Care este contrarul evenimentului „cel mult una dintre cele cinci larve observate s-a transformat în pupă”?

„cel puțin două larve s-au transformat în pupă”

„nicio larvă nu s-a transformat în pupă”

„exact două larve s-au transformat în pupă”

„toate larvele s-au transformat în pupă”

Cum calculez probabilitatea „cel puțin unul”?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Evenimentul contrar

Treci prin contrar: opusul lui „cel puțin unul” este „niciunul”, care are de obicei mult mai puține cazuri, iar $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ . Exemplu: la aruncarea a trei zaruri, probabilitatea să apară cel puțin un $6$ . Rezultatele sunt $6^{3} = 216$ , iar cele fără niciun $6$ sunt $5^{3} = 125$ . Rezultă $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0, 42$ .

Uneori e mai simplu să numeri ce nu te interesează și să scazi din total.

Contrarul. Pentru un eveniment $A$ , evenimentul $\overline{A}$ este format din toate rezultatele din afara lui $A$ . Cele două nu au rezultate comune și împreună acoperă tot $Ω$ , de aceea $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . Relația rămâne valabilă și pentru probabilitățile estimate din frecvențe.

Negarea. Contrarul se obține negând propoziția întreagă, și proprietatea, și cuantificatorul. Opusul lui „măcar unul” este „niciunul”, opusul lui „toate” este „măcar unul nu”, iar opusul lui „cel mult $k$ ” este „cel puțin $k + 1$ ”. Câteva rezultate concrete, testate pe rând, arată dacă fiecare e descris de un singur enunț.

Drumul scurt. Se alege evenimentul cu mai puține cazuri de numărat. La „cel puțin unul”, contrarul are adesea o singură compoziție, „niciunul”, deci câștigul e mare; la „cel puțin două”, câștigul scade.

Proba. Probabilitățile unui eveniment și ale contrarului său, calculate separat, trebuie să dea suma $1$ . Se scade fracția exactă și se rotunjește o singură dată, la sfârșit.

De reținut

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
contrarul lui „cel puțin unul” este „niciunul”
contrarul lui „cel mult $k$ ” este „cel puțin $k + 1$ ”

Greșeala tipică

Se scrie contrarul lui „cel puțin un $6$ ” ca „cel puțin un zar fără $6$ ”; contrarul corect este „niciun $6$ ”, adică toate zarurile arată altă față.

Exerciții din această mini-lecție

Care este contrarul evenimentului „cel mult una dintre cele cinci larve observate s-a transformat în pupă”?
- a) „nicio larvă nu s-a transformat în pupă”
- b) „exact două larve s-au transformat în pupă”
- c) „cel puțin două larve s-au transformat în pupă”
- d) „toate larvele s-au transformat în pupă”
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) „cel puțin două larve s-au transformat în pupă”

Negarea lui „cel mult unul” este „mai mult decât unul”, adică „cel puțin două”. Variantele „exact două” și „toate” lasă pe dinafară alte rezultate ale contrarului.
Un eveniment $A$ are probabilitatea $\frac{3}{13}$ . Cât este probabilitatea evenimentului contrar?
- a) $\frac{13}{3}$
- b) $\frac{10}{13}$
- c) $\frac{3}{13}$
- d) $\frac{3}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{10}{13}$

Din $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ rezultă $P (\overline{A}) = 1 - \frac{3}{13} = \frac{10}{13}$ .
Într-un acvariu sunt $9$ pești, dintre care $2$ poartă un marcaj colorat. Un biolog prinde simultan, la întâmplare, $3$ pești. Care este probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin un pește marcat?
- a) $\frac{5}{12}$
- b) $\frac{2}{9}$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $\frac{7}{12}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{7}{12}$

Grupele posibile sunt $C_{9}^{3} = 84$ . Contrarul, „niciun pește marcat”, are $C_{7}^{3} = 35$ de grupe, deci $1 - \frac{35}{84} = \frac{49}{84} = \frac{7}{12}$ .

Întrebări conexe

Care este contrarul evenimentului „între $3$ și $5$ inclusiv”?

Dacă se numără de la $0$ la $10$ semințe încolțite, contrarul lui „între $3$ și $5$ ” este „cel mult $2$ sau cel puțin $6$ ”. Contrarul are două bucăți, una sub interval și una deasupra, iar împreună cu evenimentul acoperă toate cele $11$ rezultate.

Care este contrarul lui „cel mult două”?

„Cel puțin trei”. Dacă din $6$ semințe încolțesc cel mult două, rezultatele sunt $0$ , $1$ , $2$ ; contrarul cuprinde $3$ , $4$ , $5$ , $6$ . „Exact trei” nu ajunge, pentru că lasă pe dinafară celelalte rezultate ale contrarului.

Cum calculez probabilitatea ca printre $3$ semințe să fie cel puțin una defectă?

Dintr-un lot de $10$ semințe cu $2$ defecte se aleg $3$ . Grupele fără nicio sămânță defectă sunt $C_{8}^{3} = 56$ din $C_{10}^{3} = 120$ , deci probabilitatea este $1 - \frac{56}{120} = \frac{64}{120} = \frac{8}{15}$ . Direct: $2 \cdot 28 + 1 \cdot 8 = 64$ , același rezultat.

Care este probabilitatea ca un număr de trei cifre să aibă două cifre egale?

Întrebarea înseamnă „cel puțin două cifre egale”, deci treci prin contrar. Contrarul este „toate cifrele distincte”, cu $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$ de numere din $900$ . Probabilitatea cerută este $1 - \frac{648}{900} = \frac{252}{900} = \frac{7}{25}$ .

Când nu mai scurtează drumul prin contrar?

Când contrarul are tot atâtea compoziții ca evenimentul. La „cel puțin două din trei”, contrarul este „zero sau una”, tot două compoziții, deci calculul direct e la fel de scurt. Contrarul câștigă când are o singură compoziție, ca „niciunul”.

Oamenii mai întreabă și: probabilitatea cel puțin unul prin contrar · cel puțin un 6 la trei zaruri · 1 minus probabilitatea contrarului · cum folosesc evenimentul contrar