Formula de schimbare a bazei și logaritmii pe calculator (M2, științe ale naturii)

Pe un calculator științific găsești două taste de logaritm, „log” și „ln”, dar nicio tastă pentru logaritmul în baza trei sau în baza $1,5$. În științe, asemenea logaritmi apar mereu: de fiecare dată când o mărime se înmulțește cu același factor la fiecare pas și vrei să afli câți pași trec până la o valoare dată. Formula de schimbare a bazei rezolvă problema: orice logaritm se scrie ca un cât de doi logaritmi într-o bază pe care calculatorul o cunoaște. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), formula se folosește ca instrument de calcul, cu verificarea rezultatelor și cu grijă la rotunjiri. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere calcule cu logaritmi; formula nu apare acolo scrisă separat, ci ca unul dintre instrumentele acestor calcule.

Lecția folosește definiția logaritmului unui număr la M2 și proprietatea puterii din lecția despre proprietățile logaritmilor. Tastele „log” și „ln”, împreună cu tastele inverse de verificare, le-ai folosit în lecția M2 despre logaritmul natural și cel zecimal, iar încadrarea unui logaritm între doi întregi vine din lecția de clasa a IX-a despre definiția logaritmului.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii orice logaritm ca un cât de doi logaritmi într-o bază comodă, cu argumentul la numărător.
• Vei ști să calculezi cu calculatorul un logaritm în orice bază, folosind tasta „log” sau tasta „ln”.
• Vei ști să controlezi rezultatul prin încadrare între doi întregi și prin ridicare la putere.
• Vei ști să explici de ce o bază apropiată de $1$ cere toate zecimalele numitorului.
• Vei ști să interpretezi semnul unui logaritm cu bază subunitară calculat pe calculator.
• Vei ști să afli, într-un model din științe, câți pași trec până când o mărime atinge un prag.

Hai să descoperim împreună

1. Ce faci când calculatorul nu are tasta de care ai nevoie?

Să zicem că ai nevoie de ${\log }_{5}60$. Nu e o valoare exactă simplă, pentru că $60$ nu este o putere a lui $5$; din $5^2=25<60<125=5^3$ știi doar că numărul este între $2$ și $3$. Notează-l cu $c$, deci $5^c=60$. Logaritmezi ambii membri în baza zece și cobori exponentul cu proprietatea puterii: $c\lg 5=\lg 60$. Împarți la $\lg 5$, care nu este zero, și obții $c=\frac{\lg 60}{\lg 5}\approx \frac{1,7782}{0,6990}\approx 2,544$, un număr aflat, cum trebuia, între $2$ și $3$.

Formula de schimbare a bazei este egalitatea care generalizează acest drum: pentru $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ și orice bază nouă $c>0$, $c\ne 1$,

$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}.$$

Argumentul stă la numărător, baza veche stă la numitor, iar amândoi sunt logaritmați în noua bază $c$. În practică, $c$ este zece sau $e$, adică bazele pentru care calculatorul are taste.

2. De ce argumentul este sus și baza jos?

Justificarea este chiar drumul de mai sus, scris cu litere. Fie $x={\log }_{a}b$, deci $a^x=b$. Ambii membri sunt pozitivi, deci îi putem logaritma în baza $c$: ${\log }_c{a}^x={\log }_{c}b$. Cu proprietatea puterii, $x{\log }_{c}a={\log }_{c}b$. Cum $a\ne 1$, avem ${\log }_{c}a\ne 0$, deci putem împărți și obținem formula.

Un control rapid al ordinii: pune $b=a$. Membrul stâng devine ${\log }_{a}a=1$, iar membrul drept devine $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}a}=1$. Dacă ai inverti fracția, controlul ar ieși tot $1$, deci el nu deosebește ordinea; o deosebește însă încadrarea. Pentru ${\log }_{5}60$, fracția inversă ar da aproximativ $0,393$, un număr care nu este între $2$ și $3$.

3. Contează dacă folosești tasta „log” sau tasta „ln”?

Nu. Formula este valabilă pentru orice bază nouă permisă, deci ambele taste dau același rezultat. Luăm ${\log }_{1,5}20$. Cu logaritmi zecimali, $\frac{\lg 20}{\lg 1,5}\approx \frac{1,30103}{0,17609}\approx 7,388$. Cu logaritmi naturali, $\frac{\ln 20}{\ln 1,5}\approx \frac{2,99573}{0,40547}\approx 7,388$. Numărătorii și numitorii diferă, dar câturile coincid.

Motivul se vede din formula însăși: trecerea de la baza zece la baza $e$ înmulțește atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, iar raportul rămâne neschimbat. Singura condiție este să folosești aceeași tastă sus și jos; un cât cu „log” la numărător și „ln” la numitor nu mai este logaritmul căutat.

4. Ce control mai ai când baza nu este zece sau e?

Unele calculatoare și aplicații de telefon au și o funcție pentru logaritmul cu bază aleasă. Rezultatul ei trebuie să coincidă cu cel dat de formulă, iar compararea celor două este un bun exercițiu de verificare. Oricum ai obține numărul, controalele de mai jos rămân aceleași.

Pentru $\lg$ și $\ln$ aveai tastele inverse, $10^x$ și $e^x$, din lecția despre logaritmul natural și logaritmul zecimal. Pentru o bază oarecare nu există o tastă inversă dedicată, dar controlul rămâne posibil în doi timpi. Înainte de calcul faci încadrarea între puteri întregi ale bazei, ca în clasa a IX-a. După calcul ridici chiar baza la rezultat, cu tasta generală de putere, și trebuie să obții aproape argumentul.

Pentru ${\log }_{7}300$: din $7^2=49<300<343=7^3$, rezultatul trebuie să fie între $2$ și $3$. Calculatorul dă $\frac{\lg 300}{\lg 7}\approx 2,931$, deci încadrarea este respectată. Apoi $7^{2,931}\approx 299,9$, foarte aproape de $300$; mica diferență vine din rotunjirea exponentului la trei zecimale. Dacă ai fi obținut $299,9$ pentru un argument de $3000$, ai fi știut că ai tastat greșit.

5. De ce o bază apropiată de 1 cere toate zecimalele?

Când baza este aproape de $1$, logaritmul ei este un număr foarte mic. Luăm ${\log }_{1,03}10$, numărul de pași de câte $3\%$ care înmulțesc o mărime cu zece. Cu valorile complete ale calculatorului, $\frac{\lg 10}{\lg 1,03}\approx \frac{1}{0,0128372}\approx 77,90$.

Dacă rotunjești numitorul la $0,013$, obții $\frac{1}{0,013}\approx 76,92$, cu aproape un pas mai puțin. Mecanismul este al câtului: eroarea relativă a numitorului trece integral în rezultat, iar la un numitor mic chiar a treia zecimală înseamnă o eroare relativă mare. Regula generală a rotunjirii, o singură dată și la final, o știi din lecția despre logaritmul natural și cel zecimal; o bază apropiată de $1$ este cazul în care ea contează cel mai mult.

6. Ce spun semnele din fracție?

Pentru ${\log }_{0,8}0,1$ calculatorul dă un numărător și un numitor negative: $\lg 0,1=-1$ și $\lg 0,8\approx -0,09691$. Câtul este pozitiv, $\frac{-1}{-0,09691}\approx 10,32$. Regula semnului din lecția de clasa a IX-a capătă aici o explicație nouă: semnul logaritmului este semnul unui cât, deci depinde doar de semnele celor doi logaritmi zecimali.

Citirea este simplă: numărătorul este negativ exact când argumentul este sub unu, iar numitorul este negativ exact când baza este sub unu. Două semne la fel dau un rezultat pozitiv, două semne diferite dau unul negativ. Pentru o bază subunitară, rezultatele mari și pozitive, ca aici, sunt normale: o mărime care scade de fiecare dată cu o cincime are nevoie de mai mult de zece pași ca să ajungă la o zecime. Dacă semnul afișat nu se potrivește cu această citire, ai tastat greșit o valoare.

7. Unde apare formula într-un model din științe?

Dacă o mărime se înmulțește cu același factor $q$ la fiecare pas, după $n$ pași ea este înmulțită cu $q^n$. Întrebarea „după câți pași devine de $r$ ori mai mare sau mai mică?” are răspunsul $n={\log }_{q}r$, direct din definiție, iar formula de schimbare a bazei îl transformă într-un număr: $n=\frac{\lg r}{\lg q}$.

Pașii pot fi reflexii, transferuri de energie, generații sau intervale egale de timp. Dacă pasul este o unitate de timp, $n$ este chiar un timp, măsurat în acea unitate; dacă pasul este un eveniment, rezultatul trebuie interpretat ca număr natural. În ambele cazuri, după calcul verifici pe puterile vecine ale lui $q$ că pragul a fost într-adevăr depășit. Factorul $q$ poate fi supraunitar, când mărimea crește, sau subunitar, când scade; formula este aceeași, doar semnele din fracție se schimbă.

Figura A arată formula dintr-un unghi neobișnuit: pentru fiecare $x>0$, $x\ne 1$, este desenat câtul $\frac{{\log }_{2}x}{\lg x}$. Punctele nu formează o curbă, ci o dreaptă orizontală, la înălțimea $\frac{1}{\lg 2}\approx 3,32$: câtul nu depinde de $x$. Aceasta este formula citită invers, ${\log }_{2}x=\frac{\lg x}{\lg 2}$, pentru toate argumentele deodată. În $x=1$ câtul nu are sens, pentru că ambii logaritmi sunt zero, de aceea punctul este gol. Rezolvarea completă a ecuațiilor cu logaritmi, cu condiții de existență și cu aducerea la aceeași bază, se face în lecția despre ecuațiile logaritmice; aici formula este un instrument de calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un logaritm pe calculator, verificat de două ori

Calculați ${\log }_{6}1000$ cu trei zecimale și verificați rezultatul.

Rezolvare. Încadrarea întâi: $6^3=216<1000<1296=6^4$, deci rezultatul este între $3$ și $4$. Cu formula, ${\log }_{6}1000=\frac{\lg 1000}{\lg 6}=\frac{3}{\lg 6}\approx \frac{3}{0,77815}\approx 3,855$.

Verificare prin ridicare la putere: $6^{3,855}\approx 999,5$, practic $1000$. Numărătorul a fost exact, pentru că $1000$ este o putere a lui zece; numitorul a venit de la calculator. Observă ordinea în care am lucrat: încadrarea a fost scrisă înainte de a apăsa vreo tastă. Dacă pe ecran ar fi apărut $0,259$, adică fracția inversată, sau $2,222$, adică $\lg \frac{1000}{6}$, încadrarea ar fi semnalat imediat greșeala, fără să refaci calculul.

Exemplul 2 — Aceeași valoare cu două taste

Calculați ${\log }_{2,5}40$ o dată cu logaritmi zecimali și o dată cu logaritmi naturali.

Rezolvare. Cu tasta „log”: $\frac{\lg 40}{\lg 2,5}\approx \frac{1,60206}{0,39794}\approx 4,026$. Cu tasta „ln”: $\frac{\ln 40}{\ln 2,5}\approx \frac{3,68888}{0,91629}\approx 4,026$.

Rezultatele coincid, deși fiecare pereche de logaritmi este alta. Încadrarea confirmă: $2,5^4=39,0625<40<97,65625=2,5^5$, iar $40$ este foarte aproape de $2,5^4$, deci logaritmul este puțin peste $4$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Doi colegi calculează ${\log }_{5}30$. Primul tastează $\lg 5$ împărțit la $\lg 30$ și scrie „$0,473$”. Al doilea tastează $\lg$ din $30$ împărțit la $5$ și scrie „$\lg 6\approx 0,778$”. Găsiți greșelile și calculați valoarea corectă.

Rezolvare. Controlul prin ridicare la putere decide imediat. Ridicând baza $5$ la valorile găsite, se obțin $5^{0,473}\approx 2,14$ și $5^{0,778}\approx 3,50$, adică nimic apropiat de $30$. Ambele valori sunt, deci, greșite, iar fiecare greșeală are altă cauză.

Primul a inversat fracția, punând baza la numărător. Al doilea a calculat logaritmul câtului $\frac{30}{5}$, nu câtul logaritmilor. Corect: ${\log }_{5}30=\frac{\lg 30}{\lg 5}\approx \frac{1,47712}{0,69897}\approx 2,113$, iar $5^{2,113}\approx 30,0$. Valoarea corectă se potrivește și cu încadrarea $5^2=25<30<125=5^3$.

Exemplul 4 — Formula poate da și valori exacte

Calculați exact ${\log }_{81}243$ cu formula de schimbare a bazei.

Rezolvare. Alegem baza nouă zece, dar nu calculăm cu zecimale. Cum $243=3^5$ și $81=3^4$, proprietatea puterii dă $\lg 243=5\lg 3$ și $\lg 81=4\lg 3$. Atunci

$${\log }_{81}243=\frac{\lg 243}{\lg 81}=\frac{5\lg 3}{4\lg 3}=\frac{5}{4}.$$

Factorul $\lg 3$ se simplifică, deci rezultatul este exact. Calculatorul confirmă: câtul are valoarea $1,25$. Metoda dă aceeași valoare ca scrierea bazei și a argumentului ca puteri ale lui $3$, din lecția despre definiție. Când răspunsul cerut este exact, nu scrii zecimalele calculatorului, ci fracția; când răspunsul cerut este numeric, fracția exactă te ajută să verifici ultimele cifre afișate.

Exemplul 5 — Lumina într-o celulă cu reflexii multiple

Într-un analizor de gaze, un fascicul de lumină este trimis de multe ori înainte și înapoi între două oglinzi concave, ca să străbată un drum lung prin gazul studiat. La fiecare reflexie, oglinda păstrează $96\%$ din intensitatea luminii, restul fiind absorbit de oglindă sau împrăștiat. Neglijăm absorbția din gaz (figura B). a) După câte reflexii intensitatea ajunge sub jumătate din cea inițială? b) După câte reflexii ajunge sub $1\%$?

Rezolvare. După $n$ reflexii rămâne fracțiunea $0,96^n$, care scade la fiecare reflexie. a) Fracțiunea ar fi exact $0,5$ pentru $n={\log }_{0,96}0,5=\frac{\lg 0,5}{\lg 0,96}\approx \frac{-0,30103}{-0,017729}\approx 16,98$. Numărul de reflexii este natural, deci intensitatea este sub jumătate după a $17$-a reflexie. Verificare: $0,96^{16}\approx 0,520$, iar $0,96^{17}\approx 0,4996$.

b) Pentru $1\%$: $\frac{\lg 0,01}{\lg 0,96}\approx \frac{-2}{-0,017729}\approx 112,8$, deci sunt necesare $113$ reflexii. Rezultatul arată limita instrumentului: cu oglinzi mai bune, de exemplu de $99\%$, lumina ar face de peste patru ori mai multe drumuri înainte să se piardă.

Dacă oglinzile sunt la $0,5$ metri una de alta, cele $17$ reflexii înseamnă un drum de aproximativ $8,5$ metri prin gaz, într-un aparat de numai o jumătate de metru. Acesta este scopul celulei: un drum lung pe care lumina îl poate absorbi, într-un spațiu mic. Numărul de reflexii utile este limitat tocmai de pierderea de la fiecare oglindă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $\frac{{\log }_{7}125}{{\log }_{7}5}=3$.

Rezolvare. Câtul are forma din formula de schimbare a bazei, cu baza nouă $7$, deci este ${\log }_{5}125=3$, pentru că $5^3=125$. Altfel, cu proprietatea puterii: ${\log }_{7}125={\log }_7{5}^3=3{\log }_{7}5$, iar ${\log }_{7}5\ne 0$, deci câtul este $3$. Cerința este creată pentru antrenament, după tiparul întrebărilor scurte de calcul, nu preluată dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

Rotunjește la trei zecimale doar la final și scrie $\approx$ lângă orice valoare aproximativă. Înainte de fiecare calcul, încadrează rezultatul între doi întregi.

1. Calculează cu formula de schimbare a bazei numerele ${\log }_{3}70$, ${\log }_{7}0,5$ și ${\log }_{12}1000$. Care dintre ele este cel mai aproape de un număr întreg și de care anume?

2. Calculează ${\log }_{1,8}7$ o dată cu tasta „log” și o dată cu tasta „ln”.

3. Scrie, fără să calculezi, ca un cât de logaritmi zecimali: ${\log }_{5}17$, ${\log }_{0,3}6$ și ${\log }_{11}3$.

4. Care dintre expresiile $\frac{\lg 7}{\lg 6}$, $\frac{\lg 6}{\lg 7}$, $\lg \frac{7}{6}$, $\lg 7-\lg 6$ și $\frac{\ln 7}{\ln 6}$ sunt egale cu ${\log }_{6}7$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $\frac{\lg 55}{\lg 3}$ este cuprins între $4$ și $5$.”

6. Calculează exact ${\log }_{32}128$, folosind formula de schimbare a bazei și proprietatea puterii.

7. Calculează ${\log }_{1,04}5$ păstrând toate zecimalele calculatorului, apoi repetă calculul rotunjind întâi $\lg 1,04$ la $0,02$. Cât de mare este diferența și de unde vine?

8. Calculează ${\log }_{0,7}0,05$ și explică semnul rezultatului. Între ce întregi consecutivi se află?

9. Un elev a tastat $\ln 45$ împărțit la $\ln 4$ și a obținut aproximativ $2,746$. Ce logaritm a calculat? Verifică rezultatul prin ridicare la putere.

10. (Problemă aplicată.) Un vas de laborator de $5$ litri este golit de aer cu o pompă cu piston. La fiecare cursă, cilindrul pompei, de $1$ litru, se umple cu aer din vas, apoi aerul acesta este eliminat. Temperatura rămâne constantă, iar presiunea inițială este $100$ kPa. a) Explică, cu legea Boyle–Mariotte, de ce după fiecare cursă presiunea din vas se înmulțește cu $\frac{5}{6}$. b) După câte curse presiunea scade sub $10$ kPa? c) Ce presiune rămâne în vas după $20$ de curse?

11. În multe ecosisteme, aproximativ $12\%$ din energia unui nivel trofic ajunge la nivelul următor. a) După câte transferuri energia ajunsă scade sub $0,1\%$ din energia producătorilor? b) Ce eficiență a transferului ar păstra încă $0,1\%$ după șase transferuri?

12. Un proces înmulțește o mărime cu $1,8$ în fiecare oră, altul o înmulțește cu $3,2$ la fiecare două ore. Care dintre ele ajunge primul la o valoare de o mie de ori mai mare decât cea inițială?

13. Un elev a obținut ${\log }_{3}0,2\approx 1,465$. Arată, din semnele fracției $\frac{\lg 0,2}{\lg 3}$, că rezultatul este greșit, apoi scrie valoarea corectă.

14. Calculează ${\log }_{1,5}10$, ${\log }_{1,5}100$ și ${\log }_{1,5}1000$. Ce legătură observi între cele trei valori și cum o explici?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\log }_{12}18=\frac{\lg 2+2\lg 3}{2\lg 2+\lg 3}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\frac{\lg (x+3)}{\lg x}={\log }_x(x+3)$ pentru orice număr $x$ din $(0;1)\cup (1;+\infty )$ și explicați de ce valoarea $x=1$ este exclusă.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Demonstrați că ${\log }_{5}20=1+\frac{2\lg 2}{\lg 5}$.

18. (Provocare.) Un calculator are doar tasta „ln”. Scrie pașii pentru calculul lui ${\log }_{0,5}0,03$ și arată, fără să calculezi vreun logaritm, că rezultatul este între $5$ și $6$.

Răspunsuri și explicații

1. ${\log }_{3}70=\frac{\lg 70}{\lg 3}\approx 3,867$, ${\log }_{7}0,5=\frac{\lg 0,5}{\lg 7}\approx -0,356$ și ${\log }_{12}1000=\frac{3}{\lg 12}\approx 2,780$. Distanțele până la cel mai apropiat întreg sunt aproximativ $0,133$ (față de $4$), $0,356$ (față de $0$) și $0,220$ (față de $3$), deci ${\log }_{3}70$ este cel mai aproape de un întreg. Se vede și fără calculator: $70$ este aproape de $81=3^4$, în timp ce $1000$ este mai departe de $1728=12^3$. Încadrările confirmă valorile: $27<70<81$, $\frac{1}{7}<0,5<1$ și $144<1000<1728$.

2. ${\log }_{1,8}7=\frac{\lg 7}{\lg 1,8}\approx \frac{0,84510}{0,25527}\approx 3,311$ și, cu cealaltă tastă, $\frac{\ln 7}{\ln 1,8}\approx \frac{1,94591}{0,58779}\approx 3,311$. Încadrarea: $1,8^3=5,832<7<10,4976=1,8^4$.

3. ${\log }_{5}17=\frac{\lg 17}{\lg 5}$, ${\log }_{0,3}6=\frac{\lg 6}{\lg 0,3}$ și ${\log }_{11}3=\frac{\lg 3}{\lg 11}$. Al doilea este negativ: numărătorul este pozitiv, numitorul negativ. Al treilea este între $0$ și $1$, pentru că argumentul $3$ este între $11^0=1$ și $11^1=11$; se vede și din fracție, unde numărătorul este mai mic decât numitorul.

4. Sunt egale cu ${\log }_{6}7$ numai $\frac{\lg 7}{\lg 6}$ și $\frac{\ln 7}{\ln 6}$, ambele cu argumentul sus și aceeași tastă sus și jos. $\frac{\lg 6}{\lg 7}$ este ${\log }_{7}6$, adică fracția inversată, iar $\lg \frac{7}{6}$ și $\lg 7-\lg 6$ sunt același număr, aproximativ $0,067$, logaritmul zecimal al câtului.

5. Fals. Câtul este ${\log }_{3}55$, iar din $3^3=27<55<81=3^4$ rezultă că el este între $3$ și $4$, nu între $4$ și $5$. Calculatorul confirmă: $\frac{\lg 55}{\lg 3}\approx \frac{1,74036}{0,47712}\approx 3,648$.

6. ${\log }_{32}128=\frac{\lg 128}{\lg 32}=\frac{7\lg 2}{5\lg 2}=\frac{7}{5}$. Calculatorul dă $1,4$, aceeași valoare. Verificare prin ridicare la putere: $32^{7/5}={\left(2^5\right)}^{7/5}=2^7=128$.

7. Cu toate zecimalele, ${\log }_{1,04}5=\frac{\lg 5}{\lg 1,04}\approx \frac{0,69897}{0,017033}\approx 41,035$. Cu numitorul rotunjit la $0,02$, $\frac{0,69897}{0,02}\approx 34,949$, cu peste $6$ mai puțin. Numitorul a fost rotunjit în sus cu aproape $17\%$, iar rezultatul a scăzut în același raport: $41,035\approx 1,174\cdot 34,949$.

8. ${\log }_{0,7}0,05=\frac{\lg 0,05}{\lg 0,7}\approx \frac{-1,30103}{-0,15490}\approx 8,399$. Rezultatul este pozitiv, pentru că atât baza, cât și argumentul sunt subunitare: numărătorul și numitorul au același semn. Încadrarea: $0,7^8\approx 0,0576>0,05>0,0404\approx 0,7^9$, deci valoarea este între $8$ și $9$.

9. Câtul $\frac{\ln 45}{\ln 4}$ este, după formula de schimbare a bazei, ${\log }_{4}45\approx 2,746$. Verificare: $4^{2,746}\approx 45,0$. Încadrarea confirmă: $4^2=16<45<64=4^3$.

10. a) La o cursă, aerul din vas ocupă și cilindrul, deci se destinde de la $5$ la $5+1=6$ litri. La temperatură constantă, presiunea scade în raportul invers al volumelor și devine $\frac{5}{6}$ din cea de dinainte. Aerul din cilindru este apoi eliminat, iar vasul rămâne cu această presiune. b) După $n$ curse presiunea este $100\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^n$ kPa. Pragul de $10$ kPa înseamnă fracțiunea $0,1$, atinsă pentru $n={\log }_{\frac{5}{6}}0,1=\frac{\lg 0,1}{\lg \frac{5}{6}}\approx \frac{-1}{-0,079181}\approx 12,63$. Cum ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{12}\approx 0,112$ este încă peste prag, iar ${\left(\frac{5}{6}\right)}^{13}\approx 0,093$ este sub el, sunt necesare $13$ curse. c) $100\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{20}\approx 2,6$ kPa. Modelul presupune o pompă fără scăpări și fără volum mort; o pompă reală se oprește la o presiune-limită, sub care nu mai coboară.

11. a) O eficiență de $12\%$ înseamnă factorul $0,12$, deci după $n$ transferuri rămâne fracțiunea $0,12^n$. Pragul este atins pentru $n={\log }_{0,12}0,001=\frac{\lg 0,001}{\lg 0,12}\approx \frac{-3}{-0,92082}\approx 3,26$. Cum $0,12^3\approx 0,0017$ este încă peste prag, iar $0,12^4\approx 0,0002$ este sub el, energia scade sub $0,1\%$ la al patrulea transfer. De aceea lanțurile trofice reale au rareori mai mult de patru sau cinci niveluri. b) Trebuie ca $q^6=0,001=10^{-3}$, deci $q=10^{-1/2}\approx 0,316$, adică aproape $32\%$, o eficiență mult peste cele observate în natură.

12. Primul are nevoie de ${\log }_{1,8}1000=\frac{3}{\lg 1,8}\approx 11,75$ ore. Al doilea are nevoie de ${\log }_{3,2}1000=\frac{3}{\lg 3,2}\approx 5,94$ perioade de câte două ore, adică de aproximativ $11,88$ ore. Primul ajunge primul, la mică distanță. Comparația directă a factorilor ar fi înșelătoare: în două ore primul proces înmulțește mărimea cu $1,8^2=3,24$, puțin mai mult decât $3,2$, deci era de așteptat să fie mai rapid, dar doar cu puțin.

13. Argumentul $0,2$ este sub unu, deci $\lg 0,2<0$, iar baza $3$ este peste unu, deci $\lg 3>0$. Câtul are semne diferite sus și jos, deci este negativ, iar $1,465$ nu poate fi rezultatul. Valoarea corectă este $\frac{\lg 0,2}{\lg 3}\approx \frac{-0,69897}{0,47712}\approx -1,465$; elevul a pierdut semnul minus. Control: $3^{-1,465}\approx 0,200$.

14. ${\log }_{1,5}10=\frac{1}{\lg 1,5}\approx 5,679$, ${\log }_{1,5}100=\frac{2}{\lg 1,5}\approx 11,358$ și ${\log }_{1,5}1000=\frac{3}{\lg 1,5}\approx 17,037$. A doua valoare este dublul primei, a treia este triplul ei, pentru că numărătorii sunt $1$, $2$ și $3$, iar numitorul este același. Ultimele cifre pot diferi cu o unitate de dublul sau triplul valorii rotunjite, pentru că fiecare rezultat a fost rotunjit separat; de aceea compari valorile complete, nu pe cele rotunjite. Ca număr de pași, înseamnă că fiecare înmulțire suplimentară cu zece cere încă aproape șase înmulțiri cu $1,5$.

15. Cu formula, ${\log }_{12}18=\frac{\lg 18}{\lg 12}$. Din $18=2\cdot 3^2$ și $12=2^2\cdot 3$, proprietățile produsului și puterii dau $\lg 18=\lg 2+2\lg 3$ și $\lg 12=2\lg 2+\lg 3$, deci ${\log }_{12}18=\frac{\lg 2+2\lg 3}{2\lg 2+\lg 3}$.

16. Pentru $x$ din $(0;1)\cup (1;+\infty )$, baza $x$ este pozitivă și diferită de $1$, iar argumentul $x+3$ este pozitiv, deci ${\log }_x(x+3)$ există. Formula de schimbare a bazei, cu baza nouă zece, dă exact ${\log }_x(x+3)=\frac{\lg (x+3)}{\lg x}$. Pentru $x=1$ numitorul ar fi $\lg 1=0$, iar baza $1$ este interzisă; cele două motive sunt de fapt același. Pentru $x=2$, de exemplu, ambii membri valorează ${\log }_{2}5\approx 2,322$.

17. ${\log }_{5}20=\frac{\lg 20}{\lg 5}=\frac{\lg 5+\lg 4}{\lg 5}=1+\frac{\lg 4}{\lg 5}=1+\frac{2\lg 2}{\lg 5}$.

18. Pașii: ${\log }_{0,5}0,03=\frac{\ln 0,03}{\ln 0,5}$, cu paranteză închisă după fiecare argument. Ambii logaritmi sunt negativi, pentru că $0,03$ și $0,5$ sunt sub unu, deci rezultatul este pozitiv. Încadrarea fără logaritmi: $0,5^5=\frac{1}{32}=0,03125>0,03>0,015625=\frac{1}{64}=0,5^6$, iar la o bază subunitară puterile scad, deci exponentul căutat este între $5$ și $6$. Calculatorul dă $\frac{-3,50656}{-0,69315}\approx 5,059$.

De reținut

• Pentru $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ și orice bază nouă $c>0$, $c\ne 1$: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, cu argumentul sus și baza jos.
• Pe calculator, ${\log }_{a}b$ se obține ca $\frac{\lg b}{\lg a}$ sau ca $\frac{\ln b}{\ln a}$, cu aceeași tastă sus și jos.
• Orice rezultat se controlează prin încadrare între puteri întregi ale bazei, înainte de calcul, și prin ridicare la putere, după.
• O bază apropiată de $1$ dă un numitor mic, care amplifică orice rotunjire; valorile de pe ecran intră în calcul complete, iar rezultatul se rotunjește la sfârșit.
• Numărul de pași până la un prag este ${\log }_{q}r$; la final, pașii sunt numere naturale, iar rezultatul se verifică pe puterile vecine.

Greșeli frecvente

• Amesteci tastele. Un cât cu $\lg$ la numărător și $\ln$ la numitor nu este un logaritm în baza dorită. Folosește aceeași tastă sus și jos.
• Tastezi fără paranteze. Pe multe calculatoare, „log 30 ÷ log 5” scris într-o singură paranteză deschisă dă altceva decât câtul. Închide paranteza după fiecare argument.
• Citești greșit semnele la o bază subunitară. Numitorul este negativ când baza este sub unu. Un rezultat pozitiv sau negativ se judecă după semnele numărătorului și numitorului, nu după impresie.
• Tai zecimalele numărului de pași. Dacă pragul este atins la $16,98$ pași, după $16$ pași mărimea nu a ajuns încă acolo. Verifică puterile vecine și alege pasul corect.
• Uiți condițiile bazei. Pentru baza $1$ numitorul este $\lg 1=0$, iar calculatorul afișează o eroare; pentru o bază negativă, logaritmul ei nu există. Formula nu anulează condițiile de existență.

Aplică acasă

1. Așază două oglinzi față în față, paralele, și pune între ele lanterna telefonului. Numără imaginile care se mai văd. Presupunând că ultima imagine vizibilă are cam $1\%$ din intensitatea sursei, estimează ce fracțiune păstrează oglinda la o reflexie, apoi verifică estimarea calculând, cu formula de schimbare a bazei, după câte reflexii se ajunge la $1\%$.
2. Scrie, în cuvinte sau în pseudocod, pașii unui mic program care primește două numere $a$ și $b$ și afișează ${\log }_{a}b$. Programul trebuie să verifice întâi condițiile, să calculeze câtul cu o singură funcție de logaritm și să afișeze rezultatul rotunjit la trei zecimale.
3. Jucați în doi „baza ascunsă”. Unul alege în secret o bază între $1,1$ și $5$, calculează cu formula logaritmul lui $1000$ în această bază și îi spune celuilalt doar rezultatul. Celălalt trebuie să găsească baza, știind că ea ridicată la rezultat dă $1000$, apoi verifică răspunsul cu formula de schimbare a bazei. Schimbați rolurile și notați cât de aproape ați ajuns de fiecare dată.

Pentru părinți și profesori

La științe ale naturii, formula de schimbare a bazei este un instrument de calcul, iar lecția o construiește ca atare: formula, justificarea ei scurtă din definiție și din proprietatea puterii, calculul cu tastele „log” și „ln” și aplicații numerice. Consecințele generale ale formulei, obișnuite la mate-info, nu fac obiectul lecției. Accentul cade pe controlul rezultatului: încadrarea înainte de calcul, ridicarea la putere după calcul și rotunjirea făcută o singură dată.

Merită lucrat explicit cu calculatorul elevilor, pentru că fiecare model afișează și tratează parantezele altfel. Un exercițiu scurt de început de oră: fiecare elev calculează același logaritm pe propriul aparat, iar clasa compară rezultatele și cauzele diferențelor, de la paranteze la rotunjirea afișajului. O greșeală de tastare se prinde aproape întotdeauna prin încadrare, dacă elevul o face înainte să apese tastele. Întrebări bune de control: „Între ce întregi trebuie să fie ${\log }_{7}300$?”; „De ce $\frac{\lg b}{\lg a}$ și $\frac{\ln b}{\ln a}$ dau același număr?”; „După câte reflexii scade lumina sub jumătate în Exemplul 5?”. Semnul că elevul a înțeles: scrie încadrarea înainte de rezultat și nu rotunjește numitorul.

Un exercițiu de discuție util este interpretarea rezultatului ca număr de pași. Elevii tind să rotunjească după regula obișnuită a zecimalelor, deși întrebarea „după câți pași se depășește pragul?” cere de fiecare dată verificarea pe puterile vecine.

Contextele alese, lumina într-o celulă cu reflexii multiple, golirea unui vas cu o pompă cu piston și eficiența transferului de energie între nivelurile trofice, arată același tipar: o mărime înmulțită la fiecare pas cu un factor fix. Diferă modul în care se află factorul: dat direct, dedus dintr-o lege fizică sau estimat din date de ecologie. Ecuațiile logaritmice propriu-zise, cu condiții de existență și cu aducerea la aceeași bază, se rezolvă în lecțiile care urmează în unitate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, care numește la funcții noțiunea de logaritm și proprietățile logaritmilor, fără să numească separat formula de schimbare a bazei; aceasta este tratată aici ca instrument al calculelor, iar competența X.CS.2.3 cere extragerea datelor cantitative din reprezentările unei funcții într-o situație practică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cere la clasa a X-a proprietăți ale logaritmilor și calcule cu logaritmi, tot fără să numească separat schimbarea bazei; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)” pentru calculele cu logaritmi. Varianta-model pentru 2026 are o ecuație logaritmică în care toți logaritmii au deja aceeași bază; exercițiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formula de schimbare a bazei cu logaritmii zecimali și naturali, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este funcția logaritmică: grafic și proprietăți, la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta mate-info (M1) despre schimbarea bazei?

Varianta M2 folosește formula ca instrument: calculul pe calculator, controlul prin încadrare și prin ridicare la putere, rotunjirea corectă și modele din științe. Varianta M1 deduce din formulă mai multe consecințe generale și le exersează separat, ca reguli de calcul cu logaritmi, cu aplicații din informatică și din finanțe.

Unde îmi folosește formula la bacalaureatul M2?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cere calcule cu logaritmi, iar formula de schimbare a bazei este unul dintre instrumentele acestor calcule, deși nu e numită separat. În varianta-model pentru 2026, ecuația cu logaritmi de la Subiectul I are toți logaritmii în aceeași bază, deci acolo nu e nevoie de formulă, dar la calcule cu baze diferite este.

De ce nu am folosit formula încă din clasa a IX-a?

Pentru că justificarea ei folosește proprietatea puterii, ${\log }_c{a}^x=x{\log }_{c}a$, care se învață abia în clasa a X-a. În clasa a IX-a ai calculat cu tastele doar logaritmi zecimali și naturali, iar pentru alte baze te-ai mulțumit cu încadrarea între doi întregi. Acum ai și valoarea zecimală.

Ce bază nouă aleg când scriu formula?

Pentru un rezultat numeric alegi baza zece sau baza $e$, adică tastele calculatorului; oricare dintre ele dă același număr. Pentru un rezultat exact alegi o bază care face argumentul și baza veche puteri ale aceluiași număr, ca la ${\log }_{81}243$, unde factorul comun se simplifică și rămâne o fracție.

De ce calculatorul afișează uneori un mesaj de eroare?

Pentru că îi ceri un logaritm care nu există. Dacă baza este $1$, numitorul $\lg 1$ este zero, iar împărțirea la zero nu e definită. Dacă baza sau argumentul sunt negative ori zero, calculatorul nu poate calcula logaritmul lor. Mesajul îți amintește că formula păstrează toate condițiile de existență.

Funcționează formula și pentru baze zecimale sau fracționare?

Da, pentru orice bază pozitivă diferită de unu, fie ea $1,5$, $0,96$ sau $\frac{5}{6}$. Calculatorul nu face nicio diferență între o bază întreagă și una zecimală: tastezi logaritmul argumentului și îl împarți la logaritmul bazei. Pentru bazele subunitare, numitorul este negativ, iar semnul rezultatului se citește din semnele fracției.