Populație, eșantion și caracteristică în statistică (M2, științe ale naturii)

O echipă de biologi vrea să afle în ce stare se află racii dintr-un lac de munte. Nu poate prinde fiecare rac: pune vârșe peste noapte, măsoară câteva zeci de exemplare și le eliberează, iar seara scrie în raport o frază despre racii din tot lacul. Despre cine vorbește fraza și ce a măsurat, de fapt, echipa sunt întrebările cu care începe statistica, iar lecția de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), îți dă cuvintele cu care le formulezi exact. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit populația și eșantionul. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține culegerea și clasificarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

Unitatea de numărare s-a încheiat cu probleme practice de numărare, în care știai dinainte toate cazurile. Acum situația se inversează: datele vin din măsurători, iar primul pas e să spui precis ce ai măsurat și la cine.

Ce vei învăța

• Vei ști să delimitezi populația statistică a unui studiu și să recunoști unitatea statistică, adică un rând din tabelul de date.
• Vei ști ce este un eșantion, de ce se lucrează aproape mereu pe eșantion și cum se calculează fracția de sondaj $\frac{n}{N}$, în ambele sensuri.
• Vei ști să deosebești unitatea statistică de unitatea de măsură și să scrii unitatea de măsură în capul fiecărei coloane.
• Vei putea spune despre orice caracteristică dacă este calitativă (eventual ordonată) ori cantitativă, iar la cele cantitative dacă sunt discrete sau continue.
• Vei ști să construiești un tabel de date brute corect, inclusiv pentru valorile raportate „sub limita de detecție”.
• Vei ști să recunoști când două caracteristici ale aceluiași studiu au unități statistice diferite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este populația statistică?

Populația statistică este mulțimea tuturor elementelor despre care un studiu vrea să tragă o concluzie, delimitată astfel încât pentru orice obiect să se poată spune dacă îi aparține sau nu. Un element al populației se numește unitate statistică, iar numărul unităților se numește volumul populației și se notează cu $N$.

În științe, unitățile sunt rareori oameni. Un ocol silvic care vrea să știe cum s-au prins puieții de molid plantați în primăvara anului 2025 pe un versant are ca populație toți puieții plantați atunci, acolo; unitatea statistică este un puiet. Formularea „molizii din pădure” nu ar delimita nimic: nu spune ce pădure și ce an.

Populația poate fi și o mulțime de momente: dacă un senzor măsoară turbiditatea unui râu la fiecare oră, timp de o lună, unitatea statistică este o oră de măsurare.

2. Eșantionul și fracția de sondaj

Un eșantion este o parte a populației, aleasă pentru a fi studiată efectiv. Câte unități are eșantionul spune volumul eșantionului, notat $n$. Raportul dintre cele două volume se numește fracție de sondaj:

$$\text{fracția de sondaj}=\frac{n}{N}.$$

Eșantionul fiind o submulțime a populației, avem mereu $n\le N$, deci fracția de sondaj este un număr între $0$ și $1$, pe care îl scriem de obicei în procente. La controlul sanitar al unui lot de $12000$ de pui de curcan dintr-o fermă se examinează $150$ de pui:

$$\frac{150}{12000}=\frac{1}{80}=0,0125=1,25\%.$$

De ce nu se examinează toți puii? Motivele sunt practice: costul analizelor, probe care se consumă la măsurare (semințele puse la testul de germinație nu mai pot fi semănate) și populații care nu pot fi cuprinse integral, cum e aerul unui oraș. De aceea concluzia privește populația, iar măsurătorile privesc eșantionul. Cum se alege un eșantion și ce se poate spune despre populație pornind de la el vei vedea în lecțiile despre etapele unui sondaj și despre eșantionarea aleatoare și stratificată.

3. Unitatea statistică sau unitatea de măsură?

Unitatea statistică răspunde la „pe cine am măsurat?”: un rac, o probă de sol, o oră de înregistrare. Unitatea de măsură răspunde la „în ce am exprimat rezultatul?”: milimetri, grame, miligrame pe litru, grade Celsius.

La analiza apei, pH-ul unei probe este un număr fără unitate de măsură, iar conținutul de calciu al aceleiași probe se exprimă în miligrame pe litru. Unitatea statistică este în ambele cazuri aceeași: proba de apă.

Regula de lucru: unitatea statistică dă rândurile tabelului de date, iar unitatea de măsură se scrie în capul coloanei, o singură dată, nu lângă fiecare număr.

4. Caracteristica și modalitățile ei

O caracteristică (sau variabilă statistică) este însușirea pe care o notezi la fiecare unitate statistică; valorile ei posibile se numesc modalități.

Pe fișa de captură a unui pește, la un inventar piscicol, apar specia, lungimea în milimetri, masa în grame, sexul și vârsta în ani, citită după inelele de pe solzi: cinci caracteristici ale aceleiași unități statistice. Specia are câteva nume posibile, sexul două modalități, vârsta ia valori întregi, iar lungimea și masa pot lua orice valoare dintr-un interval.

5. Calitativă sau cantitativă, discretă sau continuă?

O caracteristică este calitativă când modalitățile ei sunt categorii (specia, sexul, textura solului) și cantitativă când modalitățile sunt numere care exprimă o mărime. Criteriul cel mai sigur este să te întrebi: diferența a două valori are sens ca mărime, în aceeași unitate? Între $21,4{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $19,1{}^{\circ }\mathrm{C}$ diferența este de $2,3{}^{\circ }\mathrm{C}$ și înseamnă ceva exact; între „crap” și „știucă” nu există o diferență măsurabilă.

Caracteristicile cantitative se împart la rândul lor:

• discrete, când valorile posibile se pot scrie una după alta, fără nimic între ele: numărul de ouă dintr-o pontă, numărul de colonii de pe o placă, numărul de inele de creștere;
• continue, când între oricare două valori posibile mai există altele: lungimea, masa, temperatura, timpul, concentrația.

Pe fiecare placă de cultură numeri coloniile: unitatea statistică este placa. Apoi măsori diametrul fiecărei colonii: acum unitatea statistică este colonia. Același experiment produce două tabele, cu numere diferite de rânduri.

6. Când numerele sunt doar ranguri?

Duritatea unui mineral pe scala Mohs se exprimă printr-un număr de la $1$ (talcul) la $10$ (diamantul). Scala spune doar ordinea: un mineral cu duritatea $7$ zgârie unul cu duritatea $6$ și e zgâriat de unul cu duritatea $8$. Diferența dintre trepte nu este constantă: în duritatea măsurată cu aparate, saltul de la corindon ($9$) la diamant ($10$) este mult mai mare decât cel de la talc ($1$) la gips ($2$). Diferența a două valori nu are, deci, sens ca mărime.

O astfel de caracteristică este calitativă ordonată: modalitățile au o ordine naturală, dar nu sunt măsuri. Poți ordona mineralele, dar calculele care adună sau scad trepte nu descriu nimic real. La fel stau stadiile de dezvoltare ale unei plante, codificate cu cifre.

7. Tabelul de date brute

Măsurătorile se așază într-un tabel de date brute: fiecare rând este o unitate statistică, fiecare coloană o caracteristică, iar capul coloanei conține unitatea de măsură. În această formă se introduc datele și într-o aplicație digitală.

O situație specifică analizelor chimice este valoarea sub limita de detecție. Laboratorul care măsoară arsenul în apa unei fântâni poate raporta „sub $0,005$ miligrame pe litru”: metoda nu vede cantități mai mici. Rezultatul nu înseamnă „zero arsen”, iar celula nu rămâne goală, fiindcă măsurătoarea s-a făcut; se scrie „$<0,005$”.

După completare, numărul de rânduri trebuie să fie egal cu volumul eșantionului, iar fiecare valoare trebuie să fie plauzibilă în unitatea din capul coloanei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește fișa de laborator

Un elev a analizat probe de sol dintr-o livadă și a completat tabelul de mai jos. a) Ce este unitatea statistică și care este volumul eșantionului? b) Precizează, pentru fiecare coloană în afară de prima, tipul caracteristicii și unitatea de măsură. c) Care valoare trebuie verificată și de ce?

Rezolvare. a) Fiecare rând este o probă de sol, deci unitatea statistică este proba de sol. Tabelul are $5$ rânduri, iar volumul eșantionului este $n=5$.

b) Parcela este o caracteristică calitativă (etichetele A, B, C nu măsoară nimic). pH-ul este cantitativ continuu și nu are unitate de măsură. Humusul este cantitativ continuu, exprimat în procente din masa solului. Numărul de râme găsite în probă este cantitativ discret, fără unitate de măsură (e o numărătoare). Textura este calitativă.

c) Humusul probei S3, scris $35$, este de aproximativ zece ori mai mare decât celelalte valori; într-un sol de livadă conținutul de humus e de câteva procente. Probabil elevul a omis virgula și valoarea reală este $3,5$; se verifică în caietul de laborator, nu se corectează din ochi.

Exemplul 2 — Tufele și galele

O viespe mică produce pe ramurile de măceș excrescențe rotunde numite gale. Pe $12$ tufe de măceș s-au numărat galele: $7$, $4$, $0$, $9$, $5$, $3$, $6$, $0$, $8$, $2$, $5$, $4$. Apoi s-a măsurat diametrul fiecărei gale. a) Care este unitatea statistică a primului tabel și câte rânduri are el? b) Care este unitatea statistică a celui de-al doilea tabel și câte rânduri are el?

Rezolvare. a) Numărul de gale e o proprietate a tufei, deci unitatea statistică este tufa, iar tabelul are $12$ rânduri, inclusiv cele două tufe fără gale.

b) Diametrul e o proprietate a galei, deci unitatea statistică este gala. Rândurile sunt câte gale există în total:

$$7+4+0+9+5+3+6+0+8+2+5+4=53.$$

Al doilea tabel are $53$ de rânduri. Tufele fără gale au rând numai în primul tabel.

Exemplul 3 — Clasificare, cu capcane

Clasifică fiecare caracteristică: a) duritatea unui mineral pe scala Mohs; b) stadiul de dezvoltare al unei plante de grâu, codificat cu o cifră de la $0$ (germinare) la $9$ (îmbătrânire); c) numărul de semințe dintr-o capsulă de mac; d) temperatura de topire a unei grăsimi; e) familia botanică a unei plante; f) timpul în care o soluție își schimbă culoarea.

Rezolvare. Aplicăm întrebarea „diferența a două valori are sens ca mărime?”.

a) Calitativă ordonată: treptele au o ordine, dar nu sunt egale între ele. b) Calitativă ordonată: cifrele numesc stadii succesive; stadiul $6$ nu e „de trei ori” stadiul $2$, iar între două stadii nu se măsoară o distanță. c) Cantitativă discretă: o numărătoare. d) Cantitativă continuă: o temperatură, măsurată în grade Celsius. e) Calitativă fără ordine: numele familiilor nu se pot așeza pe o scară. f) Cantitativă continuă: un timp, măsurat în secunde.

Exemplul 4 — Fracția de sondaj, dus și întors

Un lot de semințe are $3200$ de saci. Inspectorul prelevă probe din $64$ de saci. a) Calculează fracția de sondaj. b) Dacă procedura laboratorului ar cere o fracție de sondaj de $5\%$, din câți saci ar trebui prelevate probe și câți saci ar trebui adăugați la eșantion?

Rezolvare. a) Populația are $N=3200$ de saci, eșantionul $n=64$:

$$\frac{64}{3200}=\frac{1}{50}=0,02=2\%.$$

b) Pentru o fracție de $5\%$ ar trebui

$$0,05\cdot 3200=160\text{ de saci},$$

adică $160-64=96$ de saci în plus.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: raportul despre raci

Un elev a participat la studiul racilor din lac: s-au prins $64$ de raci, s-a măsurat lungimea carapacei fiecăruia, în milimetri, și s-a notat sexul. În fișa lui scrie: „Populația: cei $64$ de raci prinși. Caracteristica studiată: racul. Unitatea statistică: milimetrul.” Găsește greșelile și scrie fișa corectă.

Rezolvare. Sunt trei greșeli, câte una în fiecare propoziție.

• Cei $64$ de raci prinși formează eșantionul, cu $n=64$. Populația este formată din toți racii din lac în perioada studiului, al căror număr $N$ nu se cunoaște.
• Racul nu e o caracteristică: el este unitatea statistică. Caracteristicile sunt lungimea carapacei (cantitativă continuă) și sexul (calitativă).
• Milimetrul este unitatea de măsură a lungimii, nu unitatea statistică.

Fișa corectă: „Populația: racii din lac, în perioada studiului. Eșantionul: $64$ de raci prinși în vârșe. Unitatea statistică: un rac. Caracteristicile: lungimea carapacei, în milimetri, și sexul.”

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru a studia prețul unui kilogram de brânză telemea vândut direct de producători, o asociație a înregistrat prețul la $36$ dintre cei $480$ de producători ai unui județ. a) Determinați fracția de sondaj, exprimată procentual. b) Precizați tipul caracteristicii studiate și unitatea ei de măsură.

Rezolvare. a) Populația are $N=480$ de producători, eșantionul are $n=36$:

$$\frac{36}{480}=\frac{3}{40}=0,075=7,5\%.$$

b) Prețul pe kilogram este o caracteristică cantitativă continuă, exprimată în lei pe kilogram.

Cerința are forma scurtă a unui calcul de bacalaureat și contextul financiar pe care programa de examen 2014 îl indică pentru statistică; modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

La fiecare exercițiu cu context, scrie întâi unitatea statistică, apoi caracteristica cu unitatea ei de măsură și abia după aceea calculează.

1. Un laborator de control primește un lot de $1500$ de sticle de oțet de mere. Deschide $30$ de sticle, ia din fiecare câte o probă de $10$ mL și îi măsoară aciditatea, exprimată în grame de acid acetic la $100$ mL. a) Care este unitatea statistică: mililitrul, proba de $10$ mL sau sticla? b) Care sunt volumul populației și volumul eșantionului? c) Ce rol au, în studiu, cei $10$ mL?

2. O direcție de sănătate publică analizează apa din $84$ dintre cele $1400$ de fântâni ale unei zone. Calculează fracția de sondaj și exprim-o în procente.

3. Clasifică fiecare caracteristică: a) glicemia, în miligrame pe decilitru; b) culoarea blănii unor iepuri de casă; c) numărul inelelor anuale de pe secțiunea unui trunchi; d) gradul de coroziune a unei țevi de fontă, pe o scală de la $1$ la $5$; e) specia unui arbore; f) lungimea cozii unei șopârle.

4. Un heleșteu are $3600$ de crapi, iar pentru controlul creșterii se folosește o fracție de sondaj de $2,5\%$. Câți crapi se prind și se cântăresc?

5. Un laborator a analizat $75$ de loturi de făină, adică $1,5\%$ din loturile livrate unei fabrici într-un an. Câte loturi au fost livrate?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă volumul eșantionului se dublează, iar volumul populației crește de trei ori, fracția de sondaj scade.”

7. Dintr-un sac se cântăresc, în grame, $30$ de nuci. Precizează unitatea statistică, caracteristica, unitatea de măsură și tipul caracteristicii.

8. Pentru mercurul din mușchiul a $8$ știuci, laboratorul a raportat, în miligrame pe kilogram: $0,12$; $<0,05$; $0,31$; $<0,05$; $0,08$; $0,22$; $<0,05$; $0,17$. a) În câte probe a fost detectat mercurul? b) Câte probe au sigur mai puțin de $0,1$ miligrame pe kilogram? c) Se poate spune câte probe au mai puțin de $0,03$ miligrame pe kilogram? Motivează.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru un studiu despre clienții săi, o bancă notează, la fiecare client ales: valoarea depozitului, în lei; numărul de plăți cu cardul dintr-o lună; tipul cardului (de debit sau de credit); clasa de risc atribuită (scăzut, mediu sau ridicat). Precizați unitatea statistică și tipul fiecărei caracteristici, cu unitatea de măsură acolo unde există.

10. (Problemă aplicată.) Într-o plantație tânără sunt $2750$ de brazi, iar un elev măsoară înălțimea a $110$ dintre ei. a) Precizează populația, eșantionul și fracția de sondaj. b) Precizează tipul caracteristicii măsurate și unitatea ei de măsură. c) Propune o caracteristică calitativă care se poate nota la fiecare brad, cu modalitățile ei.

11. Pentru $8$ ciorchini de struguri dintr-o vie se notează soiul și masa ciorchinelui, în grame, iar pentru fiecare boabă a acestor ciorchini se notează diametrul, în milimetri, și dacă boaba este atacată de mucegai. Scrie capul celor două tabele de date brute: unitatea statistică, coloanele și unitățile de măsură. Ce coloană leagă un rând din tabelul boabelor de ciorchinele lui?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O asociație de consumatori a notat prețul unui kilogram de roșii la $40$ dintre cele $320$ de tarabe ale unei piețe. a) Determinați fracția de sondaj, exprimată procentual. b) Determinați câte tarabe ar fi trebuit incluse pentru o fracție de sondaj de $15\%$.

13. Maturarea unor mere este notată pe o scală de la $1$ (verde) la $5$ (supracopt). Un elev scrie: „Merele din lădița mea au maturarea medie $2,6$, deci sunt la jumătatea drumului dintre treapta $2$ și treapta $3$.” Ce tip de caracteristică este maturarea și de ce afirmația elevului nu descrie o mărime reală?

14. Precizează tipul fiecărei caracteristici ale unui lac studiat: a) starea trofică, adică bogăția în nutrienți: oligotrof, mezotrof sau eutrof; b) transparența apei, măsurată cu discul Secchi, în metri.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru un studiu privind tariful unei ore de parcare, s-au ales $45$ de parcări, adică $6\%$ dintre parcările cu plată ale unui oraș. Determinați numărul parcărilor cu plată din oraș.

16. Anemometrul unei stații meteo automate măsoară viteza vântului în fiecare minut, dar stația transmite în rețea doar o valoare din $15$, pe cea de la fiecare sfert de oră. Un studiu privește cele $3$ zile ale unei furtuni, iar populația sunt toate măsurătorile anemometrului din acest interval. Care este unitatea statistică, cât sunt $N$ și $n$ dacă se folosesc doar valorile transmise și ce risc are un studiu despre rafalele scurte făcut numai cu ele?

17. Un elev notează temperatura apei dintr-un bazin de grădină: $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ la prânz și $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ dimineața, apoi scrie: „La prânz apa este de două ori mai caldă.” Ce tip de caracteristică este temperatura? Are sens diferența celor două valori? Dar raportul lor? Folosește și temperatura absolută, $T=t+273,15$ (în kelvin).

18. (Provocare.) Din aceeași populație se aleg două eșantioane fără unități comune: primul are fracția de sondaj $4\%$, al doilea $6\%$. Împreună, cele două eșantioane au $150$ de unități. Care este volumul populației și câte unități are fiecare eșantion?

Răspunsuri și explicații

1. a) Unitatea statistică este sticla: concluzia privește sticlele lotului, iar tabelul are câte un rând pe sticlă. b) $N=1500$ de sticle, $n=30$ de sticle. c) Cei $10$ mL sunt cantitatea de oțet prelevată pentru analiză, o condiție a metodei: nu se numără ca rânduri, deci nu sunt unitatea statistică, și nu exprimă aciditatea, deci nu sunt nici unitatea ei de măsură; aciditatea se scrie în grame de acid acetic la $100$ mL.

2. $\frac{84}{1400}=\frac{3}{50}=0,06=6\%$.

3. a) cantitativă continuă; b) calitativă; c) cantitativă discretă, fiind o numărătoare; d) calitativă ordonată (treptele scalei au o ordine, dar nu sunt distanțe egale); e) calitativă, fără ordine; f) cantitativă continuă.

4. $0,025\cdot 3600=90$ de crapi.

5. Din $\frac{n}{N}=0,015$ și $n=75$ rezultă $N=\frac{75}{0,015}=5000$ de loturi.

6. Adevărat. Noua fracție este $\frac{2n}{3N}=\frac{2}{3}\cdot \frac{n}{N}$, adică două treimi din cea veche, deci mai mică. De exemplu, de la $\frac{50}{1000}=5\%$ se ajunge la $\frac{100}{3000}\approx 3,33\%$.

7. Unitatea statistică: o nucă. Caracteristica: masa nucii. Unitatea de măsură: gramul. Tipul: cantitativă continuă.

8. a) Mercurul a fost detectat în probele cu valoare numerică: $8-3=5$ probe. b) Cele trei probe „$<0,05$” au sigur sub $0,1$, iar dintre valorile măsurate doar $0,08$ este sub $0,1$: în total $3+1=4$ probe. c) Nu: o probă raportată „$<0,05$” poate avea $0,04$ sau $0,01$ miligrame pe kilogram, iar metoda nu le deosebește; se poate spune doar că probele cu valori măsurate au peste $0,03$.

9. Unitatea statistică este clientul băncii. Valoarea depozitului este cantitativă continuă, în lei. Numărul de plăți cu cardul este cantitativ discret, fără unitate de măsură (e o numărătoare). Tipul cardului este calitativ. Clasa de risc este calitativă ordonată: treptele se succed de la scăzut la ridicat, dar între ele nu se măsoară o distanță.

10. a) Populația: cei $2750$ de brazi ai plantației; eșantionul: cei $110$ de brazi măsurați; fracția de sondaj: $\frac{110}{2750}=\frac{1}{25}=0,04=4\%$. b) Înălțimea este cantitativă continuă, în centimetri (sau în metri). c) De exemplu, starea sănătății: „sănătos”, „cu ace îngălbenite”, „cu vârful uscat”.

11. Tabelul ciorchinilor are unitatea statistică ciorchinele și $8$ rânduri, cu coloanele: codul ciorchinelui, soiul (calitativă, fără unitate de măsură) și masa (în grame). Tabelul boabelor are unitatea statistică boaba, câte un rând pe boabă, cu coloanele: codul boabei, codul ciorchinelui, diametrul (în milimetri) și atacul de mucegai (da sau nu, calitativă). Legătura o face codul ciorchinelui, repetat în tabelul boabelor.

12. a) $\frac{40}{320}=\frac{1}{8}=0,125=12,5\%$. b) $0,15\cdot 320=48$ de tarabe.

13. Maturarea este o caracteristică calitativă ordonată: treptele se succed, dar trecerea de la $2$ la $3$ nu înseamnă aceeași schimbare ca trecerea de la $4$ la $5$. Numărul $2,6$ se obține adunând ranguri ca pe niște măsuri, iar „jumătatea drumului dintre două trepte” nu corespunde niciunei stări reale a fructelor. Poți spune în schimb câte mere sunt pe fiecare treaptă.

14. a) Calitativă ordonată: stările se succed de la sărac la bogat în nutrienți, dar între două stări nu se măsoară o distanță. b) Cantitativă continuă, în metri: adâncimea la care discul nu se mai vede poate lua orice valoare dintr-un interval.

15. Din $0,06\cdot N=45$ rezultă $N=\frac{45}{0,06}=750$ de parcări.

16. Unitatea statistică este o măsurătoare, adică un minut de înregistrare. Populația are $N=60\cdot 24\cdot 3=4320$ de măsurători, iar eșantionul transmis are $n=\frac{4320}{15}=288$ de valori, câte $4$ pe oră. O rafală de câteva minute căzută între două transmisii nu apare deloc în eșantion, deci un studiu despre rafale făcut numai cu valorile transmise le subestimează.

17. Temperatura este o caracteristică cantitativă continuă, iar diferența $20-10=10$ grade Celsius are sens ca mărime. Raportul $\frac{20}{10}=2$ nu descrie însă nimic fizic, fiindcă $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ nu înseamnă lipsa agitației termice. În kelvin, raportul este $\frac{293,15}{283,15}\approx 1,035$, deci afirmația elevului este greșită: criteriul lecției cere ca diferența să aibă sens, nu și raportul.

18. Cele două eșantioane nu au unități comune, deci împreună reprezintă $4\%+6\%=10\%$ din populație. Din $0,1\cdot N=150$ rezultă $N=1500$. Primul eșantion are $0,04\cdot 1500=60$ de unități, al doilea $0,06\cdot 1500=90$, iar $60+90=150$.

De reținut

• Populația statistică este mulțimea delimitată a tuturor unităților despre care se trage concluzia; un element al ei este o unitate statistică, iar numărul lor este volumul $N$.
• Eșantionul este partea populației măsurată efectiv, cu volumul $n$; fracția de sondaj este $\frac{n}{N}$, un număr între $0$ și $1$, scris de obicei în procente.
• Unitatea statistică (pe cine măsori) dă rândurile tabelului; unitatea de măsură (în ce exprimi) se scrie în capul coloanei.
• O caracteristică este calitativă (eventual ordonată) sau cantitativă, iar cea cantitativă este discretă sau continuă; criteriul: are sens diferența a două valori ca mărime?
• În tabelul de date brute fiecare rând este o unitate și fiecare coloană o caracteristică; o valoare „sub limita de detecție” se scrie așa cum a fost raportată, nu ca $0$.

Greșeli frecvente

• Unitatea statistică luată drept caracteristică. „Caracteristica studiată este racul” amestecă obiectul măsurat cu proprietatea măsurată. Racul este unitatea; lungimea și sexul lui sunt caracteristici.
• Unitatea statistică luată drept unitate de măsură. „Unitatea statistică este milimetrul” răspunde la altă întrebare. Verifică: unitatea statistică trebuie să poată fi numărată ca rânduri ale tabelului.
• Valoarea sub limita de detecție trecută ca $0$. Zero este o afirmație despre probă, pe care laboratorul nu a făcut-o; celula goală ar spune, greșit, că proba nu a fost analizată.
• Fracția de sondaj întoarsă. Pentru $150$ de pui dintr-o populație de $12000$, raportul $\frac{12000}{150}=80$ nu este fracția de sondaj; fracția este $\frac{1}{80}$ și nu poate depăși $1$.
• Rânduri numărate în tabelul greșit. Când un studiu are două unități statistice, ca plăcile și coloniile, numărul de plăci nu spune câte colonii au fost măsurate; fiecare caracteristică se trece în tabelul unității ei.

Aplică acasă

1. Rețeta ca tabel de date. Alege o rețetă cu cel puțin șase ingrediente și fă un tabel cu un rând pe ingredient și o coloană „cantitatea (g)”. Rețeta dă, probabil, și linguri, bucăți sau mililitri: cântărește-le sau caută-le masa și trece totul în grame, ca unitatea de măsură să stea o singură dată, în capul coloanei. Notează separat ingredientele pe care le-ai putut doar estima.

2. Eticheta unei ape minerale. Citește buletinul de analiză tipărit pe eticheta unei ape minerale. Notează ce caracteristici apar, în ce unități de măsură sunt exprimate și dacă apare vreo valoare cu semnul „$<$”. Scrie, pentru fiecare, ce ar fi unitatea statistică dacă ai compara mai multe mărci.

3. Plantele și frunzele lor. Pentru trei-patru plante de apartament, numără frunzele fiecăreia (primul tabel, un rând pe plantă), apoi măsoară lungimea fiecărei frunze la una dintre plante (al doilea tabel, un rând pe frunză). Compară numărul de rânduri ale celor două tabele și spune care e unitatea statistică a fiecăruia.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide partea de statistică a clasei a X-a și este o lecție de limbaj precis, aplicat pe date de laborator și de teren. Calculele sunt doar fracții și procente; greutatea cade pe distincțiile din fișele de lucru: unitate statistică și unitate de măsură, valoare măsurată și valoare sub limita de detecție, caracteristici calitative ordonate.

Întrebări utile la clasă: „Un rând din tabelul tău ce reprezintă?”; „În ce unitate de măsură e coloana aceasta?”; „Are sens diferența dintre două valori?”. Semn că elevul a înțeles: numește corect unitatea statistică atunci când același experiment produce două tabele. Legătura cu clasa a IX-a este noțiunea de submulțime: eșantionul este o submulțime a populației, exact ca în lecția despre mulțimi și intervale. Pasul următor este tabelul de frecvențe absolute, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: populație, eșantion, caracteristică, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește conceptele de bază „sondaj, populație, eșantion”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile de clasificare și de calcul al fracției de sondaj marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2” și au context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între această lecție la M2 și la mate-info (M1)? Noțiunile sunt aceleași, dar lecția de la științe ale naturii le aplică pe fișe de laborator și de teren: probe de sol, plăci de cultură, pești, minerale. Accentul cade pe deosebirea dintre unitatea statistică și unitatea de măsură, pe caracteristicile calitative ordonate și pe valorile raportate sub limita de detecție, situații pe care un elev de științe le întâlnește la orice analiză.

La ce subiect apare această temă la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere culegerea și clasificarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci contextul cerințelor poate fi financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică; cerința apropiată de la Subiectul I este una de probabilitate. Pentru proba MAT_P2 din 2030, un model de subiect nu a fost încă publicat.

Care e diferența dintre unitatea statistică și unitatea de măsură? Unitatea statistică este obiectul pe care îl măsori și dă rândurile tabelului: o probă, un pește, o oră de înregistrare. Unitatea de măsură spune în ce exprimi rezultatul: milimetri, grame, miligrame pe litru. Aceeași probă de apă poate avea caracteristici fără unitate de măsură, cum e pH-ul, și caracteristici cu unitate, cum e conținutul de calciu.

Ce fac cu o valoare raportată „sub limita de detecție”? O scrii exact cum a raportat-o laboratorul, de exemplu „$<0,005$”, și nu o înlocuiești cu zero sau cu o celulă goală. Zero ar spune că substanța lipsește, iar celula goală ar spune că proba nu a fost analizată; niciuna nu e adevărată. La prelucrare, precizezi în scris cum ai tratat aceste valori.

Pot avea două caracteristici ale aceluiași studiu unități statistice diferite? Da, și se întâmplă des în laborator. Numărul de colonii este o proprietate a plăcii de cultură, iar diametrul este o proprietate a fiecărei colonii. Rezultă două tabele, cu numere diferite de rânduri: unul cu câte un rând pe placă, altul cu câte un rând pe colonie. Înainte de a calcula, verifică în ce tabel stă caracteristica.

De ce o scală cu numere, ca scala Mohs, nu este o caracteristică cantitativă? Pentru că numerele scalei arată doar ordinea mineralelor, nu cât de mare este duritatea. Distanța reală dintre treptele $9$ și $10$ este mult mai mare decât cea dintre $1$ și $2$, deci diferența a două valori nu are sens ca mărime. Caracteristica este calitativă ordonată: poți compara și ordona, dar nu poți măsura distanțe între trepte.