Dacă $$x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$$, în ce interval se află $$2x$$?

$$\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$$

$$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\right)$$

$$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$$

$$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$$

Cât face cos² π/8-sin² π/8?

Expresia are forma cos²x-sin²x=cos2x, cu x= π/8. Rezultatul este cos π/4= √2/2. Fără formula unghiului dublu ar trebui cunoscute valorile pentru π/8, care nu apar în tabelul de bază.

Cum calculez sin 2x dacă știu doar sin x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Unghiul dublu

Folosești $sin 2 x = 2 sin x cos x$ , deci îți trebuie și $cos x$ , cu semnul dat de intervalul lui $x$ . Exemplu: $sin x = \frac{3}{5}$ și $x \in (\frac{π}{2}, π)$ dau $cos x = - \frac{4}{5}$ , deci $sin 2 x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}$ . În schimb, $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = \frac{7}{25}$ nu cere cadranul. Proba: $\frac{576}{625} + \frac{49}{625} = 1$ . Semnul lui $sin 2 x$ se putea prevedea: $2 x$ este între $π$ și $2 π$ , unde sinusul este negativ.

Sinusul și cosinusul lui $2 x$ se scriu cu valorile lui $x$ : $sin 2 x = 2 sin x cos x$ și $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ . Ambele vin din formulele sumei, în care cele două unghiuri sunt egale, și sunt adevărate pe toată axa reală, cadrul programei de examen.

Cosinusul dublului are încă două scrieri, $2 cos^{2} x - 1$ și $1 - 2 sin^{2} x$ , obținute cu formula fundamentală. Fiindcă în ele apar doar pătrate, $cos 2 x$ se află dintr-o singură valoare, fără să știi unde e $x$ . Pentru $sin 2 x$ îți trebuie și semnul celeilalte funcții, iar acesta se citește din intervalul lui $x$ .

Intervalul lui $2 x$ se află dublând capetele intervalului lui $x$ . Dacă trece de o tură, scazi $2 π$ și citești cadranul; semnele calculate trebuie să se potrivească, iar suma pătratelor lor trebuie să dea $1$ . Tangenta dublului este raportul $\frac{sin 2 x}{cos 2 x}$ , cu condiția ca numitorul să nu fie zero. În științe, aria colțului dintre două foi egale ale unui paravan conține sinusul unghiului dintre foi, dublul înclinării unei foi față de axa paravanului, iar un filtru polarizant rotit în doi pași egali lasă să treacă o intensitate proporțională cu $cos^{2} 2 θ$ .

De reținut

$sin 2 x = 2 sin x cos x$
$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$
pentru $sin 2 x$ semnul lui $cos x$ vine din cadran; pentru $cos 2 x$ nu e nevoie

Greșeala tipică

Se scrie $sin 2 x = 2 sin x$ , dublând doar valoarea; pentru $x = \frac{π}{2}$ ar rezulta $2$ , deși $sin π = 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Care egalitate este adevărată pentru orice număr real $x$ ?
- a) $sin 2 x = 2 sin x$
- b) $sin 2 x = 2 sin x cos x$
- c) $sin 2 x = sin^{2} x$
- d) $sin 2 x = sin x cos x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin 2 x = 2 sin x cos x$

Punând același unghi în formula sinusului sumei, cei doi termeni devin egali: $sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x$ .
Se știe că $cos x = \frac{2}{5}$ . Cât este $cos 2 x$ ?
- a) $\frac{17}{25}$
- b) $\frac{4}{5}$
- c) $- \frac{17}{25}$
- d) $- \frac{21}{25}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{17}{25}$

Cu forma care folosește doar cosinusul: $cos 2 x = 2 \cdot \frac{4}{25} - 1 = - \frac{17}{25}$ . Semnul lui $sin x$ nu intervine.
Dacă $x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ , în ce interval se află $2 x$ ?
- a) $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$
- b) $(0, \frac{π}{2})$
- c) $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$
- d) $(π, \frac{3 π}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(π, \frac{3 π}{2})$

Dublezi ambele capete: $2 \cdot \frac{π}{2} = π$ și $2 \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{3 π}{2}$ , deci $2 x$ e în al treilea cadran.

Întrebări conexe

Ce intensitate trece printr-un filtru polarizant rotit cu $2 θ$ ?

Legea lui Malus dă $I = I_{0} cos^{2} α$ , unde $α$ este unghiul dintre filtre. Dacă filtrul a fost rotit de două ori cu $θ$ , $α = 2 θ$ . Pentru $θ = \frac{π}{8}$ , $I = I_{0} cos^{2} \frac{π}{4} = \frac{I _{0}}{2}$ , jumătate din intensitate.

Ce arie are un triunghi isoscel cu laturile egale $L$ și unghiul din vârf $2 θ$ ?

Aria este $\frac{1}{2} L^{2} sin 2 θ = L^{2} sin θ cos θ$ . Pentru $L = 2$ și $θ = \frac{π}{8}$ , aria este $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot sin \frac{π}{4} = 2$ . Aria este cea mai mare când unghiul din vârf este drept, adică la $θ = \frac{π}{4}$ . Unghiul din vârf este dublul înclinării fiecărei laturi față de axa de simetrie.

Cum aflu $cos 2 x$ dacă știu $tg x$ ?

Folosești $cos 2 x = \frac{1 - tg ^{2} x}{1 + tg ^{2} x}$ . Pentru $tg x = 2$ obții $\frac{1 - 4}{1 + 4} = - \frac{3}{5}$ . Verificare: $cos^{2} x = \frac{1}{5}$ , $sin^{2} x = \frac{4}{5}$ , iar diferența lor este $- \frac{3}{5}$ . Cadranul nu contează, fiindcă apar doar pătrate. Formula se obține împărțind $cos^{2} x - sin^{2} x$ la $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ , apoi totul la $cos^{2} x$ .

Cât face $cos^{2} \frac{π}{8} - sin^{2} \frac{π}{8}$ ?

Expresia are forma $cos^{2} x - sin^{2} x = cos 2 x$ , cu $x = \frac{π}{8}$ . Rezultatul este $cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ . Fără formula unghiului dublu ar trebui cunoscute valorile pentru $\frac{π}{8}$ , care nu apar în tabelul de bază.

Cum rezolv ecuația $sin 2 x = sin x$ pe $[0, π]$ ?

Scrii $2 sin x cos x - sin x = 0$ , adică $sin x (2 cos x - 1) = 0$ . Fie $sin x = 0$ , cu $x = 0$ sau $x = π$ , fie $cos x = \frac{1}{2}$ , cu $x = \frac{π}{3}$ . Soluțiile sunt $0$ , $\frac{π}{3}$ și $π$ ; nu împarți la $sin x$ , ca să nu pierzi soluții.

Oamenii mai întreabă și: sinusul unghiului dublu din sinus · sin 2x când știu sin x · formula sin 2x egal 2 sin x cos x · calculul lui sin 2x cu cadran

Cum calculez sin 2x dacă știu doar sin x?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce intensitate trece printr-un filtru polarizant rotit cu 2θ?

Ce arie are un triunghi isoscel cu laturile egale L și unghiul din vârf 2θ?

Cum aflu cos2x dacă știu tgx?

Cât face cos28π​−sin28π​?

Cum rezolv ecuația sin2x=sinx pe [0,π]?

Continuă cu

Ce intensitate trece printr-un filtru polarizant rotit cu $2 θ$ ?

Ce arie are un triunghi isoscel cu laturile egale $L$ și unghiul din vârf $2 θ$ ?

Cum aflu $cos 2 x$ dacă știu $tg x$ ?

Cât face $cos^{2} \frac{π}{8} - sin^{2} \frac{π}{8}$ ?

Cum rezolv ecuația $sin 2 x = sin x$ pe $[0, π]$ ?