Cum scriu poziția unui mobil ca funcție afină?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Modele afine cu unități

În mișcarea uniformă, poziția la momentul $t$ este $x (t) = x_{0} + v t$ : $x_{0}$ este poziția la $t = 0$ , măsurată față de reper, iar $v$ este viteza, cu semn. Exemplu: un cărucior aflat la $3$ m de reper, care se depărtează cu $0, 5$ m/s, are $x (t) = 3 + 0, 5 t$ ; după $8$ s ajunge la $x = 7$ m. Dacă s-ar apropia de reper, viteza ar intra cu minus, iar formula ar fi $x (t) = 3 - 0, 5 t$ .

Un model afin complet are trei părți: variabila, cu unitatea ei, regula $f (x) = a x + b$ și domeniul în care descrierea este acceptată. Termenul liber are unitatea rezultatului, deoarece este valoarea în zero. Rata are unitatea rezultatului împărțită la unitatea variabilei, fiindcă arată schimbarea la o creștere cu o unitate.

Coeficienții se pot lua din enunț, se pot citi de pe un grafic cu puncte exacte sau se pot calcula din două rânduri ale unui tabel. Celelalte rânduri servesc drept probe. Diferența valorilor devine rată numai după împărțirea la diferența argumentelor.

Când variabila numără obiecte sau minute începute, graficul este o mulțime de puncte. Rotunjirea urmează situația: bugetul impune rotunjirea în jos, tarifarea pe minut început impune rotunjirea în sus.

În mișcarea uniformă, poziția este $x_{0} + v t$ și poate fi negativă, pentru că depinde de reperul ales. Drumul efectuat, în schimb, crește de la zero și nu poate fi negativ. Două modele se compară pe domeniul comun: punctul lor comun separă intervalele pe care este avantajos fiecare. Legea lui Hooke arată că lungimea unui resort este afină, pe când alungirea este proporțională, amândouă numai în domeniul de elasticitate.

De reținut

$x (t) = x_{0} + v t$ : $x_{0}$ poziția inițială, $v$ viteza cu semn
panta graficului poziție–timp este viteza
un model afin se scrie cu unitățile mărimilor și cu domeniul de valabilitate

Greșeala tipică

Se confundă poziția cu distanța parcursă: poziția $x (t)$ poate fi negativă față de reper, pe când distanța parcursă se calculează ca diferență de poziții și nu e niciodată negativă.

Exerciții din această mini-lecție

Lungimea unui resort este $L (m) = 18 + m /25$ , în centimetri, unde $m$ este masa atârnată, în grame. Care este unitatea ratei?
- a) centimetri
- b) grame pe centimetru
- c) centimetri pe gram
- d) grame
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) centimetri pe gram

Rata este unitatea rezultatului împărțită la unitatea variabilei: centimetri pe gram.
O trotinetă închiriată costă $3$ lei la deblocare și $1/2$ leu pentru fiecare minut început. Cât costă o cursă de $9$ min și $10$ s?
- a) $7, 5$ lei
- b) $8$ lei
- c) $7$ lei
- d) $8, 5$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$ lei

Cursa a început zece minute, deci costul este $3 + 10/2 = 8$ lei.
Poziția unui corp este $x (t) = - 4 + 3 t /2$ , în metri, pentru $t \in [0, 8]$ secunde. Ce distanță parcurge corpul în acest interval?
- a) $8$ m
- b) $4$ m
- c) $- 4$ m
- d) $12$ m
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $12$ m

Poziția trece de la $- 4$ m la $8$ m fără întoarcere, deci distanța este $8 - (- 4) = 12$ m.

Întrebări conexe

Ce viteză arată panta graficului poziție–timp?

Panta este chiar viteza. Dacă graficul trece prin $(0 s; 2 m)$ și $(4 s; 14 m)$ , viteza este $\frac{14 - 2}{4 - 0} = 3$ m/s. O pantă negativă arată mișcare spre reper, iar o dreaptă orizontală arată un corp în repaus. Unitatea pantei vine din unitățile axelor: metri pe secundă.

Cum aflu momentul în care se întâlnesc două mobile cu mișcare uniformă?

Egalezi pozițiile. Un mobil pleacă din $0$ cu $2$ m/s, altul din $30$ m spre el cu $3$ m/s: $x_{1} = 2 t$ , $x_{2} = 30 - 3 t$ . Din $2 t = 30 - 3 t$ rezultă $t = 6$ s, iar locul întâlnirii este $x = 12$ m. Proba: $30 - 18 = 12$ .

Câte bucăți cumpăr cu un buget fix, dacă costul este afin?

Cu $110$ lei, o taxă fixă de $9$ lei și $7$ lei bucata, condiția este $9 + 7 n \leq 110$ , adică $n \leq \frac{101}{7} \approx 14, 4$ . Numărul de bucăți este natural și bugetul nu se depășește, deci rotunjești în jos: $n = 14$ , cu cost $107$ lei.

Cum aflu alungirea unui resort dintr-un model afin al lungimii?

Dacă lungimea este $L (F) = 12 + 0, 8 F$ cm, cu forța $F$ în newtoni, alungirea este diferența față de lungimea inițială: $L - 12 = 0, 8 F$ . Pentru $F = 5$ N alungirea este $4$ cm, iar lungimea $16$ cm. Lungimea e funcție afină, alungirea e proporțională cu forța.

Până unde este valabil un model afin pentru încălzirea apei?

Modelul $T (t) = 18 + 6 t$ grade are sens până când apa ajunge la fierbere: $18 + 6 t = 100$ dă $t = \frac{82}{6} \approx 13, 7$ minute. Mai departe temperatura rămâne aproape constantă cât apa fierbe, deci formula nu mai descrie realitatea. Domeniul modelului se scrie explicit: $t \in [0, \frac{41}{3}]$ .

Oamenii mai întreabă și: legea de mișcare uniformă ca funcție · poziția în funcție de timp · ecuația mișcării rectilinii uniforme · funcția afină în fizică · x egal x0 plus v ori t