart sau s-au spart cel puțin două”.
• „Proba cântărește cel puțin $5$ g” are contrarul „proba cântărește mai puțin de $5$ g”.

Proba negării e un test pe rezultate anume: alege câteva rezultate, inclusiv unele de la margine, și întreabă-te pentru fiecare care dintre cele două enunțuri îl descrie. Răspunsul corect e de fiecare dată unul singur; un rezultat descris de ambele enunțuri sau de niciunul arată o negare greșită. Cu numere întregi, capetele contează: contrarul lui „cel puțin trei” e „cel mult două”, nu „cel mult trei”.

5. Cum folosesc contrarul la alegeri simultane?

Într-un depozit sunt $11$ saci de grâu, dintre care $3$ sunt infestați cu gărgărița grâului, dar nimeni nu știe care. Un laborator de fitopatologie deschide $4$ saci aleși la întâmplare. Care e probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin un sac infestat? Un rezultat este o submulțime de $4$ saci: $\mathrm{card}(\Omega )=C_{11}^4=330$. Contrarul, „niciun sac infestat”, înseamnă că toți cei patru saci vin din cei $8$ sănătoși:

$$P(\text{cel puțin un sac infestat})=1-\frac{C_8^4}{C_{11}^4}=1-\frac{70}{330}=\frac{260}{330}=\frac{26}{33}.$$

Diagrama arată toate cele patru compoziții ale alegerii. Evenimentul cerut adună trei bare, $168+84+8=260$; contrarul lui e o singură bară, $70$. Numărând bara singură, ai făcut mai puțină muncă și ai ajuns la același număr.

6. Când nu te ajută contrarul?

Aceiași $11$ saci, aceeași alegere de câte $4$. Care e probabilitatea ca toți trei sacii infestați să fie printre cei deschiși? Evenimentul are o singură compoziție: cei trei saci infestați și unul dintre cei $8$ sănătoși, $C_3^3\cdot C_8^1=8$ cazuri, deci probabilitatea $\frac{8}{330}=\frac{4}{165}$. Contrarul, „cel mult doi saci infestați”, are trei compoziții, $70+168+84=322$ de cazuri. Aici drumul direct e mult mai scurt, iar contrarul rămâne doar o verificare: $\frac{322}{330}=\frac{161}{165}$ și $\frac{4}{165}+\frac{161}{165}=1$.

Drumul prin contrar se alege, nu se impune. Înainte de calcul, scrie cele două evenimente, numără-le compozițiile și alege-l pe cel mai scurt. În lecția de numărare despre probleme practice ai folosit deja aceeași idee pentru a număra alegeri; aici ea se aplică probabilităților.

7. Cum verific un rezultat cu relația $P(A)+P(\overline{A})=1$?

Relația e un control gratuit. Dacă ai calculat separat, pe două căi, $P(A)$ și $P(\overline{A})$, suma lor trebuie să fie exact $1$. Când lucrezi cu valori rotunjite, scade din $1$ fracția exactă și rotunjește la final: $1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}\approx 0,71$.

Pe scurt, strategia are trei pași: scrii în cuvinte contrarul evenimentului cerut și îl verifici pe un caz concret; numeri cazurile contrarului; scazi probabilitatea obținută din $1$ și faci proba sumei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Răsucirea limbii

La o oră de genetică, cei $28$ de elevi ai unei clase au încercat să-și răsucească limba în formă de U; $9$ nu au reușit. Se alege la întâmplare un elev al clasei. Calculați probabilitatea ca elevul ales să poată răsuci limba, folosind evenimentul contrar, și verificați prin numărare directă.

Rezolvare. Fie $A$ = „elevul ales nu poate răsuci limba”: $P(A)=\frac{9}{28}$. Evenimentul cerut este $\overline{A}$:

$$P(\overline{A})=1-\frac{9}{28}=\frac{19}{28}.$$

Verificare: elevii care pot răsuci limba sunt $28-9=19$, iar $\frac{19}{28}$ e același număr.

Exemplul 2 — Coduri de trei litere distincte

Un program formează coduri din trei litere distincte, alese dintre $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, ordinea literelor contând; toate codurile sunt egal posibile. Calculați probabilitatea ca un cod să conțină cel puțin o vocală.

Rezolvare. Un cod e un șir de trei litere distincte: $\mathrm{card}(\Omega )=A_6^3=120$. Vocalele sunt $A$ și $E$. Contrarul, „codul nu conține nicio vocală”, înseamnă un șir din consoanele $B$, $C$, $D$, $F$: $A_4^3=24$ de coduri.

$$P=1-\frac{24}{120}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.$$

Pe drumul direct ar fi trebuit să numeri separat codurile cu exact o vocală și pe cele cu exact două.

Exemplul 3 — Contrarul lui „exact unul”

Dintre $7$ pacienți ai unui studiu, $3$ sunt alergici la un medicament. Se aleg la întâmplare $3$ pacienți pentru un control. Calculați probabilitatea ca numărul pacienților alergici din grupa aleasă să nu fie exact $1$.

Rezolvare. Grupele posibile sunt $C_7^3=35$. Evenimentul cerut este contrarul lui „exact un pacient ales e alergic”, iar acesta are o singură compoziție: un alergic și doi nealergici, $C_3^1\cdot C_4^2=3\cdot 6=18$ grupe. Deci

$$P=1-\frac{18}{35}=\frac{17}{35}.$$

Pe drumul direct ar fi trebuit adunate trei compoziții: niciun alergic ($C_4^3=4$), doi alergici ($C_3^2\cdot C_4^1=12$) și trei alergici ($1$). Suma lor, $4+12+1=17$, confirmă rezultatul. Aici contrarul lui „exact unul” nu este „niciunul”, ci tot ce rămâne: zero, doi sau trei.

Exemplul 4 — Procentul dat, contrarul cerut

Un producător de răsaduri a vândut într-un sezon $250$ de loturi; $96\%$ dintre ele au adus profit, iar celelalte au fost vândute sub prețul de cost. Se alege la întâmplare un lot din registrul vânzărilor. a) Calculați probabilitatea ca lotul să fi fost vândut sub prețul de cost. b) Câte loturi au fost vândute sub prețul de cost?

Rezolvare. a) Alegerea e la întâmplare dintr-un registru finit, deci probabilitatea ca lotul să fi adus profit este proporția raportată, $0,96$. Contrarul are probabilitatea

$$1-0,96=0,04=4\%.$$

b) Proporția $4\%$ din $250$ de loturi înseamnă $0,04\cdot 250=10$ loturi. Verificare: $240+10=250$, iar $240$ reprezintă $96\%$ din registru.

Exemplul 5 — Direct sau prin contrar? Planul unui experiment

Un program alege, pentru fiecare dintre cele $4$ zile ale unui experiment, unul dintre tratamentele $1$, $2$, $3$, la întâmplare, toate planurile fiind egal posibile. Calculați probabilitatea ca tratamentul $1$ să fie folosit în cel puțin două zile, pe ambele drumuri.

Rezolvare. Un plan este un șir de $4$ tratamente: $\mathrm{card}(\Omega )=3^4=81$. Numărăm după câte zile primesc tratamentul $1$; zilele alese pentru el se aleg cu combinări, iar celelalte zile primesc tratamentul $2$ sau $3$.

Direct: exact două zile: $C_4^2\cdot 2^2=24$; exact trei: $C_4^3\cdot 2=8$; toate patru: $1$. În total $33$ de planuri.

Prin contrar: „tratamentul $1$ în cel mult o zi” are nicio zi, $2^4=16$, și exact o zi, $C_4^1\cdot 2^3=32$, adică $48$ de planuri, iar $81-48=33$.

$$P=\frac{33}{81}=\frac{11}{27}.$$

Aici drumul prin contrar are două cazuri, cel direct trei: câștigul e mic. Contrarul economisește mult doar când are un singur caz, ca la „cel puțin unul”.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că există $729$ de numere naturale de trei cifre care nu conțin cifra $0$. b) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să conțină cel puțin o cifră $0$.

Rezolvare. a) Fiecare dintre cele trei cifre poate fi $1,2,\dots ,9$, deci numerele sunt $9\cdot 9\cdot 9=729$.

b) Numerele de trei cifre sunt $100,101,\dots ,999$, adică $900$, egal posibile. Evenimentul cerut este contrarul celui de la punctul a):

$$P=1-\frac{729}{900}=\frac{171}{900}=\frac{19}{100}.$$

Cerința urmează forma cerinței de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde se lucrează pe numerele naturale de două cifre; aici numerele au trei cifre. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. a) Un eveniment $A$ are $P(A)=0,23$. Calculează $P(\overline{A})$. b) Un eveniment $B$ are $P(\overline{B})=\frac{5}{9}$. Calculează $P(B)$.

2. Într-o seră s-au pus la înrădăcinat $40$ de butași de salcie; $7$ nu au format rădăcini. Se alege la întâmplare un butaș din lot. Calculează, prin evenimentul contrar, probabilitatea ca el să fi format rădăcini.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Laboratorul de biologie are $7$ truse de disecție, dintre care $2$ sunt noi. Pentru o lucrare se aleg simultan, la întâmplare, $2$ truse. „Evenimentul «cel puțin una dintre trusele alese este nouă» este mai puțin probabil decât contrarul lui, fiindcă trusele noi sunt doar $2$ din $7$.”

4. Scrie contrarul fiecărui eveniment: a) „în fiecare zi a săptămânii, temperatura din frigiderul cu reactivi a fost între $2$ °C și $8$ °C”; b) „din fiecare tavă de răsaduri, cel mult un răsad este bolnav”; c) „nicio broască marcată nu a fost recapturată de mai multe ori”; d) „orice probă pozitivă a fost confirmată de un al doilea test”.

5. Un stativ are $8$ tuburi, dintre care $3$ conțin reactivul $X$. Un tehnician ia de trei ori, la întâmplare, câte un tub, notează ce conține și îl pune la loc, așa că toate cele trei alegeri, notate în ordine, sunt egal posibile. Calculează probabilitatea ca reactivul $X$ să fie nimerit cel puțin o dată.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,25\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un element al mulțimii $A$, acesta să nu fie pătrat perfect.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime cu două elemente a mulțimii $A$, cel puțin unul dintre elemente să fie număr prim.

8. Cinci probe, dintre care $2$ provin de la pacientul $X$, sunt analizate într-o ordine aleasă la întâmplare. Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre probele pacientului $X$ să fie printre primele două analizate.

9. (Problemă aplicată.) Pentru un experiment de $5$ zile, un program alege în fiecare zi, la întâmplare, o cameră climatică. În primele $3$ zile sunt disponibile camerele $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, iar în ultimele $2$ zile se adaugă și camera $C_5$; toate planurile sunt egal posibile. Calculează probabilitatea ca în cele $5$ zile camera $C_1$ să fie folosită cel puțin o dată.

10. Se alege la întâmplare un număr întreg de la $1$ la $80$. Calculează probabilitatea ca numărul să nu fie multiplu de $6$.

11. Literele cuvântului GENOM se așază la întâmplare, formând un șir de cinci litere. Calculează, prin evenimentul contrar, probabilitatea ca șirul obținut să nu înceapă cu o vocală.

12. Pentru un eveniment $A$, un elev a obținut, numărând direct, $P(A)=\frac{13}{40}$, iar numărând contrarul, $P(\overline{A})=\frac{28}{40}$. Ce poți spune despre cele două calcule, fără să cunoști problema?

13. Se formează numere de patru cifre distincte cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5,6\}$. Calculează probabilitatea ca un număr ales la întâmplare dintre acestea să conțină cel puțin o cifră pară.

14. Un senzor dintr-o seră memorează temperatura în fiecare minut al unei zile. Pentru un control se alege la întâmplare una dintre înregistrările zilei. Calculează probabilitatea ca ea să nu fi fost făcută între ora $0:00$ și ora $5:59$, inclusiv.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,10\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând o submulțime cu trei elemente a mulțimii $M$, aceasta să conțină cel puțin un multiplu de $4$.

16. Pentru un eveniment $A$ se știe că $P(\overline{A})=3\cdot P(A)$. Calculează $P(A)$ și $P(\overline{A})$.

17. Într-o serie de $400$ de observații, evenimentul $A$ a apărut de $312$ ori. Calculează frecvența relativă a evenimentului $\overline{A}$. Se mai fac apoi încă $100$ de observații, iar în toate se produce $A$. Cât devine frecvența relativă a lui $\overline{A}$ în seria completă?

18. (Provocare.) Dintr-un set de $n$ tulpini bacteriene, dintre care $2$ sunt tulpini de referință, se aleg la întâmplare, simultan, $2$ tulpini. Probabilitatea ca nu amândouă tulpinile de referință să fie alese este $\frac{90}{91}$. Determină $n$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $P(\overline{A})=1-0,23=0,77$. b) $P(B)=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$.

2. $P(\text{fa˘ra˘ ra˘da˘cini})=\frac{7}{40}$, deci $P(\text{cu ra˘da˘cini})=1-\frac{7}{40}=\frac{33}{40}$.

3. Fals. Perechile de truse sunt $C_7^2=21$. Contrarul, „niciuna dintre trusele alese nu e nouă”, are $C_5^2=10$ perechi, deci probabilitatea $\frac{10}{21}$. Evenimentul din enunț are $1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$, adică este mai probabil decât contrarul lui: două truse alese dau două șanse de a nimeri una nouă.

4. a) „În cel puțin o zi a săptămânii, temperatura din frigiderul cu reactivi a fost sub $2$ °C sau peste $8$ °C.” Negația lui „între” cere două posibilități, legate prin „sau”. b) „Există o tavă cu cel puțin două răsaduri bolnave.” c) „Cel puțin o broască marcată a fost recapturată de cel puțin două ori.” d) „Există o probă pozitivă pe care al doilea test nu a confirmat-o.”

5. Un rezultat e un șir de trei tuburi, cu repetiție: $\mathrm{card}(\Omega )=8^3=512$. Contrarul: niciun tub cu reactivul $X$, deci de fiecare dată unul dintre cele $5$ fără $X$: $5^3=125$ de șiruri. $P=1-\frac{125}{512}=\frac{387}{512}$.

6. Mulțimea are $25$ de elemente. Contrarul: elementul este pătrat perfect, adică $1,4,9,16,25$, în număr de $5$. $P=1-\frac{5}{25}=\frac{4}{5}$.

7. $\mathrm{card}(\Omega )=C_8^2=28$. Numerele prime din $A$ sunt $2,3,5,7$, iar cele care nu sunt prime, $4,6,8,9$. Contrarul: ambele elemente sunt neprime, $C_4^2=6$ submulțimi. $P=1-\frac{6}{28}=\frac{22}{28}=\frac{11}{14}$.

8. $\mathrm{card}(\Omega )=5!=120$. Contrarul: primele două poziții sunt ocupate de probe care nu sunt ale lui $X$, în $A_3^2=6$ feluri, iar celelalte trei probe se așază în $3!=6$ feluri: $36$ de ordini. $P=1-\frac{36}{120}=\frac{84}{120}=\frac{7}{10}$.

9. Planurile posibile: $4^3\cdot 5^2=64\cdot 25=1600$. Contrarul: camera $C_1$ nu e folosită, deci în primele trei zile se alege una dintre celelalte $3$ camere, iar în ultimele două una dintre celelalte $4$: $3^3\cdot 4^2=27\cdot 16=432$ de planuri. $P=1-\frac{432}{1600}=\frac{1168}{1600}=\frac{73}{100}=0,73$.

10. Multiplii lui $6$ de la $1$ la $80$ sunt $6,12,\dots ,78$, adică $13$ (fiindcă $6\cdot 13=78$ și $6\cdot 14=84>80$). $P=1-\frac{13}{80}=\frac{67}{80}$.

11. Șirurile posibile: $5!=120$. Vocalele din GENOM sunt $E$ și $O$. Șirurile care încep cu o vocală: $2\cdot 4!=48$, deci $P(\text{ıˆncepe cu vocala˘})=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$, iar evenimentul cerut are $P=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.

12. Suma $\frac{13}{40}+\frac{28}{40}=\frac{41}{40}$ depășește $1$, deci cel puțin unul dintre calcule e greșit: un caz a fost numărat și în $A$, și în $\overline{A}$, sau unul dintre evenimente a primit un caz în plus. Rezultatele corecte ar trebui să dea exact $\frac{40}{40}=1$.

13. Cifrele impare disponibile sunt doar $1$, $3$, $5$, iar un număr are patru cifre distincte; el nu poate fi format numai din cifre impare. Contrarul, „nicio cifră pară”, este imposibil, cu probabilitatea $0$, deci evenimentul cerut este sigur: $P=1-0=1$.

14. O zi are $24\cdot 60=1440$ de minute, deci $1440$ de înregistrări. Între $0:00$ și $5:59$ sunt $6$ ore întregi, adică $6\cdot 60=360$ de înregistrări. $P=1-\frac{360}{1440}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

15. $\mathrm{card}(\Omega )=C_{10}^3=120$. Multiplii lui $4$ din $M$ sunt $4$ și $8$. Contrarul: submulțimea are toate elementele din celelalte $8$ numere, $C_8^3=56$. $P=1-\frac{56}{120}=\frac{64}{120}=\frac{8}{15}$.

16. Din $P(A)+P(\overline{A})=1$ rezultă $P(A)+3P(A)=1$, deci $P(A)=\frac{1}{4}$ și $P(\overline{A})=\frac{3}{4}$.

17. $\overline{A}$ a apărut de $400-312=88$ de ori, deci frecvența lui relativă este $\frac{88}{400}=0,22$. În seria completă sunt $500$ de observații, iar $\overline{A}$ are tot $88$ de apariții, fiindcă în cele $100$ noi s-a produs $A$: frecvența devine $\frac{88}{500}=0,176$. Proba: frecvența lui $A$ este $\frac{412}{500}=0,824$, iar $0,824+0,176=1$.

18. Perechile de tulpini sunt $C_n^2$, iar una singură conține ambele tulpini de referință. Deci $1-\frac{1}{C_n^2}=\frac{90}{91}$, adică $C_n^2=91$ și $\frac{n(n-1)}{2}=91$, $n(n-1)=182=14\cdot 13$. Rezultă $n=14$.

De reținut

• Contrarul lui $A$ adună toate rezultatele din afara lui $A$, $\overline{A}=\Omega \setminus A$; cele două evenimente nu au rezultate comune și împreună acoperă $\Omega$.
• Pentru orice eveniment, $P(\overline{A})=1-P(A)$; la $n$ rezultate egal posibile, contrarul are exact $n-k$ cazuri, dacă $A$ are $k$.
• Contrarul se obține negând enunțul, cu tot cu cuantificator: „cel puțin unul” devine „niciunul”, „toate” devine „cel puțin unul nu”, „cel mult două” devine „cel puțin trei”.
• Alegi drumul cu mai puține cazuri; la „cel puțin unul” contrarul are, de obicei, un singur caz, deci drumul prin contrar e mai scurt.
• Proba $P(A)+P(\overline{A})=1$ controlează calculul; cu valori rotunjite, scazi fracția exactă și rotunjești la sfârșit.

Greșeli frecvente

• Păstrezi cuantificatorul când negi. Contrarul lui „cel puțin o probă e pozitivă” nu e „cel puțin o probă e negativă”, ci „toate probele sunt negative”.
• Scazi din $1$ un număr de cazuri. Dacă ai numărat $70$ de cazuri pentru contrar, scazi fracția $\frac{70}{330}$ din $1$ sau numărul $70$ din totalul $330$, dar nu $70$ din $1$.
• Rotunjești înainte să scazi. Cine rotunjește $\frac{1}{3}$ la $0,3$ și apoi scade obține $0,7$, deși $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,67$; scade întâi fracția exactă și rotunjește o singură dată, la sfârșit.
• Uiți capătul când negi „cel mult” sau „cel puțin”. Contrarul lui „tensiunea este cel mult $12$ V” este „tensiunea depășește $12$ V”; valoarea $12$ V aparține unui singur eveniment, nu amândurora și nici niciunuia.
• Dai ca răspuns probabilitatea contrarului. După ce calculezi $P(\overline{A})$, pasul final este scăderea din $1$; mulți se opresc la contrar și raportează exact probabilitatea evenimentului care nu a fost cerut.

Aplică acasă

1. Direct sau prin contrar? Pune într-o pungă opacă opt bomboane de două arome, de exemplu cinci de căpșuni și trei de lămâie, și imaginează-ți că scoți trei deodată. Formulează patru evenimente: două pentru care drumul prin contrar e mai scurt și două pentru care drumul direct e mai scurt. Calculează fiecare probabilitate pe drumul ales, apoi verifică pe celălalt drum că probabilitatea evenimentului și cea a contrarului lui au suma $1$.
2. Promovarea examenului în județul tău. Caută pe site-ul Ministerului Educației procentul candidaților care au promovat examenul de bacalaureat de anul trecut în județul tău. Scrie probabilitatea estimată ca un candidat ales la întâmplare dintre cei din județ să nu fi promovat, apoi calculează câți candidați înseamnă asta. Discută de ce numărul este o estimare din date, nu o probabilitate calculată prin numărarea unor cazuri egal posibile.
3. Paginile unei cărți. Alege o carte cu cel puțin $200$ de pagini. Calculează probabilitatea ca o pagină deschisă la întâmplare să aibă numărul de pagină fără nicio cifră $0$, apoi probabilitatea contrarului. Deschide cartea de $30$ de ori și compară frecvența observată cu valoarea calculată.

Pentru părinți și profesori

Lecția adaugă primul instrument de calcul care nu e o numărare nouă, ci o scurtătură: relația $P(\overline{A})=1-P(A)$. Ea se justifică prin numărare, dar e valabilă și pentru probabilitățile estimate din frecvențe, ceea ce la științe contează, fiindcă multe date vin din măsurători. Partea cea mai delicată este negarea enunțurilor; lecția o leagă explicit de negarea cuantificatorilor din clasa a IX-a și cere controlul pe un caz concret.

Ce merită urmărit în caiet: scrie elevul contrarul în cuvinte înainte de orice calcul; numără compozițiile ambelor evenimente și alege drumul scurt; face proba sumei; scade fracții exacte, nu valori rotunjite. Întrebări bune de control: „Care e contrarul, spus în cuvinte? Verifică-l pe un rezultat anume.”, „Câte compoziții are fiecare eveniment?”, „Cât trebuie să dea suma celor două probabilități?”. Semn de înțelegere: elevul spune singur, la o cerință cu „cel puțin două”, că drumul prin contrar nu mai scurtează aproape nimic.

Lecția următoare, despre probabilitatea reuniunii a două evenimente, tratează evenimentele compuse din două evenimente care se pot suprapune. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: evenimentul contrar și probabilitatea lui.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, la capitolul de probabilități al clasei a X-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „operații cu evenimente” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, pe numerele naturale de două cifre. Programa de examen din 2014 așază probabilitățile în capitolul „Matematici financiare” și cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget); exercițiile marcate aici „tip Bacalaureat M2” sunt pe mulțimi de numere, ca cerința din modelul oficial, Exemplul 4 are un context financiar, iar celelalte folosesc contexte de laborator și de teren. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre evenimentul contrar de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Relația $P(\overline{A})=1-P(A)$ și strategia „cel puțin unul” sunt aceleași. La științe ale naturii, lecția leagă negarea evenimentelor de negarea cuantificatorilor din clasa a IX-a, arată că relația funcționează și pentru frecvențe măsurate și lucrează pe coduri de probe, loturi de laborator și planuri de experiment, în locul zarurilor și al monedelor.

La ce subiect apare evenimentul contrar la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial 2026, cerința de probabilitate a Subiectului I se rezolvă prin numărarea cazurilor. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Ce legătură are evenimentul contrar cu negația din logică? Un eveniment e descris de o propoziție despre rezultat, iar evenimentul contrar e descris de negația ei. De aceea regulile de negare din clasa a IX-a se aplică direct: „există” devine „oricare”, „oricare” devine „există”, iar proprietatea se neagă. Ca mulțimi, negația propoziției corespunde complementarei față de $\Omega$.

Care este contrarul evenimentului sigur? Evenimentul imposibil. Evenimentul sigur cuprinde toate rezultatele, deci în afara lui nu rămâne niciunul: $\overline{\Omega }=\varnothing$. Relația $P(\overline{A})=1-P(A)$ dă și ea $1-1=0$, adică probabilitatea evenimentului imposibil. Invers, contrarul evenimentului imposibil este evenimentul sigur. Sunt singura pereche de evenimente contrare în care unul dintre ele nu se produce niciodată.

Pot folosi relația $1-P(A)$ când probabilitatea a fost estimată din date? Da. Dacă într-o serie de observații un eveniment a apărut într-o anumită proporție, contrarul lui a apărut în restul observațiilor, deci frecvențele relative ale celor două au suma $1$. O probabilitate estimată de $0,92$ dă, pentru contrar, estimarea $0,08$, cu aceeași precizie ca estimarea inițială.

Poate un eveniment să fie egal cu propriul contrar? Nu. Dacă $A=\overline{A}$, atunci $A\cup \overline{A}=A$ ar trebui să fie tot $\Omega$, iar $A\cap \overline{A}=A$ ar trebui să fie mulțimea vidă, deci $\Omega$ ar fi vidă, ceea ce nu se întâmplă la niciun experiment. Un eveniment și contrarul lui pot avea în schimb aceeași probabilitate: la alegerea unei cifre de la $0$ la $9$, „cifra este cel mult $4$” și contrarul ei au câte cinci cazuri.