Experiment aleator, $\Omega$ și evenimente: pe scurt

Un experiment aleator se poate repeta în aceleași condiții, are un rezultat imprevizibil, dar mulțimea rezultatelor posibile este cunoscută dinainte. Aceasta se notează $\Omega$ (mulțimea rezultatelor posibile), iar numărul ei de elemente, $\mathrm{card}(\Omega )$, este numărul cazurilor posibile. Un eveniment legat de experiment este orice submulțime $A\subseteq \Omega$; el se realizează dacă rezultatul obținut aparține lui $A$, iar elementele lui $A$ sunt cazurile favorabile, în număr de $\mathrm{card}(A)$.

Traducerea unei propoziții din limbaj obișnuit într-o submulțime a lui $\Omega$ este ideea centrală a capitolului: „cel puțin $5$” înseamnă $5$ sau mai mult, „cel mult $2$” înseamnă $2$ sau mai puțin. La experimente cu mai multe etape (două monede, două zaruri, o urnă cu bile), rezultatele trebuie scrise numerotând sau deosebind obiectele identice — altfel $\Omega$ minte: la două monede sunt $4$ rezultate ($SS,SB,BS,BB$), nu $3$, pentru că „o stemă” se obține în două feluri diferite. Un rezultat poate realiza simultan mai multe evenimente. Dacă $\mathrm{card}(\Omega )=n$, experimentul generează exact $2^n$ evenimente (câte submulțimi are o mulțime cu $n$ elemente), printre care mulțimea vidă și $\Omega$ însuși.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se aruncă un zar, cu $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. Câte cazuri favorabile are evenimentul «a apărut un număr care nu este multiplu de $3$»?

   • a) $4$
   • b) $2$
   • c) $3$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   Numerele care nu sunt multiplu de $3$ dintre $1$ și $6$ sunt $\{1,2,4,5\}$, adică $4$ cazuri favorabile din $6$ posibile.

2. La aruncarea a două monede (prima și a doua), mulțimea rezultatelor posibile are:

   • a) $3$ elemente, pentru că sunt trei situații posibile: zero, una sau două steme
   • b) $4$ elemente: $SS,SB,BS,BB$
   • c) $2$ elemente
   • d) $6$ elemente
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4$ elemente: $SS,SB,BS,BB$

   Rezultatul e o pereche ordonată (prima monedă, a doua monedă), deci $\Omega =\{SS,SB,BS,BB\}$. Lista cu trei situații pierde informație: „o stemă” se obține în două feluri ($SB$ și $BS$), pe când „două steme” într-unul singur.

3. O urnă conține $4$ bile roșii și $3$ bile albastre. Se extrage o bilă. Câte cazuri favorabile are evenimentul «bila este roșie»?

   • a) $1$ din $2$
   • b) $3$ din $7$
   • c) $4$ din $7$
   • d) $4$ din $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$ din $7$

   Numerotând bilele, $\mathrm{card}(\Omega )=4+3=7$. Evenimentul «bila este roșie» are $4$ cazuri favorabile — câte bile roșii sunt în urnă.