Acasă · Lecții · clasa a X-a · Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat

Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat

Un bucătar nu mănâncă toată oala ca să afle dacă supa e sărată; ia o lingură. Dar înainte de asta face un gest esențial: amestecă. Fără amestecare, lingura luată de la suprafață nu spune nimic despre fundul oalei, iar concluzia va fi greșită indiferent cât de mare e lingura.

Statistica funcționează la fel. Ai văzut în lecția despre etapele unui sondaj că partea cea mai fragilă a procedurii este alegerea celor care sunt întrebați. Lecția de față se ocupă exact de acest pas: cum se alege un eșantion astfel încât concluziile trase pe el să se poată extinde, cu încredere rezonabilă, la întreaga populație. Vom vedea două metode cerute de programă — sondajul aleator simplu și sondajul stratificat — și, la final, un fapt care surprinde pe toată lumea: chiar și un eșantion ales perfect corect are, aproape întotdeauna, altă abatere standard decât populația din care provine.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă un eșantion reprezentativ și de ce mărimea, singură, nu îl garantează.
Vei ști să descrii și să aplici sondajul aleator simplu, inclusiv cu ajutorul unei foi de calcul.
Vei ști să construiești un eșantion stratificat cu alocare proporțională, calculând cota fiecărui strat.
Vei ști să compari cele două metode și să spui în ce situație este preferabilă fiecare.
Vei ști să recunoști principalele erori și limitări de eșantionare și să spui care se reduc mărind eșantionul.
Vei ști să arăți, pe un exemplu numeric, că abaterea standard a unui eșantion diferă de cea a populației și să folosești corect $s$ și $σ$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „reprezentativ"

Un eșantion este reprezentativ dacă structura lui seamănă cu structura populației: aceleași proporții de fete și băieți, de clase, de medii de proveniență, de orice caracteristică ce ar putea influența răspunsul.

Reprezentativitatea nu se obține prin mărime, ci prin metodă. Un eșantion de $2000$ de persoane alese toate din același cartier este mai puțin reprezentativ pentru un oraș decât unul de $200$ de persoane alese la întâmplare din tot orașul. Reține formularea: volumul reduce eroarea, metoda elimină distorsiunea — și niciun volum nu repară o metodă greșită.

Pentru a putea alege corect, ai nevoie de un cadru de eșantionare: lista completă a indivizilor din populație (catalogul cu toți elevii școlii, registrul de locuitori). Dacă lista este incompletă, cei care lipsesc din ea nu pot fi aleși niciodată, oricât de bună ar fi metoda.

2. Sondajul aleator simplu

Definiție. Un sondaj se numește aleator simplu dacă fiecare individ al populației are aceeași șansă de a fi inclus în eșantion și, mai mult, orice grup de $n$ indivizi are aceeași șansă de a forma eșantionul.

Ideea este exact „amestecarea supei": întâmplarea, aplicată corect, produce în eșantion cam aceleași proporții ca în populație.

Cum se face practic, în trei pași.

Numerotezi toți indivizii din cadrul de eșantionare, de la $1$ la $N$ . Pentru o școală cu $800$ de elevi, numerele merg de la $1$ la $800$ .
Generezi $n$ numere la întâmplare între $1$ și $N$ , fără repetiție. Se poate face cu bilețele într-o urnă, cu un zar (pentru populații mici) sau, cel mai comod, cu o foaie de calcul: formula =RANDBETWEEN(1;800), copiată pe mai multe celule, produce numere aleatoare din intervalul dorit. Numerele care se repetă se înlocuiesc.
Chestionezi exact persoanele cu numerele extrase, fără înlocuiri de complezență. Dacă elevul cu numărul $317$ lipsește, îl cauți altă dată; nu îl înlocuiești cu vecinul lui de bancă — asta ar strica tocmai proprietatea de aleatorism.

Avantaje: este simplu, ușor de explicat și nu cere nicio informație prealabilă despre populație.

Limite: dacă populația are grupuri foarte diferite și eșantionul este mic, întâmplarea poate produce, ocazional, un eșantion dezechilibrat — de exemplu $80$ de elevi extrași aleatoriu din care doar $3$ să fie de clasa a XII-a.

3. Sondajul stratificat

Metoda a doua repară exact acest neajuns. Se împarte populația în grupuri numite straturi, alese astfel încât în interiorul unui strat indivizii să fie cât mai asemănători între ei, iar straturile să fie clar diferite unele de altele (clasele de studiu, mediul urban/rural, sexul, grupele de vârstă). Fiecare individ trebuie să aparțină exact unui strat.

Apoi, din fiecare strat se extrage aleatoriu un număr de indivizi proporțional cu mărimea stratului. Formula cotei este:

$n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n,$

unde $N$ este volumul populației, $N_{i}$ volumul stratului $i$ , iar $n$ volumul total al eșantionului.

Exemplu complet. O școală cu $N = 1200$ de elevi are $480$ în clasa a IX-a, $360$ în a X-a, $240$ în a XI-a și $120$ în a XII-a. Se dorește un eșantion stratificat de $n = 60$ de elevi. Fracția de sondaj este $\frac{60}{1200} = \frac{1}{20} = 5%$ , iar cotele sunt:

Strat	$N_{i}$	$\frac{N _{i}}{N}$	$n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot 60$
clasa a IX-a	$480$	$40%$	$24$
clasa a X-a	$360$	$30%$	$18$
clasa a XI-a	$240$	$20%$	$12$
clasa a XII-a	$120$	$10%$	$6$
Total	$1200$	$100%$	$60$

Verificarea obligatorie: suma cotelor trebuie să dea exact $n$ . Aici $24 + 18 + 12 + 6 = 60$ ✓.

Un mod echivalent și mai rapid de a calcula: fiecare strat contribuie cu $5%$ din efectivul său, pentru că fracția de sondaj este aceeași peste tot. Într-adevăr, $5%$ din $480$ este $24$ , $5%$ din $360$ este $18$ și așa mai departe.

✏️Ilustrație: dreptunghi mare împărțit în patru benzi orizontale de lățimi proporționale cu 480, 360, 240, 120, etichetate „clasa a IX-a … a XII-a"; din fiecare bandă, o săgeată către o casetă mică din dreapta cu 24, 18, 12, respectiv 6 puncte colorate; sub casetă, textul „eșantion: 60 de elevi, 5% din fiecare strat"

Când merită efortul? Când populația are grupuri clar diferite din punctul de vedere al caracteristicii studiate. Dacă întrebi despre orarul de dimineață, elevii de clasa a IX-a și cei de a XII-a au aproape sigur păreri diferite, deci fiecare grup trebuie reprezentat în proporția lui reală. Dacă, dimpotrivă, populația e omogenă, stratificarea nu aduce niciun câștig.

Un detaliu practic: cotele nu ies mereu numere întregi. Într-o populație de $850$ de persoane cu straturi de $300$ , $250$ , $200$ și $100$ , un eșantion de $40$ ar cere cote fracționare. Se rotunjesc la cel mai apropiat întreg și se ajustează o cotă cu $\pm 1$ , astfel încât suma să dea exact volumul dorit.

4. Cele două metode, față în față

	Aleator simplu	Stratificat
Ce cere dinainte	doar lista populației	lista și apartenența fiecăruia la un strat
Efort	mic	mediu
Riscul de dezechilibru	există la eșantioane mici	practic eliminat pentru caracteristica de stratificare
Când se preferă	populație omogenă	populație cu grupuri clar diferite

În ambele metode, extragerea din interiorul grupului (sau al populației, la prima metodă) rămâne aleatoare — stratificarea nu înlocuiește întâmplarea, ci o organizează.

5. Erori și limitări de eșantionare

Programa cere explicit discutarea limitărilor. Le grupăm după singurul criteriu care contează în practică: se repară sau nu mărind eșantionul?

Se reduce mărind eșantionul:

Eroarea de eșantionare — diferența inevitabilă dintre rezultatul măsurat pe eșantion și valoarea reală din populație, apărută pentru simplul motiv că nu ai întrebat pe toată lumea. Ea este întâmplătoare, nu sistematică, și scade pe măsură ce $n$ crește.

NU se repară mărind eșantionul:

Cadrul de eșantionare incomplet — cei care lipsesc din listă rămân excluși oricât ar crește $n$ .
Autoselecția — dacă răspund doar cei care vor, eșantionul este distorsionat sistematic.
Non-răspunsul — dacă cei care refuză au sistematic altă părere, rezultatul rămâne deplasat.
Stratificarea după criteriul greșit — dacă stratifici după sex, dar caracteristica depinde de vârstă, echilibrul obținut nu ajută la nimic.

6. Abaterea standard a eșantionului nu este cea a populației

Ajungem la punctul cel mai important al lecției, cerut explicit de programă. Luăm o populație mică, ca să putem calcula totul exact: notele celor doisprezece elevi ai unei grupe (toată populația):

$4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10.$

Suma este $84$ , deci media populației este $\overset{x}{ˉ} = \frac{84}{12} = 7$ . Suma pătratelor abaterilor este

$9 + 9 + 4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4 + 9 + 9 = 48,$

deci abaterea standard a populației este

$σ = \frac{48}{12} = 4 = 2.$

Extragem acum, pe rând, patru eșantioane de câte cinci elevi și calculăm pentru fiecare media și abaterea standard a eșantionului, $s$ (cu împărțire la $n - 1 = 4$ ).

Eșantion	Valori	Media	Suma pătratelor abaterilor	$s$
$E_{1}$	$4, 6, 7, 8, 10$	$7$	$20$	$5 \approx 2, 24$
$E_{2}$	$5, 6, 7, 8, 9$	$7$	$10$	$2, 5 \approx 1, 58$
$E_{3}$	$4, 4, 6, 9, 10$	$6, 6$	$31, 2$	$7, 8 \approx 2, 79$
$E_{4}$	$6, 7, 8, 8, 10$	$7, 8$	$8, 8$	$2, 2 \approx 1, 48$

Ce se vede din tabel:

Nicio abatere standard de eșantion nu este egală cu $σ = 2$ . Valorile obținute sunt $2, 24$ ; $1, 58$ ; $2, 79$ ; $1, 48$ — unele mai mari, altele mai mici decât abaterea populației.
Nici mediile nu coincid mereu cu media populației: $E_{3}$ dă $6, 6$ , iar $E_{4}$ dă $7, 8$ , deși media reală este $7$ .
Rezultatul depinde de eșantionul extras. Aceeași populație, aceeași metodă, patru răspunsuri diferite.

Aceasta este chiar eroarea de eșantionare, văzută cu ochiul liber. De aici vin două consecințe practice, pe care trebuie să le poți formula:

Un rezultat obținut pe un eșantion este o estimare a valorii din populație, niciodată valoarea însăși.
Când datele provin dintr-un eșantion, se folosește formula cu $n - 1$ , adică $s$ , tocmai pentru a corecta tendința eșantioanelor mici de a părea mai omogene decât populația. Când datele sunt întreaga populație, se folosește $σ$ , cu $n$ — vezi lecția despre abaterea standard.

În foaia de calcul, distincția este în numele funcției: STDEV.S pentru eșantion (împarte la $n - 1$ ) și STDEV.P pentru populație (împarte la $n$ ).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sondaj aleator simplu

O bibliotecă are $500$ de cititori înscriși și vrea un eșantion aleator simplu de $50$ . Descrie procedura și calculează fracția de sondaj.

Rezolvare. Se numerotează cititorii de la $1$ la $500$ folosind registrul de înscrieri. Se generează $50$ de numere aleatoare distincte între $1$ și $500$ (de exemplu cu =RANDBETWEEN(1;500), eliminând repetițiile) și se chestionează exact cititorii cu numerele obținute. Fracția de sondaj este $\frac{50}{500} = \frac{1}{10} = 10%$ .

Exemplul 2 — Alocare proporțională pe două straturi

Într-o școală cu $2000$ de elevi sunt $1100$ băieți și $900$ fete. Construiește un eșantion stratificat de $200$ de elevi.

Rezolvare. Fracția de sondaj este $\frac{200}{2000} = \frac{1}{10} = 10%$ , deci fiecare strat contribuie cu $10%$ din efectivul său:

$n_{b \overset{a}{˘} ie ț i} = \frac{1100}{2000} \cdot 200 = 110, n_{fete} = \frac{900}{2000} \cdot 200 = 90.$

Verificare: $110 + 90 = 200$ ✓. Din fiecare strat, cei aleși se extrag aleatoriu.

Exemplul 3 — Alocare pe trei straturi

O comună are $3000$ de locuitori, repartizați în trei sate: $1500$ , $900$ și $600$ . Determină cotele pentru un eșantion stratificat de $120$ de persoane.

Rezolvare. Fracția de sondaj este $\frac{120}{3000} = \frac{1}{25} = 4%$ . Cotele:

$\frac{1500}{3000} \cdot 120 = 60, \frac{900}{3000} \cdot 120 = 36, \frac{600}{3000} \cdot 120 = 24.$

Verificare: $60 + 36 + 24 = 120$ ✓. Se observă că fiecare cotă este $4%$ din efectivul satului respectiv.

Exemplul 4 — Recunoașterea unei metode greșite

Pentru a afla părerea celor $1200$ de elevi despre orar, un profesor chestionează toți cei $60$ de elevi ai claselor a XII-a. Este acesta un eșantion aleator simplu? Dar stratificat? Ce eroare apare?

Rezolvare. Nu este aleator simplu: elevii de clasa a IX-a au șansa $0$ de a fi incluși, deci nu toți indivizii au aceeași șansă. Nu este nici stratificat: un eșantion stratificat ar fi luat câte o cotă din fiecare clasă, nu $100%$ dintr-una singură. Apare o distorsiune sistematică — părerea despre orar depinde tocmai de anul de studiu, iar aici un singur an acoperă tot eșantionul. Rezultatul nu poate fi extins la școală, oricât de mulți elevi ar fi chestionați.

Exemplul 5 — Media eșantionului față de media populației

Populația $4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10$ are media $7$ . Se extrage eșantionul $4, 4, 6, 9, 10$ . Calculează media eșantionului și abaterea standard a eșantionului.

Rezolvare. Suma eșantionului este $33$ , deci media lui este $\frac{33}{5} = 6, 6$ — diferită de media populației, $7$ .

Abaterile față de $6, 6$ sunt $- 2, 6; - 2, 6; - 0, 6; 2, 4; 3, 4$ , iar suma pătratelor lor este $6, 76 + 6, 76 + 0, 36 + 5, 76 + 11, 56 = 31, 2$ . Fiind eșantion, împărțim la $n - 1 = 4$ :

$s = \frac{31 , 2}{4} = 7, 8 \approx 2, 79.$

Comparativ, populația are $σ = 2$ . Acest eșantion supraestimează atât împrăștierea, cât și — prin media lui mai mică — nivelul real.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Un liceu are $600$ de elevi: $300$ la profil real, $200$ la profil uman și $100$ la profil tehnologic. Se realizează un sondaj stratificat pe un eșantion de $60$ de elevi.

a) Calculează fracția de sondaj. b) Determină câți elevi sunt aleși din fiecare profil. c) Din eșantionul obținut, notele la un test sunt $12, 14, 15, 16, 18$ pentru cinci dintre elevi. Calculează media și abaterea standard a acestui eșantion de cinci note.

Rezolvare.

a) $\frac{60}{600} = \frac{1}{10} = 10%$ .

b) Fiecare strat contribuie cu $10%$ din efectivul său: $\frac{300}{600} \cdot 60 = 30$ de la real, $\frac{200}{600} \cdot 60 = 20$ de la uman și $\frac{100}{600} \cdot 60 = 10$ de la tehnologic. Verificare: $30 + 20 + 10 = 60$ ✓.

c) Suma este $75$ , deci media este $\frac{75}{5} = 15$ . Abaterile sunt $- 3, - 1, 0, 1, 3$ (suma $0$ ✓), iar pătratele $9, 1, 0, 1, 9$ , cu suma $20$ . Datele fiind un eșantion, folosim formula cu $n - 1$ :

$s = \frac{20}{4} = 5 \approx 2, 24.$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La alocările stratificate, verifică întotdeauna că suma cotelor dă exact volumul eșantionului.

1. O firmă are $1500$ de angajați și vrea un eșantion aleator simplu de $75$ . Calculează fracția de sondaj și descrie în două rânduri procedura de extragere.

2. Definește sondajul aleator simplu și explică de ce înlocuirea unei persoane absente cu un coleg al ei strică proprietatea de aleatorism.

3. O școală cu $1200$ de elevi are $750$ din mediul urban și $450$ din mediul rural. Determină cotele pentru un eșantion stratificat de $80$ de elevi.

4. O populație de $450$ de elevi este împărțită în trei clase egale, de câte $150$ . Determină cotele pentru un eșantion stratificat de $45$ de elevi.

5. O comună cu $2400$ de locuitori are trei sate, de $1200$ , $800$ și $400$ de locuitori. Determină cotele pentru un eșantion stratificat de $60$ de persoane.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un eșantion de $1000$ de persoane alese toate dintr-un singur cartier este mai reprezentativ pentru un oraș decât unul de $100$ de persoane alese aleatoriu din tot orașul."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un sondaj stratificat, indivizii dintr-un strat se aleg tot la întâmplare."

8. Explică, în trei-patru rânduri, ce este eroarea de eșantionare și de ce este singura eroare care se micșorează atunci când mărim eșantionul.

9. Populația $4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10$ este întreaga grupă. Calculează media și abaterea standard $σ$ a populației.

10. Din populația de la exercițiul $9$ se extrage eșantionul $5, 6, 7, 8, 9$ . Calculează media și abaterea standard $s$ a eșantionului, cu două zecimale.

11. Din aceeași populație se extrage eșantionul $6, 7, 8, 8, 10$ . Calculează media și abaterea standard $s$ a eșantionului, cu două zecimale.

12. Compară rezultatele obținute la exercițiile $9$ , $10$ și $11$ și formulează, în două propoziții, concluzia despre relația dintre abaterea standard a unui eșantion și cea a populației.

13. Setul $3, 5, 5, 6, 8, 9$ este un eșantion. Calculează abaterea standard a eșantionului, cu două zecimale.

14. Setul $2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 10$ reprezintă întreaga populație. Calculează abaterea standard $σ$ , cu două zecimale.

15. (Problemă aplicată.) Un magazin vrea să afle părerea clienților despre un produs nou și chestionează primele $50$ de persoane care intră sâmbătă dimineața. Ce metodă de eșantionare este aceasta, ce eroare introduce și cum ai corecta-o?

16. (Problemă aplicată.) O școală are $800$ de elevi: $200$ în fiecare an de studiu. Un sondaj aleator simplu de $40$ de elevi a produs un eșantion cu $18$ elevi de clasa a IX-a și doar $4$ de clasa a XII-a. Ce metodă ar fi evitat acest dezechilibru și care ar fi fost cotele ei?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) O universitate are $4000$ de studenți: $2400$ la licență, $1200$ la master și $400$ la doctorat. Se face un sondaj stratificat pe $100$ de studenți. a) Calculează fracția de sondaj. b) Determină cotele celor trei straturi. c) Verifică suma cotelor.

18. (Provocare.) Populația $4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10$ are $σ = 2$ . Găsește un eșantion de cinci valori din această populație pentru care abaterea standard a eșantionului să fie mai mică decât $σ$ și un altul pentru care să fie mai mare. Explică ce fel de valori trebuie alese în fiecare caz.

Răspunsuri și explicații

1. Fracția de sondaj este $\frac{75}{1500} = \frac{1}{20} = 5%$ . Procedura: se numerotează angajații de la $1$ la $1500$ folosind lista completă de personal, se generează $75$ de numere aleatoare distincte din acest interval și se chestionează exact persoanele cu numerele extrase.

2. Un sondaj este aleator simplu dacă fiecare individ al populației are aceeași șansă de a intra în eșantion, iar orice grup de $n$ indivizi are aceeași șansă de a-l forma. Înlocuirea unei persoane absente cu un coleg al ei strică această proprietate, pentru că îi dă colegului o șansă mai mare decât celorlalți — iar colegii se aseamănă adesea între ei, deci se introduce și o distorsiune sistematică.

3. Fracția de sondaj este $\frac{80}{1200} = \frac{1}{15}$ . Cotele: $\frac{750}{1200} \cdot 80 = 50$ elevi din urban și $\frac{450}{1200} \cdot 80 = 30$ din rural. Verificare: $50 + 30 = 80$ ✓.

4. Fracția de sondaj este $\frac{45}{450} = \frac{1}{10} = 10%$ , deci fiecare clasă contribuie cu $10%$ din efectiv: $15$ , $15$ și $15$ . Verificare: $15 + 15 + 15 = 45$ ✓. Când straturile sunt egale, cotele sunt egale.

5. Fracția de sondaj este $\frac{60}{2400} = \frac{1}{40} = 2, 5%$ . Cotele: $\frac{1200}{2400} \cdot 60 = 30$ , $\frac{800}{2400} \cdot 60 = 20$ și $\frac{400}{2400} \cdot 60 = 10$ . Verificare: $30 + 20 + 10 = 60$ ✓.

6. Fals. Reprezentativitatea vine din metodă, nu din volum. Un eșantion luat dintr-un singur cartier exclude sistematic restul orașului, iar cartierele diferă între ele ca vârstă, venituri sau obiceiuri; distorsiunea rămâne oricât ar crește numărul de respondenți. Eșantionul aleator din tot orașul, chiar de zece ori mai mic, reproduce structura populației.

7. Adevărat. Stratificarea decide doar câți indivizi se iau din fiecare grup; care anume se iau se decide tot prin extragere aleatoare, în interiorul fiecărui strat. Altfel s-ar reintroduce exact distorsiunea pe care metoda o combate.

8. Eroarea de eșantionare este diferența dintre valoarea măsurată pe eșantion și valoarea reală din populație, apărută pentru simplul motiv că nu au fost întrebați toți indivizii. Ea este întâmplătoare, nu sistematică: eșantioane diferite dau rezultate puțin diferite, împrăștiate în jurul valorii reale. Cu cât eșantionul este mai mare, cu atât această împrăștiere scade. Celelalte erori (autoselecție, non-răspuns, cadru incomplet) sunt sistematice, deci deplasează rezultatul mereu în aceeași direcție și nu se corectează prin volum.

9. Suma este $84$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{84}{12} = 7$ . Abaterile sunt $- 3, - 3, - 2, - 1, - 1, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3$ (suma $0$ ✓), iar suma pătratelor este $48$ . Deci $σ = \frac{48}{12} = 4 = 2$ .

10. Suma eșantionului este $35$ , deci media lui este $7$ — aici coincide cu media populației. Abaterile sunt $- 2, - 1, 0, 1, 2$ , cu suma pătratelor $10$ . Fiind eșantion, împărțim la $4$ : $s = \frac{10}{4} = 2, 5 \approx 1, 58$ .

11. Suma este $39$ , deci media este $\frac{39}{5} = 7, 8$ . Abaterile: $- 1, 8; - 0, 8; 0, 2; 0, 2; 2, 2$ , cu suma pătratelor $3, 24 + 0, 64 + 0, 04 + 0, 04 + 4, 84 = 8, 8$ . Deci $s = \frac{8 , 8}{4} = 2, 2 \approx 1, 48$ .

12. Populația are $σ = 2$ , primul eșantion dă $s \approx 1, 58$ , iar al doilea $s \approx 1, 48$ ; mediile sunt $7$ , $7$ și $7, 8$ . Abaterea standard a unui eșantion diferă, în general, de cea a populației din care provine, și diferă de la un eșantion la altul. De aceea, o valoare calculată pe un eșantion este o estimare a valorii din populație, nu valoarea ei exactă.

13. Suma este $36$ , deci media este $6$ . Abaterile: $- 3, - 1, - 1, 0, 2, 3$ (suma $0$ ✓); pătratele: $9, 1, 1, 0, 4, 9$ , cu suma $24$ . Fiind eșantion: $s = \frac{24}{5} = 4, 8 \approx 2, 19$ .

14. Suma este $40$ , deci media este $5$ . Abaterile: $- 3, - 2, - 1, - 1, 0, 1, 1, 5$ ; pătratele: $9, 4, 1, 1, 0, 1, 1, 25$ , cu suma $42$ . Fiind populație: $σ = \frac{42}{8} = 5, 25 \approx 2, 29$ .

15. Este un eșantion de conveniență: cuprinde doar persoanele ușor de abordat, aflate deja în magazin, la o anumită oră. Eroarea introdusă este sistematică — sunt excluși cei care nu vin niciodată în magazin și cei care vin în alte zile sau la alte ore, iar aceștia pot avea sistematic altă părere. Corectare: se construiește un cadru de eșantionare (lista clienților fideli, un registru al orașului) și se extrage aleatoriu din el; dacă publicul are grupuri clar diferite, se stratifică, de exemplu pe grupe de vârstă.

16. Un sondaj stratificat pe ani de studiu ar fi evitat dezechilibrul. Cum cele patru straturi au câte $200$ de elevi fiecare și fracția de sondaj este $\frac{40}{800} = 5%$ , cotele ar fi fost egale: $\frac{200}{800} \cdot 40 = 10$ elevi din fiecare an. Verificare: $10 \cdot 4 = 40$ ✓. Eșantionul obținut aleatoriu ( $18$ elevi de clasa a IX-a și $4$ de a XII-a) este posibil, dar nereprezentativ pentru o caracteristică ce depinde de anul de studiu.

17. a) $\frac{100}{4000} = \frac{1}{40} = 2, 5%$ . b) $\frac{2400}{4000} \cdot 100 = 60$ studenți la licență, $\frac{1200}{4000} \cdot 100 = 30$ la master și $\frac{400}{4000} \cdot 100 = 10$ la doctorat. c) $60 + 30 + 10 = 100$ ✓, egal cu volumul eșantionului.

18. Pentru $s < σ = 2$ alegem valori strânse în jurul centrului, de exemplu $6, 7, 7, 8, 8$ : media este $\frac{36}{5} = 7, 2$ , suma pătratelor abaterilor este $1, 44 + 0, 04 + 0, 04 + 0, 64 + 0, 64 = 2, 8$ , deci $s = 0, 7 \approx 0, 84 < 2$ . Pentru $s > σ$ alegem valori de la capete, de exemplu $4, 4, 6, 9, 10$ : media este $6, 6$ , suma pătratelor abaterilor este $31, 2$ , deci $s = 7, 8 \approx 2, 79 > 2$ . Regula: un eșantion care ia preponderent valori din mijlocul distribuției subestimează împrăștierea, iar unul care ia valori de la extreme o supraestimează — exact de aceea rezultatul unui sondaj este o estimare, nu o certitudine.

De reținut

Un eșantion este reprezentativ dacă reproduce structura populației; reprezentativitatea se obține prin metodă, nu prin mărime.
În sondajul aleator simplu, fiecare individ are aceeași șansă de a fi ales; se realizează prin numerotarea populației și extragerea unor numere la întâmplare.
În sondajul stratificat, populația se împarte în straturi omogene, iar din fiecare se extrage aleatoriu o cotă proporțională: $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ , cu verificarea $\sum n_{i} = n$ .
Doar eroarea de eșantionare scade mărind eșantionul; autoselecția, non-răspunsul și cadrul incomplet sunt erori sistematice, pe care volumul nu le repară.
Abaterea standard a unui eșantion diferă, în general, de cea a populației și variază de la un eșantion la altul; pe eșantion se folosește $s$ (împărțire la $n - 1$ ), pe populație $σ$ (împărțire la $n$ ).

Greșeli frecvente

Confundarea eșantionului mare cu eșantionul bun. Un eșantion uriaș, dar prost ales, dă un rezultat greșit cu multă siguranță aparentă.
Alocarea egală pe straturi de mărimi diferite. Dacă un strat are $480$ de elevi și altul $120$ , cotele nu pot fi egale; ele trebuie să respecte proporțiile, altfel eșantionul nu mai este reprezentativ.
Uitarea verificării $\sum n_{i} = n$ . Este singurul control rapid al calculului cotelor și prinde imediat o greșeală de aritmetică sau o rotunjire nepotrivită.
Înlocuirea persoanelor greu de găsit. Orice înlocuire „de complezență" strică aleatorismul și introduce o distorsiune, pentru că persoanele ușor de găsit nu sunt un grup întâmplător.
Folosirea lui $σ$ pe date de eșantion. Când setul este declarat eșantion, formula corectă este cea cu $n - 1$ , adică $s$ ; în foaia de calcul, STDEV.S, nu STDEV.P.

Aplică acasă

Extragerea aleatoare. Numerotează cei $N$ elevi din clasa ta, apoi extrage un eșantion de $5$ folosind fie bilețele dintr-o cutie, fie funcția RANDBETWEEN dintr-o foaie de calcul. Notează numerele obținute și verifică dacă printre ei sunt și fete, și băieți.
Stratificarea clasei. Împarte clasa în două straturi (de exemplu, elevii care vin pe jos și cei care vin cu un mijloc de transport), numără efectivele și calculează cotele pentru un eșantion stratificat de $6$ elevi. Verifică suma cotelor.
Experimentul celor trei eșantioane. Ia notele întregii tale clase, calculează $σ$ pentru toată clasa, apoi extrage trei eșantioane de câte cinci elevi și calculează $s$ pentru fiecare. Notează într-un tabel cât de mult diferă cele trei valori de $σ$ și scrie o concluzie de două rânduri.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea de statistică și conține unicul conținut din programă care cere explicit o comparație între eșantion și populație: competența X.CS.5.3 vorbește despre „analizarea din punct de vedere statistic a necesității alegerii unui eșantion reprezentativ, cu evidențierea faptului că abaterea standard a unui eșantion poate diferi de cea a populației". Secțiunea a șasea este, de aceea, miezul lecției, nu un adaos.

Verifică trei lucruri: calculul corect al cotelor stratificate (cu verificarea sumei), înțelegerea faptului că metoda contează mai mult decât volumul și folosirea corectă a formulelor $s$ și $σ$ în funcție de natura setului de date. Întrebări bune de control: „De ce nu putem întreba doar clasele a XII-a?"; „Cum calculezi câți elevi iei din fiecare clasă?"; „Ce eroare se micșorează dacă mărim eșantionul și care nu?"; „Pe un eșantion, împarți la $n$ sau la $n - 1$ ?".

La Bacalaureat, cerințele tipice sunt calculul fracției de sondaj, al cotelor stratificate și al abaterii standard pentru un eșantion. Punctajul se pierde la confundarea celor două formule ale abaterii standard și la cotele care nu însumează volumul eșantionului — două verificări care se fac în cinci secunde și salvează puncte.

Întrebări frecvente

Ce este un eșantion reprezentativ? Este un eșantion a cărui structură seamănă cu structura populației din care provine, astfel încât concluziile obținute pe el să poată fi extinse la întreaga populație. Reprezentativitatea se obține prin metoda de selecție, nu prin numărul de respondenți.

Ce este sondajul aleator simplu? Este metoda în care fiecare individ al populației are aceeași șansă de a fi inclus în eșantion, iar orice grup de $n$ indivizi are aceeași șansă de a-l forma. Practic, se numerotează populația și se extrag $n$ numere la întâmplare, fără repetiție.

Ce este sondajul stratificat și când se folosește? Populația se împarte în straturi omogene (clase, medii, grupe de vârstă), iar din fiecare se extrage aleatoriu o cotă proporțională cu mărimea stratului. Se folosește când populația conține grupuri clar diferite din punctul de vedere al caracteristicii studiate.

Cum calculez câți indivizi iau din fiecare strat? Cu formula $n_{i} = \frac{N _{i}}{N} \cdot n$ , unde $N_{i}$ este mărimea stratului, $N$ mărimea populației și $n$ volumul eșantionului. Echivalent, aplici fracția de sondaj la efectivul fiecărui strat, apoi verifici că suma cotelor dă exact $n$ .

Ce este eroarea de eșantionare? Este diferența, întâmplătoare, dintre rezultatul obținut pe eșantion și valoarea reală din populație, apărută pentru că nu au fost întrebați toți indivizii. Este singura eroare care se micșorează atunci când eșantionul crește.

De ce abaterea standard a unui eșantion diferă de cea a populației? Pentru că eșantionul conține doar o parte din valori, iar felul în care acestea sunt așezate (mai spre centru sau mai spre extreme) schimbă suma pătratelor abaterilor. Pe aceeași populație, eșantioane diferite dau abateri standard diferite, unele mai mari, altele mai mici decât $σ$ .

Un sondaj cu mai multe persoane este mereu mai bun? Nu. Volumul reduce doar eroarea de eșantionare. Dacă metoda de selecție este greșită — eșantion de conveniență, autoselecție, listă incompletă — distorsiunea rămâne, oricât de mare ar fi numărul de respondenți.