Acasă · Matematică M2 clasa a X-a · Probleme practice de numărare: modele din laborator și de pe teren (M2, științe ale naturii)

Probleme practice de numărare: modele din laborator și de pe teren (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Înainte ca un experiment să înceapă, cercetătorul își pune întrebări de numărare. În câte feluri împarte animalele în loturi, ca niciun lot să nu fie ales „după preferințe”? Câte secvențe scurte de ADN au compoziția potrivită pentru o reacție? Câte trasee are masa motorizată a unui microscop până la câmpul de interes? Formulele le ai deja; greutatea stă în altă parte: să traduci situația într-un obiect matematic — un șir, o submulțime, un drum, o împărțire în grupe — și abia apoi să alegi regula. Lecția încheie capitolul „Metode de numărare” din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), a cărui notă cere ca abordarea conținuturilor să se facă prin contexte practice. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: permutările, aranjamentele, combinările și numărul submulțimilor sunt trecute la capitolul de metode de numărare.

Lecția anterioară a fost despre identitățile cu coeficienți binomiali. Aici folosești împreună toate uneltele unității: regulile sumei și produsului, permutările, aranjamentele, combinările, complementul și principiul includerii și al excluderii.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii un obiect concret al problemei înainte de orice formulă și să recunoști din el structura numărată.
Vei ști să numeri șirurile cu o compoziție dată, alegând pe rând pozițiile fiecărui simbol.
Vei ști să numeri drumurile cele mai scurte într-o rețea, inclusiv pe cele care ocolesc un punct.
Vei ști să alegi elemente nevecine dintr-un șir, prin metoda golurilor.
Vei ști să împarți un grup în loturi, deosebind loturile cu roluri diferite de cele identice.
Vei ști să rezolvi cerințe de tipul „fiecare categorie reprezentată”, cu complementul și cu principiul includerii și al excluderii.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să modelezi o problemă de numărare?

A modela o problemă de numărare înseamnă a stabili ce obiect matematic descrie fiecare situație numărată — un șir, o submulțime, un drum sau o împărțire în grupe —, ce condiții trebuie să îndeplinească acel obiect și ce regulă de numărare îl produce. Cel mai sigur pas de început este să scrii un exemplu concret de obiect, cu nume reale, și abia apoi să te întrebi ce ai scris.

Două situații scurte arată diferența. Un laborant etichetează patru eșantioane cu câte o bulină colorată, roșie, verde sau albastră, iar culorile se pot repeta. Un obiect concret este $(ro ș u, verde, ro ș u, albastru)$ : un șir în care poziția contează și repetiția e permisă, deci regula produsului dă $3^{4} = 81$ de etichetări. Un biolog alege două dintre cinci culturi de alge ca să le treacă pe mediu proaspăt. Un obiect concret este ${cultura 2, cultura 5}$ : o submulțime, fiindcă ordinea în care sunt luate nu schimbă nimic, deci numărul alegerilor este $C_{5}^{2} = 10$ .

Întrebările care decid între șir și submulțime au fost strânse în lecția despre alegerea metodei de numărare. Aici ne ocupăm de situațiile în care obiectul nu e nici șir simplu, nici submulțime simplă, ci o combinație a lor.

2. Cum număr șirurile cu o compoziție dată?

O moleculă scurtă de ARN are $6$ nucleotide, iar analiza a arătat compoziția: trei de adenină ( $A$ ), două de uracil ( $U$ ) și una de guanină ( $G$ ). Câte secvențe au exact această compoziție? Nu $6! = 720$ , fiindcă schimbul a două litere $A$ între ele nu produce o secvență nouă.

Drumul sigur este alegerea pozițiilor. Întâi alegi cele trei poziții pe care stă $A$ : $C_{6}^{3} = 20$ de variante. Din cele trei poziții rămase le alegi pe cele două pentru $U$ : $C_{3}^{2} = 3$ variante. Poziția care a mai rămas primește $G$ . Prin regula produsului, secvențele sunt

$C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{2} = 20 \cdot 3 = 60.$

Controlul se face din cealaltă direcție: fiecare secvență apare în lista celor $720$ de ordini ale șase simboluri distincte de $3! \cdot 2! = 12$ ori, iar $720 : 12 = 60$ .

3. Cum număr drumurile cele mai scurte într-o rețea?

Harta unei rezervații este împărțită în pătrate de câte un kilometru, iar un pădurar merge de la cabană la un punct de observație aflat cu $2$ kilometri spre est și $3$ spre nord, doar pe laturile pătratelor și doar spre est sau spre nord. Orice drum de acest fel are $5$ pași, dintre care $2$ spre est; drumul e complet stabilit când știi care dintre cei cinci pași sunt spre est. Așadar drumurile sunt $C_{5}^{2} = 10$ .

Același număr se obține și nod cu nod: într-un nod ajungi fie din vecinul de la vest, fie din cel de la sud, deci numărul drumurilor până la el este suma numerelor din acei doi vecini. Figura arată numerele scrise în fiecare nod. E exact formula de recurență a combinărilor, citită pe hartă.

În fiecare nod, numărul drumurilor minime de la cabană: suma numerelor din vecinul de la vest și din cel de la sud.

4. Cum aleg elemente care nu au voie să fie vecine?

Pe o fâșie de pajiște sunt $7$ parcele așezate în linie, iar un ecolog vrea să monitorizeze două dintre ele, dar nu două parcele vecine, ca vegetația dintr-una să nu influențeze măsurătorile din cealaltă. Toate perechile sunt $C_{7}^{2} = 21$ , iar perechile vecine sunt $6$ , deci rămân $15$ .

Pentru mai multe parcele alese, scăderea perechilor vecine nu mai ajunge, așa că folosim o metodă care merge mereu: metoda golurilor. Cele $5$ parcele nealese, puse în linie, lasă $6$ goluri — unul la stânga, unul la dreapta și patru între ele. Fiecare parcelă aleasă stă într-un gol diferit, deci alegerea înseamnă alegerea a $2$ goluri din $6$ : $C_{6}^{2} = 15$ . În general, $k$ elemente nevecine dintr-un șir de $n$ se aleg în $C_{n - k + 1}^{k}$ moduri, dacă $n - k + 1 \geq k$ .

5. Cum împart un grup în loturi?

Opt plante de tomate identice ca vârstă se împart pentru un experiment: $4$ primesc îngrășământul A, $2$ primesc îngrășământul B și $2$ rămân martor, fără îngrășământ. Loturile au roluri diferite, deci alegi pe rând: lotul A în $C_{8}^{4} = 70$ de moduri, apoi lotul B din cele $4$ rămase în $C_{4}^{2} = 6$ moduri, iar martorul e ce a rămas. În total

$C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{2} = 70 \cdot 6 = 420.$

Dacă cele două loturi mici ar avea același rol — de exemplu, amândouă martor, fără nicio diferență între ele —, schimbarea lor între ele n-ar produce o împărțire nouă, iar numărul s-ar împărți la $2! = 2$ : $210$ . Regula: se împarte la factorialul numărului de loturi identice, și numai la el.

6. Ce fac când „cel puțin” privește mai multe categorii?

Pentru o ieșire în natură se formează o grupă de $5$ elevi dintre cei $6$ voluntari de la cercul de ecologie și cei $4$ de la cercul de astronomie, cu cel puțin doi elevi din fiecare cerc. Aici drumul direct e mai scurt: grupa are fie $2$ ecologiști și $3$ astronomi, fie $3$ ecologiști și $2$ astronomi, deci $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{3} + C_{6}^{3} \cdot C_{4}^{2} = 15 \cdot 4 + 20 \cdot 6 = 180$ . Complementul, luat ca în lecția despre regula sumei, are trei cazuri: $5$ ecologiști ( $C_{6}^{5} = 6$ ), $4$ ecologiști și un astronom ( $C_{6}^{4} \cdot C_{4}^{1} = 60$ ), un ecologist și $4$ astronomi ( $C_{6}^{1} \cdot C_{4}^{4} = 6$ ). Din toate grupele, $C_{10}^{5} = 252$ , rămân tot $252 - 72 = 180$ . Înainte să alegi, numără cazurile fiecărui drum și mergi pe cel mai scurt.

Când categoriile sunt trei sau mai multe și se cere doar ca fiecare să fie reprezentată, complementul e drumul scurt, dar grupele nepotrivite (lipsește o categorie) se suprapun: o grupă poate să nu aibă nici zoologi, nici geologi. Atunci numărul lor se află cu principiul includerii și al excluderii, iar complementul se ia abia la final. Exemplul 5 face exact acest drum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un primer pentru reacția PCR

Un primer este o secvență scurtă de ADN, aici de $8$ nucleotide, fiecare fiind $A$ , $C$ , $G$ sau $T$ . Un protocol cere ca exact jumătate dintre nucleotide să fie $G$ sau $C$ (conținut GC de $50%$ ). a) Câte primere îndeplinesc condiția? b) Câte dintre ele au, în plus, câte un $G$ sau un $C$ la ambele capete?

Rezolvare. a) Alegem pozițiile celor $4$ nucleotide de tip GC: $C_{8}^{4} = 70$ de moduri. Fiecare dintre aceste poziții primește $G$ sau $C$ ( $2^{4}$ variante), iar fiecare dintre celelalte patru, $A$ sau $T$ ( $2^{4}$ variante):

$C_{8}^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2^{4} = 70 \cdot 256 = 17 920.$

b) Capetele sunt fixate ca poziții GC, deci mai trebuie alese $2$ poziții GC dintre cele $6$ din interior: $C_{6}^{2} = 15$ moduri. Literele se aleg ca înainte, în $2^{8} = 256$ de moduri: $15 \cdot 256 = 3840$ . Condiția de la capete, numită în laborator „clemă GC”, reduce numărul primerelor la puțin peste o cincime.

Exemplul 2 — Citește figura: câmpul de ocolit

Masa motorizată a unui microscop mută lama câmp cu câmp, doar spre dreapta sau în sus, de la câmpul $A$ la câmpul $B$ , ca în figură: $5$ pași spre dreapta și $3$ în sus. Câmpul marcat cu $X$ , aflat cu $2$ pași la dreapta și $1$ în sus față de $A$ , conține o bulă de aer și trebuie ocolit. Câte trasee de lungime minimă nu trec prin $X$ ?

Masa microscopului: 5 pași spre dreapta și 3 în sus, de la A la B; câmpul X trebuie ocolit.

Rezolvare. Toate traseele au $8$ pași, dintre care $3$ în sus: $C_{8}^{3} = 56$ . Traseele prin $X$ se numără în două etape: de la $A$ la $X$ sunt $3$ pași, dintre care unul în sus, deci $C_{3}^{1} = 3$ drumuri; de la $X$ la $B$ mai sunt $3$ pași la dreapta și $2$ în sus, deci $C_{5}^{2} = 10$ drumuri. Prin regula produsului, $3 \cdot 10 = 30$ de trasee trec prin $X$ . Cele care îl ocolesc sunt

$56 - 30 = 26.$

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Opt culturi de alge sunt împărțite în patru loturi de câte două, iar fiecare lot este crescut sub altă intensitate a luminii. Un elev scrie: „Aleg primul lot în $C_{8}^{2}$ moduri, al doilea în $C_{6}^{2}$ , al treilea în $C_{4}^{2}$ , al patrulea în $C_{2}^{2}$ , apoi împart la $4!$ , fiindcă ordinea loturilor nu contează: $\frac{28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1}{24} = 105$ .” Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Loturile nu sunt identice: fiecare stă sub altă lumină. Dacă schimbi între ele lotul de sub lumina cea mai slabă cu lotul de sub lumina cea mai puternică, obții alt experiment. Împărțirea la $4!$ este, deci, greșită; numărul corect este

$C_{8}^{2} \cdot C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2} = 28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1 = 2 520.$

Valoarea $105$ ar fi corectă doar dacă culturile ar fi împărțite în patru perechi fără nicio deosebire între ele, de exemplu patru vase identice puse sub aceeași lampă.

Exemplul 4 — Parcele nevecine pe o fâșie de teren

O fâșie de teren de la marginea unei păduri are $10$ parcele așezate în linie. Un ecolog alege $4$ parcele pentru prelevare, astfel încât oricare două parcele alese să nu fie vecine. În câte moduri poate face alegerea?

Rezolvare. Cele $6$ parcele nealese lasă $7$ goluri (la capete și între ele). Fiecare parcelă aleasă ocupă un gol diferit, deci alegerea este o submulțime de $4$ goluri din $7$ :

$C_{7}^{4} = 35.$

Control pe o variantă mică: din $5$ parcele se aleg $2$ nevecine în $C_{4}^{2} = 6$ moduri, adică perechile $(1, 3)$ , $(1, 4)$ , $(1, 5)$ , $(2, 4)$ , $(2, 5)$ , $(3, 5)$ — exact șase.

Exemplul 5 — Fiecare specialitate reprezentată

Un institut formează o echipă de teren de $6$ persoane dintre $6$ botaniști, $4$ zoologi și $3$ geologi, astfel încât fiecare specialitate să fie reprezentată. Câte echipe se pot forma?

Rezolvare. Toate echipele de $6$ din $13$ oameni sunt $C_{13}^{6} = 1716$ . Notăm cu $B$ , $Z$ , $G$ mulțimile echipelor fără botaniști, fără zoologi, respectiv fără geologi. Avem $n (B) = C_{7}^{6} = 7$ , $n (Z) = C_{9}^{6} = 84$ , $n (G) = C_{10}^{6} = 210$ . Intersecțiile: $B \cap Z$ ar cere $6$ geologi, $B \cap G$ ar cere $6$ zoologi, deci sunt vide; $Z \cap G$ conține echipele formate numai din botaniști, adică una singură. Principiul includerii și al excluderii dă

$n (B \cup Z \cup G) = 7 + 84 + 210 - 1 = 300,$

deci echipele cu toate specialitățile sunt $1716 - 300 = 1416$ .

Control direct: împărțind după numărul botaniștilor, zoologilor și geologilor din echipă, apar nouă cazuri, de la $(4, 1, 1)$ la $(1, 2, 3)$ . Cazul $(2, 2, 2)$ , de exemplu, dă $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{3}^{2} = 15 \cdot 6 \cdot 3 = 270$ de echipe. Adunate, cele nouă cazuri dau tot $1416$ — iar numărul lor arată de ce complementul este drumul mai scurt.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Determinați câte numere naturale de două cifre au produsul cifrelor egal cu $12$ . b) Determinați câte numere naturale de două cifre au suma cifrelor egală cu $12$ . c) Se alege la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca produsul cifrelor lui să fie egal cu $12$ .

Rezolvare. a) Scrierile lui $12$ ca produs de două cifre sunt $2 \cdot 6$ și $3 \cdot 4$ , iar fiecare dă două numere: $26$ , $62$ , $34$ , $43$ . Sunt $4$ numere.

b) Perechile de cifre cu suma $12$ sunt $3 + 9$ , $4 + 8$ , $5 + 7$ și $6 + 6$ ; primele trei dau câte două numere, iar ultima unul singur: $39$ , $93$ , $48$ , $84$ , $57$ , $75$ , $66$ . Sunt $7$ numere.

c) Numerele de două cifre sunt $90$ , toate la fel de probabile, iar cele favorabile sunt $4$ . Probabilitatea este $\frac{4}{90} = \frac{2}{45}$ .

Exemplul urmează forma cerinței a patra de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, unde se cere o probabilitate pe numerele de două cifre cu o condiție asupra produsului cifrelor; aici produsul este altul. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

La fiecare problemă scrie întâi un obiect concret numărat, cu nume sau cifre reale, și spune ce fel de obiect este: șir, submulțime, drum sau împărțire în loturi. Abia apoi alege regula.

1. Fișa unei specii din atlasul unei rezervații conține categoria de abundență (una din $5$ ), tipul de habitat (unul din $7$ ) și luna primei observații (una din $4$ luni de teren). Câte fișe diferite pot exista?

2. Un membru al cercului de chimie alege pentru proiect fie o sinteză dintre $8$ propuse, fie două analize dintre $6$ propuse (ordinea analizelor nu contează). Câte variante are?

3. Patru probe, printre care o probă-martor, se citesc pe rând la un refractometru. În câte ordini se pot citi, dacă proba-martor nu are voie să fie citită prima?

4. La un concurs de fotografie naturalistă cu $10$ lucrări se acordă premiile I, II și III, câte unul pe lucrare. Două dintre lucrări au același autor, iar regulamentul nu permite ca un autor să primească două premii. În câte moduri se pot acorda premiile?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul modurilor de a alege $4$ parcele nevecine dintre $9$ parcele așezate în linie este egal cu numărul modurilor de a alege $4$ parcele oarecare dintre $6$ parcele.”

6. Câte drumuri de lungime minimă sunt într-o rețea cu $8$ pași spre dreapta și $6$ în sus?

7. Într-o rețea cu $6$ pași spre dreapta și $2$ în sus, câte drumuri minime există și câte dintre ele trec prin nodul aflat cu $3$ pași la dreapta și $1$ în sus față de punctul de plecare?

8. Într-un acvariu sunt $10$ melci de apă, dintre care $4$ sunt purtători ai unui parazit, iar pentru o analiză se aleg $4$ melci. În câte moduri se pot alege astfel încât printre ei să fie cel puțin doi purtători?

9. (Problemă aplicată.) Zece pești-zebră (un organism-model folosit în genetică) se împart în trei loturi: $4$ primesc tratamentul A, $3$ tratamentul B, iar $3$ formează lotul martor. a) În câte moduri se poate face împărțirea? b) Doi dintre pești sunt frați și, ca rezultatele să nu fie influențate de rudenie, trebuie puși în loturi diferite. Câte împărțiri respectă condiția?

10. Dintre $3$ chimiști, $3$ fizicieni și $2$ biologi se alege o comisie de $4$ persoane în care fiecare disciplină să fie reprezentată. Câte comisii se pot forma?

11. Câte secvențe de ADN de lungime $7$ au exact trei nucleotide $A$ , două $C$ și două $G$ ?

12. O bandeletă de analiză rapidă are $12$ câmpuri așezate în linie, fiecare cu rezultat pozitiv sau negativ. La o probă ies pozitive exact $3$ câmpuri. Câte rezultate de acest fel există și în câte dintre ele niciunul dintre cele două câmpuri de la capete nu este pozitiv?

13. Pe $23$ de stâlpi așezați în linie se montează $4$ adăposturi pentru lilieci, câte unul pe stâlp, astfel încât două adăposturi să nu fie pe stâlpi vecini. Adăposturile sunt identice. În câte moduri se pot monta?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ . a) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$ . b) Determinați câte dintre ele conțin cel puțin un număr par. c) Determinați probabilitatea ca o submulțime cu trei elemente a lui $A$ , aleasă la întâmplare, să aibă suma elementelor pară.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{7}^{2} = C_{6}^{1} + C_{6}^{2}$ . b) Determinați numărul drumurilor minime într-o rețea cu $5$ pași spre dreapta și $2$ în sus. c) Se alege la întâmplare unul dintre aceste drumuri. Determinați probabilitatea ca el să treacă prin nodul aflat cu $1$ pas la dreapta și $1$ în sus față de plecare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $A_{5}^{2} = 2 \cdot C_{5}^{2}$ . b) Determinați câte submulțimi cu două elemente ale mulțimii ${1, 2, 3, \dots, 7}$ au suma elementelor divizibilă cu $3$ . c) Determinați probabilitatea ca o submulțime cu două elemente a acestei mulțimi, aleasă la întâmplare, să aibă suma elementelor divizibilă cu $3$ .

17. Pentru un inventar se aleg $65$ dintre cele $67$ de specii de păsări ale unei zone umede. În câte moduri se poate face alegerea? Calculează alegând drumul cel mai scurt.

18. (Provocare.) Câte submulțimi ale mulțimii ${1, 2, 3, \dots, 10}$ nu conțin două numere consecutive? (Mulțimea vidă se numără.) Indicație: împarte după faptul că submulțimea conține sau nu numărul $10$ .

Răspunsuri și explicații

1. Obiectul este un șir de trei date, câte una din fiecare categorie: $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$ de fișe.

2. Cele două variante se exclud, deci se adună: $8 + C_{6}^{2} = 8 + 15 = 23$ .

3. Toate ordinile sunt $4! = 24$ ; cele cu martorul primul sunt $3! = 6$ . Rămân $24 - 6 = 18$ .

4. Fără regulă, premiile diferite se acordă în $A_{10}^{3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ de moduri. Interzise sunt premierile în care ambele lucrări ale autorului primesc premii: cele două lucrări ocupă, în ordine, două dintre cele trei premii, în $A_{3}^{2} = 6$ moduri, iar premiul rămas merge la una dintre celelalte $8$ lucrări. Sunt $6 \cdot 8 = 48$ de premieri interzise, deci rămân $720 - 48 = 672$ .

5. Adevărat. Cele $5$ parcele nealese lasă $6$ goluri, iar o alegere de $4$ parcele nevecine înseamnă o alegere de $4$ goluri dintre cele $6$ . Așadar alegerile nevecine sunt $C_{6}^{4}$ , adică exact numărul alegerilor de $4$ obiecte oarecare dintre $6$ : $C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = 15$ în ambele cazuri.

6. Drumurile au $14$ pași, dintre care $6$ în sus: $C_{14}^{6} = 3003$ .

7. Toate drumurile: $C_{8}^{2} = 28$ . Prin nodul dat: până la el sunt $4$ pași, unul în sus, deci $C_{4}^{1} = 4$ drumuri; de la el mai sunt $3$ pași la dreapta și $1$ în sus, deci $C_{4}^{1} = 4$ drumuri. Trec prin nod $4 \cdot 4 = 16$ drumuri.

8. Toate alegerile: $C_{10}^{4} = 210$ . Complementul lui „cel puțin doi” are două cazuri: niciun purtător, $C_{6}^{4} = 15$ , și exact un purtător, $4 \cdot C_{6}^{3} = 4 \cdot 20 = 80$ . Rămân $210 - 15 - 80 = 115$ .

9. a) Loturile au roluri diferite: $C_{10}^{4} \cdot C_{6}^{3} = 210 \cdot 20 = 4200$ . b) Numărăm împărțirile în care frații sunt împreună. În lotul A: ceilalți $2$ membri ai lotului A se aleg din $8$ pești, $C_{8}^{2} = 28$ , apoi lotul B din cei $6$ rămași, $C_{6}^{3} = 20$ : $560$ . În lotul B: al treilea membru din $8$ , $C_{8}^{1} = 8$ , apoi lotul A din cei $7$ rămași, $C_{7}^{4} = 35$ : $280$ . În lotul martor, tot $280$ . Împreună: $560 + 280 + 280 = 1120$ , deci împărțirile corecte sunt $4200 - 1120 = 3080$ .

10. Toate comisiile: $C_{8}^{4} = 70$ . Fără chimiști: $C_{5}^{4} = 5$ ; fără fizicieni: $C_{5}^{4} = 5$ ; fără biologi: $C_{6}^{4} = 15$ . Oricare două categorii lipsă ar lăsa cel mult $3$ persoane, deci intersecțiile sunt vide. Comisiile cu toate disciplinele: $70 - (5 + 5 + 15) = 45$ .

11. Pozițiile lui $A$ : $C_{7}^{3} = 35$ ; pozițiile lui $C$ din cele $4$ rămase: $C_{4}^{2} = 6$ ; restul primesc $G$ . Total: $35 \cdot 6 = 210$ .

12. Un rezultat este un șir cu compoziție fixată, $3$ semne „pozitiv” și $9$ semne „negativ”, deci e stabilit de pozițiile celor trei câmpuri pozitive: $C_{12}^{3} = 220$ . Dacă niciun capăt nu e pozitiv, pozițiile se aleg dintre cele $10$ câmpuri interioare: $C_{10}^{3} = 120$ .

13. Cei $19$ stâlpi fără adăpost lasă $20$ de goluri, iar cele $4$ adăposturi identice ocupă goluri diferite: $C_{20}^{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{24} = 4845$ .

14. a) $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ . b) Complementul: submulțimile fără numere pare au elementele din ${1, 3, 5, 7, 9}$ , deci sunt $C_{5}^{3} = 10$ ; rămân $84 - 10 = 74$ . c) Suma e pară dacă submulțimea are zero sau două numere impare: $C_{4}^{3} + C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 4 + 40 = 44$ . Probabilitatea este $\frac{44}{84} = \frac{11}{21}$ .

15. a) $C_{7}^{2} = 21$ și $C_{6}^{1} + C_{6}^{2} = 6 + 15 = 21$ . b) Drumurile au $7$ pași, dintre care $2$ în sus: $C_{7}^{2} = 21$ . c) Până la nod sunt $2$ drumuri, de la nod mai sunt $4$ pași la dreapta și $1$ în sus, adică $C_{5}^{1} = 5$ drumuri; favorabile $2 \cdot 5 = 10$ . Probabilitatea este $\frac{10}{21}$ .

16. a) $A_{5}^{2} = 20$ și $2 \cdot C_{5}^{2} = 2 \cdot 10 = 20$ . b) Împărțim numerele după restul la împărțirea cu $3$ : restul $0$ îl au $3$ și $6$ , restul $1$ îl au $1, 4, 7$ , iar restul $2$ îl au $2$ și $5$ . Suma a două numere se divide cu $3$ dacă ambele au restul $0$ , într-un singur mod, ${3, 6}$ , sau dacă unul are restul $1$ și celălalt restul $2$ , în $3 \cdot 2 = 6$ moduri: în total $7$ submulțimi. c) Toate submulțimile cu două elemente sunt $C_{7}^{2} = 21$ , deci probabilitatea este $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ .

17. A alege $65$ de specii înseamnă a alege cele $2$ lăsate deoparte: $C_{67}^{65} = C_{67}^{2} = \frac{67 \cdot 66}{2} = 2211$ .

18. Fie $N_{n}$ numărul submulțimilor lui ${1, \dots, n}$ fără două numere consecutive. Cele care nu îl conțin pe $n$ sunt $N_{n - 1}$ ; cele care îl conțin pe $n$ nu îl conțin pe $n - 1$ , deci sunt $N_{n - 2}$ . Așadar $N_{n} = N_{n - 1} + N_{n - 2}$ , cu $N_{1} = 2$ (mulțimea vidă și ${1}$ ) și $N_{2} = 3$ . Rezultă pe rând $5$ , $8$ , $13$ , $21$ , $34$ , $55$ , $89$ , $144$ , deci $N_{10} = 144$ .

De reținut

Înainte de formulă, scrie un obiect concret și spune ce este: șir, submulțime, drum sau împărțire în loturi; tipul obiectului alege regula.
Șirurile cu o compoziție dată se numără alegând pe rând pozițiile fiecărui simbol, cu combinări; drumurile minime cu $m$ pași la dreapta și $p$ în sus sunt $C_{m + p}^{p}$ .
$k$ elemente nevecine dintr-un șir de $n$ se aleg prin metoda golurilor, în $C_{n - k + 1}^{k}$ moduri.
La împărțirea în loturi, loturile cu roluri diferite se aleg pe rând, fără nicio împărțire; se împarte doar la factorialul numărului de loturi identice.
Pentru „fiecare categorie reprezentată” se numără complementul, iar grupele cu o categorie lipsă se adună prin principiul includerii și al excluderii.

Greșeli frecvente

Împărțirea la $k!$ la loturi care au roluri diferite. Trei loturi cu trei tratamente diferite nu sunt interschimbabile; împărțirea la $3!$ se face doar când loturile sunt identice ca rol.
Șirul cu litere repetate numărat ca permutare. Pentru $AAA U U G$ , răspunsul $6! = 720$ numără de mai multe ori aceeași secvență; alegerea pozițiilor dă $60$ .
Nevecinătatea „reparată” scăzând doar perechile alăturate. Pentru două elemente alese metoda merge, dar pentru trei sau mai multe o alegere poate avea mai multe perechi vecine deodată și scăderea nu mai e corectă; metoda golurilor e sigură.
Complementul lui „cel puțin două” redus la „niciunul”. Contrariul lui „cel puțin două” este „cel mult una”, adică două cazuri: zero și exact unul. Cine scade doar cazul zero numără și alegerile cu un singur element cerut.
Drumurile numărate ca șiruri libere. Un drum cu $m$ pași la dreapta și $p$ în sus nu are $2^{m + p}$ variante: numărul pașilor în sus e fixat, deci se aleg doar pozițiile lor, cu $C_{m + p}^{p}$ .

Aplică acasă

Echipa clasei tale pentru olimpiada de științe. Numără colegii pasionați de biologie, de chimie și de fizică (fiecare într-o singură categorie) și calculează câte echipe de $5$ au toate cele trei discipline reprezentate. Fă calculul pe două căi: prin complement cu principiul includerii și al excluderii și prin cazuri. Rezultatele trebuie să coincidă.
Mărgelele colorate. Ia $3$ mărgele roșii și $2$ albastre și înșiră-le în linie în toate felurile posibile, notând fiecare șir. Compară numărul găsit cu $C_{5}^{2}$ și explică de ce alegerea pozițiilor celor două mărgele albastre descrie complet șirul.
Copacii de pe stradă. Alege un șir de $6$ copaci de pe strada ta și listează toate felurile în care poți alege $2$ copaci nevecini pentru a agăța căsuțe pentru păsări. Verifică rezultatul cu metoda golurilor și calculează apoi, fără listă, câte alegeri de $3$ copaci nevecini ar avea un șir de $12$ copaci.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie capitolul de numărare și nu aduce formule noi. Aduce în schimb o deprindere pe care o cere nota programei de științe ale naturii („abordarea conținuturilor se va face prin contexte practice”): traducerea unei situații de laborator sau de teren într-un obiect matematic. De aceea fiecare rezolvare începe prin scrierea unui obiect concret — o secvență, o echipă, un traseu — și abia apoi alege regula. Modelele alese sunt reale: primere pentru reacția PCR, loturi experimentale, parcele de monitorizare, trasee ale unei mese de microscop.

Ce merită urmărit în caiet: scrie elevul un exemplu concret înainte de formulă; împarte la un factorial doar când poate numi obiectele interschimbabile; scrie complementul complet, cu toate cazurile lui; verifică rezultatul pe o variantă mică sau pe a doua cale. Întrebări bune de control: „Ce ai scris ca exemplu de obiect?”, „Loturile au roluri diferite?”, „Care este contrariul condiției, scris în întregime?”.

Unitatea folosește aici toate lecțiile ei, de la combinări până la identitățile binomiale; probabilitățile din exercițiile de tip bacalaureat pregătesc unitatea următoare, iar noțiunea de submulțime vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și operații cu mulțimi. Pentru recapitulare, vezi testul de includere–excludere și binomul lui Newton. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: probleme practice de numărare.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, cu nota despre contextele practice. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține, la „Metode de numărare”, permutările, aranjamentele, combinările și numărul submulțimilor unei mulțimi; principiul includerii și al excluderii nu este trecut acolo, dar problemele de aici îl folosesc doar ca unealtă. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I are o cerință de probabilitate pe numerele de două cifre, rezolvată prin numărarea cazurilor; exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2” sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă între problemele practice de numărare de la M2 și cele de la mate-info (M1)? Metodele sunt aceleași, dar contextele și accentul diferă. La științe ale naturii problemele vin din laborator și de pe teren — primere, loturi experimentale, parcele de monitorizare, trasee de microscop — și fiecare rezolvare începe prin scrierea unui obiect concret. Lecția adaugă două tipuri pe care lecția de la mate-info (M1) nu le are: alegerea elementelor nevecine și cerințele cu toate categoriile reprezentate, rezolvate cu includere și excludere.

La ce subiect apar problemele practice de numărare la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține permutările, aranjamentele, combinările și numărul submulțimilor, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate pe numerele de două cifre. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Cum număr drumurile care ocolesc un punct al rețelei? Numeri toate drumurile minime și scazi drumurile care trec prin punctul interzis. Pe acestea le numeri în două etape: drumurile de la plecare la punct, înmulțite cu drumurile de la punct la sosire. Fiecare etapă este tot o alegere de pași, deci o combinare. Dacă sunt două puncte interzise, drumurile prin ambele se adaugă înapoi.

Când împart la factorialul numărului de loturi? Numai când loturile sunt identice ca rol: aceeași încăpere, același tratament, nicio etichetă care să le deosebească. Atunci schimbarea lor între ele nu produce o împărțire nouă. Dacă loturile primesc tratamente diferite sau au nume diferite, fiecare ordine contează și nu împarți la nimic.

Cum aleg $k$ elemente nevecine dintr-un șir? Folosești metoda golurilor. Cele $n - k$ elemente nealese lasă $n - k + 1$ goluri, la capete și între ele, iar fiecare element ales ocupă un gol diferit, deci două elemente alese nu pot ajunge vecine. Numărul alegerilor este $C_{n - k + 1}^{k}$ . Pentru $8$ parcele și $3$ alese nevecine, rezultă $C_{6}^{3} = 20$ . Metoda cere $n - k + 1 \geq k$ ; altfel nu există nicio alegere.

Cum număr șirurile care au o compoziție fixată? Alegi pe rând pozițiile fiecărui simbol: întâi pozițiile primului, apoi, din pozițiile rămase, pe ale celui de-al doilea, și tot așa; ultimul simbol ocupă ce rămâne. Înmulțești combinările obținute. Pentru o secvență de patru nucleotide cu două $A$ și două $T$ , rezultă $C_{4}^{2} = 6$ .