Factorialul unui număr natural: pe scurt

Factorialul lui $n$ (notat $n!$, cu $n\ge 1$) este produsul tuturor numerelor naturale de la $1$ la $n$: $n!=1\cdot 2\cdots n$. Prin convenție, $0!=1$ — nu e o toană, ci consecința formulei de recurență $n!=n\cdot (n-1)!$, care trebuie să funcționeze și pentru $n=1$: $1!=1\cdot 0!$ obligă $0!=1$. Valorile de reținut: $1,1,2,6,24,120,720,5040,40320$ pentru $n=0,\dots ,8$.

Factorialul crește exploziv, mai repede decât orice putere — de aceea nu calculezi niciodată factorialele mari. Rapoartele de factoriale se simplifică desfăcând factorialul mai mare până la cel mic: $\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$, un produs cu exact $k$ factori. Greșeala clasică: $\frac{10!}{5!}\ne 2!$ — factorialul nu se «simplifică» ca un factor obișnuit.

La ecuații cu factoriale: pui condiția ca argumentele să fie numere naturale, exprimi totul prin cel mai mic factorial, simplifici (el e nenul) și rezolvi ecuația algebrică rămasă, apoi respingi soluțiile care nu sunt naturale.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $0!+1!+2!+3!$.

   • a) $10$
   • b) $9$
   • c) $6$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $10$

   $0!=1$, $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$. Suma: $1+1+2+6=10$.

2. Calculați $\frac{9!}{7!}$.

   • a) $2$
   • b) $72$
   • c) $9$
   • d) $362880$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $72$

   $\frac{9!}{7!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{7!}=9\cdot 8=72$. Fără să calculezi vreun factorial întreg.

3. Simplificați $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}$, pentru $n\in \mathbb{N}$.

   • a) $(n+1)(n+2)(n+3)$
   • b) $n+2$
   • c) $(n+2)(n+3)$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(n+2)(n+3)$

   $\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=\frac{(n+3)(n+2)\cdot (n+1)!}{(n+1)!}=(n+2)(n+3)$ — exact $2$ factori, pentru că diferența indicilor este $2$.